Một số bài toán về bất đẳng thức Bài 1:
a b b c 4abca b c
b)
ca bc ab c
b
a
a)
có luôn
ta c b, a, mọi với rằng
minh
Chứng
2 2
2
2
2
Bài 2:
a bb cc a 8abc
: có luôn
ta c b, a,
d ong số mọi với rằng
minh
Chứng
Bài 3:
24 S
1 18 : rằng minh Chứng u
u u u
S
ặt
Đ
k 3;
2;
1;
n với 3 n 2 n
1
n
n
1 u
: sau
nh dịnh xác ợc
Đ u ., u
,
u
số
Dãy
k 3
2 1
n
n 2
1
Giải:
1 18
1 S 6
1 3 k 2 k
1
k
1 6
1
3 k 2 k 1 k
1 2
k
1
k
k
1
5 4 3
1 4 3 2
1 4
3 2
1 3 2
1
1
S
3
:
Vậy
3 n 2 n 1 n
1 2
n
1
n
n
1
3
1
3 n 2 n 1 n n
3
3
1 3 n 2 n 1 n
n
1 u
:
có
24 S
1 24
1 u S có
ta
1
k
Với
n
k
Bài 4:
c b a
c b a 3 a c
a c c b
c b
b
a
b
a
: có luôn
ta c b, a,
d ong số mọi với
minh
Chứng
2 2 2 2 2 2 2
2
2
Giải:
c ab c 0Đúng
a b ab c a b a
b c bc c
b
b
a
a
c
ac
c b a a c
a c b c b
c b a b
a
b
a
c
c b a 3 a c
a c c b
c b b a
b a c b
a
T
BĐ
2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
Bài 5:
2 b a c) 2 b a b)
2
b
a
a)
: rằng minh Chứng 2
b
a
Cho
8 8 4
4 2
Bài 6:
Trang 2: r»ng minh Chøng 2
Cho
2 2
2
2
d c
b
a
d c
b
a
Gi¶i:
a b c d 8
d c b a 1 1 1 1 d c
b
a
4
:
2
C
1 d c b a 4 d c b a d c b
a
4
cd bd bc ad ac ab 2 d c b a d c b
a
4
cd bd bc ad ac ab 2 d c b a 3 : cã
ta vÕ
víi
vÕ
Céng
;
ad 2 a d
; cd 2 d c
; bc 2 c
b
:
cã
:
C1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2
2 2
2
Bµi 7:
2
25 b
1 b
a
1
a
: r»ng minh Chøng 1
b a m·n tho¶
b a,
d ong
sè
hai
Cho
2 2
Gi¶i:
2
25 2
b a
4 2 2
b
1 a
1 2 2
b
1 b a
1 a b
1 b
2 2
2 2
2
a
1
a
Bµi 8:
abc
16
b
a
: r»ng minh Chøng 1
c b a m·n tho¶
a, b, c ng o
d
sè
ba
Cho
Gi¶i:
a b 4ab a b 16abc
:
cã
l¹i
c b a 4 b a c b a 4 c b
a
1
Cã
2
2 2
Bµi 9:
abc
b
a
: r»ng minh Chøng 4
c b a m·n tho¶
a, b, c ng o
d
sè
ba
Cho
Bµi 10:
c
1 b
1 a
1 b ca
a c a
bc
c
b
c
ab
b
a
: thøc d¼ng bÊt
minh
Chøng
2 2
Bµi 11:
3 4 c , b , a 0 r»ng
minh
Chøng
2 c
b
a
2
c
b
a
: m·n tho¶
c
b,
a,
sè
ba
Cho
2
2
2
Gi¶i:
3
4 c 0 3
4 b
0
:
tù
ng
o
T
3
4 a 0 0 a 4 a 3 a 2 a 2 2 c b
c
b
Trang 3Bµi 12:
c b a 4 c
b
a
1
: cã lu«n
ta 0;1 c b, a, mäi víi r»ng
minh
Chøng
