(SKKN mới NHẤT) một số bài toán bất đẳng thức ba biến có giả thiết và kết luận liên quan đến p, q, r

1 I ĐẶT VẤN ĐỀ Lý chọn đề tài Bài toán bất đẳng thức (bài toán chứng minh bất đẳng thức; tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức) nói chung toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r (với p  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc ) nói riêng thường hay xuất đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi tốt nghiệp THPT đề thi Học sinh giỏi Đã có nhiều tác giả nghiên cứu toán bất đẳng thức dạng tác giả Phạm Kim Hùng, tác giả Võ Quốc Bá Cẩn,…; Có số “phương pháp mạnh” để giải toán bất đẳng thức dạng phương pháp dồn biến, phương pháp phân tích bình phương S.O.S,… Nhưng chưa có tác giả rút số định hướng vận dụng “kiến thức gần gũi” để giải toán dạng Vì vậy, tơi chọn đề tài: “Một số tốn bất đẳng thức ba biến có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r” Tính cấp thiết đề tài Các toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r thường gây nhiều khó khăn cho Học sinh Giáo viên trình tìm lời giải Một số Học sinh thường bỏ qua gặp toán bất đẳng thức dạng em khơng nắm số định hướng để giải tốn dạng Vì việc nghiên cứu kỹ toán dạng cần thiết Tính đề tài - Đưa nhiều lời giải cho số toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r - Đưa số định hướng để giải tốn bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r - Vận dụng định hướng để giải số toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r Khả ứng dụng triển khai đề tài Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho Học sinh, Giáo viên THCS THPT đặc biệt Học sinh khá, giỏi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Đối tượng phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu - Học sinh giỏi THCS THPT - Giáo viên trường THCS THPT - Các toán bất đẳng thức có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r 5.2 Phạm vi nghiên cứu - Bám sát nội dung chương trình Tốn THCS THPT - Mở rộng phù hợp với nội dung thi Học sinh giỏi Tỉnh, Quốc gia, Khu vực Quốc tế Phương pháp nhiệm vụ nghiên cứu 6.1 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp phân tích, tổng hợp - Phương pháp thực nghiệm 6.2 Nhiệm vụ nghiên cứu Rút số kinh nghiệm để giải toán bất đẳng thức có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com II NỘI DUNG Cơ sở khoa học 1.1 Cơ sơ lý luận Trong đề tài có sử dụng số bất đẳng thức sau 1.1.1 Với hai số thực x, y ta có: +) x  y  2xy +)  x  y  4xy +) 2 x  y    x  y Dấu bất đẳng thức xảy x = y 1.1.2 Với ba số thực x, y, z ta có: +) x  y  z  xy  z  zx +)  x  y  z  3 xy  yz  zx  +) 3 x  y  z    x  y  z Dấu bất đẳng thức xảy x = y = z 1.1.3 Bất đẳng thức Cô – si: Với n số thực không âm a1 , a , , a n ta có a1  a   a n  n n a1a a n Dấu xảy a1  a   a n 1.1.4 Bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Với 2n số thực a1 , a , , a n b1 , b , , b n ta có a  a 22   a 2n b12  b 22   b 2n   a1b1  a b  a n b n  TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Dấu xảy a1  kb1; a  kb ; ; a n  kbn tồn số thực k cho: 1.1.5 Bất đẳng thức Schur bậc ba, bậc bốn: +) Bất đẳng thức Schur bậc ba: Với ba số thực không âm a, b, c ta có a a  ba  c  bb  cb  a   cc  a c  b  (1) hay a  b3  c3  3abc  aba  b  bcb  c  ca c  a  