Trong quá trình chứng minh bất đẳng thức dựa theo cách chứng minh bất đẳng thức riêng, ta làm sao tìm ra các bất đẳng thức riêng ? Việc tìm ra bất đẳng thức riêng như thế nào ?Sau đây là một số dạng toán vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng và con đường đi tìm bất đẳng thức riêng ở mỗi dạng .
PHẦN I- ĐẶT VẤN ĐỀ I/ Cơ sở lý luận Theo nghị 40/2000/QH10 Quốc hội nước Cộng hoà xã hội Việt Nam - khẳng định: “Đổi giáo dục phổ thơng đổi chương trình giáo dục từ tiểu học tới trung học phổ thông” Muốn làm tốt có hiệu điều vấn đề đổi phương pháp dạy học phải vấn đề then chốt - trọng tâm Đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ trọng tâm ngành học, cấp học Năm học 2010-2011 việc đổi phương pháp dạy học trở thành nề nếp trì có hiệu nhà trường Tốn học khoa học trừu tượng có nguồn gốc từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Việc rèn luyện tư logíc yêu cầu hàng đầu dạy học tốn nhà trường phổ thơng Đặc biệt việc bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh thi vào Trung học phổ thơng Vì người giáo viên phải nắm phương pháp dạy học toán để phát huy hiệu tính tích cực, tự giác chủ động học sinh, hình thành phát triển lực tự học, trau dồi phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo tư cho học sinh Để đạt mục tiêu quan trọng việc bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh thi vào Trung học phổ thơng đạt kết cao (bộ mơn tốn) người giáo viên cần thực đảm bảo nguyên tắc: học sinh tự hồn thành nhiệm vụ nhận thức với vai trò tổ chức hướng dẫn giáo viên II/Cơ sở thực tiễn Qua nhiều năm giảng dạy mơn Tốn học lớp 8, lớp nhà trường, nhận thấy mảng kiến thức "Bất đẳng thức" đơn vị kiến thức thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi cấp thi vào Trung học phổ thông trung Với học sinh : Mảng kiến thức vận dụng thực tế làm thường chưa định hình rõ phương pháp dạng bất đẳng thức mà dừng lại -3- mức độ chưa suy luận theo logíc định, kết đạt thi dừng lại mức độ trung bình Đối với giáo viên: Khi giảng dạy tốn bất đẳng thức chưa sâu dạng, dạng chưa theo chun đề, tản mạn Trước tình hình trên, sau nghiên cứu kỹ tài liệu mảng kiến thức này, mạnh dạn đưa ý tưởng chứng minh bất đẳng thức dựa vào chứng minh bất đẳng thức riêng với mong ước làm tài liệu bồi dưỡng, nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho người dạy người học việc bồi dưỡng học sinh giỏi III/Mục đích nghiên cứu Một vấn đề thường gặp đại số, làm cho học sinh lúng túng tốn bất đẳng thức đại số Thơng thường tốn loại vấn đề khó Thực phần quan trọng đại số kiến thức bất đẳng thức đại số làm phong phú phạm vi ứng dụng đại số sống IV/Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số vấn đề phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng chứng minh bất đẳng thức Những toán bất đẳng thức có nội dung hấp dẫn khó giải Một nguyên nhân gây khó giải phương pháp tiếp cận, mổ xẻ vấn đề phương pháp thông thường hay áp dụng đại số V/ Giới hạn đề tài Nghiên cứu bất đẳng thức đặc biệt phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng