Chứng mính bất đẳng thức

Chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng phương pháp chuyển về lượng giác ----------- Dạng 1: Sử dụng điều kiện của biến x k (k >0) Đặt x = k.sina; 22 ππ ≤≤− a hoặc đặt x = k.cosa; 0 a Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức sau: a, 154aa93 2 ≤+− b, 9 2 8a 2 a16a1 ≤+−≤− c, 3a1 víi12645a 2 24a 3 4a ≤≤≤−+− Giải: a, Điều kiện: 22 - 3sina; a Æt § 3.a π α π ≤≤=≤ Khi đó αααα 3sin3cos4.3sin3.3cos4aa93 2 +=+=+− 3 = 151515 ≤=+ )-3cos(sin 5 4 cos 5 3 φα Với 5 4 sin ; 5 3 cos == ϕϕ b, Điều kiện a 1. Đặt a = cos; 0 Ta có 9 2 8a 2 a16a1 ≤+−≤− 5 2 4(2a 2 a16a ≤−+−≤− )15 51) 2 4(2cossin 6cos ≤−+ ααα 524cos3sin ≤+ αα ) 5 3 vµsin 5 4 cos (víi ==≤− ϕϕϕα 52(cos5 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm c, Từ 1 a 3 - 1 a - 2 1 Đặt a - 2 = cos với [0; ] Khi đó: A = 4a 3 - 24a 2 + 45a - 26 = 4 (cos +2) 3 - 24(cos +2) 2 + 45 (cos + 2) - 26 = 4cos 3 - 3cos = cos3 Ví dụ 2: Chứng minh các bất đẳng thức: a, 1 2 x1y 2 y1x ≤−+− b, 2 2 x12x1) 2 (2x3 ≤−+− Giải: a, Điều kiện x 1; y 1 Đặt x = sina, y = sinb với       −∈ 2 ; 2 ππ ba, Khi đó: 2 x1y 2 y1x −+− = sinacosb + sinbcosa = sin(a + b) 1b)sin(a 2 x1y 2 y1x ≤+=−+− (đpcm) b, Điều kiện x 1 Đặt x = cosa với 0 a Khi đó: 2cosasina1)a 2 (cos3 2 x12x1) 2 (2x3 +−=−+− = sin2a) 2 1 cos2a 2 3 2( sin2a cos2a 3 +=+ = ) 6 (cos(2a2 sin2a) 6 sin cos2a 6 2(cos πππ −=+ = 2 ≤−=−+− ) 6 (cos(2a2 2 x12x1) 2 (2x3 π (đpcm) Ví dụ 3: Chứng minh nếu x < 1 và n là số nguyên (n 2) thì ta có BĐT: (1 - x) n + (1 +x) n < 2 n Giải: Với điều kiện bài toán x < 1 đặt x = cosa, a K Khi đó (1 - x) n + (1 +x) n = (1- cosa) n + (1 + cosa) n = n 2 a 2 2cos n 2 a 2 2sin             + = n 2) 2 a 2 cos 2 a 2 (sin n 2 ) 2 a 2n cos 2 a 2n (sin n 2 =+<+ (vì với n 2 sin 2n x < sin 2 x và cos 2n x < cos 2 x) Dạng 2: Biến x, y của biểu thức có điều kiện: x 2 + y 2 = k 2 (k >0) Đặt x = k.cos; y = k.cos; [0; 2] Ví dụ 1: Cho x 2 + y 2 = 1, chứng minh rằng: a, 1 y2 x3 ≤ + b, 1yx 4 1 66 ≤+≤ c, a + b = 2; chứng minh: a 4 + b 4 a 3 + b 3 d, a + b = c. Chứng minh: 4 3 4 3 4 3 cba >+ e, x 2 + y 2 = u 2 + v 2 = 1 Chứng minh: 2v)y(uv)x(u ≤++− Giải: a, Từ điều kiện x 2 + y 2 = 1 Ta đặt x= sin; y = cos ( [0; 2] khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với: -1 ααα α α cos2sin cos sin +≤≤⇔≤ + 3 cos - -21 2 3 (vì 2 + cos >0)      ≥− ≥+ (2) 2 cos sin3 (1) -2 cos sin3 αα αα Ta