hay a  b  c  9abc  4a  b  cab  bc  ca  + Bất đẳng thức Schur bậc bốn: Với ba số thực không âm a, b, c ta có a a  ba  c  b2 b  cb  a   c2 c  a c  b  (2) hay a  b  c  4ab  bc  ca   6abca  b  c  5a  b  c ab  bc  ca  2 (Bất đẳng thức (2) với số thực a, b, c) Dấu bất đẳng thức Schur bậc ba, bậc bốn xảy a = b = c a = b, c = hoán vị tương ứng Chứng minh: +) Chứng minh bất đẳng thức Schur bậc ba Khơng tính tổng qt, ta giả sử a  b  c  Khi đó: (1)  a  b a a  c  bb  c  cc  a c  b  (3) Vì a  b  c  nên cc  a c  b  a  b a a  c  bb  c  Do (3) Vậy (1) Dấu xảy TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com     a  b a a  c  bb  c    a  b  c   a  b, c   cc  a c  b    Vậy bất đẳng thức (1) Dấu xảy a = b = c a = b, c = hoán vị tương ứng +) Chứng minh Bất đẳng thức (2) với số thực a, b, c Không tính tổng qt, ta giả sử a  b  c TH1: a  b  c  Khi đó: (2)  a  b a a  c  b2 b  c  c2 c  a c  b  (4) Vì a  b  c  nên c2 c  a c  b  a  b a a  c  b2 b  c  Do (4) Vậy (2) TH2: a  b   c Khi đó: (2)  a  b a a  c  b2 b  c  c2 c  a c  b    b  3b    a  b a     a  bc  c2 c  a c  b  (5)  2   Vì a  b   c nên    b 3b    c c  a c  b  a  b a     a  bc       2 Do (5) Vậy (2) TH3: a   b  c Khi đó: (2)  a a  ba  c  b  c  b2  b  a   c2 c  a     c  3c2    a a  ba  c  b  c b     a b  c  (6)  2   2 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vì a   b  c nên (6) Vậy (2) TH4:  a  b  c Khi đó: Đặt a x, b y, c z với  x  y  z Bất đẳng thức (2) trở thành x  x  y x  z  y2  y  x  y  z  z z  x z  y  (7) Theo TH1 (7) Vậy (2) Nhận xét: Với a, b, c số thực không âm, đặt p  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc Từ bất đẳng thức ta có số bất đẳng thức liên quan đến p, q, r hay sử dụng sau: +) pq  9r +) 3rp  q (Kết với số thực a, b, c) +) p3  9r  4pq +) p  4q  6pr  5p 2q (Kết với số thực a, b, c) 1.2 Cơ sơ thực tiễn Trong trình tìm hiểu tốn bất đẳng thức đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi Học sinh giỏi có số tốn bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r Chẳng hạn như: Bài toán (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán năm học 2020-2021 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội) Với a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  abc  , tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  bc  ca Bài toán (Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 1996) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  abc  Chứng minh ab  bc  ca  a  b  c Bài toán (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham gia thi Học sinh giỏi Toán Quốc tế năm 2021) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn 2a  b  c   3ab  bc  ca   5a  b  c Chứng minh 4a  b  c   2ab  bc  ca   7abc  25 Tơi tìm tịi lời giải toán này, nghiên cứu kỹ lời giải đúc rút số kinh nghiệm cho thân trình dạy học Thực trạng Bài toán bất đẳng thức dạng thường hay xuất đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Toán, đề thi tốt nghiệp THPT đề thi Học sinh giỏi Nhưng thực tế vấn đề dạy học toán Giáo viên Học sinh gặp số khó khăn hạn chế như: Học sinh không nắm vững bất đẳng thức hay sử dụng, Học sinh định hướng để tìm lời giải cho tốn,…; Khi giải xong tốn Giáo viên khơng u cầu Học sinh nghiên cứu sâu lời giải,… Phương hướng giải pháp 3.1 Một số định hướng để