Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 24 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
24
Dung lượng
708,5 KB
Nội dung
lí do chọn đề tài Các bài toán về bấtđẳngthức là những bài toán khó , để giải đợc các bài toán về bấtđẳng thức, bên cạnh việc nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bấtđẳng thức, còn phải nắm đợc các phơng pháp chứngminhbấtđẳng thức. Có nhiều phơng pháp để chứngminhbấtđẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứngminhbấtđẳngthức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí . Bài toán chứngminhbấtđẳngthức đợc vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình, hệ phơng trình đặc biệt , tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức .và đợc sử dụng nhiều trong khi ôn tập , ôn thi ngoại khoá .Vì vậy học sinh cần thiết phải nắm đợc những kiến thức cơ bản về bấtđẳngthức . Trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS , học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên quan về bấtđẳngthức , vì các bài toán chứngminhbấtđẳngthức th- ờng khong có cách giải mẫu , không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán . Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các dạng bài tập khác . Trong nội dung của đề tài xin đợc tập trung giới thiệu một số phơng pháp hay đ- ợc sử dụng khi chứngminhbấtđẳngthức nh : dùng định nghĩa , biến đổi tơng đơng , dùng các bấtđẳngthức đã biết , phơng pháp phản chứng và một số bài tập vận dụng , nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về chứngminh hay vận dụng bấtđẳngthức , giúp học sinh có thể tự định hớng đợc phơng pháp chứngminh và hứng thú hơn khi học về bấtđẳngthức nói riêng và bộ môn Toán nói chung . Vì thời gian có hạn , kinh nghiệm giảng dạy còn cha nhiều và khả năng nghiên cứu cha tốt nên nội dung của đề tài còn nhiều hạn chế mong các bạn góp ý thêm . phần i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bấtđẳngthức + a nhỏ hơn b , kí hiệu a < b + a lớn hơn b , kí hiệu a > b , + a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a < b, + a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a > b , 2, Một số tính chất cơ bản của bấtdẳngthức : a, Tính chất 1: a > b <=> b < a b, Tính chất 2: a > b và b > c => a > c c, Tính chất 3: a > b <=> a + c > b + c Hệ quả : a > b <=> a - c > b - c a + c > b <=> a > b - c d, Tính chất 4 : a > c và b > d => a + c > b + d a > b và c < d => a - c > b - d e, Tính chất 5 : a > b và c > 0 => ac > bd a > b và c < 0 => ac < bd f, Tính chất 6 : a > b > 0 ; c > d > 0 => ac > bd g, Tính chất 7 : a > b > 0 => a n > b n a > b <=> a n > b n với n lẻ . h, Tính chất 8 : a > b ; ab > 0 => 3, Một số đẳngthức thông dụng : a, Bấtđẳngthức Côsi : Với 2 số dơng a , b ta có : ab ba + 2 Dấu đẳngthức xảy ra khi : a = b b, Bấtđẳngthức Bunhiacôpxki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Dấu đẳngthức xảy ra <=> y b x a = c, Bấtđẳngthức giá trị tuyệt đối : baba ++ Dấu đẳngthức xảy ra khi : ab 0 phần ii : Một số phơng pháp chứngminhbấtđẳngthức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứngminh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứngminh A - B > 0 . - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - Ví dụ : Bài 1 : Với mọi số : x, y, z chứngminh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Giải : Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Bài 2 : Cho a, b, c, d, e là các