có: ) cos 2 1 sin 2 3 2( cos sin3 αααα +=+ = ) cos 6 sin 6 2( α π α π + = (1) -2) 6 2sin( ⇒≥+ π α và ) cos 2 1 sin 2 3 2( cos sin3 αααα +=− = (2) ) 6 - 2sin( ⇒≥ π α Vậy 1 y2 x3 ≤ + b, Đặt x = sin; y = cos Khi đó: x 6 + y 6 = sin 6 + cos 6 = (sin 2 + cos 2 ) (sin 4 - sin 2 cos 2 + cos 4 ) = (sin 2 + cos 2 ) 2 - 3sin 2 cos 2 = 1- 4 3 sin 2 2 Vì 0 sin 2 2 1 nên 4 3 1 4 1 −≤ sin 2 2 1 1yx 4 1 66 ≤+≤ (đpcm) c, * Nếu một trong hai số có hai số âm, chẳng hạn b <0 Khi đó a> 2 và ta có a 4 > a 3 ; b 4 > b 3 Vậy a 4 + b 4 > a 3 + b 3 * Giả sử a 0; b 0. Từ điều kiện a + b = 2 Ta đặt a = 2sin 2 ; b = 2cos 2 khi đó: a 4 + b 4 > a 3 + b 3 16sin 8 + 16cos 8 8sin 6 + 8cos 6 8sin 6 (2sin 2 - 1) + 8cos 6 (2cos 2 - 1) 0 8cos2 (cos 6 - sin 6 ) 0 8cos 2 2 (sin 4 + sin 2 cos 2 + cos 4 ) 0 Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng nên ta có đpcm Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos2 = 0 hay sin 2 = cos 2 hay a = b d, Từ giả thiết 1 =+ c b c a Đặt αα 2 cos c b ; 2 sin c a == Khi đó (1) 4 3 4 3 4 3 cba >+ >1 1 4 3 ) 4 3 ) >+ αα 2 (cos 2 (sin 1 2 3 ) 2 3 ) >+ αα (cos(sin (2) Vì 0 < sin < 1 và 0 < cos < 1 nên αα 2 sin(sin > 2 3 ) và αα 2 (cos cos 2 3 ) > do đó 1 2 cos 2 sin 2 3 ) 2 3 ) =+>+ αααα (cos(sin tức là ta có (2) từ đó suy ra đpcm Dạng 3: Sử dụng điều kiện x k (k > 0) Đặt α cos k x = ; [ 0; 2 π ) [ ; 2 3 π ) Khi đó x 2 - k 2 = k 2 ( )1 − α 2 cos 1 = k 2 tg 2 và tg > 0 Ví dụ 1: a, Cho a 1, chứng minh rằng 2 a 31 2 a 2 ≤ +− ≤− b, Cho a 1, b 1 chứng minh rằng ab1 2 b1 2 a ≤−+− c, Cho x, y, x, t là nghiệm hệ        ≥+ =+ =+ 12tyzx 16 2 z 2 t 9 2 y 2 x Chứng minh rằng: (x+z) 5 a, Từ điều kiện a 1 đặt: α cos k a = ; [ 0; 2 π ) [ ; 2 3 π ) Khi đó: A = )3(cos cos 1 2 cos 1 += +− = +− αα α α tg 31 a 31 2 a = 3 cos + sin = 2 ( αα sin 2 1 cos 2 3 + ) = 2 (cos 6 π cos + sin 6 π sin) = 2 cos( - 6 π ) A 2 (đpcm) b, Ta có (1) 1 ab 1 2 b1 2 a ≤ −+− Đặt α cos 1 a = ; β cos 1 b = với , [ 0; 2 π ) [ ; 2 3 π ) Khi đó: A = ab 1 2 b1 2 a −+− = βα βα cos 1 . cos 1 1 2 cos 1 1 2 cos 1 −+− = coscos(tg + tg) = sin( + ) A 1 (đpcm) Dạng 4: Bài toán có biểu thức x 2 + k 2 Đặt x = ktg ( (- 2 π ; 2 π )) x 2 + k 2 = k 2 (1+tg 2 ) = α 2 cos 2 k (cos >0) Ví dụ 1: Chứng minh các biểu thức a, 1 + ab 1 2 b1 2 a ++ . b, 2 1 )1)( 2 1 ≤ + −+ ≤− 22 ba-(1 ab)b)(a(a Giải: a, Đặt a = tg; b = tg với , (- 2 π ; 2 π ) Khi đó: 1 + ab 1 + tgtg = βα ααβα