giải toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r Bài toán (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán năm học 2020-2021 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội) Với a, b, c số thực không âm thỏa mãn a  b  c  abc  , tìm giá trị lớn biểu thức P  ab  bc  ca Lời giải Ta chứng minh P  Từ giả thiết ta có ab   c  4a b  ab  TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Do P   ab  a  b4  a  b ab  4  abab  1  a  b4  a  b  4ab  1  a  b  2  abab  3 (1) Từ giả thiết ta lại có ab  a  b   ab   ab  a  b   a 1b 1  abab  3  aba 1b 1 Ta chứng minh (2) a  b  2  aba 1b 1 (3) Thật vậy: TH1: Nếu a 1 b 1  VT(3)   VP(3) TH2: Nếu a 1 b 1  , VT(3)  a 1  b 1  4a 1b 1  VP(3) (Vì 4ab  a  b  16  ab  ) Từ (2) (3) suy (1) (Điều phải chứng minh) Suy P  , dấu xảy chẳng hạn a  b  2, c  Vậy giá trị lớn P Nhận xét Định hướng để tìm lời giải là: “Từ giả thiết rút biến theo biến cịn lại (có thể hạn chế điều kiện tìm điều kiện liên quan trước rút) vào bất đẳng thức cần chứng minh để đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức biến Chứng minh bất đẳng thức (với điều kiện tìm được) kết luận” Lời giải TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Khơng tính tổng qt, giả sử a  b  c (*) TH1: Nếu bc < từ (*) giả thiết a, b, c ba số không âm suy P  3bc  P  TH2: Nếu bc  từ giả thiết suy  a  b  c  abc  a  b  c  a  a  ba  c   a  ba  c  a  ab  bc  ca  ab  bc  ca  P4 Suy P  , dấu xảy chẳng hạn a  b  2, c  Vậy giá trị lớn P Nhận xét Định hướng để tìm lời giải là: “Phân chia thành trường hợp cách hợp lý Trong trường hợp ta biến đổi cách thích hợp áp dụng bất đẳng thức biết để suy bất đẳng thức cần chứng minh” Lời giải Đặt p  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc Từ giả thiết ta có p + r = (1) , p   a  b  c   a  b  c  abc  a  b  c      3  p3  27p  108   p  3 p  3p  36   p  Do  p  (2) Áp dụng bất đẳng thức Schur, ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 10 p3  9r  4pq  q  p3  9r 4p (3) Từ (1) (2) suy p3  9r p  94  p p  4p  4p  9     (4) 4p 4p 4p Từ (3) (4) suy q  hay ab  bc  ca  Suy P  , dấu xảy chẳng hạn a  b  2, c  Vậy giá trị lớn P Nhận xét +) Định hướng để tìm lời giải là: “Dùng bất đẳng thức biết để đánh giá vế bất đẳng thức cần chứng minh cách hợp lý để dẫn đến việc cần chứng minh bất đẳng thức biến (biến p); chứng minh bất đẳng thức kết luận (Để chứng minh ta phải tìm điều kiện cho p)” +) Với giả thiết tốn trên, ta chứng minh bất đẳng thức chặt ab  bc  ca  a  b  c Từ ta có toán sau (bài toán 2) Bài toán Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  Chứng minh ab  bc  ca  a  b  c Lời giải Từ giả thiết ta có ab   c  4a b  ab  Do ab  bc  ca  a  b  c  ab  a  b4  a  b ab  a b 4a b ab   abab  1  a  b4  a  b  a  bab 1   a  b  a  b  2  ab a 1b 1 (Bất đẳng thức theo chứng minh lời giải 1) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 11 Nhận xét +) Định hướng để tìm lời giải tương tự lời giải toán +) Kết luận ab  bc  ca  a  b  c ta thay giả thiết “Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  ” giả thiết “Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  abc  ” Do ta có toán sau (bài toán 3) Bài toán (Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 1996) Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  abc  