Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biếnThs.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng Ví dụ 1.. Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi Ví dụ 1.. Chú ý : BĐT trê
Trang 1Bất đẳng thức và cực trị của hàm đa biến
Ths.Phạm Huy Tân - Trờng THPT Lơng Tài
I/ Phơng pháp biến đổi tơng đơng
Ví dụ 1 Cho ab ≥1 Chứng minh:
Bài tập áp dụng:
1 Cho a, b, c ≥1 Chứng minh
2 Cho a, b, c, d, e ≥1 Chứng minh
Ví dụ 2 Cho a, b > 0, m và n là hai số nguyên dơng Chứng minh:
1 (am + bm)(an + bn) ≤ 2(am+n + bm+n)
2 ambn + anbm ≤ am+n + bm+n
Giải: Cả hai BĐT trên cùng tơng đơng với BĐT : (an-bn)(am-bm) ≥0 (đúng)
Bài tập áp dụng: Cho a, b, c dơng Chứng minh:
1) (a + b)(a2 + b2)(a3 + b3) ≤ 4(a6+ b6)
2) với mọi n nguyên dơng
3)
4) với abc =1
Ví dụ 3 Với mọi số thực a, b, c Chứng minh: a2+ b2+ c2 ≥ab + bc + ca
Giải: Đpcm tơng đơng với (a - b)2+(b - c)2 + (c - a)2 ≥ 0 (đúng)
Bài tập áp dụng: Với mọi số thực a,b,c dơng chứng minh:
1) a4 + b4 + c4 ≥ abc(a + b + c)
2) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c)
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 1
ab b
2 1
1 1
1
2 2
0 ) 1 ( )
a b ab
abc c
b
3 1
1 1
1 1
1
3 3
3
abcde e
d c
b
5 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1
5 5
5 5
5
5
1 , 4
1 , 3
1 , 2
1
a
abcd d
c b
4 25
1
1 16
1
1 9
1
1 4
1
1
2 2
2 2
2 2
n n n
b a b
abc abc a c abc c b abc b
a
1 1
1 1
3 3
1
5 5 5
5 5
ac bc
c b
bc ab
b
a
ab
Trang 2Bài tập tự luyện
1) Cho a≥b>0, c≥ Chứng minh:
2) Cho a, b, c dơng Chứng minh:
a)
b)
II Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Côsi
Ví dụ 1 CMR: với mọi x1,x2,…,x,xn dơng
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có
Đpcm Đẳng thức xảy ra khi x1= x2 =…,x= xn.
Bài tập áp dụng:
1) Với mọi a,b,c dơng, chứng minh:
2) Với mọi tam giác ABC, chứng minh:
Chú ý : Ta xem ví dụ 1 nh một kết quả đợc áp dụng cho các ví dụ ở phần sau.
Ví dụ 2: Cho a, b, c dơng Chứng minh:
1)
2)
Giải:
1)
Chú ý : Có thể sử dụng BĐT Bunhia để chứng minh BĐT trên.
