Tuyển chọn một số bài toán bất đẳng thức thức hay

Tailieumontoan.com TUYỂN CHỌN VÀ GIỚI THIỆU MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC HAY Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn T= biểu thức: 1 + +  a + b + c Tìm giá trị lớn a b c 1 + + 2 + a + b + c2 Lời giải Dự đoán giá trị lớn T xẩy a = b = c = Như ta cần chứng minh bất đẳng thức T = 1 + +  Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng 2 + a + b + c2 minh tương đương với 1 1 1 a2 b2 c2 − + − + −   + + 1 2 + a 2 + b2 2 + c a + b2 + c + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có (a + b + c ) a2 b2 c2 + +  a + b2 + c + a + b2 + c + Phép chứng minh hoàn tất ta (a + b + c ) a +b +c +6 2   ( a + b + c )  a + b2 + c +  ab + bc + ca  Để ý ta viết lại giả thiết thành ab + bc + ca  abc ( ab + bc + ca ) Mà ta có abc ( ab + bc + ca ) Do ta có (ab + bc + ca ) ( ab + bc + ca )   ab + bc + ca  ab + bc + ca  Như bất đẳng thức chứng minh Vậy giá trị lớn T 1, xẩy a = b = c = Bài Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: b+c −a c +a − b a + b−c + + 4 a + bc b2 + ca c + ab Lời giải Trước hết ta pháp biểu bất đẳng thức phụ Cho hai số a, b, c x, y, z thỏa mãn điều kiện a  b  c; x  y  z Khi ta ln có ax + by + cz  Nguyễn Công Lợi (a + b + c )( x + y + z ) Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Trở lại toán Do a + b + c = nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ( b + c − a )( a + b + c ) + ( c + a − b )(a + b + c ) + (a + b − c )(a + b + c )  a + bc ( b + c)  ( b + c)  ( b + c)  − a2 a + bc (c + a) + b2 + ca − b2 b2 + ca − a2 a + bc (c + a) +1+ (a + b ) + c + ab − c2 c + ab − b2 b2 + ca 4 (a + b) + 1+ − c2 c + ab +1 ( c + a ) + ca + ( a + b ) + ab  bc + + a + bc a + bc b2 + ca b2 + ca c + ab c + ab 2 Mà theo bất cẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có ( ab + bc + ca ) bc ca ab + +  =1 a + bc b2 + ac c + ab bc a + bc + ca b2 + ca + ab c + ab ( Như ta cần chứng minh ) ( ) ( b + c ) + ( c + a ) + (a + b) 2 a + bc b2 + ca c + ab ( )  Thật bất đẳng thức tương đương với (b + c) (c + a) −2+ (a + b ) −2+ −20 a + bc b2 + ca c + ab b2 + c − 2a c + a − 2b a + b − 2c  + + 0 a + bc b2 + ca c + ab Không tính tổng quát ta giả sử a  b  c  b2 + c − 2a  c + a − 2b2  a + b − 2c  Khi ta có  1  +   a + bc b2 + ca c + ab Áp dụng bất đẳng thức phụ ta thu b + c − 2a c + a − 2b a + b − 2c + + a + bc b + ca c + ab  1   b + c − 2a + c + a − 2b + a + b − 2c  + + =0  a + bc b + ca c + ab  ( ) Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: bc + ( c + a )(a + b ) ca + ( c + b )(a + b ) ab 4abc  1+ ( c + a )( c + b ) (a + b )( b + c )( c + a ) Lời giải Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ( a + b )( a + c )  a + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có bc Do ta bc = ( c + a )( b + a ) bc ( a + b )( a + c ) ( a + b )( a + c )  ( bc a + bc )= ( a + b )( a + c ) abc a bc + (a + b )(a + c ) (a + b )(a + c ) Chứng minh hồn tường tương tự ta có ca b ca  abc + ( a + b )( b + c ) ( a + b )( b + c ) (a + b )( b + c ) ab c ab  abc + ( a + c )( b + c ) ( a + c )( b + c ) (a + c )( b + c ) Suy bc + ( c + a )(a + b ) ca + ( c + b )(a + b ) ab  M + N , ( c + a )( c + b )   a b c M = abc  + +   ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c )  bc ca ab N= + + ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c ) Mặt khác ta có bc ca ab 2abc + + + ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c ) (a + b )( b + c )( c + a ) = = bc ( b + c ) + ca ( c + a ) + ab ( a + b ) + 2abc ( a + b )( b + c )( c + a ) a b + ab + b c + 2bc + c 2a + ca + 2abc ( a + b )( b + c )( c + a ) = =1 ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) Do N = − 2abc Như phép chứng minh hoàn tất neeusta ( a + b )( b + c )( c + a )   a b c 2abc abc  + +  +1− (a + b )( b + c )( c + a )  ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c )  4abc  1+ ( a + b )( b + c )( c + a )   a b c 6abc  abc  + +   ( a + b )( a + c ) ( a + b )( b + c ) ( a + c )( b + c )  ( a + b )( b + c )( c + a )  a ( b + c ) + b ( c + a ) + c ( a + b )  abc Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Dễ thấy theo bất đẳng thức AM – GM ta ln có a ( b + c ) + b ( c + a ) + c (a + b )  a bc + b ca + c ab = abc Vậy bất đẳng thức cho chứng minh, đẳng thức xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 S= + b2 b3 + + c2 + c3 + a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có S=  a3 + b2 b3 + (a + c2 c3 + + b2 + c ) a4 = + a2 a + b2 + b4 b + c2 + c4 c + a2 a + b2 + b + c + c + a = a + b2 + b + c + c + a Lại áp dụng bất đẳng thức ta có (a a + b2 + b + c + c + a  = Từ ta có (a )( ) ) + b2 + b2 a + b2 + c + = ( + ) = a 1+ b + b 1+ c + c 1+ a )( + b2 + b2 a + + b2 + + c + 2  = 3 suy S  , dấu xẩy 2 a = b = c = Vậy giá trị nhỏ S , xẩy a = b = c = Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn x + y + z = Chứng minh rằng: x (x + 2) 2x + + y ( y + 2) 2y + + z (z + 2) 2z + 0 Lời giải • Xét trường hợp xyz = , kết hợp với giả thiết ta suy trường hợp sau xẩy x = 0; y = −z y = 0; x = −z z = 0; x = −y Nếu x = 0; y = −z bất đẳng thức cần chứng minh trở thành y ( y + 2) 2y + Nguyễn Công Lợi + y ( y − 2) 2y + 0 y + 2y + y − 2y   y2  2y + Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bất đẳng thức cuối nên bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy x = y = z = Với y = 0; x = −z z = 0; x = −y chứng minh hoàn toàn tương tự • Xét trường hợp xyz  , x + y + z = nên tồn hai số dấu, khơng tính tổng quát ta giả sử hai số y z, ta có yz  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2x ( x + ) +1+ 2x +  2y ( y + ) 2y + 2z ( z + ) +1+ 2z + +1 2x + 4x + 2x + 2y + 4y + 2y + 2z + 4z + 2z + + + 3 2x + 2y + 2z + ( 2x + 1) + ( 2y + 1) + ( 2z + 1)  2 2x + 2y + 3 2z + Để ý x + y + z = yz  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có ( 2y + 1) + ( 2z + 1) 2y + 2z +  ( y + z + 1) y2 + z2 + ( x − 1) = ( y + z) 2 − 2yz + = ( x − 1) x − 2yz + ( 2x + 1) Như phép chứng minh kết thúc ta 2 2x2 + +  ( x − 1) x2 + ( x − 1) x2 +  Bất đẳng thức tương đương với ( 2x + 1) ( x + 1) + ( x − 1) ( 2x + 1)  ( 2x + 1)( x + 1)  ( x + 1) ( 2x + 1) − ( 2x + 1)  + ( x − 1) ( 2x + 1)    2 2 ( ) 2 2 ( 2 )  x +  −2x + 4x −  + ( x − 1) 2x +  ( ) ( )  − x + ( x − 1) + ( x − 1) 2x +   ( x − 1) x  2 Bất đẳng thức cuối nên ta có ( 2x + 1) 2 2x2 + + ( x − 1) x2 +  Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy ( x; y; z ) =  1; − 21 ; − 21  hoán vị   Bài Cho a, b, c số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh rằng: (a − b) + ( b − c ) + ( c − a ) Nguyễn Công Lợi 5  960 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Lời giải Để ý a − b + b − c + c − a = Đặt a − b = x; b − c = y suy c − a = − ( x + y ) Từ ta có phép biến đổi ( ) x + y − ( x + y ) = − x + 5x y + 10x y +10x y + 5xy + y + x + y 5 ( ) ( = − 5x y + 10x y + 10x y + 5xy = −5xy x + 2x y + 2xy + y ( ) ( ) = −5xy ( x + y ) x − xy + y + 2xy ( x + y )  = −5xy ( x + y ) x + xy + y   ) Như ta có (a − b) + ( b − c ) + (c − a ) 5 ( = ( a − b )( b − c )( c − a ) a + b + c − ab − bc − ca ) Đặt A = ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) , kết hợp với a2 + b2 + c2 = ta có 5 ( A = ( a − b )( b − c )( c − a ) a + b2 + c − ab − bc − ca = ( a − b )( b − c )( c − a )( − ab − bc − ca ) ) Suy A2 = 25 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( − ab − bc − ca ) 2 2 Do vai trò a, b, c nên ta giả sử a  b  c Khi ta có ( a − b ) ( b − c ) = ( a − b )( b − c ) 2 (a − c )  16 A2 = 25 ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) ( − ab − bc − ca )  2 2 Như ta có 25 a − c ) ( − ab − bc − ca ) ( 16 Đặt t = ab + bc + ca Ta có t = ab + bc + ca  a2 + b2 + c2 = Lại có (a + b + c ) = a + b2 + c + ( ab + bc + ca ) = 2t +   t  −4 Như ta có −4  t  Mặt khác ta có ( a − b ) + ( b − c )  Do ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  2 2 2 1 a − b + b − c ) = (a − c ) ( 2 a − c ) nên ta ( ( ) a + b2 + c − ab − bc − ca  2 32 − 4t a − c )  (a − c )  ( 3 25  32 − 4t  100 − t) = − t) Như ta suy A   ( (  16   27 Do −4  t  nên suy  − t  − ( −4 ) = 12 Từ  A2  100 12  A  960 27 Vậy ta có ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a )  960 Bất đẳng thức chứng minh Nguyễn Công Lợi 5 Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Bài Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: ( ) + (a + b + c ) a + b3 + c a + b2 + c abc  33 Lời giải Bất đẳng thức cho có dạng đồng bậc nên khơng tính tổng qt ta chọn a + b + c = Ta có phép biến đổi sau ( a + b + c = ( a + b + c ) − a b + ab + b c + bc + c 2a + ca + 2abc ) = ( a + b + c ) − ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − abc  a + b + c = ( a + b + c ) − ( ab + bc + ca ) Khi bất đẳng thức cho viết lại thành 2 ( a + b + c ) − ( a + b + c )( ab + bc + ca ) − 3abc  (a + b + c )  +  33 abc a + b + c − ab + bc + ca ( ) ( ) Đặt x = a + b + c; y = ab + bc + ca; z = abc , theo cách chuẩn hóa ta có x = Khi bất dẳng thức viết lại thành (1 − 3y + 3z ) z + (1 − 3y ) 9  33  +  27 − 2y z − 2y Dễ thấy theo bất đẳng thức AM – GM ta có ( a + b + c )( ab + bc + ca )  9abc Do ta xy  9z  z  (1 − 3y ) 18 (1 − 3y ) xy y 9 +  + = nên ta có z − 2y y − 2y 9 Phép chứng minh hoàn tất ta (a + b + c ) Thật ý ab + bc + ca  18 ( − 3y ) y + 18 (1 − 3y ) y y +  27 − 2y , từ ta có  27  (1 − 3y )(1 − 2y ) + y  3y (1 − 2y ) − 2y  18y − 12y +   ( 3y − 1)  Bất đửng thức cuối nên bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca  abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com ab bc ca P= + + c ( ac + bc ) a ( ab + ac ) b ( ab + bc ) Lời giải Từ ab + bc + ca  abc suy 1 + +  Đặt a b c a= 1 ; b = ; c = , giả thiết x y z toán viết lại thành x2 + y2 + z2  Ta có biểu thức P trở thành x y2 y z2 y3 x3 z3 z x P= + + = + + 2 2 1 1  1 1  1 1  y +z z +x x +y + + +       z  x2 z2 y2 z2  x  x2 y2 x2 z2  y  x2 y y z2  2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân thức ta có y3 y4 x3 z3 x4 z4 + + = + + y2 + z2 z2 + x2 x2 + y2 x y2 + z2 y z2 + x2 z x2 + y2 (  ) (x ( ( ) ( + y2 + z2 ) ( ) ) ) ( x y2 + z2 + y z2 + x2 + z x2 + y2 ) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta lại có ( ) ( ) ( ) = x ( y + z ) y + z + y ( z + x ) z + x + z ( x + y ) x + y   x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )  ( y + z ) + ( z + x ) + ( x + y )      (x + y + z ) x + y + z = ( x y + y z + z x )( x + y + z )  ( ) x y2 + z2 + y z2 + x2 + z x2 + y 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =2 2 ( x + y2 + z2 (x Như ta có P  