Chứng minh ab  bc  ca  a  b  c Lời giải Nếu a  b  ab  a  b   ab  bc  ca  abc  (Trái với giả thiết) Do đó, từ giả thiết ta có a  b  ab  c   ab  a  b  ab Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với ab  a  b4  ab a  b  ab a b  ab a  b  ab  aba  b  ab  a  b4  ab  a  ba  b  ab   ab  a  b  2  ab a 1b 1 (1) TH1: Nếu a 1 b 1  VT(1)   VP(1) TH2: Nếu a 1 b 1  , VT(1)  a 1  b 1  4a 1b 1  VP(1) (Vì từ giả thiết suy ab  ) Nhận xét Định hướng để tìm lời giải tương tự lời giải toán TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 12 Lời giải Vì a b hai số không âm nên tồn số thực không âm x, y, z thỏa 2x 2y , b  mãn y  z  , z  x  cho a  yz zx Nếu x  y  x  y   a  b   ab  bc  ca  abc  (Trái với giả thiết) Do x  y  Nếu a  b  ab  a  b   ab  bc  ca  abc  (Trái với giả thiết) Do đó, từ giả thiết ta có a  b  ab  4xy  y  zz  x   ab 2z c    2x 2y 4xy a  b  ab x  y   y  z z  x  y  zz  x  4 Khi bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 4xy 4yz 4zx 2x 2y 2z       y  zz  x  z  x  x  y  x  y y  z y  z z  x x  y  2xy x  y  2yz y  z  2zx z  x   x  x  y x  z  y x  y y  z  z x  z y   x  y3  z3  3xyz  xy x  y  yz y  z  zx z  x (1) Theo bất đẳng thức Schur bậc ba bất đẳng thức (1) Nhận xét +) Định hướng để tìm lời giải là: “Đặt ẩn phụ để chuyển toán toán với ẩn đơn giản (có thể chứng minh được) chứng minh tốn này” +) Ta nghĩ đến cách đặt ẩn phụ vì: Với ba số thực x, y, z thỏa mãn x  y  , y  z  , z  x  ta có đẳng thức sau TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 13 xy  x  y  yz  y  z  zx z  x   2xyz 1  x  y y  zz  x  hay 2x 2y 2z 2x 2y 2z 2x 2y 2z          yz zx xy yz zx xy yz zx xy +) Tương tự phân tích trên, ta có kết sau: + Nếu a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện ab  bc  ca  abc  k (với k k  ) tồn ba số thực dương x, y, z cho: a kx ky kz , b , c  yz zx xy + Nếu a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  k (với k k  ) tồn ba số thực dương x, y, z cho: a a  kx  x  y x  z  k yz  x  y x  z , b , b ky  y  x  y  z k zx  y  x  y  z  , c , c kz z  x z  y k xy z  x z  y  Từ tốn lời giải ta rút số định hướng để giải số toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r: Định hướng Từ giả thiết rút biến theo biến cịn lại (có thể hạn chế điều kiện tìm điều kiện liên quan trước rút) vào bất đẳng thức cần chứng minh để đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức biến Chứng minh bất đẳng thức (với điều kiện tìm được) kết luận Định hướng Phân chia thành trường hợp cách hợp lý Trong trường hợp ta biến đổi cách thích hợp áp dụng bất đẳng thức biết để suy bất đẳng thức cần chứng minh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 14 Định hướng Dùng bất đẳng thức biết để đánh giá vế bất đẳng thức cần chứng minh cách hợp lý để dẫn đến việc cần chứng minh bất đẳng thức biến (Thường dùng bất đẳng thức biết liên quan đến p, q, r để đánh giá vế bất đẳng thức cần chứng minh theo đại lượng p, q, r cách hợp lý); chứng minh bất đẳng thức kết luận (Để chứng minh ta phải tìm điều kiện cho biến này) Định hướng Đặt ẩn phụ để chuyển toán toán với ẩn đơn giản (có thể chứng minh được) chứng minh tốn Nhận xét Có số tốn ta vận dụng phối hợp định hướng 3.2 Vận dụng định hướng để giải số toán Bài toán Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b2  