Carl Friedrich Gauß (được viết phổ biến hơn với tên Carl Friedrich Gauss; 30 tháng 4 năm 1777 – 23 tháng 2 năm 1855) là một nhà toán học và nhà khoa học người Đức tài năng, người đã có nhiều đóng góp lớn cho các lĩnh vực khoa học, như lý thuyết số, giải tích, hình học vi phân, khoa trắc địa, từ học, tĩnh điện học, thiên văn học và quang học. Được mệnh danh là hoàng tử của các nhà toán học, với ảnh hưởng sâu sắc cho sự phát triển của toán học và khoa học, Gauss được xếp ngang hàng cùng Leonhard Euler, Isaac Newton và Archimedes như là những nhà toán học vĩ đại nhất của lịch sử.
Book.Key.To - E4u.Hot.To Bất Đẳng Thức Trong toán học, bất đẳng thức phát biểu quan hệ thứ tự hai đối tượng (Xem thêm: đẳng thức) • • Ký hiệu Ký hiệu có nghĩa a nhỏ b có nghĩa a lớn b Những quan hệ nói gọi bất đẳng thức nghiêm ngặt; ngồi ta có • • có nghĩa a nhỏ b có nghĩa a lớn b Người ta dùng ký hiệu khác để đại lượng lớn nhiều so với đại lượng khác • Ký hiệu a >> b có nghĩa a lớn b nhiều Các ký hiệu a, b hai vế bất đẳng thức biểu thức biến Sau ta xét bất đẳng thức với biến nhận giá trị tập số thực tập Nếu bất đẳng thức với giá trị tất biến có mặt bất đẳng thức, bất đẳng thức gọi bất đẳng thức tuyệt đối hay không điều kiện Nếu bất đẳng thức với số giá trị biến, với giá trị khác bị đổi chiều hay khơng goị bất đẳng thức có điều kiện Một bất đẳng thức hai vế thêm vào bớt giá trị, hay hai vế nhân hay chia với số dương Một bất đẳng thức bị đảo chiều hai vế nhân hay chia số âm Hai toán thường gặp bất đẳng thức Chứng minh bất đẳng thức với trị giá trị biến thuộc tập hợp cho trước, tốn chứng minh bất đẳng thức Tìm tập giá trị biến để bất đẳng thức Đó tốn giải bất phương trình Các phương pháp biến đổi chứng minh BĐT 1.Biến đổi tương đương: sử dụng phép biến dổi tương đương cần ý tới dấu BĐT đảo chiều hay nhân thêm biểu thức Ví dụ:Cho hai số a, b thỏa mãn điều kiện Giải: , chứng tỏ : Book.Key.To - E4u.Hot.To , bất đẳng thức giả thiết Đẳng thức xảy 2.Đưa hàm số: đưa hàm số ta thường sử dụng tính chất đơn điệu liên tục Ví dụ:Cho số x, y thỏa mãn : Hãy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức : Giải: Từ giả thiết Ta có : Đặt với ; có P hàm nghịch biến đoạn ( đạt ( đạt ) ) 3.Sử dụng phương pháp đánh giá: PP tương đối khó việc Cm BĐT,tùy dạng mà có cách đánh giá khác nhau.Cần ý điều kiện đề để có hướng phù hợp cho tốn Ví dụ 1: Cho ba số thay đổi, nhận giá trị thuộc đoạn [0 ; 2] Chứng minh rằng: Giải: Do giả thiết Book.Key.To - E4u.Hot.To (đpcm) Đẳng thức xảy chẳng hạn Ví dụ 2: Chứng minh với số nguyên ta có: Giải: bất đẳng thức cần chứng minh với Với , đpcm (1) Ta có : ( đpcm) Ví dụ 3: Cho Giải: Chứng minh: Book.Key.To - E4u.Hot.To Dấu “ ” xảy số 1, số lại 4.Sử dụng tam thức bậc 2: Ví dụ: Chứng minh với u, v thỏa mãn điều kiện , ta ln có: Giải: - Nếu - Nếu bất đẳng thức cần chứng minh hiển nhiên với đpcm Vế trái (1) tam thức bậc với nên (1) 5.Phương pháp quy nạp: Ví dụ: Chứng minh với Hãy nêu chứng minh kết tổng quát kết toán Giải: Ta chứng minh kết tổng quát sau đây: ( đpcm) Book.Key.To - E4u.Hot.To Với Chứng minh ( quy nạp toán học theo n): - Với ( - Giả sử khẳng định với , ta chứng minh khẳng định với Do khẳng định với Vì Mà vế phải Vậy khẳng định với Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Bất đẳng thức Cô-Si bất đẳng thức kinh điển quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề muốn giới thiệu phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cơ-Si kĩ thuật Cơ-Si ngược dấu Ví dụ 1) Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta ln có : Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: Hồn tồn tương tự ta có: (2) (3) nên (1) Book.Key.To - E4u.Hot.To Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy a=b=c=1 Trong để sử dụng bất đẳng thức ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh số dương a,b,c có a+b+c=3 ta có: Ta có: Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: nên (1) Hồn tồn tương tự ta có: (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Dấu "=" xảy a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta chứng minh toán mà giải phương pháp khác dài chí khơng giải ,sau số tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với số dương a,b,c,d ta ln có: Bài 2)Chứng minh với a,b,c,d số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta ln có: Bài 3)Cho số a+b+c=3.Chứng minh rằng: Book.Key.To - E4u.Hot.To bất đẳng thức Schur bất đẳng thức Schur, đặt tên theo Issai Schur, phát biểu với a,b,c số thưc không âm số dương r, ta có bất đẳng thức sau: dấu đẳng thức xảy a = b = c hai số chúng số lại khơng Khi r số nguyên dương chẵn, bất đẳng thức với số thực x, y, z Chứng minh Ta giả sử cách tổng quát thức Biến đổi vế trái bất đẳng thức để được: dựa vào tính chất đối xứng bất đẳng Điều hiển nhiên số hạng vế trái không âm Bất đẳng thức cộng Chebyshev Bất đẳng thức cộng Chebyshev, đặt theo tên nhà toán học Pafnuty Chebyshev, phát biểu rằng: Nếu cho Tương tự, Book.Key.To - E4u.Hot.To Chứng minh Bất đẳng thức cộng Chebyshev chứng minh cách dùng qui tắc xếp bất đẳng thức Giả sử ta có hai chuỗi số cho sau Vậy thì, theo qui tắc xếp bất đẳng thức, ta có giá trị lớn xếp từ hai chuỗi số Cộng vế theo vế, ta có: chia hai vế cho n2, ta nhận được: (điều phải chứng minh) Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Là bất đẳng thức thường áp dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn đại số tuyến tính dùng cho vector, giải tích dùng cho chuỗi vơ hạn tích phân tích, lý thuyết xác suất dùng cho phương sai hiệp phương sai Tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức bất đẳng thức Bunyakovski tên dài nói đảo thứ tự bất đẳng thức Bunyakovski– Cauchy-Schwarz nên thường viết tắt bất đẳng thức BCS Cũng cần tránh nhầm lẫn với bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân mà tài liệu giáo khoa Việt Nam gọi bất đẳng thức Cauchy Book.Key.To - E4u.Hot.To Bất đẳng thức phát biểu x y phần tử khơng gian tích thực hay phức Dấu đẳng thức xảy x y phụ thuộc tuyến tính (hay nói theo ý nghĩa hình học chúng song song với nhau) Một trường hợp đặc biệt x y chúng trực giao (hay nói theo ý nghĩa hình học vng góc) tích chúng zero Như vậy, bất đẳng thức cho thấy có mối liên quan khái niệm "góc hai vector" với khái niệm tích trong, khái niệm hình học Euclide khơng mang đầy đủ ý nghĩa trường hợp này, mức độ đấy, cho thấy ý niệm khơng gian tích tổng qt hố không gian Euclide Một hệ quan trọng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: tích hàm liên tục Một dạng khác bất đẳng thức Cauchy-Schwarz phát biểu cách dùng ký hiệu chuẩn, với chuẩn hiểu chuẩn không gian tích Năm 1821, Cauchy chứng minh bất đẳng thức trường hợp vector thực hữu hạn chiều đến năm 1859, học trò Cauchy V.Ya Bunyakovsky nhận xét lấy giới hạn thu dạng tích phân bất đẳng thức Kết tổng quát trường hợp khơng gian tích chứng minh