Chương 6 :
Hướng dẫn giải bài tập
1.4.1.
9
cot cot
cot cot
cot cot
3 3
3
C B
và cotA+cotB+cotC ≥ 3
1.4.2
Xét hàm ( )
4 sin x
x
f = vớ x∈(0;π )
Chứng minh f ''( )x <0 và
2
3 2 12
Cuối cùng sử dụng Jensen
1.4.3
Ta ñã có :
2
3 3 sin sin
sin
1 sin
1 sin
1 sin
sin
+ +
+ +
C B
A C
B A
1.4.4
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
8
1 2
sin 2
sin 2 sin
4
7 2
sin 2
sin 2 sin 2 cos cos
cos 3
≤
⇔
≥ +
+ +
−
C B A
C B A C
B A
1.4.5
Trang 2Chứng minh
C B A
C B
A C
B A
sin sin sin 2
sin sin
sin cot
cot cot
2 2
2 + +
= +
+
và
4
9 sin
sin sin2 A+ 2B+ 2C ≤
1.4.6
2
cos 2
cos 2
nên bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
C B A A
C C B B A C B A
sin sin sin 8 sin sin
sin sin
sin sin
sin sin sin 8 2
cos 2
cos 2
cos 2
cos 2
cos 2
cos
8
≥ +
+ +
⇔
≥
−
−
−
Tiếp theo dùng AM – GM ñể chứng minh tiếp.
1.4.7
2 tan
; 2 tan
; 2
x
3x y +y z +z x ≥ xy+ yz+zx
3
1
2 2 2 2 2 2
≥ +
+
Theo AM – GM thì :
3 3
1 3
3 2 2 2
≤
⇔
≤
⇒
≥ + +
xyz xyz
z y x zx yz xy
Từ ( )1 suy ra :
3
4
1+x2y2 +y2z2 +z2x2 ≥ và theo ( )2 có 4 3xyz
3
4
≥
Dẫn ñến :
C B A C
B A
z
z y
y x
x z
z y
y x
x
xyz z
y x
z y x
xyz x
z z y y x
xyz x
z z y y
x
sin sin sin 3 cos
cos cos
1
1
2 1
2 1
2 3 1
1 1
1 1
1 1
3 8 1
1 1 1
1 1
3 8 2
2
3 4 1
2 2
2 2
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
≥ +
⇔
+
⋅ +
⋅ +
≥ +
−
⋅ +
−
⋅ +
− +
⇔
≥
−
−
− + + +
+
⇔
≥ +
+ +
⇔
≥ +
+ +
1.4.8
Theo AM – GM chứng minh ñược :
+
−
+
−
+
−
≥
−
+
−
+
p
3 1 1
1 3 1
1 1
4
Trang 3và ≥ ⇒
+
−
+
−
+
p
3 3 4 3 1 1
1
1.4.9 & 1.4.10
Ta có : ( )2 ( )2 ( 2 2 2)
2 3
2m a + a = a +b +c
3 2 1
3 2
2 2 2
2 2 2
c b a am
c b a am
a
a
+ +
≥
⇒
+ +
≤
⇒
( )
( )
+ +
≥
+ +
≥
⇒
2 3
2
1 3
2
2 2 2
2
2 2 2 2
c b a
m a
m
c b a
a m
a
a a
a
Tương tự ( )1 :
2 2 2 2
2 2 2 2
3 2
3 2
c b a
c m
c
c b a
b m
b
c
b
+ +
≥
+ +
≥
c b
c m
b m a
Tương tự ( )2 :
2 2 2
2
2 2 2
2
3 2
3 2
c b a
m c
m
c b a
m b
m
c c
b b
+ +
≥
+ +
≥
2
3 3
≥ + +
⇒
c
m b
m a
m a b c
1.4.11
2 2 2
2 2
c b
bc a c b a p l
m a a
+
− +
−
=
4 2
2
2 2
4 2
2
2 b c a b c
bc a c
⇒m a l a ≥ p(p−a)
Tương tự cho m b l b và m c l c rồi cộng các bất ñẳng thức lại ⇒ñpcm
1.4.12
Trang 4Ta có :
2
1 1
2
2
2 b c
a m
a
c b m
a a
+
>
⇒
+
<
+ +
+ + +
+ +
>
+ +
⇒
abc b a a c c b
c b a m
c m b m
3
2 2
2
1 1 1 1
1
2 2
1.4.13
Theo AM – GM thì : ( − )( − )≤ ⇒
4
2
c b p a
1.4.14
Chứng minh :
