Tuyển chọn một số bài toán bất đẳng thức thức hay

Tailieumontoan.com TUYỂN CHỌN VÀ GIỚI THIỆU MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn T= biểu thức: 1 + +  a + b + c Tìm giá trị lớn a b c 1 + + 2 + a + b + c2 Lời giải Dự đoán giá trị lớn T xẩy a = b = c = Như ta cần chứng minh bất đẳng thức T = 1 + +  Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng 2 + a + b + c2 minh tương đương với 1 1 1 a2 b2 c2 − + − + −   + + 1 2 + a 2 + b2 2 + c a + b2 + c + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có (a + b + c ) a2 b2 c2 + +  a + b2 + c + a + b2 + c + Phép chứng minh hoàn tất ta (a + b + c ) a +b +c +6 2   ( a + b + c )  a + b2 + c +  ab + bc + ca  Để ý ta viết lại giả thiết thành ab + bc + ca  abc ( ab + bc + ca ) Mà ta có abc ( ab + bc + ca ) Do ta có (ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca )   ab + bc + ca  ab + bc + ca  Như bất đẳng thức chứng minh Vậy giá trị lớn T 1, xẩy a = b = c = Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: b+c −a c +a − b a + b−c + + 4 a + bc b2 + ca c + ab Lời giải Trước hết ta pháp biểu bất đẳng thức phụ Cho hai số a, b, c x, y, z thỏa mãn điều kiện a  b  c; x  y  z Khi ta ln có ax + by + cz  Nguyễn Công Lợi (a + b + c )( x + y + z ) Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Trở lại toán Do a + b + c = nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( b + c − a )( a + b + c ) + ( c + a − b )(a + b + c ) + (a + b − c )(a + b + c )  a + bc ( b + c)  ( b + c)  ( b + c)  − a2 a + bc (c + a) + b2 + ca − b2 b2 + ca − a2 a + bc (c + a) +1+ (a + b ) + c + ab − c2 c + ab − b2 b2 + ca 4 (a + b) + 1+ − c2 c + ab +1 ( c + a ) + ca + ( a + b ) + ab  bc + + a + bc a + bc b2 + ca b2 + ca c + ab c + ab 2 Mà theo bất cẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có ( ab + bc + ca ) bc ca ab + +  =1 a + bc b2 + ac c + ab bc a + bc + ca b2 + ca + ab c + ab ( Như ta cần chứng minh ) ( ) ( b + c ) + ( c + a ) + (a + b) 2 a + bc b2 + ca c + ab ( )  Thật bất đẳng thức tương đương với (b + c) (c + a) −2+ (a + b ) −2+ −20 a + bc b2 + ca c + ab b2 + c − 2a c + a − 2b a + b − 2c  + + 0 a + bc b2 + ca c + ab Không tính tổng quát ta giả sử a  b  c  b2 + c − 2a  c + a − 2b2  a + b − 2c  Khi ta có  1  +   a + bc b2 + ca c + ab Áp dụng bất đẳng thức phụ ta thu b + c − 2a c + a − 2b a + b − 2c + + a + bc b + ca c + ab  1   b + c − 2a + c + a − 2b + a + b − 2c  + + =0  a + bc b + ca c + ab  ( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc + ( c + a )(a + b ) ca + ( c + b )(a + b ) ab 4abc  1+ ( c + a )( c + b ) (a + b )( b + c )( c + a ) Lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ( a + b )( a + c )  a + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có bc Do ta bc = ( c + a )( b + a ) bc ( a + b )( a + c ) ( a + b )( a + c )  ( bc a + bc )= ( a + b )( a + c ) abc a bc + (a + b )(a + c ) (a + b )(a + c ) Chứng minh hồn tường tương tự ta có ca b ca  abc + ( a + b )( b + c ) ( a + b )( b + c ) (a + b )( b + c ) ab c ab  abc + ( a + c )( b + c ) ( a + c )( b + c ) (a + c )( b + c ) Suy bc + ( c + a )(a + b ) ca + ( c + b )(a + b ) ab  M + N , ( c + a )( c + b )   a b c M = abc  + +   ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c )  bc ca ab N= + + ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c ) Mặt khác ta có bc ca ab 2abc + + + ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c ) (a + b )( b + c )( c + a ) = = bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + ab ( a + b ) + 2abc ( a + b )( b + c )( c + a ) a b + ab + b c + 2bc + c 2a + ca + 2abc ( a + b )( b + c )( c + a ) = =1 ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) Do N = − 2abc Như phép chứng minh hoàn tất neeusta ( a + b )( b + c )( c + a )   a b c 2abc abc  + +  +1− (a + b )( b + c )( c + a )  ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c )  4abc  