coscos sinsincoscos +++ = βα βα βα coscos 1 coscos )cos( ≤ − = 2 b1 2 a1 2 tg1 2 tg1 ++=++ αα 1 + ab 1 2 b1 2 a ++ . b, Đặt a = tg; b = tg với (- 2 π ; 2 π ) Khi đó: A= βα βαβα 2 tgtg (1 gtg-)(1tg(tg ) 2 b)(1 2 a(1 ab)b)(1(a 2 +++ + = ++ −+ 1() t = cos 2 .cos 2 . )2 2 1 cos ) . cos ) βα βα βα βα βα + = ++ sin(2 c cos( c sin( osos = )2 2 1 βα + sin(2 A 2 1 (đpcm) Ví dụ 2: Chứng minh a, b, c R ta có: 2 c1. 2 b1 c-b 2 b1. 2 a1 ba 2 c1. 2 a1 ca ++ + ++ − ≤ ++ − Đặt a = tg; b = tg, c= tg Biểu thức cần chứng minh: γβ γβ βα βα γα γα cos.cos 1 cos.cos 1 cos.cos 1 tgttgt tgt − + − ≤ − gg g sin( - ) sin( - )+sin( - ) Ta có: sin( - ) = sin([ - ) + (- )] = sin( - ).cos( - ) + sin(- ).cos(-) sin( - ).cos( - )+ sin(- ).cos(-) sin( - )+ sin(- ) Biểu thức cần chứng minh đúng Ví dụ 3: a, b, c R, chứng minh (ab + 1) (bc + 1) (ca + 1) 0 Chứng minh: ca1 a - c . bc1 cb . ab1 ba ca1 a - c bc1 cb ab1 ba ++ − + − = + + + − + + − Đặt a = tg; b = tg; c= tg. Khi đó: VT = αγ αγ γβ γβ βα βα tgtg1 tgtg tgtg1 tgtg tgtg1 tgtg + − + + − + + − = tg( - ) + tg( - ) + tg(+) do ( - ) + ( - ) + (+) = 0 nên tg( - ) + tg( - ) + tg(+) ca1 a - c bc1 cb ab1 ba + + + − + + − = tg( - ) + tg( - ) + tg(+) Dạng 5: Chuyển BĐT về dạng BĐT trong tam giác Ví dụ 1: Cho x, y, z chứng minh:    =++ << 1zxyzxy 1zy,x,0 Chứng minh: 2 33 ≥ − + − + − 2 z1 z 2 y1 y 2 x1 x x,y,z [0,1] và xy + yz + zx = 1 đặtt          = = = 2 2 2 C tgz B tgy A tgx (vì A, B, C là 3 góc ) ta có 1 =++ 2 A tg 2 C tg 2 C tg 2 B tg 2 B tg 2 A tg BTĐ 2 33 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ≥++ − − − C C tg tg B tg B tg A tg A tg tgA + tgB + tgC 33 BĐT này đúng đpcm Bài 1: Chứng minh rằng x e > x + 1 với 0 ≠ x Giải Xét hàm số ( ) xf = x e - 1 - x liên tục và khả vi với mọi 0 ≠ x ( ) xf , = x e - 1 , ( ) 00 = f nếu 0 > x thì ( ) 01 , >−= x exf ⇔ ( ) xf đồng biến ⇔ ( ) xf > ( ) 0f ⇔ x e - 1 - x > 0 ⇔ x e > x + 1 (1) Nếu 0 < x thì ( ) 01 , <−= x exf ⇔ ( ) xf nghịch biến ⇔ ( ) xf > ( ) 0f ⇔ x e -1- x > 0 ⇔ x e > x + 1 (2) Từ (1),(2) ⇒ x e > x + 1 với 0 ≠ x đpcm. Bài 2 : ( ĐH Kiến Trúc Hà Nội ) Chứng minh rằng bất đẳng 2 1 2 x xe x ++> đúng với mọi 0 > x Giải Yêu cầu bài toán ⇔ x ex x −++ 1 2 2 < 0 0 >∀ x Xét ( ) x ex x xf −++= 1 2 2 .Ta có ( ) xf , = x ex −+ 1 , ( ) 01 ,, <−= x exf 0 >∀ x Do đó ( ) xf , nghịch biến trong ( ) +∞∈∀ ;0x ⇔ ( ) xf , < ( ) 0 , f =0 với ( ) +∞∈∀ ;0x ⇒ ( ) xf nghịch