2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + y2 + z2 ( ) 2 x + y2 + z2 ) = 3 x + y2 + z2 = Dấu xẩy 2 x = y = z Vậy giá trị nhỏ P , xẩy x = y = z = hay a = b = c = Bài Tìm số nguyên dương n lớn để bất đẳng thức sau thỏa mãn Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An n ( na + b + c ) Tailieumontoan.com 1 + +  4 n (a + nb + c ) n (a + b + nc ) 16 1 + + a+b+c a b c Trong a, b, c số thực dương thỏa mãn Lời giải Vì bất đẳng thức n ( na + b + c ) thực dương a, b, c thỏa mãn + n (a + nb + c ) + n (a + b + nc )  với số 16 1 + +  a + b + c nên bất đẳng thức thỏa mãn a b c a = b = c = Từ ta có n ( n + 2)   n ( n + )  Mà theo bất đẳng thức 16 AM – GM cho n số thực dương ta có n ( n + 2) = n ( n + )( n + ) 1  Do  n + + n + + + + 3n + = n n 3n +  n  Ta chứng minh n = giá trị cần tìm n Thật với n = bất đẳng thức viết lại thành 1 + + ( 2a + b + c ) ( a + 2b + c ) ( a + b + 2c ) Ta có 2a + b + c = ( a + b ) + ( a + c )  Hồn tồn tương tự ta có Dễ thấy (a + b )(a + c ) ( a + 2b + c )  nên  16 ( 2a + b + c )  ( a + b )( a + c ) 1 ;  ( b + c )( a + b ) ( a + b + 2c ) ( c + a )( c + b ) 1 a+b+c + + = ( a + b )( a + c ) ( b + c )( a + b ) ( c + b )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) Do ta có bất đẳng thức + + ( 2a + b + c ) ( a + 2b + c ) ( a + b + 2c ) 2  a+b+c ( a + b )( b + c )( c + a ) Như ta cần chứng minh bất đẳng thức a+b+c   ( a + b + c )  ( a + b )( b + c )( c + a ) ( a + b )( b + c )( c + a ) 16 Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An Tailieumontoan.com Để ý ta viết lại giả thiết thành ab + bc + ca  abc ( ab + bc + ca ) Mà ta có abc ( ab + bc + ca ) (ab + bc + ca ) Do ta có ( ab + bc + ca )   ab + bc + ca  ab + bc + ca  Như ta có ( a + b + c )  ( a + b + c )( ab + bc + ca ) Dễ dàng chứng minh ( a + b + c )( ab + bc + ca )  ( a + b )( b + c )( c + a ) Do ta có ( a + b + c )  ( a + b )( b + c )( c + a ) = ( a + b )( b + c )( c + a ) Như bất đẳng thức chứng minh xong Vậy n = giá trị cần tìm Bài 10 Cho a, b, c số thực không âm Chứng minh rằng: a + bc + b2 + ca + c + ab  (a + b + c ) Lời giải Do vài trò a, b, c nên khơng tính tổng qt ta giả sử a  b  c Khi ta có a + bc  a + c c2 c2  a + bc  a + ac +   c ( a − b ) + , bất đẳng thức 4 cuối a  b  c  Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có b2 + ca + c + ab  Như ta có (1 + 1) ( b ) ( + ca + c + ab = b2 + c + ca + ab ( c a + bc + b2 + ca + c + ab  a + + b2 + c + ab + ac ) ) Phép chứng minh kết thúc ta ( ) c a + + b2 + c + ab + ac  ( a + b + c ) 2 Bất đẳng thức tương đương với ( ) b2 + c + ab + ac  a + 3b + 2c Thật bình phương hai vế bất đẳng thức cần chứng minh ta a + 9b + 4c + 6ab + 12bc + 4ca 2  a + b − 4c − 2ab + 12bc − 4ca  ( ) b2 + c + ab + ac   a + b + 4c − 2ab + 4bc − 4ab + 8bc − 8c   ( a − b − 2c ) + 8c ( b − c )  Nguyễn Công Lợi Trường THCS Thị Trấn Quỳ Hợp – Nghệ An ... a )  (a + b) (b + c) (c + a ) 2 Dễ thấy bất đẳng thức theo bất đẳng thức AM – GM Vậy bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy a=b=c= Bài 19 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng... thấy theo bất đẳng thức AM – GM ta ln có a ( b + c ) + b ( c + a ) + c (a + b )  a bc + b ca + c ab = abc Vậy bất đẳng thức cho chứng minh, đẳng thức xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương...   ( 3y − 1)  Bất đửng thức cuối nên bất đẳng thức cho chứng minh Dấu xẩy a = b = c Bài Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca  abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Nguyễn Công