số thực : Chứngminh rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 a(b + c + d + e) Giải : Xét hiệu : H = a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 - a(b + c + d + e) = ( b a 2 ) 2 + ( c a 2 ) 2 + ( d a 2 ) 2 + ( e a 2 ) 2 Do ( b a 2 ) 2 0 với mọi a, b Do( c a 2 ) 2 0 với mọi a, c Do ( d a 2 ) 2 0 với mọi a, d Do ( e a 2 ) 2 0 với mọi a, e => H 0 với mọi a, b, c, d, e Dấu '' = '' xảy ra <=> b = c = d = e = 2 a Bài 3 : Chứngminhbấtđẳngthức : 2 22 22 + + baba Giải : Xét hiệu : H = 2 22 22 + + baba = 4 )2()(2 2222 bababa +++ = 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . - Kiến thức : Biến đổi bấtđẳngthức cần chứngminh tơng đơng với bấtđẳngthức đúng hoặc bấtđẳngthức đã đợc chứngminh là đúng . - Một số bấtđẳngthức thờng dùng : (A B) 2 = A 2 2AB + B 2 (A + B + C) 2 = A 2 + B 2 + C 2 + 2AB + 2AC + 2BC (A B) 3 = A 3 3A 2 B + 3AB 2 B 3 . Ví dụ : Bài 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứngminh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng ; 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bấtđẳngthức cuối đúng . Suy ra điều phải chứngminh . Bài 2: Cho a, b, c là các số dơng thoả mãn : a + b + c = 4 Chứngminh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Giải: Từ : (a + b) 2 4ab , (a + b + c) 2 = [ ] cbacba )(4)( 2 +++ => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) 2 c 16 abc => a + b abc Tơng tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Bài 3 : Chứngminhbấtđẳngthức : 3 33 22 + + baba ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 3 33 22 + + baba + + + 2 ).( 2 22 ba baba ba . 2 2 + ba a 2 - ab + b 2 2 2 + ba 4a 2 - 4ab + 4b 2 a 2 + 2ab + b 2 3a 2 - 6ab + 3b 2 3(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 Bấtđẳngthức cuối cùng đúng ; suy ra : 3 33 22 + + baba Bài 4: Cho 2 số a, b thoả mãn a + b = 1 . CMR a 3 + b 3 + ab 2 1 Giải : Ta có : a 3 + b 3 + ab 2 1 <=> a 3 + b 3 + ab - 2 1 0 <=> (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + ab - 2 1 0 <=> a 2 + b 2 - 2 1 0 . Vì a + b = 1 <=> 2a 2 + 2b 2 - 1 0 <=> 2a 2 + 2(1-a) 2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) <=> 4a 2 - 4a + 1 0 <=> ( 2a - 1 ) 2 0 Bấtđẳngthức cuối cùng đúng . Vậy a 3 + b 3 + ab 2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 1 Bài 5 : Chứng minhbấtđẳngthức : 3 33 22 + + baba Trong đó : a > 0 , b > 0 . Giải : Với a > 0 , b > 0 => a + b > 0 Ta có : 3 33 22 + + baba <=> ( ) 2 22 22 . 2 + + + + baba baba ba <=> 2 22 2 + + ba baba <=> 4a 2 - 4ab + 4b 2 a 2 + 2ab + b 2 <=> 3(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 <=> 3(a - b) 2 0 . Bấtđẳngthức này đúng => 3 33 22 + + baba Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . Bài 6 : Với a > 0 , b > 0 . Chứngminhbấtđẳngthức : a b a a b b Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a b a a b b ( )() baabbbaa ++ 0 [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 0))(( + baba Bấtđẳngthức cuối đúng ; suy ra : a b a a b b 3. Phơng pháp 3: dùng bấtđẳngthức quen thuộc . - Kiến thức : Dùng các bấtđẳngthức quen thuộc nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bấtđẳngthức chứa dấu giá trị tuyệt đối để biến đổi và chứngminh , Một số hệ quả từ các bấtđẳngthức trên : x 2 + y 2 2xy Với a, b > 0 , 2 + a b b a Các ví dụ : Bài 1 : Giả sử a, b, c là các số dơng , chứngminh rằng: 2 > + + + + + ba c ac b cb a Giải áp dụng BĐT Cauchy , ta có : a + (b + c) )(2 