Một số pp cm bất đẳng thức cực hay

CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ - CỰC TRỊ ĐẠI SỐ I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Định nghĩa về BĐT: 2/Tính chất của bất đẳng thức ( Xem SGK toán 8). 3/ Một số phương pháp chứng minh BĐT *PP1: Dựa vào định nghĩa. Để cm BĐT A ≥ B ta làm như sau: B1: Xét hiệu A – B B2: Dùng lập luận chỉ ra A – B ≥ 0 B3: Kết luận (bao gồm cả việc chỉ ra dấu bằng nếu có). Ví dụ : cmr a 2 + b 2 + 1 ≥ ab + a + b. HD: Xét a 2 +b 2 +1 – ab-a-b = … = 2 1 ( ) ( ) ( ) [ ] 222 11 −+−+− baba ba,0 ∀≥ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b =1. KL: …. *PP2: Biến đổi tương đương. Để cm A < B ta biến đổi A < B ⇔⇔ . C < D. Mà BĐT C < D đúng nên BĐT cần cm cũng đúng. Ví dụ : Cmr a >2; b >2 thì ab > a + b.(1) HD: Ta có (1) ⇔ ab – a – b + 1 >1 ⇔ …… ⇔ (a – 1)(b – 1) >0 (2) Mà a > 2, b > 2 suy ra a – 1 > 1 > 0 ; b – 1 > 1 > 0 suy ra (2) luôn đúng. Vậy BĐT (1) được cm. *PP3: Làm trội – Làm giảm (sử dụng tính chất bắc cầu) Ví dụ: Cmr n 1 3 1 2 1 1 1 ++++ > n với n ∈ N, n>1. HD: n 1 3 1 2 1 1 1 ++++ > nnn 1 . 11 +++ > n n n = *PP4: Phương pháp phản chứng. Để cm A > B ta giả sử BA ≤ và lập luận chỉ ra giả sử sai, suy ra đpcm. Ví dụ: Cho a + b = 2mn Cmr ít nhất 1 trong 2BĐT sau là đúng: bnam ≥≥ 22 ; HD: Giả sử cả 2 BĐT trên là sai. Ta có: m 2 < 2a ; n 2 < 2b suy ra m 2 + n 2 – (a + b) < 0 suy ra (m – n ) 2 < 0 – vô lí Vây ta có đpcm. *PP5: Vận dụng các BĐT có chứa dâu giá trị tuyệt đối. AA, ∀≥ A ; AAA ∀−≥ , ; AA ∀≥ ,0 . BABA +≥+ . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi A.B ≥ 0 BABA −≥− . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi B(A – B) ≥ 0 *PP6: Vận dụng BĐT Cauchy – BĐT Bunhiacôpxki. - BĐT Cauchy: Cho 2 số a,b không âm, ta có : abba 2 ≥+ Dấu “ = ‘’ xảy ra khi và chỉ khi a = b ≥ 0 HQ1: Nếu 2 số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau. HQ2: Nếu 2 số không âm có tổng không đổi tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau. - BĐT Bunhiacopxki: Cho 2 cặp số (a;b) và (x;y) : (ax + by) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ). Dấu bằng xẳy ra khi và chỉ khi y b x a = ( giả thiết các tỉ số có nghĩa). - Chú ý: + BĐT cauhy, BĐT Bunhiacôpxki còn được viết ở một số dạng khác. + Nếu sử dụng BĐT cauchy với 3 số không âm trở lên và sử dụng BĐT Bunhiacôpxki cho 2 bộ số mỗi bộ số từ 3 số trở lên thì phải chứng minh mới được dùng. *PP7: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt bậc hai(- kiến thức về phương trình bậc hai). *PP8: Quy nạp toán học. *PP9: Dùng toạ độ hình học( PP này đề nghị h ọc sinh tìm hiểu thêm). 5/ PP chung để giải bài toán GTLN, GTNN của biểu thức A(x) xác định trên miền D là: • Với bài toán tìm GTLN: B1: Cm A(x) ≤ m- hằng số Dx ∈∀ B2: Chỉ ra tồn tại x = x 0 D ∈ để tại đó A(x 0 ) = m. B3: Kết luận GTLN của A là m hay MaxA = m khi x= x 0 . • Với bài toán tìm GTNN ta làm tương tự. 6/ Một số chú ý khi giải bài toán GTLN, GTNN : - Có khi phải thay bài toán đã cho bởi bài toán tương đương. + MinA ⇔ Min A 2 với A > 0. + Min A ⇔ - MaxA với A > 0 ( Tương tự với bài toán tìm GTLN). - Có khi phải tìm cực trị trong từng khoảng của biến rồi so sánh để tìm cực trị trên