biến trong ( ) +∞∈∀ ;0x ⇔ ( ) xf < ( ) 00 = f 0 >∀ x ⇔ x ex x −++ 1 2 2 <0 hay 2 1 2 x xe x ++> với 0 >∀ x đpcm. Bài 3: Chứng minh rằng 6 3 x x − < xx < sin với 0 > x Giải Ta hướng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức ⇔ chứng minh      < −> xx x xx sin 6 sin 3 với 0 > x Ta chứng minh xx < sin với 0 > x Xét ( ) xf = xsin - x , ( ) 00 = f ⇒ ( ) xf , = 1cos − x <0 ⇔ ( ) xf nghịch biến ⇔ ( ) xf < ( ) 0f với 0 > x ⇔ xsin - x <o ⇔ xx < sin (1) Ta chứng minh 6 3 x x − < xsin Xét ( ) 6 sin 3 x xxxf +−= ⇒ ( ) xf , = 2 1cos 2 x x +− = ( ) xg ⇒ ( ) 0sin , >+−= xxxg với mọi x >0 ⇔ ( ) xg đồng biến ⇔ ( ) xg > ( ) 0g =0 với 0 > x hay ( ) xf , >0 với 0 > x ⇔ ( ) xf đồng biến ⇔ ( ) xf > ( ) 0f =0 với 0 > x ⇔ 0 6 sin 3 >+− x xx ⇔ 6 3 x x − < xsin với 0 > x (2) Từ (1),(2) ⇒ 6 3 x x − < xx < sin với 0 > x đpcm. Bài 4: Chứng minh rằng xx tansin 22 + ≥ 1 2 + x với 2 0 π << x Giải áp dụng bất đẳng thức côsi: xx tansin 22 + ≥ xx tansin 2.2.2 = 1 2 tansin 2 tansin 22.2 + ++ = xxxx ⇔ xx tansin 22 + ≥ 1 2 tansin 2 + + xx Yêu cầu bài toán ⇔ Việc chứng minh 1 1 2 tansin 22 + + + ≥ x xx ⇔ 11 2 tansin +≥+ + x xx ⇔ xxx 2tansin ≥+ với 2 0 π << x xét hàm số ( ) xf = xxx 2tansin −+ với 2 0 π << x , ( ) 00 = f ⇒ ( ) xf , = 2 cos 1 cos2 cos 1 cos 2 2 2 −+>−+ x x x x icos ≥ 2. cos 1 .cos.2 2 2 − x x 0 = (vì xx 2 coscos > với 2 0 π << x ) ⇔ ( ) 0 , ≥ xf ⇔ ( ) xf đồng biến ⇔ ( ) xf ( ) 0f > với 2 0 π << x ⇔ ( ) xf = 02tansin >−+ xxx ⇔ xxx 2tansin ≥+ hay xx tansin 22 + ≥ 1 2 + x với 2 0 π << x đpcm. Bài 5: (ĐH Dược ) Với 2 0 π <≤ x , chứng minh rằng 1 2 3 tansin.2 222 + >+ x xx Giải Xét hàm số ( ) 2 3 tan 2 1 sin x xxxf −+= với 2 π <≤ xo Ta có ( ) i x xx x xxf cos 22 , 2 3 cos.2 1 2 cos 2 cos 2 3 cos.2 1 cos ≥−++=−+= 0 2 3 . cos 1 2 cos 2 cos .3 3 2 =− x xx ⇒ ( ) 0 , ≥ xf       ∈∀ 2 ;0 π x ⇔ ( ) xf đồng biến trong khoảng       2 ;0 π ⇔ ( ) xf ≥ ( ) 0f ⇔ 0 2 3 tan 2 1 sin ≥−+ x xx       ∈∀ 2 ;0 π x ⇔ 2 .3 tan 2 1 sin x xx ≥+       ∈∀ 2 ;0 π x . Đẳng thức xảy ra ⇔ 0 = x Mà 2 3 tan 2 1 sin tansin2tansin.2 2.22.222.222 x xx xxxx ≥=≥+ + [...]... 