cba + cba a cb a ++ + 2 Tơng tự ta thu đợc : cba b ac b ++ + 2 , cba c ba c ++ + 2 Dấu bằng của ba BĐT trên không thể đồng thời xảy ra , vì khi đó có : a = b + c , b = c + a , c = a + b nên a + b + c = 0 ( trái với giả thiết a, b, c đều là số d- ơng ). Từ đó suy ra : 2 > + + + + + ba c ac b cb a Bài 2: Cho x , y là 2 số thực thoả mãn : x 2 + y 2 = 22 11 xyyx + Chứngminh rằng : 3x + 4y 5 Giải : áp dụng bấtđẳngthức Bunhiacôpxki ta có : (x 2 + y 2 ) 2 = ( 22 11 xyyx + ) 2 ( 1 x ; 1 y ) (x 2 + y 2 )(1 - y 2 + 1 - x 2 ) => x 2 + y 2 1 Ta lại có : (3x + 4y) 2 (3 2 + 4 2 )(x 2 + y 2 ) 25 => 3x + 4y 5 Đẳngthức xảy ra = >> =+ 43 0,0 1 22 yx yx yx = = 5 4 5 3 y x Điều kiện : 2 5 2 3 x Bài 3: Cho a, b, c 0 ; a + b + c = 1 . Chứngminh rằng : a, 6 +++++ accbba b, 5,3111 <+++++ cba Giải a, áp dụng bấtdẳngthức Bunhiacôpxki với 2 bộ 3 số ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ++++++++++++ 222 1111.1.1. accbbaaccbba => ( ) 6)22.(3 2 =+++++++ acbaaccbba => 6 +++++ accbba . Dấu '' = '' xảy ra khi : a = b = c = 3 1 b, áp dụng bấtđẳngthức Côsi , ta có : 1 22 1)1( 1 += ++ + aa a Tơng tự : 1 2 1 ++ b b ; 1 2 1 ++ c c Cộng từng vế của 3 bấtđẳngthức trên ta đợc : 5,33 2 111 =+ ++ +++++ cba cba Dấu đẳngthức xảy ra khi a = b = c =0 trái với giả thiết : a + b + c = 1 Vậy : 5,3111 <+++++ cba Bài 4 : Cho các số dơng a , b , c thoả mãn : a + b + c = 1 . Chứngminh rằng : 9 111 ++ cba Giải : Ta có : 0 >+ a b b a , a , b > 0 Ta có : =++ cba 111 ) 111 ( cba ++ .1 = ) 111 ( cba ++ .(a + b + c) = 111 ++++++++ b c a c c b a b c a b a = ++++++ )()()(3 c a a c b c c b a b b a 3 + 2 + 2 + 2 = 9 => 9 111 ++ cba Dấu ''='' xảy ra khi : a = b = c = 3 1 Bài 5 a, Cho x , y > 0 . Chứngminh rằng : yxyx + + 411 b, Cho tam giác ABC có chu vi 2p = a + b + c (a, b , c là độ dài các cạnh của tam giác ) . Chứngminh rằng : 2 111 + + cpbpap ) 111 ( cba ++ Giải a, áp dụng bấtđẳngthức Côsi ta có : xyyx 2 + yx 11 + xy 2 => (x + y)( yx 11 + ) 4 => yx 11 + yx + 4 b, Ta có : p - a = 0 2 > + acb Tơng tự : p - b > 0 ; p - c > 0 ; áp dụng kết quả câu a , ta đợc ; cbpapbpap 4 )()( 411 = + + Tơng tự : acpbp 411 + bcpap 411 + => ) 111 (4) 111 (2 cbacpcpap ++ + + => đIều phải chứngminh . Dấu '' = '' xảy ra khi : p - a = p - b = p - c a = b = c . Khi đó tam giác ABC là tam giác đều . 4. Phơng pháp 4 ; Dùng các tính chất của bấtđẳngthức : - Kiến thức : Dùng các tính chất đã đợc học để vận dụng vào giải các bài tập . Các ví dụ : Bài 1 : Cho 2 số x , y thoả mãn điều kiện : x + y = 2 . Chứngminh rằng : x 4 + y 4 2 Giải Theo tính chất bắc cầu ta có : (x 2 - y 2 ) 0 x 4 + y 4 2x 2 y 2 2(x 4 + y 4 ) (x 2 + y 2 ) 2 (1) Ta có : (x - y) 2 0 x 2 + y 2 2xy 2(x 2 + y 2 ) (x +y) 2 2(x 2 + y 2 ) 4 Vì : x + y = 2 x 2 + y 2 2 (2) Từ (1) và (2) ta có : x 4 + y 4 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = y = 1 . Bài 2: Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứngminh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Giải : Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do a, b, c, d > 0 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài 3 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứngminh rằng : 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a Giải : Do a, b < 1 => a 3 < a 2 < a < 1 ; b 3 < b 2 < b < 1 ; ta có : (1 - a 2 )(1 - b) > 0 => 1 + a 2 b > a 2 + b => 1 + a 2 b > a 3 + b 3 hay a 3 + b 3 < 1 + a 2 b . Tơng tự : b 3 + c 3 < 1 + b 2 c ; c 3 + a 3 < 1 + c 2 a . => 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a 5. Phơng pháp 5 : Chứngminh phản chứng . - Kiến thức : Giả sử phải chứngminhbấtđẳngthức nào đó đúng , ta hãy giả sử bấtdẳngthức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý . Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra đẳngthức cần chứngminh là đúng . Một số hình thức chứngminhbấtđẳngthức : + Dùng mệnh đề đảo + Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết . + Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng . + Phủ định rồi suy ra hai đIều tràI ngợc nhau . + Phủ định rồi suy ra kết luận . Các ví dụ : Bài 1 : Cho 0 < a,b,c,d <1 . Chứngminh rằng ; ít nhất có một bấtđẳngthức sau là sai : 2a(1 - b) > 1 3b(1 - c) > 2 8c(1 - d) > 1 32d(1 - a) > 3 Giải: Giả sử ngợc lại cả bốn đẳngthức đều đúng . Nhân từng về ; ta có : 2.3.8.32a(1 - b)b(1 - c)c(1 - d)d(1 - a) > 2 .3 => [ ][ ][ ][ ] 256 1 )1()1()1()1( > ddccbbaa (1) Mặt khác , áp dụng bấtđẳngthức Côsi ta có : 2 1 2 1 )1( = + aa aa => a(1 - a) 4 1 Tơng tự : b(1 - b) 4 1 c(1 - c) 4 1 d(1 - d) 4 1 Nhân từng về các bấtđẳngthức ; ta có : [ ][ ][ ][ ] 256 1 )1()1()1()1( > ddccbbaa (2) Từ (1) và (2) suy ra vô lý . Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bấtđẳngthức cho trong đầu bài là sai . Bài 2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau ) Chứngminh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bấtđẳngthức sau : 2 1 <+ b a ; 2 1 <+ c b ; 2 1 <+ a c Giải Giả sử tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bấtđẳngthức : 2 1 <+ b a ; 2 1 <+ c b ; 2 1 <+ a c Cộng theo từng vế của 3 bấtđẳngthức trên ta đợc : 6 111 <+++++ a c c b b a 6) 1 () 1 () 1 ( <+++++ c c b b a a (1) Vì a, b, c > 0 nên ta có : 2) 1 ( + a a ; 2) 1 ( + b b ; 2) 1 ( + c c => 6) 1 () 1 () 1 ( +++++ c c b b a a Điều này mâu thuẫn với (1) Vậy không tồn tại 3 số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bấtđẳngthức nói trên . => đpcm Bài 3 : Chứngminh rằng không có các số dơng a, b, c thoả mãn cả 3 bấtđẳngthức sau : 4a(1 - b) > 1 ; 4b(1 - c) > 1 ; 4c(1 - a ) > 1 . Hớng dẫn : tơng tự nh bài 2 : Bài 4 :( Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng ) Cho a 3 + b 3 = 2 . Chứngminh rằng : a + b 2 . Giải : Giả sử : a + b > 2 => (a + b ) 3 > 8 => a 3 + b 3 + 3ab(a + b) > 8 => 2 + 3ab(a + b) > 8 ( Vì : a 3 + b 3 = 2 ) => ab(a + b) > 2 => ab(a + b) > a 3 + b 3 ( Vì : a 3 + b 3 = 2 ) Chia cả hai vế cho số dơng a, b ta đợc : [...]... (a + b) 2 4 4 2 Bài 3 : Cho a, b, c > 0 ; a + b + c 1 Chứngminh rằng : 1 1 1 + 2 + 2 9 a + 2bc b + 2ca c + 2ab 2 Giải : Đặt : a2 + 2bc = x ; b2 + 2ca = y ; c2 + 2ab = z Khi đó : x + y + z = a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab = (a + b + c)2 1 Bài toán trở thành : Cho x, y, z > 0 , x + y + z 1 Cứng minh rằng : 1 1 1 + + 9 x y z Ta chứngminh đợc : (x + y + z)( 1 1 1 + + ) 9 x y z Theo bấtđẳng thức... Dùng phép quy nạp toán học - Kiến thức : Để chứngminh một bấtđẳngthức đúng với n > 1 bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bấtđẳngthức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bấtđẳngthức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minhbấtđẳngthức đúng với n = k + 1 + Kết luận bấtđẳngthức đúng với n > 1 (n > n0) - Ví dụ : Bài 1 : Chứngminh rằng với mọi số nguyên dơng n 3 thì 2n >... giải Các ví dụ : Bài 1 : Chứngminh rằng : Nếu a , b , c > 0 thì : a b