c2  abc  Chứng minh a  b  c  Lời giải: Từ giả thiết kết trên, ta đặt a 2x  x  y x  z , b 2y  y  x  y  z  , c 2z z  x z  y  Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 2x  x  y x  z   2y  y  x  y  z   2z z  x z  y 3 (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô – si, ta có VT(1)  x x y y z z      =3 xy xz yx yz zx zy Suy (1) Bài toán Cho ba số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 15 4a  b  c  4  abc (Nguyễn Phi Hùng) Lời giải Đặt p  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc Từ giả thiết ta có p  2q  , p  p > Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 4p 16  r (1) Áp dụng bất đẳng thức Schur bậc bốn, ta có 4q  p p p  4q  6pr  5p q  r  2 6p  q (2) Ta chứng minh 4q  p p 2  q 6p  4p 16 (3) Thật (3)  p 16p  8 6p  4p 16 (Vì p  2q  ) p  4 p2  p  8  12p  (đúng) Do (3) Từ (2) (3) suy (1) Dấu xảy a = b = 2, c = hoán vị tương ứng Bài toán (Bài toán gốc Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2002) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh 2a  b  c  abc 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 16 Lời giải Không tính tổng quát, giả sử a  b  c (*) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxky, ta có  2a  b  c  abc   2a  b2  c2  ab     2  a  b  c    2  ab      2ab  9 8  4ab  ab     2ab  ab  20ab  72  ab  2 2ab  7  100 (1) Từ giả thiết (*) suy c  Do 2ab  a  b   c  (2) Vì vậy, từ (1) (2) suy  2a  b  c  abc 100  2a  b  c  abc 10 (Điều phải chứng minh)   Dấu xảy a  1, b  c  Vậy 2a  b  c  abc 10 Dấu xảy a  1, b  c  hoán vị tương ứng Nhận xét Về mặt hình thức tốn toán tương tự để giải toán ta dung bất đẳng thức Schur bậc bốn (đối với ba số thực bất kỳ) dấu bất đẳng thức Schur bậc bốn xảy a = b = c a = b, c = hoán vị tương ứng Khi dấu bất đẳng thức cần chứng minh không xảy TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 17 Vì để giải tốn bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r việc lựa chọn bất đẳng thức để đánh giá quan trọng Bài toán (Đề thi Học sinh giỏi Quốc gia năm 2004) Xét số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện  x  y  z  32xyz Hãy tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức x  y4  z P  x  y  z Lời giải Khơng tính tổng qt, ta giả sử x + y + z = Khi tốn trở thành: x  y4  z  256 biến số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y + z = xyz = 2” “Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P  Đặt Q  x  y  z t = xy + yz + zx, ta có Q   x  y  z   2 x y  y z  z x  2   x  y  z  2 xy  yz  zx    xy  yz  zx   2xyz  x  y  z      16  2t   2 t 16  2t  64t  288 (1) Từ điều kiện x, y, z ta có y  z   x yz  Do t  x 4  x   (2) x (3) x Áp dụng bất đẳng thức  y  z   4yz điều kiện (2) ta TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 18 x 4  x    x  8x  16x     x  2 x  6x  4     x  (Do < x < 4) Xét hàm số t  x   x 4  x   với x  3  5;2   x Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số t(x) đoạn 3  5;2 , ta tìm điều    5  1  kiện t  5;    5  1  Do Q  2t  64t  288 với t  5;     5  1  Xét hàm số f  t   2t  64t  288 với t  5;     5  1  ta có Từ bảng biến thiên hàm số f(t) 5;    5  1 383 165   f  t   với t  5;  2   Vì 383 165 383 165  Q  hay P  256 128 P 1 383 165  , chẳng hạn x   5, y  z  256 P , chẳng hạn x = 2, y = z = 128 