r h h
h a a a
1 1 1 1
= + + rồi dùng AM – GM
1.4.15
Xét hàm f( )x =sinx ∀x∈(0;π ) có f ''( )x <0
Áp dụng Jensen thì :
4
sin 3 sin 4
3
Áp dụng AM – GM thì : 4 sin sin3
4
sin 3 sin
B A B
A
≥ +
Từ ñó suy ra ñpcm
2.6.1
Chú ý (OA+ 3OB−OC)2 ≥0 với O là tâm ñường tròn ngoại tiếp ABC∆
2.6.2
Chú ý (2OA+ 3OB+OC)2 ≥0
2.6.3
Chú ý ( ( 5+1)OA+OB−2OC)2 ≥0
Trang 5Giả sử
3
2π
≥
A
− +
≥ +
+
4 4 tan 2 2
tan 2
tan 2
tan 2
− +
=
4 4 tan 2 2
A
Dễ thấy : f ''( )x > 0⇒ f( )x ñồng biến trên
π
π
; 3 2
3
2 3
2 12
tan
≥
⇒
−
π
f A
2.6.5
Dễ thấy :
2
2
2
1 1
1 16
4
4
1
a c b c b a b a c b
a c a c b c b a
b a c a c b c b a S
p
− + +
− + +
− +
=
=
⇒ ñpcm
2.6.6
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
a2(a−b)(a−c)+b2(b−c)(b−a)+c2(c−a)(c−b)≥0
2.6.7
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
(a+b−c)(b+c−a)(c+a−b)>0
2.6.8
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
cotA+cotB+cotC≥ 3
2.6.9
Chứng minh f( )x =tanx tăng trên
2
;
≥
≥
≥
≥
⇒
2
tan 2
tan 2
c b a
Tiếp theo sử dụng Chebyshev ⇒ñpcm
Trang 62.6.10
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
3 3
1 2
tan 2
tan 2
2.6.11
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
(a2 +b2 +c2) (a+b+c)≥9abc
2.6.12
Ta có : m a2 =R2(1+2cosAcos(B−C)+cos2 A)≤R2(1+2cosA+cos2 A)
⇒m a ≤R(1 +cosA)
⇒m a +m b +m c ≤3R+R(cosA+cosB+cosC)=4R+r
2.6.13
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
8
1 2
sin 2
sin 2
2.6.14
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
x2 +2x(ycos2C+zcos2B)2yzcos2A+ y2 +z2 ≥0
với x= p−a , y = p−b , z= p−c
Xét ∆'⇒ñpcm
2.6.15
Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với :
( )* 2
tan 2
tan 2
tan tan
tan tan
2
cot 2
cot 2 cot tan
tan tan
B A A
C C
B C
B A
C B A C
B A
+ +
+ +
+
≥ +
+
⇔
≥
∈
∀
=
2
; 0
x
f
Theo Jensen thì : tan A+B ≤ tanA+tanB ⇒ñpcm
Trang 7Chứng minh các bất ñẳng thức sau rồi xét khi dấu bằng xảy ra :
3.3.1
4
3 cos cos cos
cos cos
3.3.2 sin2A+sin2B+sin2C≤sinA+sinB+sinC
C B
1 2
3 2
sin
1 2
sin
1 2
sin
1
+
≥ +
3.3.4
2
tan 2
tan 2 tan cot
cot cot
2 2 2 2
2 2 2
C B A
c b a C
B A
c b a
≤
+ +
+ +
3.3.5
2
1 cos cos
cos
≤ +
+
+ +
c b a
C c B b A a
3.3.6
2
cos 2
cos 2
abc m
m
m a b c ≥
3.3.7
2
cos 2
cos 2
abc l
l
l a b c ≤
2
cot 2
cot 2
3.3.9
9
3 26 5 sin
1 1 sin
1 1 sin
1
+
+
+
C B
A
3.3.10
1 sin
sin sin
sin sin sin
2 ≤ +
A
C B A