2) áp dụng BĐT Côsi ta có Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh
thế Cộng vế với vế các BĐT đó lại ta đợc Đpcm
Chú ý : BĐT trên có thể chứng minh bằng cách sử dụng BĐT Bunhia hoặc có thể
sử dụng kết quả của BĐT 1)
Bài tập áp dụng :
1) Với mọi a, b, c dơng chứng minh:
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 2
4
2
a c b c b
a
c b a b c a c
ab c
b a b
ac c
a b a
bc
2
1 2
1 2
1
2 2 2 2 2
b c a c
ab c
b a b
ac c
a b a
bc
2 2 2 2 2 2
2
3
3 3
3 3
3
3 3
3
3
c a
c
b c
b a
2
) (
) )(
(ax by ab xy
3 3
( ) )(
)(
(ax by cz abc xyz
VP xy
ab xy
aybx ab
xy bx ay ab
VT ( ) 2 ( )2
VP xyz
abc
xyz xyz
abc xyz
abc abc
xyz cxy
bzx ayz acy
bcx abz abc
VT
3 3 3
) (
) ( 3 )
( 3 )
( ) (
) 1 )(
1 )(
1
2 sin
1 1 2 sin
1 1 2
sin
1
1
C B
A
P
2 1
1 1
1 1
1
1
xyz
3 2
2
3 2
2
3 2
2
a ca c
c c
bc b
b b
ab a
2 2
1 2
1 )(1 1 1 )
x x
x x x
x
n
n
n
n n x x x x
x
x1 2 1 2
n
n
n n x x x x
x
1 1
1
1
2 1 2
1
c b a c b a c b a c b
1 4
1 4
1 2
1 2
1 2
1
c b a c p b p a p
2 2 2 1 1
1
2
3
c a c
b c
b
a
2
2 2
b a
c a c
b c
b
2
3 2
9 1
1 1
) ( ) ( 2
1
) 1 (
) 1 (
) 1 (
3
VT a
c c b b a c a c b b a
b a
c a
c
b c
b
a VT
ab
2 2 2
b c a
c
a c
3
2 2 2
b ab
a
Trang 32) Cho a, b, c dơng và abc = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
3) Với mọi tam giác ABC chứng minh
Ví dụ 3:
1) Với mọi a, b, x, y dơng chứng minh
2) Với mọi a, b, c, x, y, z dơng chứng minh
Giải:
1)
2)
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y,z dơng và xyz =8 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Ví dụ 4 : Cho x, y, z dơng và Chứng minh
Giải: Từ giả thiết và áp dụng BĐT Côsi ta có:
Ta cũng có thêm 2BĐT tơng tự nh thế Nhân vế với vế các BĐT đó và thu
gọn ta đợc Đpcm.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và
Chứng minh
Ví dụ 5 : Cho x, y dơng, Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : áp dụng Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy minS = 5
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 3
) 1 )(
1 (
2 1
1 1
1 1 1
1 1 1
1
z y
yz z
z y
y z y
3 1
1 1
1 1
1 1
1
81
1
xyzt
4
5
y x
y x
S
4
1 4
4 1 4 4
25 4
1 1 1 1 1
y x y x y
x x x x y x x x
x
4 1
y x
1
1 1
1 1
1
z y x
P
Trang 4Ví dụ 6 : Cho x, y, z dơng và x+y+z = 1 Tìm min của
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x,y, z dơng và x+y+z = 1 Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 7 : Cho x,y,z dơng và x+y+z = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Giải : áp dụng BĐT Côsi ta có : Ta cũng có 2 BĐT tơng tự
nh vậy Công các BĐT đó lại ta đợc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z = 2 Vậy minA = 6
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và x+y+z = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 8 : Cho x, y, z dơng Chứng minh:
Giải: áp dụng BĐT Côsi ta có: Ta cũng có 2BĐT tơng tự nh thế Cộng vế với vế các đẳng thức ta đợc Đpcm
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z dơng và xyz = 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Cho x, y, z dơng và xy + yz + zx = xyz Chứng minh :
Ví dụ 9 : Cho x, y, z dơng và 4x + 4y + 4z = 3 Tìm giá trị lớn nhất của
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 4
4
9 3
9 9
1
1 1
1 1
1 1 1
z y x
P z
y x z y
x
3
1
y z x
4
9 min P
1 1
1
z
z y
y x
x Q
y x
z x z
y z y
x A
3 3
3
x z
y z y
x
3 2 2
3
6
A
y x
z x z
y z y
x B
4 4
4
y x
z x z
y z y
x C
2 2
2
4 )
)(
( ) )(
( ) )(
(
3 3
y z x z
z x
y z y
y z
x y x
4
3 8 8
) )(
(
z x y x
x
) )(
( ) )(
( ) )(
(
3 3
3
y z x z
z x
y z y
y z
x y x
x P
4
2 2
xy z
z zx y
y yz x
3 3
3 3x y 3y z 3z x
3
1 1 3
1 1 ).
3 (
y x y
x
4
1 z
y
x
4 4
4 4x y 4y z 4z x
4
y
3
4
4 3
y
y x
x
2
9 2
4 4
4 2 3 1 4
2 2 4 4
2 1
y x
x y x y y y x
x
A
2
9 min A
18 10 6 3
2
y x y x
Trang 5Giải : áp dụng Côsi ta có :
Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế Cộng các phân thức đó lại ta đợc A≤3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy maxA = 3
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z, t dơng và 5x+5y+5z +5t= 4 Tìm giá trị lớn
nhất của
Ví dụ 10 : Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = 2 Vậy
Bài tập áp dụng : Cho x, y dơng và x + y ≥ 4 Chứng minh:
Ví dụ 11 : Cho x, y, z dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Cách 1 :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy
Cách 2:
Chú ý: Học sinh dễ bị sai lầm tìm ra minP = 6 ?!
Bài tập áp dụng:
1) Cho x, y dơng và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Xác định các góc của tam giác ABC để biểu thức sau nhỏ nhất
Ví dụ 12 : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 2 Vậy minB = 24
Bài tập áp dụng
1) Cho x, y , z dơng và x + y + z = 6 Tìm giá trị nhỏ nhất của
2) Với mọi tam giác ABC tìm giá trị nhỏ nhất của
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 5
2
3
y z x
z y x z y x
P 1 1 1
2
15 2
9 4 4 4 3
1 4 1 4 1
z
z y
y x
x P
2
1 z
y
x
2
15 minP
2
15 2
3 3 6 2 ) (
3 9
) (
4 9
1 1 1
z y x z y x z y x z y x z y x z
y
x
xy xy
Q 1
C B
A C
B A M
sin
1 sin
1 sin
1 sin
sin
3 3
3 y z x
24
72 ) (
12 8 3 8 3 8 3 ) 8 8 ( ) 8 8 ( ) 8 8 (
B
z y x z
y x
z y
x
B
6 6
x
2
sin 2
sin 2 sin 6 A 6 B 6 C
3 3 3 3 5
2 5
2 5
2 5
d c b a a
d d
c c
b b
a
3 3 5
2 3
3 3 5
2 5
2 5
a b b
a b
a a b
a b
a b
a
4 4 4 4 7
3 7
3 7
3
7
d c b a a
d d
c c
b
b
a
Trang 6Ví dụ 13 : Cho a, b, c, d dơng Chứng minh:
Giải:
vậy Cộng các BĐT đó lại ta đợc Đpcm
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c, d dơng Chứng minh
1)
2)
Ví dụ 14 : Cho x, y , z dơng tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải :
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 Vậy
Lời bình: Còn có thể tìm đợc 5 cách giải khác sử dụng BĐT Côsi Mời bạn thử
sức!
Ví dụ 15 : Cho a, b,c là các số thực dơng thoả mãn điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 Chứng minh rằng a+ b + c ≤ 3
Giải:
Cách 1: Đây là một BĐT có điều kiện Một trong những phơng pháp xử lí những
bài toán này là khử điều kiện ngay từ đầu Coi điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 nh
ph-ơng trình bậc hai theo a, ta đợc
Một cách tự nhiên, áp dụng BĐT Côsi cho căn thức trong biểu thức trên, ta
có đánh giá
Từ đó
Cách 2: Đặt , ta có
4 = a2+ b2 + c2+ abc
= a2 + 2t2 + at2+(b2+ c2- 2t2) + a(bc - t2)
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 6
xy
z z zx
y y yz
x x
2
1 2
1 2
z
z y
y x
x xyz
zx yz xy z y x xyz
z y x z y
x
2
1 2
1 2 2
2