K.H.A Schwarz vào năm 1885 Chứng minh Bất đẳng thức rõ ràng với y = 0, ta giả sử khác zero Giả sử λ số phức Khi đó, có bất đẳng thức chắn sau: Chọn mà bất đẳng thức hay tương đương: Book.Key.To - E4u.Hot.To (điều phải chứng minh) Một số trường hợp đặc biệt đáng ý • Trong trường hợp khơng gian Euclide Rn, bất đẳng thức trở thành Đặc biệt hơn, không gian Euclide với số chiều hay 3, tích vơ hướng xác định theo góc hai vector, bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức dễ dàng chứng minh: Hơn nữa, trường hợp này, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz suy từ đồng thức Lagrange cách bỏ qua số hạng Trong trường hợp số chiều n = 3, đồng thức Lagrange có dạng: Hệ bất đẳng thức bất đẳng thức • Trong khơng gian tích hàm giá trị phức khả tích-bình phương, có Một dạng tổng quát hai bất đẳng thức phần bất đẳng thức Holder Một hệ khác, bất đẳng thức Schwarz hay nhiều tài liệu gọi bất đẳng thức Cauchy Schwarz Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thường dùng để chứng minh bất đẳng thức Bessel Chọn điểm rơi Bất Đẳng Thức Cô-Si Trong học Bàn kiến thức mảng bất đẳng thức bất đẳng thức Cô-Si bất đẳng thức Tuy nhiên giải tập để dùng bất đẳng thức cách linh hoạt ta phải dùng đến phương pháp gọi phương pháp chọn điểm rơi bất đẳng thức Cô-Si Khi áp dụng bđt cơsi tốn tìm cực trị việc lựa chọn tham số để dấu = xảy điều quan trọng khó khăn Đơi lúc tốn biến bị giới hạn điều kiện áp dụng trực tiếp dẫn đến nhiều sai lầm Vì chuyên mục nhỏ tơi muốn trình bày phương pháp cụ thể để bạn tìm tham số phù hợp Bài toán 1: Cho số dương x,y,z cho x+y+z=1 Tìm giá trị nhỏ nhất: Book.Key.To - E4u.Hot.To Theo BĐT cơsi ta có Từ suy (ĐPCM) Ví dụ 5:Cho a,b,c số dương thoả mãn a+b+c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức Lời giải: Ta có Ta lại có Từ suy , đạt Ví dụ 6:Cho a,b,c > thoả mãn a+b+c =1 Tìm giá trị nhỏ Lời giải: Áp dụng BĐT côsi có Từ Áp dụng BĐT Svacxơ Mặt khác ta lại có Vậy , suy minQ = 30, đạt BĐT tam giác định lý phát biểu tam giác chiều dài cạnh phải nhỏ tổng, lớn hiệu, hai cạnh lại Book.Key.To - E4u.Hot.To Bất đẳng thức định lý không gian hệ thống số thực, tất không gian Euclide, Bất đẳng thức xuất tiên đề định nghĩa nhiều cấu trúc giải tích tốn học giải tích hàm, chẳng hạn không gian vectơ định chuẩn Không gian vectơ định chuẩn Trong không gian vectơ định chuẩn V, bất đẳng thức tam giác phát biểu sau: ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| với x, y thuộc V tức là, chuẩn tổng hai vectơ lớn tổng chuẩn hai vectơ Đường thẳng thực khơng gian vectơ định chuẩn với chuẩn giá trị tuyệt đối, phát biểu bất đẳng thức tam giác cho hai số thực x y sau: Trong giải tích tốn học, bất đẳng thức tam giác thường dùng để ước lượng chặn tốt cho giá trị tổng hai số, theo giá trị số hai số Cũng có ước lượng chặn mà tìm cách dùng bất đẳng thức tam giác đảo chiều, mà phát biểu với hai số thực x y: bất đẳng thức becnuli bất đẳng thức Bernoulli bất đẳng thức cho phép tính gần lũy thừa + x Bất đẳng thức phát biểu sau: với số nguyên r ≥ với số thực x > −1 Nếu số mũ r chẵn, bất đẳng thức với số thực x Bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt sau: với số nguyên r ≥ với số thực x ≥ −1 với x ≠ Bất đẳng thức Bernoulli thường dùng việc chứng minh bất đẳng thức khác Bản thân chứng minh phương pháp quy nạp toán học: Chứng minh: Khi r=0, bất đẳng thức trở thành Bây giả sử bất đẳng thức với r=k: tức mà rõ ràng