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 19 Vậy giá trị nhỏ P 383 165  giá trị lớn P 256 128 Bài toán (Đề thi chọn đội tuyển Việt Nam tham gia thi Học sinh giỏi Toán Quốc tế năm 2021) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn 2a  b  c   3ab  bc  ca   5a  b  c Chứng minh 4a  b  c   2ab  bc  ca   7abc  25 Lời giải: Đặt p  a  b  c, q  ab  bc  ca, r  abc Từ giả thiết ta có 2p  2q   3q  5p hay q  2p  5p (1) Do bất đẳng thức cần chứng minh trở thành 4p  2q   2q  7r  25  4p  7r  25  6q  4p  7r  25  62p  5p  7r  8p  30p  25 (2) Mặt khác ta có ab  bc  ca   3abc(a  b  c) hay 3rp  q (3) TH1: Nếu p = hay a  b  c   a  b  c  r = Do (2) TH2: Nếu p > từ (3) ta suy 7r  Ta chứng minh 7q 3p (4) 7q  8p  30p  25 (5) 3p Từ (1), ta suy (5)  72p  5p  3p 8p  30p  25  pp  32p  514p  5  (6) TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 20 a  b  c  Từ giả thiết p > 0, kết (1) kết ab  bc  ca  p2 hay q  suy p2  2p  5p    p  Suy (6) Do (5 ) 2 Từ (4) (5) suy (2) (Điều phải chứng minh) Đánh giá kết thực Trong năm học 2021 – 2022 dùng đề tài làm tài liệu giảng dạy cho lớp 12A1 trường THPT Kim Liên đạt kết cao Sau số liệu so sánh kết trước sau áp dụng đề tài trường THPT Kim Liên: Năm học Dùng đề tài làm tài liệu Số học sinh đạt Học sinh giỏi Tỉnh 2020 - 2021 Khơng (Giải Ba) 2021 - 2022 Có (2 Giải Ba) Đề tài đồng nghiệp trường khác trường THCS Đặng Thai Mai, THCS Đặng Chánh Kỷ, THCS Kim Liên, THPT chuyên Phan Bội Châu, THPT Hà Huy Tập, PTDTNT THPT Số 2,… sử dụng làm tài liệu đem lại kết tốt TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 21 III KẾT LUẬN Qua trình tìm hiểu tốn bất đẳng thức nói chung dạng tốn nói riêng, tác giả nhận thấy tốn thường gây nhiều khó khăn cho Học sinh; đồng thời dạng tốn hay Vì tác giả cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu, trao đổi với số đồng nghiệp tìm hiểu thêm tài liệu liên quan Từ đúc rút số kinh nghiệm trình bày đề tài Đề tài giúp cho tác giả “tự tin hơn” gặp toán dạng số đồng nghiệp ghi nhận, áp dụng Đề tài làm tài liệu tham khảo cho Học sinh yêu Toán số Đồng nghiệp Các toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r thường tốn khó, để tìm lời giải cho tốn bất đẳng thức đòi hỏi phải lựa chọn định hướng thích hợp vận dụng kiến thức biết cách linh hoạt Có số tốn khó dạng phải dùng “phương pháp mạnh” phương pháp dồn biến, phương pháp phân tích bình phương S.O.S,… tìm lời giải Ngồi phương pháp để giải tốn dạng mà đề tài đề cập số định hướng “quen thuộc” khác chẳng hạn phương pháp phản chứng Mặc dù cố gắng đề tài chắn cịn nhiều thiếu sót, tác giả mong muốn nhận góp ý chân thành từ Thầy Cô em Học sinh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... y  Từ toán lời giải ta r? ?t số định hướng để giải số toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r: Định hướng Từ giả thiết r? ?t biến theo biến cịn lại (có thể... sâu lời giải,… Phương hướng giải pháp 3.1 Một số định hướng để giải toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r Bài toán (Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Toán năm... Trong q trình tìm hiểu tốn bất đẳng thức đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chun Tốn, đề thi Học sinh giỏi có số toán bất đẳng thức ba biến a, b, c có giả thiết kết luận liên quan đến p, q, r