1+ ( a + b )( b + c )( c + a )   a b c 6abc  abc  + +   ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c )  ( a + b )( b + c )( c + a )  a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b )  abc Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Dễ thấy theo bất đẳng thức AM – GM ta ln có a ( b + c ) + b ( c + a ) + c (a + b )  a bc + b ca + c ab = abc Vậy bất đẳng thức cho chứng minh, đẳng thức xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 S= + b2 b3 + + c2 + c3 + a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có S=  a3 + b2 b3 + (a + c2 c3 + + b2 + c ) a4 = + a2 a + b2 + b4 b + c2 + c4 c + a2 a + b2 + b + c + c + a = a + b2 + b + c + c + a Lại áp dụng bất đẳng thức ta có (a a + b2 + b + c + c + a  = Từ ta có (a )( ) ) + b2 + b2 a + b2 + c + = ( + ) = a 1+ b + b 1+ c + c 1+ a )( + b2 + b2 a + + b2 + + c + 2  = 3 suy S  , dấu xẩy 2 a = b = c = Vậy giá trị nhỏ S , xẩy a = b = c = Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x (x + 2) 2x + + y ( y + 2) 2y + + z (z + 2) 2z + 0 Lời giải • Xét trường hợp xyz = , kết hợp với giả thiết ta suy trường hợp sau xẩy x = 0; y = −z y = 0; x = −z z = 0; x = −y Nếu x = 0; y = −z bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y ( y + 2) 2y + Nguyễn Công Lợi + y ( y − 2) 2y + 0 y + 2y + y − 2y   y2  2y + Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy x = y = z = Với y = 0; x = −z z = 0; x = −y chứng minh hoàn toàn tương tự • Xét trường hợp xyz  , x + y + z = nên tồn hai số dấu, khơng tính tổng quát ta giả sử hai số y z, ta có yz  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2x ( x + ) +1+ 2x +  2y ( y + ) 2y + 2z ( z + ) +1+ 2z + +1 2x + 4x + 2x + 2y + 4y + 2y + 2z + 4z + 2z + + + 3 2x + 2y + 2z + ( 2x + 1) + ( 2y + 1) + ( 2z + 1)  2 2x + 2y + 3 2z + Để ý x + y + z = yz  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có ( 2y + 1) + ( 2z + 1) 2y + 2z +  ( y + z + 1) y2 + z2 + ( x − 1) = ( y + z) 2 − 2yz + = ( x − 1) x − 2yz + ( 2x + 1) Như phép chứng minh kết thúc ta 2 2x2 + +  ( x − 1) x2 + ( x − 1) x2 +  Bất đẳng thức tương đương với ( 2x + 1) ( x + 1) + ( x − 1) ( 2x + 1)  ( 2x + 1)( x + 1)  ( x + 1) ( 2x + 1) − ( 2x + 1)  + ( x − 1) ( 2x + 1)    2 2 ( ) 2 2 ( 2 )  x +  −2x + 4x −  + ( x − 1) 2x +  ( ) ( )  − x + ( x − 1) + ( x − 1) 2x +   ( x − 1) x  2 Bất đẳng thức cuối nên ta có ( 2x + 1) 2 2x2 + + ( x − 1) x2 +  Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy ( x; y; z ) =  1; − 21 ; − 21  hoán vị   Bài Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: (a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) Nguyễn Công Lợi 5  960 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Lời giải Để ý a − b + b − c + c − a = Đặt a − b = x; b − c = y suy c − a = − ( x + y ) Từ ta có phép biến đổi ( ) x + y − ( x + y ) = − x + 5x y + 10x y +10x y + 5xy + y + x + y 5 ( ) ( = − 5x y + 10x y + 10x y + 5xy = −5xy x + 2x y + 2xy + y ( ) ( ) = −5xy ( x + y ) x − xy + y + 2xy ( x + y )  = −5xy ( x + y ) x + xy + y   ) Như ta có (a − b) + ( b − c ) + (c − a ) 5 ( = ( a − b )( b − c )( c − a ) a + b + c − ab − bc − ca ) Đặt A = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) , kết hợp với a2 + b2 + c2 = ta có 5 ( A = ( a − b )( b − c )( c − a ) a + b2 + c − ab − bc − ca = ( a − b )( b − c )( c − a )( − ab − bc − ca ) ) Suy A2 = 25 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( − ab − bc − ca ) 2 2 Do vai trò a, b, c nên ta giả sử a  b  c Khi ta có ( a − b ) ( b − c ) = ( a − b )( b − c ) 2 (a − c )  16 A2 = 25 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( − ab − bc − ca )  2 2 Như ta có 25 a − c ) ( − ab − bc − ca ) ( 16 Đặt t = ab + bc + ca Ta có t = ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 = Lại có (a + b + c ) = a + b2 + c + ( ab + bc + ca ) = 2t +   t  −4 Như ta có −4  t  Mặt khác ta có ( a − b ) + ( b − c )  Do ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  2 2 2 1 a − b + b − c ) = (a − c ) ( 2 a − c ) nên ta ( ( ) a + b2 + c − ab − bc − ca  2 32 − 4t a − c )  (a − c )  ( 3 25  32 − 4t  100 − t) = − t) Như ta suy A   ( (  16   27 Do −4  t  nên suy  − t  − ( −4 ) = 12 Từ  A2  100 12  A  960 27 Vậy ta có ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  960 Bất đẳng thức chứng minh Nguyễn Công Lợi 5 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ( ) + (a + b + c ) a + b3 + c a + b2 + c abc  33 Lời giải Bất đẳng thức cho có dạng đồng bậc nên khơng tính tổng qt ta chọn a + b + c = Ta có phép biến đổi sau ( a + b + c = ( a + b + c ) − a b + ab + b c + bc + c 2a + ca + 2abc ) = ( a + b + c ) − ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − abc  a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) Khi bất đẳng thức cho viết lại thành 2 ( a + b + c ) − ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − 3abc  (a + b + c )  +  33 abc a + b + c − ab + bc + ca ( ) ( ) Đặt x = a + b + c; y = ab + bc + ca; z = abc , theo cách chuẩn hóa ta có x = Khi bất dẳng thức viết lại thành (1 − 3y + 3z ) z + (1 − 3y ) 9  33  +  27 − 2y z − 2y Dễ thấy theo bất đẳng thức AM – GM ta có ( a + b + c )( ab + bc + ca )  9abc Do ta xy  9z  z  (1 − 3y ) 18 (1 − 3y ) xy y 9 +  + = nên ta có z − 2y y − 2y 9 Phép chứng minh hoàn tất ta (a + b + c ) Thật ý ab + bc + ca  18 ( − 3y ) y + 18 (1 − 3y ) y y +  27 − 2y , từ ta có  27  (1 − 3y )(1 − 2y ) + y  3y (1 − 2y ) − 2y  18y − 12y +   ( 3y − 1)  Bất đửng thức cuối nên bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca  abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ab bc ca P= + + c ( ac + bc ) a ( ab + ac ) b ( ab + bc ) Lời giải Từ ab + bc + ca  abc suy 1 + +  Đặt a b c a= 1 ; b = ; c = , giả thiết x y z toán viết lại thành x2 + y2 + z2  Ta có biểu thức P trở thành x y2 y z2 y3 x3 z3 z x P= + + = + + 2 2 1 1  1 1  1 1  y +z z +x x +y + + +       z  x2 z2 y2 z2  x  x2 y2 x2 z2  y  x2 y y z2  2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có y3 y4 x3 z3 x4 z4 + + = + + y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2 x y2 + z2 y z2 + x2 z x2 + y2 (  ) (x ( ( ) ( + y2 + z2 ) ( ) ) ) ( x y2 + z2 + y z2 + x2 + z x2 + y2 ) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có ( ) ( ) ( ) = x ( y + z ) y + z + y ( z + x ) z + x + z ( x + y ) x + y   x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )  ( y + z ) + ( z + x ) + ( x + y )      (x + y + z ) x + y + z = ( x y + y z + z x )( x + y + z )  ( ) x y2 + z2 + y z2 + x2 + z x2 + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =2 2 ( x + y2 + z2 (x Như ta có P  2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + y2 + z2 ( ) 2 x + y2 + z2 ) = 3 x + y2 + z2 = Dấu xẩy 2 x = y = z Vậy giá trị nhỏ P , xẩy x = y = z = hay a = b = c = Bài Tìm số nguyên dương n lớn để bất đẳng thức sau thỏa mãn Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An n ( na + b + c ) Tailieumontoan.com 1 + +  4 n (a + nb + c ) n (a + b + nc ) 16 1 + + a+b+c a b c Trong a, b, c số thực dương thỏa mãn Lời giải Vì bất đẳng thức n ( na + b + c ) thực dương a, b, c thỏa mãn + n (a + nb + c ) + n (a + b + nc )  với số 16 1 + +  a + b + c nên bất đẳng thức thỏa mãn a b c a = b = c = Từ ta có n ( n + 2)   n ( n + )  Mà theo bất đẳng thức 16 AM – GM cho n số thực dương ta có n ( n + 2) = n ( n + )( n + ) 1  Do  n + + n + + + + 3n + = n n 3n +  n  Ta chứng minh n = giá trị cần tìm n Thật với n = bất đẳng thức viết lại thành 1 + + ( 2a + b + c ) ( a + 2b + c ) ( a + b + 2c ) Ta có 2a + b + c = ( a + b ) + ( a + c )  Hồn tồn tương tự ta có Dễ thấy (a + b )(a + c ) ( a + 2b + c )  nên  16 ( 2a + b + c )  ( a + b )( a + c ) 1 ;  ( b + c )( a + b ) ( a + b + 2c ) ( c + a )( c + b ) 1 a+b+c + + = ( a + b )( a + c ) ( b + c )( a + b ) ( c + b )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) Do ta có bất đẳng thức + + ( 2a + b + c ) ( a + 2b + c ) ( a + b + 2c ) 2  a+b+c ( a + b )( b + c )( c + a ) Như ta cần chứng minh bất đẳng thức a+b+c   ( a + b + c )  ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) 16 Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Để ý ta viết lại giả thiết thành ab + bc + ca  abc ( ab + bc + ca ) Mà ta có abc ( ab + bc + ca ) (ab + bc + ca ) Do ta có ( ab + bc + ca )   ab + bc + ca  ab + bc + ca  Như ta có ( a + b + c )  ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Dễ dàng chứng minh ( a + b + c )( ab + bc + ca )  ( a + b )( b + c )( c + a ) Do ta có ( a + b + c )  ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) Như bất đẳng thức chứng minh xong Vậy n = giá trị cần tìm Bài 10 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a + bc + b2 + ca + c + ab  (a + b + c ) Lời giải Do vài trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử a  b  c Khi ta có a + bc  a + c c2 c2  a + bc  a + ac +   c ( a − b ) + , bất đẳng thức 4 cuối a  b  c  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có b2 + ca + c + ab  Như ta có (1 + 1) ( b ) ( + ca + c + ab = b2 + c + ca + ab ( c a + bc + b2 + ca + c + ab  a + + b2 + c + ab + ac ) ) Phép chứng minh kết thúc ta ( ) c a + + b2 + c + ab + ac  ( a + b + c ) 2 Bất đẳng thức tương đương với ( ) b2 + c + ab + ac  a + 3b + 2c Thật bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh ta a + 9b + 4c + 6ab + 12bc + 4ca 2  a + b − 4c − 2ab + 12bc − 4ca  ( ) b2 + c + ab + ac   a + b + 4c − 2ab + 4bc − 4ab + 8bc − 8c   ( a − b − 2c ) + 8c ( b − c )  Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Lại có a + b + c  ( Tailieumontoan.com a + b + c = nên ( a + b + c )  ) a + bc Hay a b+c + b2 + ca b c +a + c + ab c a+b  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Bài 52 Cho biểu thức P = a2 + b2 + c2 + d2 + ac + bd , ad − bc = Chứng minh rằng: P  Lời giải Cách Ta có ( ac + bd ) + ( ad − bc ) 2 = a c + 2abcd + b 2d + a 2d − 2abcd + b c ( ) ( )( ( ) ( )( = a c + d2 + b2 d2 + c = a + b2 c + d2 Vì ad − bc = nên + ( ac + bd ) = a + b2 c + d2 ) ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta P = a + b2 + c + d2 + ac + bd  (a )( ) + b2 c + d2 + ac + bd Suy ta P  + ( ac + bd ) + ac + bd Rõ ràng P  + ( ac + bd )  ac + bd 2 Đặt x = ac + bd , ta ( ) ( ) P  + x + x  P  + x + 4x + x + x = + x + 4x + x + 4x + Hay P  ( ) + x + 2x +  Do ta P  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy ad − bc =  2a = 3d − c  2b = − 3c − d Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  ( ad − bc ) Hay a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com a ( ) 3d − c  a ( ( + ) b − 3c − d  b2 + 3d − c ( ) = a2 + − 3c − d ) 3d − 3cd + c = b2 + 3d + 3cd + c Cộng theo hai bất đẳng thức ta a + b2 + c2 + d2 + ac + bd  a ( ) ( 3d − c + b − 3c − d ) Bài toán chứng minh xong Bài 53 Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x + y + z = Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M = x + y + z + 12 (1 − x )(1 − y )(1 − z ) Lời giải Đặt a = x − 1; b = y − 1; c = z − , ta −1  a; b; c  a + b + c = Biểu thức M viết lại thành ( ) ( ) M = a + b4 + c + a + b3 + c + a + b2 + c + ( a + b + c ) + − 12abc Để ý a + b + c = a3 + b3 + c3 − 3abc = nên biểu thức thử thành ( ) M = a + b4 + c + a + b2 + c + Theo đánh giá quen thuộc a + b + c  abc ( a + b + c ) = a + b2 + c  a + b + c) = ( Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a = b = c = hay x = y = z = Mặt khác −1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có a  a  a ; b4  b2  b ; c  c  c ( ) ( ) Suy M = a + b4 + c + a + b2 + c +  a + b + c + Mà ta lại có a + b + c = nên ba số a, b, c có hai số âm, tức ln tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số b c Khi ta Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com