MỘT PHƯƠNG PHÁPCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG Một bất đẳng thức có thể mang trong nó những vẻ đẹp của toán học.Cũng vậy, một ý tưởng được sử dụng trong việc chứng minh một bất đẳng thức có thể giúp ta khám phá một phương pháp hay để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác .
Họ Và Tên : Bùi Duy Chuân Gv: THCS Lai Vu – Kim Thành - Hải Dương MỘT PHƯƠNG PHÁPCHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC – CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC RIÊNG ( Bài viết đăng tạp chí T1/2012) Một bất đẳng thức mang vẻ đẹp tốn học.Cũng vậy, ý tưởng sử dụng việc chứng minh bất đẳng thức giúp ta khám phá phương pháp hay để chứng minh nhiều bất đẳng thức khác 1/Bất đẳng thức có phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc Bài toán 1.Cho a,b>0 a b2 Chứng minh : + �a+b (*) b a a/Phân tích Ta nhận thấy phân thức bất đẳng thức phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc a2 �ax+by ; b �bx+ay Ta cần tìm x,y để xảy bất đẳng thức riêng sau: b a Khi ta cộng từng vế hai bất đẳng thức ta được: � a2 �ax+by � 2 b b � a (x+y)(a+b) � + b a b �bx+ay � � a � Như so sánh bất đẳng thức (*) ta có x+y=1 a2 Mặt khác : �ax+by b � a �abx+b2y (do b>0) � a2-abx-b2y �0 bx b2 x 2 � (a) -b y �0 x2 b2 x 2 Ta lựa chọn y= biểu thức -b y=0 4 �x x2 Ta thay y= vào x+y=1 giải ta � �y 1 �a �b �2a-b � Khi ta có bất đẳng thức riêng: � �b �2b-a � �a b/Lời giải Chứng minh bất đẳng thức riêng -3- a2 �2a-b với a,b>0 b a2 �2a-b Ta có b ۳ a 2ab-b2 � a 2ab+b �0 � (a-b) �0 ( bất đẳng thức ln ) a2 �2a-b (1) Do ta có b b Chứng minh tương tự : �2b-a (2) a a b2 Từ (1) (2) ta có + �a+b b a Bài tốn Cho a,b,c>0 a2 b2 c2 a+b+c � Chứng minh a+b b+c c+a a/ Phân tích Ta nhận thấy phân thức bất đẳng thức phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc Mặt khác: ta cần xác định vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc hợp lý, cho lựa chọn x,y cách nhanh � a2 �ax+(a+b)y � a+b � 2 b2 � �bx+(b+c)y �� a b c � x+2y a+b+c b+c � a+b b+c c+a � c �cx+(c+a)y � c+a � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y = (1) 2 a �ax+(a+b)y Mặt khác : từ bất đẳng thức a+b ۳ a ax(a+b)+(a+b) y � a ax(a+b)-(a+b)2 y �0 2 2 � x(a+b) � x (a+b) �� a -(a+b) y �0 � � � 2 x2 x (a+b) Ta lựa chọn y= biểu thức -(a+b) y =0 4 x2 Ta thay y= vào x+2y = giải ta -4- �x � � y � � �a a+b �a+b �a- � b+c �b Ta bất đẳng thức riêng � �b4 �b+c �c c+a �c� �c+a b/Việc chứng minh bất đẳng thức riêng đơn giản, sau ta cộng bất đẳng thức riêng ta bất đẳng thức cần phải chứng minh Ta xét toán mức độ mạnh Bài toán Cho a,b,c>0 a2 b2 c2 a+b+c � Chứng minh : b+c c+a a+b a/Phân tích Dựa theo phương pháp chứng minh bất đẳng thức riêng đường tìm bất đẳng thức riêng ta đặt bất đẳng thức riêng sau : � a2 �ax+(b+c)y � b+c � 2 b2 � �bx+(c+a)y �� a b c �(x+2y)(a+b+c) c+a � b+c c+a a+b � c2 �ax+(a+b)y � a+b � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh ta có x+2y = (1) Ta xét ba bất đẳng thức a2 �ax+(b+c)y Ta có b+c ۳ a ax(b+c)+(b+c)2 y � a -ax(b+c)-(b+c)2 y �0 � x(b+c) � x (b+c) �� a-(b+c)2 y �0 � � � 2 x2 biểu thức - x (b+c) -(b+c) y =0 4 �x=1 � x2 Ta thay y= vào x+2y = giải ta � �y=- � �a b+c �b+c �a- � c+a �b Khi ta có bất đẳng thức riêng � �b4 �c+a �c a+b �a� �a+b Ta lựa chọn y= -5- b/ Chứng minh: Tương tự toán Bài toán Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh a2 b2 c2 �a+b+c -a+b+c a-b+c a+b-c a/Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng � a2 �ax (-a+b+c)y � -a+b+c � b2 � a2 b2 c2 �bx (a-b+c)y �� �(x+y)(a+b+c) a-b+c � -a+b+c a-b+c a+b-c � c2 �cx (a+b-c)y � a+b-c � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh, ta có x+y=1 Mặt khác: Ta xét bất đẳng thức riêng a2 �ax (-a+b+c)y -a+b+c � a �ax(-a+b+c) (-a+b+c) y � a - ax(-a+b+c) (-a+b+c) y �0 � x(-a+b+c) � x (-a+b+c) �� a (-a+b+c) y �0 � � � x x (-a+b+c)2 (-a+b+c)2 y =0 Ta lựa chọn y= biểu thức 4 �x=2 x Ta thay y= vào x+y =1 giải ta � �y=-1 � a2 �-a+b+c �2a - (-a+b+c) � �b �2b - (a-b+c) Khi ta có bất đẳng thức riêng � �a-b+c � c2 �2c - (a+b-c) � �a+b-c b/Lời giải Chứng minh tương tự Bài toán Cho a,b,c ba cạnh tam giác (a+b)2 (b+c) (c+a) �4(a+b+c) Chứng minh : a+b-c -a+b+c a-b+c a/Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng -6- � (a+b)2 �x(a+b)+(a+b-c)y � a+b-c � 2 (b+c)2 � �x(b+c)+(-a+b+c)y �� (a+b) (b+c) (c+a) �(2x+y)(a+b+c) -a+b+c � a+b-c -a+b+c a-b+c � (c+a) �x(c+a)+(a-b+c)y � a-b+c � So sánh bất đẳng thức cần chứng minh , ta có 2x+y=4 Mặt khác: Ta xét cac bất đẳng thức riêng (a+b)2 �x(a+b)+(a+b-c)y a+b-c � (a+b)2 �x(a+b)(a+b-c)+(a+b-c) y � (a+b)2 x(a+b)(a+b-c)-(a+b-c) y �0 x(a+b-c) � x (a+b-c)2 � �� (a+b)-(a+b-c)2 y �0 � � Ta lựa chọn y= � x x (a+b-c)2 -(a+b-c)2 y =0 biểu thức 4 �x x2 vào 2x+y =4 giải ta � �y 4 �(a+b) �a+b-c �4(a+b)- 4(a+b-c) � �(b+c)2 �4(b+c)- 4(-a+b+c) Khi ta có bất đẳng thức riêng : � �-a+b+c �(c+a)2 �4(c+a)- 4(a-b+c) � a-b+c � b/Lời giải Chứng minh bất đẳng thức riêng (a+b)2 �4(a+b)- 4(a+b-c) với a,b,c ba cạnh tam giác a+b-c (a+b)2 �4(a+b)- 4(a+b-c) Ta có a+b-c � (a+b) �4(a+b)(a+b-c)-4(a+b-c) � (a+b)2 4(a+b)(a+b-c)+4(a+b-c) �0 Ta thay y= ۳ � (a+b)-2(a+b-c) � � � ( bất đẳng thức ln ) Do ta có (a+b)2 �4(a+b)- 4(a+b-c) (1) a+b-c (b+c)2 �4(b+c)- 4(-a+b+c) (2) -a+b+c (c+a)2 �4(c+a)- 4(a-b+c) (3) a-b+c (a+b)2 (b+c)2 (c+a) �4(a+b+c) Từ (1) , (2) (3) ta có a+b-c -a+b+c a-b+c -7- 2/Bất đẳng thức có phân thức mà tử đa thức bậc mẫu đa thức bậc Bài toán 6.Cho a,b,c>0 a b c3 + + �ab+bc+ca Chứng minh rằng: b c a a/Phân tích Ta dựa vào phân thức để nhận định vế phải bất đẳng thức riêng đa thức bậc � a3 �a x+yab+zb � b � b3 � a b c3 �b