1 Cho n∈ Ζ Bài 7: + chứng minh rằng : x 1 − x < 2ne với mọi x ∈ ( 0;1) n Giải Hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức tương tương với chứng minh bất đẳng thức x 2n 1 < 2ne (1 − x ) 1 x 2 n 2 n (1 − x ) < e ⇔ với mọi x ∈ ( 0;1) (1) ta có x 2 n 2 n (1 − x ) = từ x    xx   xx.x (1) và ( 2) 2n  2nx + ( 2n − 2nx )    2n + 1   cos i (2n − 2nx ) ≤  2n    ta sẽ chứng minh  2n + 1... y y z z x + + x y ≥ x2 + y2 + z2 Cho x ≥ y ≥ z>0 chứng minh z Bài 10: Giải x y + z y + x z ≥ x2 + y2 + z2 x y.z 3 Bất đẳng thức ⇔ 2 2 3 2 3 ⇔  x3 z2 z3 x2 x z  x2 z2 x 3 y 2 + z 2 y 3 + x 2 z 3 2 2 2 + 2 + 3 2 ≥  2 + 2 + 1 ≥ xz ( x + y + z ) 3  y y y y y y y y   ⇔ y x z đặt u= y , v = y ta có u ≥ 1 ≥ v > 0 3 2 2 3 2 2 nên bất đẳng thức có dạng u + v + u v ≥ u.v ( u + v + 1) ( ) u 3... a Bài 4: Cho x > 1 và α > 1 chứng minh rằng x − 1 > α ( x − 1) Xét hàm số f ( t ) = t Giải: a Theo định lý lagrange thì tồn tại c ∈ (1; x ) , α −1 ⇔ f ( c ) = α c ⇒ x a − 1 > α ( x − 1) xα −1 − 1 = x −1 ⇔ ⇔ , = a −1 1 ≤ t ≤ x ta có( x )f−( tf) (1) α t f f , ( c) = x −1 thoả mãn với x a − 1 = ( x − 1)α c n−1 ( vì α ( x − 1) > 0 ) ⇔ α ( x − 1).c a −1 > α ( x − 1) bất đẳng thức đúng với c>1 và α -1 >0... (1),(2) (2) 2 x− Chứng minh rằng ,với mọi x > 0 2 x < 2 x x +1 0 Giải Do x > 0 nên x− 2 x < 2 x x +1 0 1 1 − 2  x −1 2 0 1 1− 2 x +1 ∀x > 0 Vì x > 0 nên x + 1 > 1 ⇒ g( x ) = x +1      1 Ta chứng minh 1... n − a n = n.c ( b − a ) n −1 n n n −1 ⇔ na ( b − a ) < b - a < nb ( b − a ) n.a n −1 ( b − a ) < n.c n −1 ( b − a ) < n.b n −1 ( b − a ) ( vì n( b − a ) > 0 ) Bất đẳng thức đúng vì o 0 Hay z đpcm Bài 11: x2 x− < ln (1 + x ) < x 2 với mọi x > 0 Chứng minh Giải x− Ta chứng minh 2 x < ln(1 + x ) ∀x > 0 2 x2 1 x2 ,x >0 −1+ x = > 0, x > 0 , 2 1+ x Xét f ( x ) = , f ( x) = 1 + x Suy ra f ( x ) đồng biến với mọi x > 0 x2 x2 ln (1 + x ) − x + >0 x− < ln(1 + x ) ⇔ 2 2 ,x >0 ⇔ với mọi x > 0 (1) Ta chứng minh ln (1 + x ) < x, x > 0 ln(1 + x ) − x + Đặt g ( x ) = x − ln (1 +... đồng biến trên với 5 f ( b ) với 0 x ln1 +  x  với x>0  1+ x   ( x ) = x ln1 + 1    x  = x[ ln ( x +... a ) < f đpcm với 0 < a < b < a + 1 thì ( a + 1) ( a + 1) + 2.b a a 3 + 2.b 3 < b< 3 3 2.a + b 2.( a + 1) + b f ( x) =  3 ∀α ∈  0;   4 1 >3 α2 3 Chứng minh rằng ( ) ≥0 với 0 < a < x < a + 1 ] đpcm ( Đề thi thử ĐH Quảng Xương I) Cho 0 b sin b + 2 cos b Yêu cầu bài toán Xét hàm số f ( x ) = x sin x + 2 cos . + Ζ∈ chứng minh rằng : xx n − 1 < ne2 1 với mọi ( ) 1;0 ∈ x Giải Hướng dẫn học sinh chứng minh bất đẳng thức tương tương với chứng minh bất đẳng thức. >∀ x đpcm. Bài 3: Chứng minh rằng 6 3 x x − < xx < sin với 0 > x Giải Ta hướng dẫn cho học sinh chứng minh bất đẳng thức ⇔ chứng minh    