b + c = b+c = a Đến ta có M  14 a +  17 hay giá trị lớn M 17 Đẳng thức xẩy a = 1; b = −1; c = hoán vị hay x = 2; y = 0; z = hoán vị Bài 54 Cho a, b, c số thực dương tùy ý Chứng minh rằng: (a b + b c + c a )(ab 2 2 ) ( )( )( + bc + ca  abc + a + abc b + abc c + abc ) Lời giải Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   + + + +  + + +   +   c a b  c a b      bc  ca  ab  Đặt x = a b c ; y = ; z =  x; y; z  0; xyz = b c a Khi bất đẳng thức trở thành ( xy + yz + zx )( x + y + z )  + Đặt t = 3   x  y  z  z + 1  x + 1  y + 1     ( x + y )( y + z )( z + x )  ( x + y )( y + z )( z + x ) + xyz  +  ( x + y )( y + z )( z + x ) +  + ( x + y )( y + z )( z + x ) xyz ( x + y )( y + z )( z + x ) suy t  Khi ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành t +  + t  t +  + 2t + t  t ( t − )( t + 1)  Bất đẳng thức cuối t  Vậy toán chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  a2  b2  c   a b c  b c a   c + a + b  c + a + b   +  bc +  ca +  ab +         Hay 3+  a2  b2  c  bc ca ab a b2 c  + + + + +  + + +   +  2 bc ca ab a b c  bc  ca  ab  a2 b2 c2 ; y= ; z= , ta có xyz = bc ca ab Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Đặt x = Tailieumontoan.com Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 1 + +  + (1 + x )(1 + y )(1 + z ) x y z 3+x+y+z+ Hay + x + y + z + xy + yz + zx  + + x + y + z + xy + yz + zx Đặt t = + x + y + z + xy + yz + zx Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x + y + z + xy + yz + zx  t  2+6 = Do ta có Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành t +  + t  t +  t + 2t +  t ( t + 1)( t − )  Đánh giá cuối với t  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Bài 55 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc biểu thức: Lời giải Ta có a + abc = a ( a + b + c ) + abc = a ( a + b )( a + c ) Do ta a + abc = a ( a + b )( a + c )  a (a + b + a + c ) = a ( a + 1) Chứng minh tương tự ta b + abc  b ( b + 1) ; c + abc  c ( c + 1) Do ta a ( a + 1) a + abc + b + abc + c + abc  + b ( b + 1) + c ( c + 1) Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có a ( a + 1)  a +1 b+c   a + b+ c +1 + abc  a  + = a  = a     Chứng minh tương tự ta b ( b + 1) Nguyễn Công Lợi + abc  b; c ( c + 1) + abc  c Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Như ta có P = a2 + abc + b2 + abc + c2 + abc + abc  a + b + c + abc Mà ta có a+b+c a + b + c  ( a + b + c ) = 3; abc   =  3   Nên ta suy P  + = Vậy giá trị lớn P = Đẳng thức xẩy a = b = c = 3 Bài 56 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b   c; c  b + 1; a + b  c 2ab + a + b + c ( ab − 1) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = ( a + 1)( b + 1)( c + 1) Lời giải Cách Ta có Q= = 2ab + a + b + c ( ab − 1) ( a + 1)( b + 1)( c + 1) = ( a + 1)( b + 1) + (ab − 1)( c + 1) ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ab − 1 ab − + = + c + ( a + 1)( b + 1) a + b + ab + a + b + Từ giả thiết a + b  c  b +  b  a   ( a − 1)( b − 1)   ab  a + b −  c −  Q Suy ab − + ab + 2 ( ab + 1) Đặt x = ab  x  , ta Q  Suy Q− Do ta có Q  x −1 + x + 2 ( x + 1) ( x − )( x + )  x −1  + − = 12 x + 2 ( x + 1) 12 12 ( x + 1)( x + ) 5 Đẳng thức xẩy Vậy giá trị nhỏ Q 12 12 a = 1; b = 2; c = Cách Nhận thấy a + b  c  b +  a  ta c   b  a  Khi ( a − 1)( b − 1)   ab  a + b −  c − Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com 2ab + a + b + c ( ab − 1) 5  Ta chứng minh Q  Thật Q = 12 ( a + 1)( b + 1)( c + 1) 12 7abc + ( a + b ) + 19ab − 5c ( a + b ) − 17c −  Tương đương với Đặt A = 7abc + ( a + b ) + 19ab − 5c ( a + b ) − 17c − ta có A = 7abc + ( a + b ) + 19ab − 5c ( a + b ) − 17c − = 5abc + 2abc + ( a + b ) + 19ab − 5c ( a + b ) − 17c −  5c ( a + b − 1) + ( c − 1) + 7c + 19 ( c − 1) − 5c ( a + b ) − 17c − = 10c − 30  Bất đẳng thức chứng minh Vậy giá trị nhỏ Q Đẳng thức xẩy a = 1; b = 2; c = 12 Cách Ta có a + b  c  a + b − c  Từ a + b  c  b +  a  mà b  a Do ta ab  a + b − ab  c −   (a − 1)( b − 1)   a + b  ab +  a + b  ab + Khi ta Q= 2ab + a + b + c ( ab − 1) = 2ab + a + b − c + abc 2ab + abc  ( a + 1)( b + 1)( c + 1) (a + 1)( b + 1)( c + 1) ( a + 1)( b + 1)( c + 1) ab ( + c ) ab ( + c ) ab ( + c ) =  = ( ab + a + b + 1)( c + 1) ( ab + ab + + 1)( c + 1) (ab + 1)( c + 1) c+2 c + ( c − 1)( c + ) 1 =  = = −  c + c 12 2c ( c + 1)   c +1   c +1 1+ 1+   ab  Vậy giá trị nhỏ Q   c −  Đẳng thức xẩy a = 1; b = 2; c = 12 Bài 58 Cho a,b,c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: + 3a + 3b + 3c + + 6 + b2 + c + a Lời giải Cách Ta viết lại vế trái thành + 3a + 3b + 3c 1 3a 3b 3c + + = + + + + + 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a + b + c + a + b + c + a2 Ta chứng minh Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com 1 a b c + +  ; + +  2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1 + +  Ta có hướng sau 2 2 1+ b 1+ c 1+ a + Trước hết ta chứng minh Hướng Khơng tính tổng qt, giải sử a  b  c Do ab + bc + ca =  bc  Ta chứng minh bất đẳng thức sau: Với x, y  0; xy  ta có 1 +  y + z + yz + ( ) ( )( ) Thật vậy, ta có: y + z + ( yz + 1)  y + z +  ( y − z ) ( yz − 1)  Do vai trò biến nên khơng tính tổng qt ta giả sử a  b  c Khi ta 3bc  ab + bc + ca  bc  Khơng tính tổng qt, giải sử a  b  c Do ab + bc + ca =  bc  Áp dụng bất đẳng thức ta P= 1 1 + +  + a + b + c + a + bc + Do ta chứng minh: 2a + bc + 3 +     a ( a + b + c − 3abc )  2 a + bc + a bc + a + bc + Từ giả thiết suy a + b + c  abc  Do a + b + c − 3abc  Do ta 1 1 + +  +  a + b + c + a + bc + 2 Hướng Biến đổi biểu thức vế trái sau P=  a2 1 b2 c  + + = − + +   2 2 a +1 b +1 c +1  a +1 b +1 c +1 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta 4a 4a a2 a2 a a2 =  + = + 3a + 3a + ab + bc + ca a + ab + ac 2a + bc a + b + c 2a + bc Áp dụng tương tự với hai biểu thức lại ta 4a 4b2 4c a2 b2 c2 + +  1+ + + 3a + 3b2 + 3c + 2a + bc 2b + ca 2c + ab Ta chứng minh Nguyễn Công Lợi a2 b2 c2 + + 1 2a + bc 2b2 + ca 2c + ab Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với   a2 b2 c2 − + +   2a + bc 2b + ca 2c + ab  bc ca ab + +  2a + bc 2b + ca 2c + ab Hay Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ( bc ) + ( ca ) + ( ab ) bc ca ab + + = 2a + bc 2b2 + ca 2c + ab 2a bc + b c 2ab c + c 2a 2abc + a b 2  ( ab + bc + ca ) 2 a b2 + b2 c + c 2a + 2abc ( a + b + c ) =1 Như bất đẳng thức chứng minh + Chứng minh a b c + +  2 2 1+ b 1+ c 1+ a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a ab2 ab2 ab =a− a− =a− 2b b +1 b +1 b bc c ca  b− ; c− a +1 c +1 Tương tự ta có Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b c ab + bc + ca + +  a+ b+c− =a+b+c− 2 b +1 c +1 a +1 Mặt khác ta có (a + b + c )  ( ab + bc + ca )  a + b + c  a b c + +  2 2 1+ b 1+ c 1+ a Suy Vậy bất đẳng thức chứng minh xong Đẳng thức xẩy a = b = c = Cách Ta viết lại vế trái thành + 3a + 3b + 3c 1 3a 3b 3c + + = + + + + + 2 2 2 2 1+ b 1+ c 1+ a + b + c + a + b + c + a2 Khi áp dụng ta đẳng thức Cauchy ta b2 b2 b = −  − = 1− 2 2b b +1 b +1 Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com c a Hoàn toàn tương tự ta  1− ;  1− a +1 c +1 Khi ta có bất đẳng thức 1 a+b+c + +  3− b +1 c +1 a +1 Mặt khác ta lại có a b c ab + bc + ca + +  a+ b+c− =a+b+c− 2 b +1 c +1 a +1 Do ta (a + b + c ) 1 3a 3b 3c + + + + +  + − 6 2 + b2 + c + a + b2 + c + a Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 59 Cho a, b, c ,d số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c + d = Tìm giá a + b4 + c + d4 a + b3 + c + d3 P= trị nhỏ biểu thức: Lời giải Cách Dự đoán dấu đẳng thức xẩy a = b = c = d = Điều tương đương với chứng minh 3 Ta chứng minh P  4 a + b4 + c + d4  a + b3 + c + d3 Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta có (  (a  (a ) ( ) + d )  (a + b + c + d ) (a + b + c + d ) + d )  a ( b + c + d ) + b (a + c + d ) + c (a + b + d ) + d (a + b + c ) a + b4 + c + d4  a + b3 + c + d + b4 + c 4 + b4 + c 4 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a4 + a4 + a4 + b4 = 4a3 b; a4 + a4 + a4 + c4 = 4a3c; a + a + a + d4 = 4a 3d ( ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta 9a + b4 + c + d4  4a ( b + c + d ) Hoàn toàn tương tự ta ( ) 9c + ( a + b + d )  4c ( a + b + d ) 9d + ( a + b + c )  4d ( a + b + c ) 9b4 + a + c + d4  4b3 ( a + c + d ) 4 4 4 4 Do ta Nguyễn Cơng Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ( 12 a + b + c + d 4 4 Tailieumontoan.com )  4a ( b + c + d ) + 4b3 ( a + c + d ) + 4c ( a + b + d ) + 4d (a + b + c ) Hay ( ) a + b4 + c + d4  a ( b + c + d ) + b3 ( a + c + d ) + c ( a + b + d ) + d ( a + b + c ) Vậy bất đẳng thức chứng minh 3 , đạt a = b = c = d = 4 Suy giá trị nhỏ P Cách Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta ( ) ( )(a + b ); )  (a + b a + b4 + c + d4  a + b2 + c + d2 (a + b4 + c + d4 2 + c + d2 3 + c3 + d3 ) Nhân theo vế bất đẳng thức ta ( a + b4 + c + d4 ( Hay 16 a + b4 + c + d4 ) )  (a + b3 + c + d3 (  a + b3 + c + d3 ) (a 2 ) (a 2 + b2 + c + d2 + b2 + c + d2 ) ) Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có ( ) a + b2 + c + d2  ( a + b + c + d ) = Do ( a + b3 + c + d3 ) (a 2 ) ( + b2 + c + d2  a + b3 + c + d ( ) ( ) ( ( Suy ta 16 a + b4 + c + d4 Hay a + b4 + c + d  a + b + c + d Do ta Suy giá trị nhỏ P  a + b3 + c + d3 ) ) 2 ) a + b4 + c + d4 P=  a + b3 + c + d3 3 , đạt a = b = c = d = 4 Bài 60 Giả sử a, b, c, d số thực dương thỏa mãn abc + bcd + cda + dab = ( ) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b3 + c + 9c Lời giải Do vai trò a, b, c nên ta dự đoán dấu đẳng thức xẩy a = b = c = kd , với k số dương Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta k2 a3 k3 b3 k3 c3 k3 (a ) 3abc k2 b3 3abd + + d3  k k b 3bcd + + d3  k k a 3cad + + d3  k k + b3 + c  Cộng theo vế bất đẳng thức ta ( abc + abd + bcd + cad )   3 =  +  a + b + c + 3d  k2 k k k  ( )   3  +  a + b + c + 9d  k k k  ( Hay Ta cần tìm k để ) + =  4k3 − 3k − = ta chọn k số dương k k 1 1 Đặt k =  x +  thay vào phương trình biến đổi ta thu x6 − 12x3 + = 2 x ( )( ) Giải phương trình ta x =  35 , để ý + 35 − 35 = nên ta tính k = − 35 + + 35 Do ta tính giá trị nhỏ P Đẳng thức xẩy a = b = c = 36  − 35 + + 35      − 35 + + 35 d Bài 61 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 2abc ( a + b + c )  + a b + b c + c 4a Lời giải Cách Áp dụng bất đẳng thức dạng x2 + y2 + z2  xy + yz + zx ta ( a b2 + b4 c + c 4a  abc a b + b2c + c 2a Bài toán quy chứng minh 2abc ( a + b + c )  Nguyễn Công Lợi ( ) ) + abc a b + b2c + c 2a Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com (a + b + c )  + a b + b c + c 2a 9abc ( Hay Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta a b + ) 2a 2b 2c  ; b c+  ; c a+  9b 9c 9a Cộng theo vế bất đẳng thức ta a b + b2 c + c 2a + a b + b2 c + c 2a + Hay 1 2a 2b 2c + +  + + 9a 9b 9c 3 ab + bc + ca  (a + b + c ) 9abc Như ta cần ( a + b + c )  4abc ( a + b + c ) Hay + (a + b + c ) 9abc   3abc ( a + b + c )  Đánh giá cuối đánh giá = ( ab + bc + ca )  3abc ( a + b + c ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Cách Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành 2abc ( a + b + c ) + Để ý  + a b2 + b4 c + c 4a = ( ab + bc + ca ) = a b2 + b2c + c 2a + 2abc (a + b + c ) Như ta quy toán chứng minh  a b2 + b2 c + c 2a + a b2 + b4 c + c 4a Để ý đến giả thiết ta biến đổi tương đương bất đẳng thức thành ( ) ( ) ( )  a b a + + b c b + + c 2a c +   a b ( a + b )( a + c ) + b c ( b + c )( a + b ) + c 2a ( c + b )( c + a )  a b b c c 2a    ( a + b )( b + c )( c + a )  + +   b+c c+a a+b Dễ dàng chứng minh ( a + b )( b + c )( c + a )  ( a + b + c )( ab + bc + ca ) = ( a + b + c ) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta lại có a b b c c 2a ( ab + bc + ca ) + +  = b+c c+a a+b (a + b + c ) (a + b + c ) Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Nhân theo vế hai bất đẳng thức ta  a b2 b2 c c a  ( a + b )( b + c )( c + a )  + + 4  b+c c+a a+ b Hay bất đẳng thức chứng minh Bài 62 Cho a, b số dương thỏa mãn điều kiện ( a + b ) + 4ab  12 Chứng minh rằng: 1 + + 2015ab  2016 1+ a 1+ b Lời giải ( Ta có 12  (a + b)3 + 4ab  ab ) + 4ab Đặt t = ab , t  ( ) 12  8t + 4t  2t + t −   ( t − 1) 2t + 3t +  Do 2t + 3t +  0, t nên t −   t  Vậy  ab  Dễ dàng chứng minh 1 , a, b  0,ab  +  + a + b + ab Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với 1 1 ab − a ab − b − + − 0 + 0 + a + ab + b + ab (1 + a ) + ab (1 + b ) + ab ( ) (  b − a  a ( b − a ) ( ab − 1)  b   − 0    + ab  + a + b     (1 + ab ) (1 + a )(1 + b) ) Do  ab  nên bất đẳng thức Tiếp theo ta chứng minh + ab Đặt t = ab ,0  t  ta + 2015ab  2016, a, b  0,ab  + 2015t  2016 1+ t ( ) 2015t + 2015t − 2016t − 2014   ( t − 1) 2015t + 4030t + 2014  Do  t  nên bất đẳng thức Vậy 1 + + 2015ab  2016 1+ a 1+ b Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài 63 Cho a, b,c số thực Chứng minh rằng: (a )( )( ) +1 b +1 c +1  2 (a + b + c ) Lời giải Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( 2a )( ) ( )( + 2b2 + 2c +  2a + 2b + 2c ) Đặt x = a 2; y = b 2; z = c Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành (x ( )( )( )( ) + y2 + z2 +  ( x + y + z ) ) Ta có x2 + y + = x2 y + + 2x2 + 2y + ( )( ) Suy x + y +  2xy + x + y 2 ( )( )( (x + y) + ) ( )( )( 3 x + y +  ( )   2 3 x + y z + + x + y + 2z  ( ) ( )   2 3 ( x + y ) z + ( x + y ) + 2z  = ( x + y + z )   2  (a + b + c ) ) Do ta a + b + c +  +3=  x2 + y2 + z2 +  2 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c =  Cách Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( ) 4a b2 c + a b2 + b2c + c 2a + a + b + c +  (ab + bc + ca ) Theo nguyên lý Dirichlet ta giả sử ( 2a )( ) ( )( ) − 2b −   c 2a − 2b −   4a b c + c  2a c + 2b c 2 2 2 2 Khi ta quy toán chứng minh ( ) a b2 + b c + c 2a + a + b + 2a c + 2b c +  ( ab + bc + ca )  ( a − b ) + ( 2ab − 1) + Nguyễn Công Lợi ( 2bc − 1) + ( 2ca − 1) 2 0 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bất đẳng thức cuối ln Vậy tốn chứng minh Bài 64 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: 1 + + a b c a3 b3 c3 + +  + 3bc + 3ca + 3ab Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành a4 b4 c4 + +  a + 3abc b + 3abc c + 3abc Áp dụng kết câu a ta a4 b4 c4 a2 b2 c2 + +  + + a + 3abc b + 3abc c + 3abc 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Ta cần a2 2a + b + c + b2 a + 2b + c + c2 a + b + 2c  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a2 2a + b + c + b2 a + 2b + c c2 + a + b + 2c  (a + b + c ) 2a + b + c + a + 2b + c + a + b + 2c Mà theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ta 2a + b + c + a + 2b + c + a + b + 2c  12 ( a + b + c ) Suy (a + b + c ) 1 + + ta suy a b c a+b+c = Do 2a + b + c + a + 2b + c + Cũng từ giả thiết a + b + c = (a + b + c ) a+b+c  Từ kết ta (a + b + c ) = (a + b + c ) a + b + c  a + b + 2c ( a + b + c ) 1 + +  a+b+c  a b c a+b+c a2 2a + b + c + b2 a + 2b + c + c2 a + b + 2c  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b = c = Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ... a )  (a + b) (b + c) (c + a ) 2 Dễ thấy bất đẳng thức theo bất đẳng thức AM – GM Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy a=b=c= Bài 19 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng... thấy theo bất đẳng thức AM – GM ta ln có a ( b + c ) + b ( c + a ) + c (a + b )  a bc + b ca + c ab = abc Vậy bất đẳng thức cho chứng minh, đẳng thức xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương...   ( 3y − 1)  Bất đửng thức cuối nên bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca  abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Nguyễn Công