x+ybc+zc �� + + �(x+z)(a +b +c )+y(ab+bc+ca) c � b c a � c �c x+yca+za � a � Đối chiếu bất đẳng thức cần chứng minh, ta có : y 1; x z a3 �a x+yab+zb Mặt khác: từ bất đẳng thức b a �a x+yab+zb b ۳ a a bx+yab +zb3 ۳ a - a bx-yab - zb3 Ta lựa chọn cho hệ số a3 hệ số b3 nhau, tức -z=1 kết hợp với x+z=0 ta x=1, z=-1 Khi ta có bất đẳng thức riêng �a 2 �b �a +ab - b �3 �b 2 � �b + bc - c �c �c3 2 � �c +ca - a �a b/ Lời giải Chứng minh bất đẳng thức riêng a3 �a +ab - b với a,b>0 b a3 �a +ab - b Ta có b ۳ a a b+ab - b3 ۳ a - a b - ab + b3 -8- ۳ (a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) � (a+b)(a-b)2 �0 ( bất đẳng thức ) a3 �a +ab - b (1) b b3 �b + bc - c (2) Chứng minh tương tự: c c3 �c2 +ca - a (3) a Từ (1),(2) (3) ta cộng từng vế bất đẳng thức ta a b c3 + + �ab+bc+ca b c a Bài toán Cho a,b,c >0 3a 7b3 3b3 7c3 3c3 7a �3(a +b +c )-(ab+bc+ca) Chứng minh : 2a+3b 2b+3c 2c+3a a/Phân tích Ta tìm bất đẳng thức riêng � 3a 7b3 �xa yab+zb � 2a+3b � 3 3b 7c � �xb ybc+zc �� 2b+3c � 3 � 3c 7a �xc2 yca+za � 2c+3a � Do ta có 3a 7b3 3b3 7c3 3c3 7a �(x+z)(a +b +c )+y(ab+bc+ca) 2a+3b 2b+3c 2c+3a Dựa vào bất đẳng thức cần chứng minh ta x+z=3,y= -1 Mặt khác: từ bất đẳng thức riêng ta có 3a 7b3 �xa yab+zb 2a+3b � 3a 7b3 �(xa yab+zb )(2a+3b) � 3a 7b3 �2xa 3xa 2b 2a 2by 3ab y+2zab +3zb ۳ (3-2x)a +(7-3z)b3 3xa 2b 2a 2by 3ab y+2zab Ta lựa chọn cho hệ số a3 hệ số b3 nhau, tức 3-2x=7-3z hay 3z-2x=4 kết hợp với x+z=3 ta z=2, x=1 Khi ta có bất đẳng thức riêng : -9- �3a 7b3 2 � 2a+3b �a ab+2b � �3b 7c3 �b bc+2c � � 2b+3c �3c3 7a �c ca+2a � � 2c+3a b/Lời giải: Chứng minh bất đẳng thức riêng 3a 7b3 �a ab+2b với a,b>0 2a+3b 3a 7b3 �a ab+2b Ta có 2a+3b � 3a 7b3 �(2a+3b)(a ab+2b ) � 3a 7b3 �2a 2a b+4ab 3a b -3ab +6b3 � a b3 - a b - ab �0 ۳ (a+b)(a -ab+b )-ab(a+b) � (a+b)(a-b)2 �0 ( bất đẳng thức ) 3a 7b3 �a ab+2b (1) 2a+3b Chứng minh tương tự 3b3 7c3 �b bc+2c (2) 2b+3c 3c3 7a �c ca+2a (3) 2c+3a Từ (1),(2) (3) ta cộng từng vế bất đẳng thức ta 3a 7b3 3b3 7c3 3c3 7a �3(a +b +c )-(ab+bc+ca) 2a+3b 2b+3c 2c+3a Do ta có Các tương tự 1/ Cho a,b,c>0 Chứng minh rằng: a b c3 + + �ab+bc+ca b c a 2/ Cho a,b,c >0 3a 7b3 3b3 7c3 3c3 7a �3(a +b +c )-(ab+bc+ca) Chứng minh : 2a+3b 2b+3c 2c+3a - 10 - ... chứng minh bất đẳng thức riêng đơn giản, sau ta cộng bất đẳng thức riêng ta bất đẳng thức cần phải chứng minh Ta xét toán mức độ mạnh Bài toán Cho a,b,c>0 a2 b2 c2 a+b+c � Chứng minh :... đẳng thức ) a2 �2a-b (1) Do ta có b b Chứng minh tương tự : �2b-a (2) a a b2 Từ (1) (2) ta có + �a+b b a Bài toán Cho a,b,c>0 a2 b2 c2 a+b+c � Chứng minh a+b b+c c+a a/ Phân tích Ta nhận thấy... thức riêng � �b4 �c+a �c a+b �a� �a+b Ta lựa chọn y= -5- b/ Chứng minh: Tương tự toán Bài toán Cho a,b,c ba cạnh tam giác Chứng minh a2 b2 c2 �a+b+c -a+b+c a-b+c a+b-c a/Phân tích Ta tìm