2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
9 2
3 2
1 2
1 2
1 2
2 2
x x
x x x
2
9 min P
2
) 4 )(
4 ( b2 c2
bc
4
) ( 8 2
2
4
4
2
2 2
c b
c b
bc
3 4
12 4
) 2 (
12 4
) ( 4 ) (
c b a
2
c b
t
2 2
2 2
4
) )(
2 (
2t at a b c a a t
a
t2 2
3 2 1 ) 2 (
1
2 2 2 2 3
5 3
5 3
5
3
5
d c b a a
d d
c c
b
b
a
Trang 7=
Từ đây suy ra sẽ có đánh giá
Cách 3 : Từ điều kiện a2+b2+c2+abc = 4 ta suy ra Từ đó áp dụng BĐT Côsi cho các số 2 – a, 2 – b, 2 – c ta có
Từ đó suy ra
Cách 4 : Cũng do điều kiện đã gợi chúng ta đi đến phép thế lợng giác Rõ ràng có thể đặt a= 2cosA và b =2 cosB, c = 2 cosC, với A, B là các góc nhọn Khi đó, tính c theo a, b, ta đợc
Vậy c = 2cos C với Nh thế điều kiện a2 + b2 + c2 +abc = 4 đã đợc tham số hoá thành a = 2 cosA, b= 2cosB, c= 2cosC với , A, B, C> 0 Yêu cầu của bài toán trở thành bất đẳng thức quen thuộc trong tam giác:
Đó là một lời giải ngắn gọn cho bất đẳng thức
Bài tập áp dụng: Cho x, y, z dơng và x2+ y2 + z2 + 2xyz = 1 Chứng minh
Bài tập tự luyện
1) Cho x, y dơng Chứng minh:
2) Cho x > y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của
3) Cho x, y, z dơng Tìm giá trị nhỏ nhất của
4) Cho x, y không âm và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của
5) Cho x, y dơng và x + y < 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 7
(0;2) c
b,
a,
(0;2) c
b,
a,
B C
A
2
y x
y x
) (
1
y x xy x A
x
z z
y y
x x
z z
y y
x A
1
x
y y
x A
0 ) 36 12 )(
3 (
) 6 ( ) 4 4 ( 27
) 6
( ) 4 )
( 2 ) (
4 8 ( 27
) 6
( ) ) (
2 ) (
4 8 ( 27
) 2 2 2 ( ) 2 )(
2 )(
2
(
27
2
3 2
3 2
2 2
3 3
s s s
s s
s
c b a c
b a ca bc ab c
b a
c b a abc
ca bc ab c
b a
c b a c
b a
3
s
) cos(
2 ) cos(
2 2
sin sin 4 cos cos 4 2
) 4 )(
4
B A B
A B
A B
A b
a ab
B C
A
2
3 cos cos
P
2
3 2
1 2 sin 2 2
3 2 sin 2 1 2 sin 2 2 sin 2 1 2
cos 2
cos
2
2 2
P
2
3
y z
x
y x y x y
y x
x A
1 1
2 2
1
0 yx
4
1
y x y x
2
2 2
3 2
2
3 2
2
a c
c c
b
b b
a
) (
2 8 ) (
2 2
b a b
a a
b b
a
)
)(
( )
1 2 2
1
2 1
n
n
a
b a
b
1 1
3
1
A
3
1 z
y
x
3
1 minA
9
1
minB
27
1
minC
2 2
1 1
y
y x
x M
2
25 4
1 2
1 1
1 1 2
1 1
1 2
y x y
x y
y x x M
a
a
Trang 87) Cho x, y dơng và x + y = 5 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức
a) A= x2y
b) B = x4y3
8) Cho a, b, c là các số dơng Chứng minh rằng
9) Cho a, b là các số dơng Chứng minh rằng
III Phơng pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia
Nội dung:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Ví dụ 1: Cho x + y+ z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
a) A= x2 + y2 + z2
b) B= x4 + y4 + z4
c) C = x8 + y8 + z8
Giải :
a) 3A = 3(x2 + y2 + z2 )≥ (x + y+z)2 = 1 Đẳng thức xảy ra khi
Vậy
b)
c)
Ví dụ 2 : Cho x, y dơng và x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Giải : Ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy
Chú ý : Có thể chỉ sử dụng BĐT Cô si để chứng minh BĐT trên.