Gi¶i:
2 2 2
2
c b a 4 c b
a
1
:
VËy
c c
; b b
;
a
a
:
cã
l¹i
c b a 4 c
b
a
1
Bµi 13:
c a
b c b
a b a
c 2 b a c a
c
b
c
b
a
0 c b, a, mäi víi r»ng
minh
Chøng
Gi¶i:
b
1 a
1 2
c c
1 a
1 2
b b
1
c
1
2
a
a
b a
c 2
1 a
c a
b 2
1 c
b c
a 2
1 b
a c a
c
b
c
b
a
: cã
ta y x 2 y x thøc d¼ng
bÊt
dông
¸p
c b
a c a
b b
a
c
2
b a 2
c 2 2 c a 2
b 2 c b 2
a 2 2 b a
c 2 2 c a
b 2
c
b
a
2
2
: cã
ta y x 2 y x : thøc
¼ng d bÊt
dông
¸p
l¹i
b a
c 2 2 c a
b 2
c
b
a
2
2
b
1 a
1 2
c c
1 a
1 2
b b
1
c
1
2
a
: cã
ta y x
4 y
1 x
1 : thøc d¼ng
bÊt
dông
¸p
Bµi 14:
3 b 1 a 1
c c
1 a 1
b c
1
b
1
a
: r»ng minh Chøng 1
abc m·n tho¶
a, b, c ng o
d
sè
c¸c
Cho
3 3
3
Gi¶i:
b 8
c 1 8
a 1 c
1
a
1
b
o
4
a 3 c 1 b 1 64
c 1 b 1 a 3 8
c 1 8
b 1 c
1
b
1
a
d
3
3 3 3
:
tù
ng
T
: îc
ta Cosi thøc d¼ng
bÊt
dông
¸p
3 2
abc 3 2
c b a 4
3 b 1 a 1
c c
1 a 1
b c
1
b
1
a
4
c 3 8
b 1 8
a 1 b
1
a
1
c
3 3
3 3
3
: cã
ta thøc d¼ng bÊt
ba cña vÕ
víi
vÕ
Céng
Trang 4Bµi 15:
512
729 c
1 1 b
1 1 a
1 1 : r»ng
minh
Chøng
6 c b a : m·n tho¶
c b, a,
d ong thùc
sè
ba
Cho
3 3
Bµi 16:
2
c b a b a
c c
a
b
c
b
a
: thøc d¼ng bÊt minh Chøng
d ong
sè c¸c
lµ
c
b,
a,
Cho
2 2
2
Gi¶i:
thøc d¼ng bÊt
ba cña vÕ
víi
vÕ
Céng
c 4
b
a
b
a
c
; b 4
c
a
c
a
b
: cã
ta tù ng
T Cosi)
T (B§
a 4
c b
c
b
a
:
cã
2
2
2
Bµi 17:
6 a c c b
b
a
b)
5 , 3 1 c 1 b
1
a
a)
: r»ng minh Chøng 1
c b a m·n tho¶
0
c
b,
a,
Cho
Bµi 18:
2 2
y
x
y
x
: r»ng minh CHøng 1
y
x
y,
x
Cho
2
2
Gi¶i:
x y 2 2
2 y x y
x
xy 2 y x
y
x
y
Bµi 19:
3 4 c , b , a : r»ng
minh
Chøng
1 ca
bc
ab
2 c
b
a
: m·n tho¶
c b,
a,
sè
c¸c
Cho
2
2
2
Bµi 20:
4
b a
2
b
0Chøngminhr»ng:
b
a,
Cho
Gi¶i:
a b b a 4
b a 2
b
a
:
VËy
0 2
1 b 2
1
a
ab
b a 2
1 b a ab b a ab 2
1
b
a
ab
:
XÐt hiÖu
2
1 b a ab 2
1 b a 2
b a 4
b a 2
b
a
:
Cã
2
2 2
2
Bµi 21:
Trang 52 b a
c a
c
b c
b
a
: r»ng minh Chøng 0
c
b,
a,
Cho
Gi¶i:
2 b a
c a
c
b c
b
a :
d îc
ta thøc d¼ng bÊt
ba cña vÕ
víi
vÕ
Céng
c b a
c 2 b
a
c
; c b a
b c
a
b :
tù
T ong
c b a
a 2 c
b
a
:
VËy
a 2
c b a 1 a
c b 2
1 1 a
c b :
Cosi
dông
¸p
