Chứng minh bất đẳng thức

Phần I. BẤT ĐẲNG THỨC I. ĐỊNH NGHĨA: Cho A và B là hai biểu thức. A > B; A < B; A ≤ B hoặc A ≥ B gọi là các bất đẳng thức. II.TÍNH CHẤT: 1.Tính phản xạ: A ,A A∀ ∈ ≤¡ 2.Tính bắt cầu: A B A C B C ≥  ⇒ ≥  ≥  3.Chuyển vế: + A ≥ B ⇔ A – B ≥ 0 + A > A ⇔ A – B > 0 4.Cộng hai vế: + A ≥ B ⇔ A ± C ≥ B ± C 5.Cộng cùng chiều: A< B , C < D ⇒ A + C < B + D 6.Nhân hai vế cùng một số khác 0 Cho A ≥ B Nếu C 0 : AC BC > ≥ Nếu C 0: AC BC < ≤ 7.Nhân hai vế hai bất đẳng thức cùng chiều: A B 0 AC BD C D 0 > >  ⇒ >  > >  8.Nghịch đảo: 1 1 A B 0 A B ≥ > ⇔ ≤ 9.Nâng luỹ thừa,lấy căn: + n n A B 0 A B> > ⇒ > + n n A B 0 A B> > ⇒ > Chú ý:+ x y x y± ≤ + + x y x y− ≤ ± III.CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: ♦Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. Để chứng minh A > B ta chứng minh A > B ⇔ A 1 > B 1 ⇔ A 2 > B 2 Chứng minh bấy đẳng thức Trang 1 Biên soạn Nguyễn Văn Xê . ⇔ A n > B n Nếu bất đẳng thức A n > B n đúng thì A > B đúng. Ví dụ: Chứng minh với mọi a , b ta có: 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + Giải:Ta có 2 2 2 a b c ab bc ca+ + ≥ + + 2 2 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca⇔ + + ≥ + + 2 2 2 2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca 0⇔ + + − − − ≥ 2 2 2 2 2 2 a 2ab b b 2bc c c 2ca a 0⇔ − + + − + + − + ≥ 2 2 2 (a b) (b c) (c a) 0⇔ − + − + − ≥ Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng. ♦Phương pháp 2:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY. Với n số không âm a 1 , a 2 ,…, a n , ta có: 1 2 n n 1 2 n a a . a a a .a n + + + ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : a 1 = a 2 = … = a n Đặc biệt: Cho a , b không âm: a b ab 2 + ≥ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi : a = b Ví dụ: Cho a, b, c > 0, CMR: (a + b) 1 1 4 a b   + ≥  ÷   Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a , b a b ab 2 + ≥ a b 2 ab⇔ + ≥ (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 1 1 , a b 1 1 1 1 a b . 2 a b + ≥ 1 1 1 1 2 . a b a b ⇔ + ≥ (2) Nhân (1) và (2) ta được (a + b) 1 1 1 2 ab.2 4 a b ab   + ≥ =  ÷   Vậy (a + b) 1 1 4 a b   + ≥  ÷   ♦Phương pháp 3:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPKI. Cho 2 cặp số: a 1 , a 2 , … , a n và b 1 , b 2 , … , b n , ta có: Chứng minh bấy đẳng thức Trang 2 Biên soạn Nguyễn Văn Xê (a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n ) 2 ≤ ( 2 1 a + 2 2 a +…+ 2 n a )( 2 1 b + 2 2 b +…+ 2 n b ) Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho: a i = kb i (∗) với ∀ i = 1, 2,…, n hay a a a n 1 2 . b b b n 1 2 = = = Ví dụ: Cho 2x + 3y = 1, chứng minh 2 2 1 4x 9y 2 + ≥ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho 4 số 1 , 2x , 1 , 3y, ta có: 2 2 2 2 2 (2x 3y) (1 1 )(4x 9y )+ ≤ + + 2 2 1 4x 9y 2 ⇔ + ≥ ♦Phương pháp 4:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CỐSI-SVACXƠ. Cho 2 cặp số: a 1 , a 2 , … , a n và b 1 , b 2 , … , b n , ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 n n 1 2 n 1 2 n a b + a b + . + a b a a . a b b . b≤ + + + + + + Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: a a a n 1 2 . b b b n 1 2 = = = Ví dụ: Cho 2 2 x y 1+ = .Chứng minh rằng: 2x 3y 13+ ≤ Giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi-Svacxơ cho 2,3,x,y ta có: 2 2 2 2 2x+3y 2 3 x y≤ + + 2x 3y 13⇔ + ≤ Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi: x y 2 3 = và 2 2 x y 1+ = Suy ra 2 3 x ;y 13 13 = = hoặc 2 3 x ;y 13 13 = − = − IV.BÀI TẬP: 1. Chứng minh 2 2 2 4ab 12bc 6ac a 4b 9c , a,b,c− + ≤ + + ∀ . 2. Chứng minh 4 4 4 a b c a b c , abc + + + + ≤ ∀ a;b;c>0. 3.Cho a,b,c > 0,chứng minh: a b c 3 b c c a a b 2 + + ≥ + + + 4. Chứng minh với mọi a,b,c > 0, ta có: Chứng minh bấy đẳng thức Trang 3 Biên soạn Nguyễn Văn Xê 2 2 2 a b c a b c b c c a a b 2 + + + + ≥ + + + 5.Cho a,b,c > 0, chứng minh: 3 5 2 a 3 b 5 ab+ ≥ 6.Cho a> 1; b> 1;c>1. Chứng minh: 3abc ca b 1 bc a 1 ab c 1 2 − + − + − ≤ 7. Cho a, b, c ≥ 1 4 − , a + b + c = 3, chứng minh: 4a 1 4b 1 4c 1 3 5+ + + + + ≤ 8.Cho a;b;c > 0 và a + b +c = 1 . Chứng minh: 1 1 1 1 1 1 64 a b c     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     9. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh: a b c 1 1 1 8 b c a     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     10.Cho a;b;c >0, a>c; b>c. Chứng minh: a b c(a c) c(b c) 2 + − + − ≤ 11. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ca c ab+ + ≥ + + 12. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh: 3 3 3 2 2 2 3(a b c ) (a b c)(a b c )+ + ≥ + + + + 13. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh: 2 2 2 a b c 3 a 1 b 1 c 1 2 + + ≤ + + + 14. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh: 17 12 5 a 12 b 17 ab+ ≥ 15. Cho a;b;c > 0 . Chứng minh: a b b c c a 6 c a b + + + + + ≥ 16. Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z ≤ 1, chứng minh : Chứng minh bấy đẳng thức Trang 4 Biên soạn Nguyễn Văn Xê 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y z 82 x y z + + + + + ≥ (Khối A- 2003) 17.Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1, chứng minh: 3 3 3 3 3 3 1 x y 1 y z 1 z x 3 3 xy yz zx + + + + + + + + ≥ (Khối D-2005) 18.Chứng minh với mọi x ta có: x x x x x x 12 15 20 3 4 5 5 4 3       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       Dấu bằng xảy ra khi nào ? (Khối B -2005) 19.Cho x, y, z là 3 số dương và 1 1 1 4 x y z + + = , chứng minh: 1 1 1 1 2x y z x 2y z x y 2z + + ≤ + + + + + + (Khối A -2005) 20. Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thỏa mãn: x(x+y+z) = 3yz, Ta có (x + y) 3 + (x + z) 3 + 3(x + y)(x + z)(y + z) ≤ 5(y + z) 3 . (Khối A- 2009) Chứng minh bấy đẳng thức Trang 5 Biên soạn Nguyễn Văn Xê . PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: ♦Phương pháp 1: BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG. Để chứng minh A > B ta chứng minh A > B ⇔ A 1 > B 1 ⇔ A 2 > B 2 Chứng minh. b) (b c) (c a) 0⇔ − + − + − ≥ Bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức đã cho đúng. ♦Phương pháp 2:SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY. Với n số không âm