Bài tập áp dụng : Cho x, y, z dơng và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ví dụ 3 : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc Chứng minh:
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 8
2
1
y x
2
25 minM
2 2 2 2 2
z y x z y x
3 2
2
ca
a c bc
c b ab
b a
ab
b a ab
b a a ab
b a
3
2
ac
a c bc
c b ab
b a
P 3 2 4 2 3 24 2 3 24 2
1 2 2
2
c a c
b c b a
1 ) (
3
) (
3 ) (
3
) (
) (
3 )
2 (
) 2 ( 2 )
(
2
2 2
ac bc ab
ca bc ab ac
bc ab
c b a
VT
ca bc ab VT ac
ab VT c
b a c b
a c
b
a
q p qb pa
c qa pc
b qc pb
a
3
y y x x
y x z x x z z
x z y z z y y
z y x P
2
) ( 2
) ( 2
)
2
6
b b c c a a
p c p b p a p
Trang 9Giải: Ta có Ta cũng có 2 BĐT tơng tự nh thế Cộng các BĐT đó và sử dụng giả thiết ta đợc Đpcm
Bài tập áp dụng : Cho a, b, c dơng và ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhỏ nhất
của
Ví dụ 4 : Cho a, b, c dơng Chứng minh:
Giải: Ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Bài tập áp dụng:
1) Cho a, b, c, p, q dơng Chứng minh:
2) Cho x, y, z dơng và xyz = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của
Bài tập tự luyện
1) Cho a, b, c dơng và a + b + c = 1 Chứng minh
2) Với mọi tam giác ABC chứng minh
3) Cho x, y dơng và Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x+ y
4) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của S = x+ y biết 2x(x – 1) + 2y(y-1) ≤3 5) Cho x, y, z dơng Chứng minh
6) Cho a > c > 0, b > c Chứng minh:
7) Gọi x0 là nghiệm của phơng trình x2 + ax + b = 0 Chứng minh
9) Giải phơng trình
10) Với mọi tam giác ABC Chứng minh
a)
b)
IV Phơng pháp hàm số và các phơng pháp khác
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 9
1 1 2
y x
2
2 2
y x
z x z
y z y
ab c
b c c a
c( ) ( )
2 2 2
x
2 2
2
11 6 4
x
3 4
2 2
2 4
4
27
7
2
yz zx xyz xy
3
1
0
x
3
1
; 0
27
7 f(x)
27
7 2
27
1 8
) (
4 ) (
2 1 27
1 ) 2 1 )(
2 1
)(
2
1
(
xyz zx
yz
xy
xyz zx
yz xy z
y x z
y x
Trang 10Ví dụ 1: Cho x, y, z dơng và x + y + z = 1 Chứng minh
Giải :
Cách 1 :
Lập bảng biến thiên của f(x) trên nửa khoảng ta đợc
Cách 2 :
Do (1-2x)+(1-2y)+(1-2z)=1> 0 nên trong ba số 1-2x, 1-2y, 1-2z phải có ít nhất một số dơng Nếu cả ba số đó đều dơng, áp dụng BĐT Côsi ta có :
Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong các trờng hợp còn lại !?
Bài tập áp dụng :
1) Cho x, y, z không âm và x + y + z = 1 Chứng minh
2) Cho x, y, z không âm và x + y + z =3 Chứng minh x2 + y2 + z2 +xyz ≥4
Ví dụ 2 : Cho x,y khác không và Tìm giá trị lớn nhất của
1) 2)
Giải :
Lập bảng biến thiên của f(t) ta đợc Vậy maxA = 4
Vậy maxB =16
Bài tập áp dụng : Cho Tìm giá trị lớn nhất của
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của
Ths Phạm Huy Tân – Trờng THPT Lơng Tài 10
4 1 2
) 2 1 ( 2 ) ( ) 2 1 ( ) ( ) 2
2
x f x
x x
z y z y x x yz z y x xyz yz xz xy
1 3
0 xyyzzx xyz
2 2
) (x y xyx y
y x
A11
3 3
1 1
y x
B
).
1 ( 1
1 ,
) 1 (
2
t
t t x t
t
t t y
) ( 1
1 2 1
1
2
2
t f t
t
t t y
x
16 )
(
) ( )
(
)(
( 1
3
2 3
) 2 2
3
xy
xy y x xy
y xy x y x y x
B
xy y x xy y
x2 2 2 2
y x
A21 2
) 1 ( )
1 ( 2 2 2 2
B
) ( 2 1
2 1
2 4 4 )
1 ( )
1 (x 2 y2 x 2 y2 y2 y2 B y2 y f y
) 3
1 , 0 ( )
; ( 3 2 minB x y
10 ) 1 1 1 )(
c b a c b a
7
a
c c
a b
c c
b a
b b a
2 ) ( 2 2
) ( ) ( 1
1 0
)
)(
a
c c
a VT a
c c
a b
c a
b b
a c b b
c a
b a c
b
a c
b c
a ac b bc ab c
b
b
a