Bµi 22:
8 1 1
a : r»ng minh Chøng 1
b
1;
a
Cho
b)
2 1 -x
x r»ng minh Chøng
1
x
Cho
a)
2 2
a
b b
Gi¶i:
2 1 x
1 1 x 1 x
1 1 x
1
-x
x
b 1 a
a 2 1 a
b 1 b
a 2 1
a
b
1
b
a
b)
2 2
2
2
B i 22: ài 22:
4
3 z 2 y x
1 z
y 2 x
1 z
y
2x
1
thi 4 z
1 y
1 x
1 m·n tho¶
0 z y, x, NÕu : r»ng
minh
Chøng
Gi¶i:
4
3 z
3 y
3 x
3 16
1 z 2 y x
1 z
y 2 x
1 z
y 2x
1 :
d îc
ta vÕ
víi
vÕ
Céng
z
2 y
1 x
1 16
1 2z y
x
1
z
1 y
2 x
1 16
1 z 2y x
1 :
tù
T ong
z
1 y
1 x
2 16
1 z
1 x
1
y
1
x
1
16
1
z x
1 y x
1 4
1 z x y x
1 z
y
2x
1
:
Cã
Bµi 23:
14 z y x
2 zx
yz
xy
3
: r»ng minh Chøng 1
z y x m·n tho¶
z y, x, ng o
d
sè
ba
Cho
2 2
Trang 6zx yz xy
2 z
y x
1 zx
2 yz
2
xy
2
1
2
zx yz xy
2 z
y x
2 zx
2 yz 2 xy 2
2 z
y x
2
2 2 2
2 2 2 2
2 2
zx
yz
xy
3
1 8 z y x
1 2zx
2yz
2xy
1
2
4
z
y
x
4
z y x zx 2 yz 2 xy 2
4 z
y x
1 2zx
2yz
2xy
1
:
Cã
2 2 2
2 2 2 2
2 2
2 3
1 zx yz
xy
:
hay
y
-x
:
Tõ
6 zx yz xy 2
zx yz xy 3 z y x 0 zy yz xy z
y
x
0 zx 2 yz 2 xy 2 z 2 y x 0 x z z y
2 2
2
2
2 2 2 2
2 2
Tõ (1) vµ (2) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
Bµi 24:
2
5 1
y
4 2
Chøngminhr»ng: x y x
m·n tho¶
y x, thùc
sè
hai
Gi¶i:
2 5
4
5 4
1 1 y 4 x 2
1 y 2 1
2 2
y
x
:
VËy
y
x
: copxki -Bunhia thøc
d¼ng
bÊt
dông
¸p
Bµi 25:
x
y y
x 3 4
x
y
2
2
2
x
: r»ng minh Chøng kh«ng
kh¸c thùc sè
lµ hai
y
x,
Cho
Gi¶i:
2 a a
x
y
y
x
Æt
§
dóng
: thµnh trá thøc
d¼ng
B¸t
0 1 a 2 a 0
2
a
3
Bµi 26:
6 c b a
0
c b a d
2 2 2
r»ng
minh
Chøng
m·n tho¶
2 1;
-o¹n thuéc thùc sè c¸c
lµ
c
b,
a,
Cho
Gi¶i:
6 6 c b a c b
2 c
2 b b
o
2 a a 0 2 a a 0 2 a 1 a
2
a
1
2 2
2
2 2
2 2
a :
d îc
ta vÕ
víi
vÕ
Céng
c
tù
ng
T
Bµi 27:
Trang 73 b a
c a
c
b
o
c
b
a
: r»ng minh Chøng ng
d sè
ba
lµ
c
b,
a,
Cho
Gi¶i:
2
3 b a
c a
c
b
9 b a
1 a c
1 c b
1 b a a c
c
b
3 b a
1 a c
1 c b
1 b a a c
c
b
2
1
3 b a
1 a c
1 c b
1 c b a b a
c a
c
b
c
b
a
:
Cã
c
b
a
Bµi 28:
1 y1 z
x -1 4
z
2y
x
: r»ng minh Chøng 1
z y x
vµ 0 z y, x,
sè
c¸c
Cho
Gi¶i:
(dóng) y
-1 y 1 minh
chøng
2 2
y 1 y 1 y 1 z 1 y 1
x
1
4
y 1 z x 2 z
1
x
1
4
Bµi 29:
9 ab 2 c