D (GTLN,GTNN) 7/Một số sai lầm có thể mắc phải khi giải bài toán BĐT - Cực trị đại số. - Trừ từng vế của hai BĐT cùng chiều. - Nhân từng vế của hai BĐT cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm. - Bình phương hai vế của BĐT mà không có giả thiết hai vế không âm. - Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu. - Nghịch đảo hai vế và đổi chiều BĐT khi chưa có giả thiết hai vế cùng dấu. - Thừa nhận x m > x n với m,n nguyên dương và m>n mà chưa biết điều kiện của x. - Sai lầm về việc sử dụng BĐT cơ bản. II/ BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Cmr: x 2 + 2y 2 + z 2 ≥ 2xy – 2yz. 2/ Cmr: a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a( b + c + d + e ) 3/ Cmr: 2 1 2 2 2 ≥ + + x x 4/ Cho a,b ≥ 1, cmr: ababba ≤−+− 11 5/ Cmr 3(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a + b + c) 2 6/ Cmr với a,b ≥ 0 thì baba +≥+ 7/ Cmr: ab ba + ≥ + + + 1 2 1 1 1 1 22 8/ Cmr: 22 22 baba + ≤ + 9/ Cmr: nnn 2 1 . 2 1 1 1 ++ + + + > 2 1 với n > 1, n N ∈ 10/Chứng tỏ rằng trong các BĐT sau có ít nhất 1 BĐT là sai: a/ aba − <0 ; acb − <0 ; abc − <0 với a,b,c >0 b/ a( 2-b ) > 1 ; b( 2-c ) > 1 ; c( 2-a ) > 1 với 0 < a,b,c < 2 11/Cmr: a/ yxyx + ≥+ 411 với x,y >0. b/ 14 32 22 ≥ + + ba ab với a,b >0 và a + b 1 ≤ 12/ Cmr: a/ 853 ≥−+−++ yxyx b/ 2 ≥+ x y y x với x,y ≠ 0 13/ Cho 3;3;3 ≥≥≥ zyx .Cmr 1 ≤ ++ xyz zxyzxy 14/ Cmr: a/ 3(x 2 +y 2 +z 2 ) ≥ (x+y+z) 2 ≥ 3(xy+yz+zx). b/ a 4 + b 4 + c 4 ≥ abc(a + b + c) 15/ Cho x > y và xy = 1. Cmr 22 22 ≥ − + yx yx 16/ Cho x 2 + 4y 2 = 1. Cmr: 2 5 2 5 ≤−≤− yx 17/ Cmr: 2 n+2 > 2n + 5 với mọi n nguyên dương. 18/ Tìm GTNN của các biểu thức sau: a/ A = x 2 – 4x + 7 b/ B = x 4 + 2x 3 + 3x 2 +2x +1 c/ C = 1 324 2 2 + ++ x xx d/ H = 2 1 35 x x − − e/ E = ( ) x x 2 2008 + với x > 0. 19/ Tìm GTNN, GTLN của S = y – 2x + 5 biết 36x 2 + 16y 2 = 9 20/ Tìm GTLN của các biểu thức sau: a/ x x y 1 − = b/ 2 1 xxy −= c/ 2 2 xxy −+= d/ y = x 3 (16 – x 3 ) với 0 < x 3 <16 III/ GỢI Ý CÁCH GIẢI * Các bài từ bài 1 đến bài 5 dùng định nghĩa ( có thể có cách khác VD bài 3 có thể dùng BĐT cauchy) * Bài 6 đến bài 8 dùng pp biến đổi tương đương. - Chú ý : -Bài 8 ta phải xét 2 TH của vế trái hoặc ta chứng minh VP 22 baba + ≥ + ≥ * Bài 9: Dùng PP làm trội làm giảm. * Bài 10: Dùng PP phản chứng. * Bài 11, bài 15. bài 18de, 20ad – Dùng BĐT cauchy. * Bài 14. bài 16,bài19, bài 20c – Dùng BĐT Bunhia- copxki. * Bài 12,13 – Dùng BĐT có chứa dấu GTTĐ. * Bài 18c – Dùng PP miền giá trị (Liên quan đến đk có nghiệm của pt bậc 2). * Bài 17- Dùng quy nạp. * Bài 20b: ĐK 1 ≤ x ( ) 2 1 2 1 2 1 111 22 2222 ≤⇒= −+ ≤−=−≤−= y xx xxxxxxy Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 2 2 KL: GTLN là 2 1 khi x = …. Chú ý: Mỗi bài toán có thể có nhiều cách giải khác nhau. Giáo viên thực hiện : Lê văn Quynh – THCS Yên Phong Hoàn thành ngày 06/06/2008. . CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ - CỰC TRỊ ĐẠI SỐ I/ KIẾN THỨC CẦN NHỚ: 1/ Định nghĩa về BĐT: 2/Tính chất của bất đẳng thức ( Xem SGK toán 8). 3/ Một số phương. cực trị trong từng khoảng của biến rồi so sánh để tìm cực trị trên D (GTLN,GTNN) 7 /Một số sai lầm có thể mắc phải khi giải bài toán BĐT - Cực trị đại số.