Book.Key.To - E4u.Hot.To Cần chứng minh: Thật vậy, (vì theo giả thiết (vì ) ) => Bất đẳng thức với r=k+1 Theo nguyên lý quy nạp, suy bất đẳng thức với Số mũ r tổng quát hoá thành số thực sau: x > −1, với r ≤ or r ≥ 1, với ≤ r ≤ Có thể chứng minh bất đẳng thức tổng qt hố nói cách so sánh đạo hàm Một lần nữa, bất đẳng thức trở thành bất đẳng thức nghiêm ngặt x ≥ -1 ≤ r thuộc tập số tự nhiên Các bất đẳng thức liên quan Bất đẳng thức ước lượng lũy thừa bậc r + x theo chiều khác Với số thực x bất kỳ, r > 0, có với e = 2.718 Bất đẳng thức chứng minh cách dùng bất đẳng thức (1 + 1/k)k < e Kỹ thuật chọn điểm rơi toán BĐT cực trị Thời gian qua nhận nhiều yêu cầu bạn hướng dẫn cách làm tập BĐT cực trị.Đây mảng kiến thức sâu rộng tương đối khó.Bài viết hướng dẫn bạn hướng suy nghĩ giải tập dạng thông qua PP chọn "điểm rơi"-tức điểm ta dự đốn để từ có hướng giải phù hợp Ký hiệu sqrt bậc cbb bậc Ta toán đơn giản: Bài 1: Cho Tìm Min của: Book.Key.To - E4u.Hot.To Giải: Rõ ràng ko thể áp dụng Cosi để thuẫn với đk dấu = xảy a=1, mâu Ta dự đoán từ đề P nhỏ a=3 "điểm rơi" tốn.Khi a=3 Ta áp dụng Cosi sau: ta có Khi kết hợp với đk ta có Dễ thấy a=3 Vậy a=3 Bài 2: Cho a,b,c dương abc=1.CMR: Giải: Dự đoán dấu đẳng thức xảyra a=b=c=1.Lúc sau: 1+b=2.Ta áp dụng Cosi Tương tự cho BĐT lại.Khi ta có Tiếp tục áp dụng Cosi cho số ta có Thay vào ta có Bài 3: Cho số dương x,y,z thoả mãn x+y+z=1.CMR: P= + + >= Giải: Đầu tiên ta thấy có dạng nên nghĩ đến sử dụng Bunhi dạng Ở dễ thấy Vậy a b.Ta sử dụng PP "điểm rơi" Ta viết dấu "=" đạt x+y+z=1 "dự đoán" dấu = xảy toán b=9 ta ngay: Ta ý tiếp đk Khi ta có 9a=b.Cho a=1 Book.Key.To - E4u.Hot.To Tương tự cho y z.Cuối ta có tốn đơn giản nhiều TH đặc biệt toán Cuối tốn xin dành lời giải cho bạn: Bài 4: Cho a,b,c dương a+b+c=3.Tìm Min: P= + + MỘT KĨ THUẬT CHỨNG MINH BĐT CĨ ĐIỀU KIỆN Chúng ta thường gặp dạng tốn chứng minh BĐT có dạng :Cho ,chứng minh có kĩ thuật ta chứng minh : Nếu chứng minh , từ điều kiện ta suy Sau số ví dụ: Ví dụ 1.Cho ,chứng minh : Giải : Ta có : mà nên nên Ví dụ 2:Cho x,y số dương thỏa mãn ,chứng minh : Giai: Ta có : Mà Ví dụ 4:Cho x,y số dương thỏa ,chứng minh : Giải: Ta có : (x,y số dương) tương tự ta suy Mong phương pháp hỗ trợ cho bạn giải toán ,đặc biệt yêu tốn BĐT Book.Key.To - E4u.Hot.To HẾT ĐỊNH LÍ LAGRANGE VÀ ỨNG DỤNG A GIỚI THIỆU Định lí Lagrange phát biểu sau: Cho hàm số F(x) liên tục [a,b] có đạo hàm khoảng (a,b) ln tồn cho: Chúng ta tìm hiểu tốn sử dụng định lí Lagrange chương trình THPT sau: I Sử dụng định lí Lagrange chứng minh bất đẳng thức II Sử dụng định lí Lagrange chứng minh phương trình có nghiệm III Sử dụng định lí Lagrange giải phương trình B NỘI DUNG I SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANGE CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC * Phương pháp Từ định lí Lagrange , thì: Vậy Từ định lí Lagrange để áp dụng kết trên, điều quan trọng xác định hàm số F(x) *Ví dụ minh họa VD1: CMR th×: Giải Book.Key.To - E4u.Hot.To Bất đẳng thức cho tương đương với: Xét hàm số: liên tục , có đạo hàm khoảng định lí Lagrange ln tồn cho: Theo Ta có: (đpcm) NX: Điều quan trọng toán nhận hàm số F(x) qua việc biến đổi tương đương BPT cho Ta xét VD … VD 2: Cho Chứng minh: Giải BĐT cho tương đương với: Đặt với Ta có: AD định lí Lagrange hàm số: , tồn cho: Từ (1) suy ra: Suy ra: (đpcm) NX: Bài khó chỗ phải tinh ý lấy logaNepe hai vế nhận đựơc hàm số f (x) VD 3: Cho a