c 3 + + b+c c+a b+a 2 Giải: Đặt : b +c = x , c + a = y , a + b = z => a + b + c = y+zx 2 => a = x+ y+z 2 , b= z+xy 2 , c= x+ yz 2 Khi đó : y+zx z+xy x+ yz + + 2x 2y 2z 1 y x 1 z x 1 z y 3 3 3 ( + ) + ( + ) + ( + ) 1 +1 +1 = 2 x y 2 x z 2 y z 2 2 2 a b c + + b+c c+a b+a VT = = = Bài 2 : Chứngminh rằng ; với mọi số thực x, y... 2k > 2k + 1 ta phải chứngminh : 2k+1 > 2(k + 1) + 1 hay : 2k+1 > 2k + 3 (**) + Thật vậy : 2k+1 = 2.2k , mà 2k > 2k + 1 ( theo giả thiết quy nạp ) do đó : 2k +1 > 2(2k + 1) = (2k + 3) +(2k - 1) > 2k + 3 ( Vì : 2k - 1 > 0) Vậy (**) đúng với mọi k 3 + Kết luận : 2n > 2n + 1 với mọi số nguyên dơng n 3 Bài 2 : ( Tơng tự ) Tìm số nguyên dơng n sao cho 2n > 5n Bài 3 : Chứngminh rằng : 1 2 3 5 4 6... 1 , ta có : VT = VP = 1 2 Vậy (*) đúng với n = 1 + Giả sử (*) đúng với n = k 1 ta có : 1 2 3 5 4 6 2k 1 2k 1 3k + 1 Ta cần chứngminh (*) đúng với n = k + 1 , tức là : 1 2 3 4 5 6 do đó chỉ cần chứng 2k +1 1 2k 1 2k +1 2(k +1) 3k +1 2(k +1) 2k 1 2k +1 1 minh : 3k +1 2(k +1) 3(k +1) +1 dùng phép biến đổi tơng đơng , ta có : (2k + 1)2(3k + 4) (3k + 1)4(k +1)2 12k3 + 28k2 + 19k + 4 12k3... sinh có thể học tốt hơn kiến thức về bấtđẳngthức và vận dụng đợc một số kiến thức cần thiết , một số phơng pháp suy nghĩ cần thiết của bộ môn toán Việc hệ thống lại các phơng pháp chứngminh , những ví dụ và bài tập minh hoạ kèm theo , những kiến thức lu ý , gợi ý học sinh , sẽ giúp cho học sinh hiểu đợc rộng hơn và sâu hơn về phơng pháp giải , một số bài tập vận dụng đa ra nhằm để củng cố kiến thức... nhất của K = x 1 x HD : áp dụng bấtđẳngthức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 : 2 II - Dùng bấtđẳngthức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bấtđẳngthức , các phơng pháp chứng minhbấtđẳngthức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình Nếu VT = VP tại một hoặc một số giá trị nào đó của ẩn ( thoả mãn TXĐ) => phơng trình... đẳngthức Bunhiacôpxki và tính chất của bấtđẳngthức - Hình thành kỹ năng giải phơng trình nhờ vận dụng kiến thứcbấtđẳngthức thông qua việc chữa các bài tập đợc đa ra trên cơ sở các bài toán chứng minhbấtđẳngthức , kết quả suy ra từ các bấtđẳngthức quen thuộc hay tính chất của bấtđẳngthức - Học sinh nắm đợc ph]ơng pháp giải , nhận dạng đợc dạng bài tập và biết vận dụng vào giải các bài tập... có nghiệm khi nào ? HS : PT có nghiệm khi VT = VP = 2 HS: trình bày lời giải GV : Yêu cầu HS làm bài tập ? Em hãy nêu cách giải phơng trình GV gọi ý : Em có nhận xét gì về VT của phơng trình HS : Chứngminh đợc VT 16x => tìm nghiệm của PT GV : Nhận xét HS hoàn thành bài tập vào vở 2x 3 + 5 2x x2 + 4x 6 = 0 2x 3 + 5 2x = x2 4x + 6 HD : VT 2 Dấu '' = '' xảy ra khi x = 2 VP 2 Dấu '' = '' xảy... tìm GTNN của 5 x 2 10 x + 9 ? => đpcm GV đề xuất bài toán mới ; ? Nêu đặc điểm của biểu thức trong căn ? HS rút ra nhận xét : VT 5 ? Tìm x để VT = VP Bài 3 a, Tìm min của L = 3x 2 + 6 x +12 b, Chứngminh rằng : 3x 2 + 6 x + 12 + 5 x 2 10 x + 9 5 giải: a, Ta có : 3(x + 1)2 + 9 9 => L = 3 x 2 + 6 x +12 3 Xảy ra dấu '' = '' khi x = -1 Vậy min L = 3 khi x = -1 b, Tơng tự ; 5 x 2 10 x + 9 2 Vậy : 3x . phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa - Kiến thức : Để chứng minh A > B , ta xét hiệu A - B rồi chứng minh A - B >. chứng minh bất đẳng thức có thể áp dụng đợc nhiều phơng pháp giải khác nhau , cũng có bài phải phối hợp nhiều phơng pháp một cách hợp lí . Bài toán chứng minh