Bất đẳng thức và chứng minh bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. ÔN TẬP. 1.Định nghĩa bất đẳng thức: - Cho 2 số thực a , b . Các mệnh đề a > b ; a < b ; a ≥ b ; a ≤ b được gọi là những bất đẳng thức. - Ví dụ: 2 0; .a a b≥ > 2. Tính chất và hệ quả: Tính chất 1: Tính chất 5: Tính chất 2: Tính chất 6: Tính chất 3: Tính chất 7: Tính chất 4: Tính chất 8: Hệ quả: Tính chất 1: a b a c b c >  ⇒ >  >  Tính chất 2: a b a c b c> ⇔ + > + Tính chất 3: • Nếu c>0 thì a>b khi và chỉ khi ac>bc • Nếu c<0 thì a>b khi và chỉ khi ac<bc Tính chất 4: ;a b c d a c b d> > ⇒ + > + Hệ quả: a c b a b c+ > ⇔ > − Tính chất 5: 0; 0a b c d ac bd> ≥ > ≥ ⇒ > Tính chất 6: * 0; n n a b n N a b> ≥ ∈ ⇒ > [...]... 3 3 abc (đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c) và 1 1 1 3 1 + + ≥3 1 1 1 a b c abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = = ) a b c • Do đó: 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ 9 a b c • Đẳng thức xảy ra khi:  a = b = c  1 1 1 a = b = c  • Vậy đẳng thức xảy ra khi a=b=c.(Đpcm) BÀI TẬP VỀ NHÀ D Bài 1:Cho hình vẽ: C B O A H Với AH=a, BH=b.Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa... suy ra điều phải chứng minh Tiết 41: Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức Cô si II Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 1.Định nghĩa giá trị tuyệt đối: a; a ≥ 0 a = − a; a < 0 2 Tính chất: * − a ≤ a ≤ a , ∀a ∈ R * x < a ⇔ − a < x < a (a > 0)  x < −a *x >a⇔ (a > 0) x > a Bất đẳng thức viết dưới dạng kép: * a − b ≤ a+b ≤ a + b Chứng minh: • Ta có: a + b ≤ a + b (*) • Thật vậy (*)... cho 2 số a+b và –b ta có: a = a + b − b ≤ a + b + −b ⇔ a − b ≤ a+b • Tóm lại: a − b ≤ a+b ≤ a + b III Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân 1 Đối với 2 số không âm: • Định lý: a+b a ≥ 0; b ≥ 0; ≥ ab 2 Dấu “=” xảy ra khi ( a − b ) = 0 tức là a = b 2 Chứng minh: • Với ta có: a ≥ 0; b ≥ 0 a+b 1 1 − ab = (a + b − 2 ab ) = ( a − b ) 2 ≥ 0 2 2 2 • Do đó: a+b ≥ ab 2 • Dấu đẳng thức xảy ra khi... nhỏ nhất 2 Đối với 3 số không âm • Với mọi a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0 , ta có: a+b+c 3 ≥ abc 3 • Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c 3.Bài tập áp dụng: • Bài1 :Chứng minh nếu a,b,c là 3 số dương bất kì thì: a + b b + c a + c + + ≥6 c a b • Bài 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 3 với x>0 f ( x) = x + x • Bài 3 :Chứng minh rằng nếu a, b, c là 3 số dương thì: 1 1 1 (a + b + c)( + + ) ≥ 9 a b c Giải • BT1: a+b... chất 8: a>b≥0⇔ a > b 3 Áp dụng: Bài tập: • 1 Không dùng bảng số hoặc máy tính,hãy so sánh hai số : 2 + và 3 3 • 2 Chứng minh rằng : x 2 > 2( x − 1) • 3 Chứng minh nếu a, b , c là ba cạnh của một tam giác thì : ( b + c - a)( c + a - b)( a + b - c) ≤ abc Giải bài tập 1: • Giả sử 2 + 3 ≤ 3 Do 2 vế của đẳng thức đều dương nên : 2 + 3 ≤ 3 ⇔ ( 2 + 3) ≤ 9 ⇔ 5 + 2 6 ≤ 9 2 ⇔2 6 ≤4⇔ 6 ≤2⇔6≤4 • Vậy: 2+ 3 >3 Giải... các bất đẳng thức hiển nhiên sau: a ≥ a − (b − c) = (a − b + c)(a + b − c ) 2 2 2 b ≥ b − (c − a ) = (b − c + a )(b + c − a ) 2 2 2 c 2 ≥ c 2 − ( a − b) 2 = (c − a + b)(c + a − b) hi • Do a,b,c là độ dài tam giác nên tất cả các vế của các BĐt đều dương.Nhân vế với vế của 3 BDDT trên ta được: a b c ≥ (b + c − a ) (a + b − c) 2 2 2 2 2 • Lấy căn bậc 2 hai vế suy ra điều phải chứng minh Tiết 41: Bất đẳng. .. AH=a, BH=b.Hãy tính các đoạn OD và HC theo a và b Từ đó suy ra bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân Bài 2: Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 CM: 1 17 ab + ab ≥ 4 Bài 3: Cho a, b > 0 thỏa mãn a + b = 1 CMR: 1 1 a (1 + )(1 + ) ≥ 9 a b b 1 1 (1 + 2 )(1 + 2 ) ≥ 25 a b Hướng dẫn: sử dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số không âm Xin cảm ơn ! Tâm ... ) 2 ≥ 0 2 2 2 • Do đó: a+b ≥ ab 2 • Dấu đẳng thức xảy ra khi là:a=b ( a − b )2 = 0 tức Hệ quả và ứng dụng • Hệ quả: - Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương thay đổi nhưng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi 2 số đó bằng nhau Ứng dụng: • Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình . BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC I. ÔN TẬP. 1.Định nghĩa bất đẳng thức: - Cho 2 số thực a , b . Các mệnh. )a b c b c a a b c≥ + − + − hi Tiết 41: Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối và bất đẳng thức Cô si II. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. 1.Định nghĩa