tập vận dụng để giúp học sinh học tốt hình thành kiến thức, kĩ mới, vận dụng cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thơng minh việc học tốn sống -4- PHẦN II - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ A/CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN THIẾT KHI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Các kiến thức kỹ cần thiết giải phương trình học sinh cần nắm là: Các đẳng thức đáng nhớ Kỹ phân tích đa thức thành nhân tử Kỹ biến đổi biểu thức Các quy tắc tính tốn(các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) biểu thức đại số B/ MỘT SỐ DẠNG BÀI BẤT ĐẲNG THỨC I Nội dung phương pháp Một bất đẳng thức mang vẻ đẹp toán học Cũng vậy, ý tưởng sử dụng việc chứng minh bất đẳng thức giúp ta khám phá phương pháp hay để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác Ta toán Cho a,b,c>0 a +b3 b3 +c3 c3 +a + + �a+b+c Chứng minh : 2ab 2bc 2ca Việc chứng minh bất đẳng thức có nhiều cách làm , cách để chứng minh bất đẳng thức chứng minh bất đẳng thức riêng a +b3 a+b � 2ab b3 +c3 b+c � 2bc -5- c3 +a c+a � 2ca Trong trình chứng minh bất đẳng thức dựa theo cách chứng minh bất đẳng thức riêng, ta tìm bất đẳng thức riêng ? Việc tìm bất đẳng thức riêng ? Sau số dạng toán vận dụng phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng đường tìm bất đẳng thức riêng dạng II/ Con đường tìm bất đẳng thức riêng dạng bất đẳng thức 1/Bất đẳng thức có phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc Bài toán 1.Cho a,b>0 Chứng minh : a b2 + �a+b (*) b a a/Phân tích Ta nhận thấy phân thức bất đẳng thức phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc a2 b �ax+by ; Ta cần tìm x,y để xảy bất đẳng thức riêng sau: �bx+ay b a Khi ta cộng vế hai bất đẳng thức ta được: � a2 �ax+by � 2 b b � a � + b a b �bx+ay � � a � (x+y)(a+b) Như so sánh bất đẳng thức (*) ta có x+y=1 a2 Mặt khác : �ax+by b � a2 �abx+b2y (do b>0) -6- � a2-abx-b2y �0 � (a- bx b2 x 2 ) -b y �0 Ta lựa chọn y= Ta thay y= x2 b2 x 2 biểu thức -b y=0 4 x2 vào x+y=1 giải ta �x � �y 1 �a � �2a-b �b Khi ta có bất đẳng thức riêng: � �b �2b-a � �a b/Lời giải Chứng minh bất đẳng thức riêng a2 �2a-b với a,b>0 b Ta có a2 �2a-b b ۳ a 2ab-b2 � a 2ab+b �0 � (a-b) �0 ( bất đẳng thức ln ) Do ta có a2 �2a-b (1) b Chứng minh tương tự : b �2b-a (2) a Từ (1) (2) ta có a b2 + �a+b b a Các toán áp dụng từ toán là: 1/ Cho a,b,c>0 2 Chứng minh a + b c �a+b+c b c a 2/Cho a,b ,c >0 -7- Chứng minh a b c + � a+ b c c a b Bài toán Cho a,b,c>0 Chứng minh a2 b2 c2 a+b+c � a+b b+c c+a a/ Phân tích Ta nhận thấy phân thức bất đẳng thức phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc Mặt khác: ta cần xác định vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc hợp lý, cho lựa chọn x,y cách nhanh � a2 �ax+(a+b)y � a+b � 2 b2 � �bx+(b+c)y �� a b c � x+2y a+b+c b+c � a+b b+c c+a � c2 �cx+(c+a)y � c+a � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y = Mặt khác : từ bất đẳng thức (1) a2 �ax+(a+b)y a+b ۳ a ax(a+b)+(a+b) y � a ax(a+b)-(a+b)2 y �0 2 2 � x(a+b) � x (a+b) �� a -(a+b) y �0 � � � 2 x2 x (a+b) Ta lựa chọn y= biểu thức -(a+b) y =0 4 x2 Ta thay y= vào x+2y = giải ta -8- �x � � y � � �a a+b �a+b �a- � b+c �b Ta bất đẳng thức riêng � �b4 �b+c �c c+a �c� �c+a b/Việc chứng minh bất đẳng thức riêng đơn giản, sau ta cộng bất đẳng thức riêng ta bất đẳng thức cần phải chứng minh Ta xét toán mức độ mạnh Bài toán Cho a,b,c>0 a2 b2 c2 a+b+c � Chứng minh : b+c c+a a+b (Đề thi học sinh giỏi huyện Gia Lộc năm 2009-2010) a/Phân tích Dựa theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng đường tìm bất đẳng thức riêng ta đặt bất đẳng thức riêng sau : � a2 �ax+(b+c)y � b+c � 2 b2 � �bx+(c+a)y �� a b c �(x+2y)(a+b+c) c+a � b+c c+a a+b � c �ax+(a+b)y � a+b � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y = (1) Ta xét ba bất đẳng thức a2 �ax+(b+c)y Ta có b+c ۳ a2 ax(b+c)+(b+c)2 y � a -ax(b+c)-(b+c)2 y �0 � x(b+c) � x (b+c) �� a-(b+c)2 y �0 � � � 2 x2 x (b+c) Ta lựa chọn y= biểu thức -(b+c) y =0 4 -9- �x=1 � x2 Ta thay y= vào x+2y = giải ta � �y=- � �a b+c �b+c �a- � c+a �b Khi ta có bất đẳng thức riêng � �b4 �c+a �c a+b �a� �a+b b/ Chứng minh: Tương tự toán Bài toán Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh a2 b2 c2 �a+b+c -a+b+c a-b+c a+b-c a/Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng � a2 �ax (-a+b+c)y � -a+b+c � b2 � a2 b2 c2 �bx (a-b+c)y �� �(x+y)(a+b+c) a-b+c � -a+b+c a-b+c a+b-c � c2 �cx (a+b-c)y � a+b-c � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1 Mặt khác: Ta xét bất đẳng thức riêng a2 �ax (-a+b+c)y -a+b+c � a �ax(-a+b+c) (-a+b+c) y � a - ax(-a+b+c) (-a+b+c) y �0 � x(-a+b+c) � x (-a+b+c) �� a (-a+b+c) y �0 � � � x2 x (-a+b+c)2 (-a+b+c)2 y =0 Ta lựa chọn y= biểu thức 4 - 10 - �x=2 x2 Ta thay y= vào x+y =1 giải ta � �y=-1 Khi ta có bất đẳng thức riêng � a2 �-a+b+c �2a - (-a+b+c) � �b �2b - (a-b+c) � �a-b+c � c2 �2c - (a+b-c) � a+b-c � b/Lời giải Chứng minh tương tự Bài toán Cho a,b,c ba cạnh tam giác (a+b)2 (b+c) (c+a) �4(a+b+c) Chứng minh : a+b-c -a+b+c a-b+c a/Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng � (a+b)2 �x(a+b)+(a+b-c)y � a+b-c � 2 (b+c)2 � �x(b+c)+(-a+b+c)y �� (a+b) (b+c) (c+a) �(2x+y)(a+b+c) -a+b+c � a+b-c -a+b+c a-b+c � (c+a) �x(c+a)+(a-b+c)y � a-b+c � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh , ta có 2x+y=4 Mặt khác: Ta xét cac bất đẳng thức riêng (a+b)2 �x(a+b)+(a+b-c)y a+b-c � (a+b)2 �x(a+b)(a+b-c)+(a+b-c) y � (a+b)2 x(a+b)(a+b-c)-(a+b-c) y �0 x(a+b-c) � x (a+b-c)2 � �� (a+b) -(a+b-c)2 y �0 � � � Ta lựa chọn y= Ta thay y= x2 x (a+b-c)2 -(a+b-c)2 y =0 biểu thức 4 x2 vào 2x+y =4 giải ta - 11 - �x � �y 4 �(a+b)2 �a+b-c �4(a+b)- 4(a+b-c) � �(b+c)2 �4(b+c)- 4(-a+b+c) Khi ta có bất đẳng thức riêng : � �-a+b+c �(c+a)2 �4(c+a)- 4(a-b+c) � �a-b+c b/Lời giải Chứng minh bất đẳng thức riêng (a+b)2 �4(a+b)- 4(a+b-c) với a,b,c ba cạnh tam giác a+b-c Ta có (a+b)2 �4(a+b)- 4(a+b-c) a+b-c � (a+b) �4(a+b)(a+b-c)-4(a+b-c) � (a+b)2 4(a+b)(a+b-c)+4(a+b-c) �0 ۳ � (a+b)-2(a+b-c) � � � ( bất đẳng thức ln ) Do ta có (a+b)2 �4(a+b)- 4(a+b-c) (1) a+b-c (b+c)2 �4(b+c)- 4(-a+b+c) -a+b+c (2) (c+a)2 �4(c+a)- 4(a-b+c) a-b+c (3) (a+b)2 (b+c)2 (c+a) �4(a+b+c) Từ (1) , (2) (3) ta có a+b-c -a+b+c a-b+c 2/Bất đẳng thức có phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc Bài toán Cho a,b,c>0 Chứng minh : a +b3 b3 +c3 c3 +a + + �a+b+c 2ab 2bc 2ca (Đề thi vào 10 THPT chuyên Lê Hồng Phong TPHCM năm 2000-2001) a/ Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng - 12 - � a +b3 �ax+by � 2ab � b3 +c3 � a +b3 b3 +c3 c3 +a �bx+cy �� �(x+y)(a+b+c) 2bc 2ab 2bc 2ca � � c3 +a �cx+ay � 2bc � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1 Mặt khác: Ta xét bất đẳng thức riêng a +b3 �ax+by 2ab � a +b3 �2a bx+2ab y � a +b3 -2a bx-2ab2 y �0 Do a,b vai trò nên ta chọn x=y kết hợp với x+y=1 ta có x=y= �a +b3 a+b �2ab � �3 b+c �b +c � Khi ta có bất đẳng thức riêng : � �2bc 3 �c +a c+a � � �2bc b/ Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng: a +b3 a+b � với a,b >0 2ab Ta có : a +b3 a+b � 2ab 3 ۳ a +b ab(a+b) � (a+b)(a -ab+b ) ab(a+b) �0 ۳ (a+b)(a-b)2 Do ta có ( bất đẳng thức ) a +b3 a+b � (1) 2ab Chứng minh tương tự: b3 +c3 b+c � (2) 2bc c3 +a c+a � (3) 2bc Từ (1), (2) (3) ta cộng vế bất đẳng thức ta - 13 - a +b3 b3 +c3 c3 +a 2ab 2bc 2bc �a+b+c Bài toán 7.Cho a,b,c >0 Chứng minh a3 b3 c3 a+b+c � 2 2 2 a +b +ab b +c +bc c +a +ca a/ Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng � a3 �ax+by � 2 a +b +ab � b3 � a3 b3 c3 � bx+cy � 2 2 �( x y )(a+b+c) � 2 b2 +c2 +bc � a +b +ab b +c +bc c +a +ca � c3 � cx+ay � c2 +a +ca � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y= (*) Mặt khác: Ta xét bất đẳng thức riêng a3 �ax+by a +b2 +ab ۳ a (ax+by)(a +b +ab) ۳ (1-x)a - ab x- a bx - a 2by-ab y -b y Ta lựa chọn cho hệ số a3 hệ số b3 nhau, tức 1-x=y (**) � 1- x = -y � �x = � � Từ (*) (**) ta có hệ � 1�� x + y = � �y = - � � Khi ta có bất đẳng thức riêng : a3 2a-b b3 2b-c � ; � 2 2 a +b +ab b +c +bc c3 2c-a � c +a +ca 2 b/ Lời giải Tương tự chứng minh Bài toán 8.Cho a,b,c >0 - 14 - Chứng minh 41a b3 41b3 c3 41c3 a �5(a+b+c) ab+7a bc+7c2 ca+7a a/ Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng, ta dựa vào phân thức để xác định vế phải bất đẳng thức riêng � 41a b3 �ax+by � ab+7a � 41b3 c3 � 41a b3 41b3 c3 41c3 a � bx+cy �( x y)(a+b+c) �� bc+7c2 bc+7c ca+7a � ab+7a � 41c3 a �cx+ay � ca+7a � Đối chiếu với bất đẳng thức cần chứng minh , ta có x+y=5 Mặt khác từ bất đẳng thức riêng, ta có : 41a b3 �ax+by ab+7a � 41a b3 �(ax+by)(ab+7a ) � 41a b3 �a bx+7a 3x+ab y+7a 2by � (7x-41)a a bx+ab2 y+7a by+b3 �0 Ta lựa chọn cho hệ số a hệ số b3 nhau, tức 7x- 41=1 kết hợp với x+y=5 ta x=6, y=-1 Khi ta có bất đẳng thức riêng 41a b3 41b3 c3 41c3 a � a-b ; � b-c ; �6c-a ab+7a bc+7c2 ca+7a b/Lời giải Chứng minh bất đẳng thức riêng 41a b3 �6a-b với a,b>0 ab+7a 41a b3 �6a-b Ta có ab+7a � 41a b3 �(6a-b)(ab+7a ) � 41a b3 �6a b+42a ab -7a b ۳ a +b3 -ab2 a b ۳ (a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) - 15 - � (a+b)(a-b)2 �0 ( bất đẳng thức ) 41a b3 �6a-b (1) Do ta có ab+7a 41b3 c3 �6b-c (2) Chứng minh tương tự : bc+7c2 41c3 a �6c-a (3) ca+7a Từ (1),(2) (3) ta cộng vế bất đẳng thức ta 41a b3 41b3 c3 41c3 a �5(a+b+c) ab+7a bc+7c ca+7a Các tập tương tự Cho a,b,c >0 Chứng minh 5b3 a 5c3 b3 5a c3 �a+b+c a/ ab+3b bc+3c ca+3a (Đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi tỉnh huyện Kim Thành năm 2007-2008) 29a b3 29b3 c3 29c3 a �4(a+b+c) b/ 6a +ab 6b +bc 6c2 +ca 3/Bất đẳng thức có phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc Bài toán 9.Cho a,b,c>0 a b c3 + + �ab+bc+ca Chứng minh rằng: b c a (Đề thi vào 10 chuyên toán, Đại học quốc gia Hà Nội năm 1996-1997) a/Phân tích Ta dựa vào phân thức để nhận định vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc � a3 �a x+yab+zb � b � b3 � a b c3 �b x+ybc+zc �� + + �(x+z)(a +b +c )+y(ab+bc+ca) c � b c a � c �c x+yca+za � a � Đối chiếu bất đẳng thức cần chứng minh, ta có : y 1; x z - 16 - a3 �a x+yab+zb Mặt khác: từ bất đẳng thức b a3 �a x+yab+zb b ۳ a a bx+yab +zb3 ۳ a - a bx-yab - zb3 Ta lựa chọn cho hệ số a3 hệ số b3 nhau, tức -z=1 kết hợp với x+z=0 ta x=1, z=-1 Khi ta có bất đẳng thức riêng �a 2 �b �a +ab - b �3 �b 2 � �b + bc - c �c �c3 2 � �c +ca - a �a b/ Lời giải Chứng minh bất đẳng thức riêng a3 �a +ab - b với a,b>0 b a3 Ta có �a +ab - b b ۳ a a b+ab - b3 ۳ a - a b - ab + b3 ۳ (a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) � (a+b)(a-b)2 �0 ( bất đẳng thức ln ) a3 Do ta có �a +ab - b (1) b b3 Chứng minh tương tự: �b + bc - c (2) c c3 �c2 +ca - a (3) a Từ (1),(2) (3) ta cộng vế bất đẳng thức ta - 17 - a b c3 + + �ab+bc+ca b c a Bài toán 10 Cho a,b,c >0 Chứng minh : 3a 7b3 3b3 7c3 3c3 7a �3(a +b +c )-(ab+bc+ca) 2a+3b 2b+3c 2c+3a a/Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng � 3a 7b3 �xa yab+zb � 2a+3b � 3 3b 7c � �xb ybc+zc �� 2b+3c � 3 � 3c 7a �xc2 yca+za � 2c+3a � 3a 7b3 3b3 7c3 3c3 7a �(x+z)(a +b +c )+y(ab+bc+ca) 2a+3b 2b+3c 2c+3a Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta x+z=3,y= -1 Mặt khác: từ bất đẳng thức riêng ta có 3a 7b3 �xa yab+zb 2a+3b � 3a 7b3 �(xa yab+zb )(2a+3b) � 3a 7b3 �2xa 3xa 2b 2a 2by 3ab y+2zab +3zb ۳ (3-2x)a +(7-3z)b3 3xa 2b 2a 2by 3ab y+2zab Ta lựa chọn cho hệ số a3 hệ số b3 nhau, tức 3-2x=7-3z hay 3z-2x=4 kết hợp với x+z=3 ta z=2, x=1 Khi ta có bất đẳng thức riêng : �3a 7b3 2 � 2a+3b �a ab+2b � �3b 7c3 �b bc+2c � � 2b+3c �3c3 7a �c ca+2a � � 2c+3a b/Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng - 18 - 3a 7b3 �a ab+2b với a,b>0 2a+3b 3a 7b3 �a ab+2b Ta có 2a+3b � 3a 7b3 �(2a+3b)(a ab+2b ) � 3a 7b3 �2a 2a b+4ab 3a b -3ab +6b3 � a b3 - a b - ab �0 ۳ (a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) � (a+b)(a-b)2 �0 ( bất đẳng thức ) 3a 7b3 �a ab+2b (1) Do 2a+3b Chứng minh tương tự 3b3 7c3 �b bc+2c (2) 2b+3c 3c3 7a �c ca+2a (3) 2c+3a Từ (1),(2) (3) ta cộng vế bất đẳng thức ta 3a 7b3 3b3 7c3 3c3 7a �3(a +b +c )-(ab+bc+ca) 2a+3b 2b+3c 2c+3a C THỰC NGHIỆM KHẢO SÁT Với phương pháp nêu trên, hầu hết em biết cách giải tập với dạng tập khác Qua khảo sát tập cho học sinh làm thấy kết sau: Có 11 em học sinh giỏi khối tham gia vào trình triển khai đề tài Trước triển khai đề tài Tổng số