bất đẳng thức 2009(hot)

BẤT ĐẲNG THỨC I. Khái niệm bất đẳng thức. 1. Đònh nghóa 1: Số thực a gọi là lớn hơn số thực b, ký hiệu a > b. + Nếu a – b là một số dương, tức là a – b > 0. Khi đó ta cũng ký hiệu b < a Ta có: 0a b a b > ⇔ − > + Nếu a > b hoặc a = b, ta viết ba ≥ . Ta có: 0b-a ≥⇔≥ ba 2. Đònh nghóa 2: Giả sử A, B là hai biểu thức bằng số Mệnh đề : " A lớn hơn B ", ký hiệu : A > B " A nhỏ hơn B ", ký hiệu :A < B " A lớn hơn hay bằng B " ký hiệu A B ≥ " A nhỏ hơn hay bằng B " ký hiệu A B ≤ được gọi là một bất đẳng thức Quy ước : + Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. + Chứng minh một bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng II. Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức : 1. Tính chất 1: a b a c b c >  ⇒ >  >  2. Tính chất 2: a b a c b c > ⇔ + > + Hệ quả 1: a b a c b c > ⇔ − > − Hệ quả 2: a c b a b c + > ⇔ > − 3. Tính chất 3: a b a c b d c d >  ⇒ + > +  >  4. Tính chất 4: nếu c > 0 nếu c < 0 ac bc a b ac bc >  > ⇔  <  Hệ quả 3: a b a b > ⇔ − < − Hệ quả 4: nếu c > 0 nếu c < 0 a b c c a b a b c c  >   > ⇔   <   5. Tính chất 5: 0 0 a b ac bd c d > >  ⇒ >  > >  6. Tính chất 6: 1 1 0 0a b a b > > ⇔ < < 7. Tính chất 7: nn baNnba >⇒∈>> * ,0 1 8. Tính chất 8: n baNnba >⇒∈>> n * ,0 Hệ quả 5: 2 2 a b 0 a b> > Û > và 2 2 a b 0 a b³ ³ Û ³ IV. Bất đẳng thức liên quan đến giá trò tuyệt đối : 1. Đònh nghóa: nếu x 0 ( x ) nếu x < 0 ≥  = ∈  −  x x R x 2. Tính chất : 2 2 0 , x , x x , -x xx x ≥ = ≤ ≤ 3. Với mọi Rba ∈ , ta có : a b a b + ≤ + a b a b − ≤ + . 0a b a b a b + = + ⇔ ≥ . 0a b a b a b − = + ⇔ ≤ V. Bất đẳng thức trong tam giác : Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a > 0, b > 0, c > 0. Ta có: + b c a b c − < < + + c a b c a − < < + + a b c a b − < < + + a b c A B C > > ⇔ > > VI. Các bất đẳng thức cơ bản : a. Bất đẳng thức Cauchy: Với hai số không âm a; b ta có : 2 a b ab + ≥ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a = b Tổng quát : Với n số không âm a 1 ,a 2 , .a n ta có 1 2 1 2 . . . n n n a a a a a a n + + + ≥ Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a 1 = a 2 = .= a n b. Bất đẳng thức Bunhiacốpski : Với bốn số thực a,b,x,y ta có : 2 2 2 2 2 ( ) ( )( )ax by a b x y+ ≤ + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx Tổng quát : Với hai bộ số 1 2 ( , , . ) n a a a và 1 2 ( , , ., ) n b b b ta có : 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( . ) ( . )( . ) n n n n a b a b a b a a a b b b + + + ≤ + + + + + + Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi 1 2 1 2 . n n a a a b b b = = = Với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng 0 Phương pháp chứng minh bất đẳng thức thông dụng 1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức đã biết rằng đúng . Ví du1ï: Chứng minh các bất đẳng thức sau: 1. 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + với mọi số thực a,b,c 2. 2 2 1a b ab a b + + ≥ + + với mọi a,b Ví dụ 2: 2 Cho hai số a,b thỏa điều kiện a+b 0 ≥ , chứng tỏ rằng: 3 3 3 ( ) 2 2 a b a b+ + ≥ 2. Phương pháp 2: Phương pháp tổng hợp Xuất phát từ các bất đẳng thức đúng đã biết dùng suy luận toán học để suy ra điều phải chứng minh. Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 2 2 2 2( )+ + < + +a b c ab bc ca Ví dụ 2: Cho ba số a,b,c )1,0( ∈ . Chứng minh rằng : 1)1()1()1( <−+−+− accbba Ví dụ 3: Cho x,y,z là các số dương. Chứng minh rằng: zxyzxyzyx 53423 ++≥++ Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi mọi x,y dương ta có: )(2 11 22 yx yx yx +≥+++ Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh a,b,c, chứng minh : 0)2()2()2( ≥−++−++−+ baccaacbbccbaab Ví dụ6: Chứng minh rằng với mọi số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1=++ cba thì: ) 333 (3 3 1 3 1 3 1 cbacba cba ++≥++ Ví dụ 7: Cho a,b,c >0 và abc=1. Chứng minh rằng : 3 b c c a a b a b c a b c + + + + + ≥ + + + 3. Phương pháp 3: Sử dụng đạo hàm xét các tính chất của hàm số Ví dụ 1: Chứng minh bất đẳng thức: sinx < x với mọi x > 0 Ví dụ 2: Chứng minh bất đẳng thức: 2 1cos 2 x x −> với mọi x > 0 Ví dụ 3 : Chứng minh bất đẳng thức: xtgxx 2sin >+ với mọi ) 2 ;0( π ∈ x Ví dụ 4 : Với 2 0 π << x , chứng minh 1 2 3 sin2 222 + >+ x tgxx 4. Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vectơ và tọa độ VD1. Cho a > c, b > c > 0. Chứng minh rằng c(a c) c(b c) ab- + - £ VD2. (K.A.2003) Cho x, y, z là ba số dương và x + y +z 1£ . Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 1 1 1 x y y 82 x y y + + + + + ³ BÀI TẬP LÀM THÊM Bài 1: Cho các số dương x,y,z thỏa mãn xyz=1. Chứng minh rằng 33 1 11 33 3333 ≥ ++ + ++ + ++ zx xz yz zy xy yx Khi đẳng thức xảy ra? Bài 2: Chứng minh rằng với mọi x R ∈ , ta có: xxx xxx 543 3 20 4 15 5 12 ++≥       +       +       3 Khi nào đẳng thức xảy ra? Bài 3: Cho x,y,z là các số dương thỏa mãn 4 111 =++ zyx . Chứng minh rằng : 1 2 1 2 1 2 1 ≤ ++ + ++ + ++ zyxzyxzyx Bài 4: Với a,b,c là ba số thực dương thỏa mãn đẳng thức abccabcab =++ , chứng minh rằng: 3 222 222222 ≥ + + + + + ca ca bc bc ab ab 4 . một bất đẳng thức Quy ước : + Khi nói về một bất đẳng thức mà không chỉ rõ gì hơn thì ta hiểu rằng đó là một bất đẳng thức đúng. + Chứng minh một bất đẳng. minh bất đẳng thức thông dụng 1. Phương pháp 1: Phương pháp biến đổi tương đương Biến đổi tương đương bất đẳng thức cần chứng minh đến một bất đẳng thức