www.facebook.com/toihoctoan
BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG TRONG ĐỀ THI ĐẠI HỌC 1.Bất đẳng thức cosi: 2a b ab+ ≥ 2.Bất đẳng thức Bunhiacopki: ( ) 2 2 2 2 2 ( )( )ax by a b x y+ ≤ + + Chứng minh : 2 2 2 2 2 a 2 0 ( ) 0y abxy b x ay bx− + ≥ ⇔ − ≥ 3.Bất đẳng thức Cosi-Svac cho 3 số: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )( ) : ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 ax by cz a b c x y z CM a y abxy b x a z acxz c x b z bcyz c y ay bx az cx bz cy + + ≤ + + + + − + + − + + − + ≥ ⇔ − + − + − ≥ 4.Bất đẳng thức Holder: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( ) ( )( )( ) : 3 ( )( )( ) axm byn czp a b c x y z m n p CM a x m axm a b c x y z m n p a b c x y z m n p + + ≤ + + + + + + + + ≥ + + + + + + + + + + + + Tiếp tục với 2 cặp(b,y,n) và (c,z,p) rồi cộng vế theo vế 5.Một số hệ quả: 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 1. : ( ) ( ) ( ) ( ) 0 a b a b x y x y CM a y x y b x x y a b xy ay bx + + ≥ + + + + ≥ + ⇔ − ≥ 2 2 2 2 ( ) 2. a b c a b c x y z x y z + + + + ≥ + + Chứng minh tương tự 3 3 3 3 3 3 3 3 3. (1 )(1 )(1 ) (1 ) : (1 0)(1 0)(1 0) (1 ) a b c abc CM a b c abc + + + ≥ + + + + + + + ≥ + 3 3 3 1 1 1 3 4. 1 1 1 1a b c abc + + ≥ + + + + 6.Các bất đẳng thức quan trọng khác: 1 1 4 1. 1 1 1 : ( ) 2 2 4 a b a b Cm a b ab a b ab + ≥ + + + ≥ = ÷ Mở rộng: ( ) 3 3 1 1 1 9 1 1 1 1 ; / : 3 3 9C m a b c abc a b c a b c a b c abc + + ≥ + + + + ≥ = ÷ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. 2 ; 2 ; 2 2( ) ( ) a b c ab bc ac a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac + + ≥ + + + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + + Mở rộng: 2 2 2 2 2 2 ( )x y y z x z xyz x y z+ + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 3. ( ) 3( ) / : 2 2 2 3 3 3 ( ) 3( ) a b c ab bc ac C m a b c ab bc ac a b c ab bc ac ab bc ac a b c ab bc ac + + ≥ + + + + ≥ + + ⇔ + + + + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + Mở rộng: 2 ( ) 3 ( )xy yz xz xyz x y z+ + ≥ + + ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4. 3 / : (1 1 1 )( ) a b c a b c C m a b c a b c + + + + ≥ + + + + ≥ + + 2 3 2 3 5. ; 1 2 2 2 3 3 3 ; 3 ; 3 a b c a b c abc c a b a c a a c a b a c b a a a b c c b c c b cb a c b a a b c a b c c a b + + ≥ + + ≤ + = + + ≥ ≥ = + ≥ + ≥ → + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 / : ( : ) ab bc ac a b c c a b C m abc a b c do a b c ab bc ac a b c a b c ab bc ac + + ≥ + + + + ≥ + + ⇔ + + ≥ + + + + ≥ + + ÷ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7. / : 3 : 3; ê : 3 3 a b c a b c b c a b c a a b c a b c a b c a b c a b c C m do n n b c a b c a b c a b c a b c a + + ≥ + + + + ≥ + + + + ≥ + + ≥ + + ÷ ÷ ÷ ÷ 4 4 3 3 3 3 2 2 2 8. / : ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 a b a b b a C m a a b b a b a b a b ab + ≥ + − − − ≥ ⇔ − + + ≥ Mở rộng: 3 3 5 5 2 2 ( ) ; ( )a b ab a b a b a b a b+ ≥ + + ≥ + 9 9. ( )( ) ( )( )( ) 8 / : ( )( )( ) 8 1 ( )( ) ( )( )( ) 1 ( )( )( ) 8 a b c ab bc ac a b b c a c C m a b b c a c abc a b c ab bc ac abc a b b c a c a b b c a c + + + + ≤ + + + + + + ≥ → + + + + = + + + + ≤ + + + + ÷ Dạng khác: ( )( ) 9a b c ab bc ac abc + + + + ≥ 2 2 2 2 2 2 2 2 10. 1 / : 2 ; 1 2 ; 1 2 2( 1) 2( ) a b ab a b C m a b ab a a b b a b ab a b + + ≥ + + + ≥ + ≥ + ≥ ⇒ + + ≥ + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 11. ; 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( 1) / : 0 0 1 1 1 1 (1 )(1 )(1 ) ab a b ab a b ab C m a ab b ab a b ab + ≥ ≥ + + + − − − + − ≥ ⇔ ≥ + + + + + + + Dạng tương tự: 1 1 2 1 1 2 ; 1 ; ; 1 1 1 1 1 1 1 ab ab a b ab a b ab + ≥ ≥ + ≥ ≥ + + + + + + 12. ( )( 1) 4 / : 2 ; 1 2 ( )( 1) 4 a b ab ab C m a b ab ab ab a b ab ab + + ≥ + ≥ + ≥ → + + ≥ 13. 1 1 1 1a b a b+ + + ≥ + + + C/m: bình phương 2 vế ( ) [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 14. (1 ) (1 ) 1 / : (1 ) 1 (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 2(1 ) (1 ) 1 ( ) 2 ( 2 ) ( 2 1) 0 ( ) ( 1) 0 x y xy C m xy x y x y xy x y x y x y xy xy x y xy x y xy x xy y x y xy xy x y xy + ≥ + + + + + + + ≥ + + ⇔ + + + + + ≥ + + + ⇔ + + ≥ + ⇔ − + + − + ≥ ⇔ − + − ≥ 15. 1 1 1 8 a b c b c a + + + ≥ ÷ ÷ ÷ 2 16. 2 1 / : ( ) 4 ( ) 4 ab bc ac a b c a b b c a c ab C m a b ab a b a b + + + + ≤ + + + + ≥ ⇔ ≤ + + 2 2 3 3 17. 2 2 2 a b a b a b+ + + × ≤ 3 3 3 18. a b c a b c bc ca ab + + ≥ + + C/m:a 4 + b 4 ≥ 2a 2 b 2 ⇒ a 4 + b 4 + c 4 ≥ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 a 2 b 2 + b 2 c 2 ≥ 2ab 2 c ⇒ a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ≥ abc(a + b + c) a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c) , chia abc ⇒ cba ab c ca b bc a ++≥++ 333 19. )( 1 caa + + )( 1 abb + + 2 1 27 ( ) 2( )c c b a b c ≥ + + + C/m: )( 1 caa + + )( 1 abb + + )( 1 bcc + 3 ))()(( 3 accbbaabc +++ ≥ a + b + c 3 3 abc≥ , a + b + c = 2 1 (a+ b+b+c+c+a) 3 ))()(( 2 3 accbba +++≥ (a+b+c) 2 3 ))()(( 2 9 abcaccbba +++≥ thay vào đpcm . b+b+c+c+a) 3 ))()(( 2 3 accbba +++≥ (a+b+c) 2 3 ))()(( 2 9 abcaccbba +++≥ thay vào đpcm