Đẳng thức cosi

Mr twist permanentlove229@yahoo.com Chuyên đề: VẬN DỤNG ĐẲNG THỨC COSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Chúng ta đã biết với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1) (dấu “=” xảy ra ⇔ a=b). Đó là bất đẳng thức Cô-si đối với hai số không âm. Bất đẳng thức này còn được mở rộng đối với n số không âm: với a 1 , a 2 , ., a n ≥ 0 thì a 1 + a 2 + . + a n ≥ n n aaa n . 21 (dấu “=” xảy ra ⇔ a 1 =a 2 = .=a n). – Với hai số dương a, b từ bất đẳng thức (1) ta suy ra: • Nếu ab = k (không đổi) thì min (a+b) = 2 k (khi và chỉ khi a = b). • Nếu a + b = k (không đổi thì max (ab) = 4 2 k (khi và chỉ khi a = b). Kết quả trên được mở rộng đối với n số không âm: Nếu a 1 a 2 .a n = k (không đổi) thì min (a 1 + a 2 + . + a n ) = n n k (khi và chỉ khi a 1 = a 2 = . =a n ). Nếu a 1 + a 2 + . + a n = k (không đổi) thì Max ( aaa n . 21 ) =       n k n (khi và chỉ khi a 1 = a 2 = . =a n ). Vận dụng bất đẳng thức Cô-si ta có thể tìm được giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của một số biểu thức. Ta hãy bắt đầu bằng một thí dụ đơn giản. Thí dụ 9: Cho x > 0; y > 0 thõa mãn điều kiện 2 111 =+ yx . Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức A = yx + . Giải Vì x > 0; y > 0 nên 0 1 > x ; 0 1 > y ; 0 > x ; 0 > y . Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số dương x 1 và y 1 ta được         +≤⋅ yxyx 11 2 111 suy ra 4 11 ≤ xy ⇒ 4 ≥ xy . Vận dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số dương x và y ta được: A = x + y ≥ yx.2 ≥ 42 = 4 (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 4). Vậy min A = 4 (khi và chỉ khi x = y = 4). Nhận xét về phương pháp giải: Trong thí dụ trên ta đã vận dụng bất đẳng thức Cô-si theo hai chiều ngược nhau. Lần thứ nhất ta đã “làm trội” yx 11 ⋅ bằng cách vận dụng 2 ba ab + ≤ để dùng điều kiện tổng 2 111 =+ yx , từ đó được 4 ≥ xy Lần thứ hai ta đã “làm giảm” tổng ( ) yx + bằng cách vận dụng bất đẳng thức Cô-si theo chiều abba 2 ≥+ để dùng kết quả 4 ≥ xy . Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thể vận dụng bất đẳng thức Cô-si rồi tìm cực trò của nó. 1 Mr twist permanentlove229@yahoo.com Biện pháp 1: Để tìm cực trò của một biểu thức ta tìm cực trò của bình phương biểu thức đó. Thí dụ 10: Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức: A = xx 3753 −+− Giải: ĐKXĐ: 3 7 3 5 ≤≤ x . A 2 = ( ) ( ) ( )( ) xxxx 375323753 −−+−+− A 2 ( ) 437532 =−+−+≤ xx (dấu “=” xảy ra ⇔ 3x – 5 = 7 – 3x ⇔ x = 2). Vậy max A 2 = 4 ⇒ max A = 2 (khi và chỉ khi x = 2) Nhận xét về phương pháp giải: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức. Hai biểu thức lấy căn có tổng không đổi (bằng 2). Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A thì sẽ xuất hiện hạng tử là hai lần tích của hai căn thức. Đến đây có thể vận dụng bất đẳng thức Cô-si: baab +≤ 2 Biện pháp 2: Nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác 0. Thí dụ 11: Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức A = x x 5 9 − Giải: ĐKXĐ: 9 ≥ x A= 30 1 10 3 99 5 3 3 9 2 1 5 3 3 9 5 9 = +− =       + − ≤ ⋅ − = − x x x x x x x x (dấu “=” xảy ra ⇔ 183 3 9 =⇔= − x x ) Vậy max A= 30 1 (khi và chỉ khi x = 18). Nhận xét về phương pháp giải: Trong cách giải trên, 9 − x được biểu diễn thành 3 3 9 ⋅ − x và ta đã gặp may ở chỗ khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si, tích 3 3 9 ⋅ − x được “làm trội” thành nửa tổng x x 3 1 3 3 9 =+ − có dạng kx có thể rút gọn cho x ở dưới mẫu, kết quả là một hằng số. Con số 3 ở trên tìm được bằng cách lấy căn bậc hai của 9, số 9 này có trong đề bài (bạn đọc tự giải thích). Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức đã cho thành một tổng của các biểu thức sao cho tích cảu chúng là một hằng số. 1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau Thí dụ 12: Cho x > 0, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A = x x 3 4 16 3 + Giải: 2 Mr twist permanentlove229@yahoo.com A = 4 333 16 .4 1616 3 xxx xxxxxxx ⋅≥+++=+ A 82.4 =≥ (dấu “=” xảy ra ⇔ 2 16 3 =⇔= xx x ) Vậy min A = 8 ( khi và chỉ khi x = 2) Nhận xét: Hai số dương 3x và x 3 16 có tích không phải là một hằng số. Muốn khử được x 3 thì ở tử phải có x 3 = x.x.x do đó ta phải biểu diễn 3x = x + x + x rồi dùng bất đẳng thức Cô-si với 4 số dương. 2) Tách một hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với một hạng tủ chứa biến sao cho hạng tử này là nghòch đảo của một hạng tử khác có trong biểu thức đã cho (có thể sai khác một hằng số) Thí dụ 13: Cho 0 < x < 2, tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: A = xx x 2 2 9 + − Giải: A = 1 2 2 9 + − + − x x x x A 71921 2 2 9 2 =+=+ − ⋅ − ⋅≥ x x x x (dấu “=” xảy ra ⇔ x x x x − = − 2 2 9 ⇔ 2 1 = x ) Vậy min A = 7 (khi và chỉ khi 2 1 = x ) Nhận xét về phương pháp giải: Trong cách giải trên ta đã tách x 2 thành tổng 1 2 + − x x . Hạng tử x x − 2 nghòch đảo với x x − 2 nên khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si ta được tích của chúng là một hằng số. Biện pháp 4: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho Thí dụ 14: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điểu kiện x + y + z = 2. Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức: P = yxxzzy z y x + + + + + 2 2 2 Giải: p dụng bất đẳng thức Cô-si đối với hai số dương zy x + 2 và 4 zy + ta được: x xzy zy zy zy xx =⋅= + ⋅ + ≥ + + + 2 2 4 .2 4 22 (1) Tương tự: y xz xz y ≥ + + + 4 2 (2) 3 Mr twist permanentlove229@yahoo.com z yx yx z ≥ + + + 4 2 (3) Vậy zyx zyx yxxzzy z y x ++≥ ++ +           + + + + + 2 2 2 2 P ≥ (x + y + z) 1 2 = ++ − zyx (dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 3 2 ) Vậy min P = 1 (khi và chỉ khi x = y = z = 3 2 ) Nhận xét về phương pháp giải: Ta đã thêm 4 zy + vào hạng tử thứ nhất zy x + 2 có trong đề bài, để khi vận dụng bất đẳng thức Cô-si có thể khử được (y + z). Cũng như vậy đối với hạng tử thứ hai và thứ ba. Dấu đẳng thức xảy ra đồng thời trong (1), (2), (3) khi và chỉ khi x = y = z = 3 2 . Nếu ta lần lượt thêm (y + z), (z + x), (x + y) vào zy x + 2 ; xz y + 2 ; yx z + 2 thì ta cũng khử được (y + z), (z + x), (x + y) nhưng điều quan trọng là không tìm được giá trò của x, y, z để dấu đẳng thức xảy ra đồng thời do đó không tìm được giá trò nhỏ nhất của P. Sau khi đọc xong bài này bạn hay tiếp tục download bài “Bài tập về đẳng thức Cô-si” để nắm rõ hơn về đẳng thức này 4 . đề: VẬN DỤNG ĐẲNG THỨC COSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Chúng ta đã biết với a ≥ 0; b ≥ 0 thì a + b ≥ 2 ab (1) (dấu “=” xảy ra ⇔ a=b). Đó là bất đẳng thức Cô-si đối. cách vận dụng bất đẳng thức Cô-si theo chiều abba 2 ≥+ để dùng kết quả 4 ≥ xy . Không phải lúc nào ta cũng có thể dùng trực tiếp bất đẳng thức Cô-si đối với