1 ca
2 b
1 bc
2
a
1
: r»ng minh Chøng 1
c b a
vµ 0
c
b,
a,
Cho
Gi¶i:
ab 2 c
1 ca 2 b
1 bc 2 ab
2 c ca 2 b bc
2
a
ab 2 c
1 ca 2 b
1 bc 2 c
b a ab 2 c
1 ca 2 b
1 bc
2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
a
1
a
1 a
1
Bµi 30:
6 b
a
1
2
ab
1
: cã
ta 1 b a m·n tho¶
0 b a, mäi víi r»ng
minh
Chøng
Bµi 31:
3 b
a
2
b
1
a
1
: cã
ta 1, a.b : m·n tho¶
0 b a, mäi víi r»ng
minh
Chøng
Gi¶i:
3 2 ab b
a
2 2
b
a
2
b
a
b a
2 2
b a 2
b a b a
2 b a b
a
2
b
1
a
1
Bµi 32:
Trang 83
4
4 b o
2
a
b
a
: r»ng minh Chøng a
m·n tho¶
ng
d sè
lµ hai
b
a,
Cho
Gi¶i:
2 2
2 2
2
2 2 2
2 2 2
b a 1 2
1 b a 2 b
a
2
2
3
b a 2 2
3
b
a
4 a 2
3 b a 2
3 4 a b a 2
3
4
copxki -Bunhia
dông
¸p
a
b
a
2
Bµi 33:
4
3 b
1
1
a
1
1
0tho¶ m·n a b 1.Chøngminhr»ng:
b
a,
Cho
Gi¶i:
3
4 b 1 a 1 b 1
1 a 1
1 3
1 b
1
1
a
1
1
Bµi 34:
3
16 c
b4 4
4
a
: r»ng minh Chøng 4
ca bc ab m·n tho¶
thùc sè c¸c
lµ
c
b,
a,
Cho
Gi¶i:
3
16 c b
16 ca bc ab a
c c b b a 3 c
b
3
a c c b b a c
b
4 4
2 2
2 2 2 2 2 4 4
2 2 2 2 2 2 4 4
4
4
4
a
:
VËy
a
a
:
Cã
Bµi 35:
2 2 x x
1 x r»ng minh Chøng 1.
x m·n tho¶
R
x
4
Gi¶i:
x x
1 x 1
x
x
x 1 x
x
x
1
x
2 2
2
2 2 2
3
4
Bµi 36:
y 2 1 2x 1
P : thøc biÓu cña nhÊt nhá nhÊt, lín trÞ
gi¸
TÝnh
)
b
2 y x 1 r»ng minh
Chøng
)
a
1 y x m·n tho¶
0 y
x,
sö
¶
Gi¶i:
Trang 9
2
y
x
1
VËy
2 y x 2 y x 2 y x 1 1 y
x
:
dông
¸p
1 y x hay
y
x
y
x
y y 1 y 0
2 2 2 2 2
2
2
2
1 y x khi 2 1 2
lµ cña P nhÊt lín trÞ gi¸
VËy 2
1 y x khi
b»ng
DÊu
2 1 2 y 2 1 2x
1
2 4 4 y 2 x 2 2 2 y 2 1 2x
1
)
Bµi 37:
2 1
x
x
-5
cã
ta 5 x 1 m·n tho¶
x mäi víi r»ng
minh
Chøng
Gi¶i:
1 x
5 x khi b»ng dÊu óng
§ 1 x
x
5
2
4 1 x x 5 2 4 4 2 1 x x -5 2 1
x
x
Bµi 38:
1 1
c ca
c 1
b bc
b 1
a
ab
a
: r»ng minh Chøng 1
abc kiÖn diÒu m·n tho¶
0 c b,
a,
sè
c¸c
Víi
2 2
2
Gi¶i:
c b b a
1 1 b bc
1 1
b bc
c b 1
b bc
b 1
b
bc
a
1
b bc abc
cb 1
b bc
b abc
a
ab
a
1 c ca
c 1
b bc
b VT
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2
2 2
2
1 a
ab
a
)
PCM
(§
c b a
1 c
b b a
1 1 b bc
1 1
b bc c
b b a
1
c
b
a
bc b 1 c
b b a
1 c b
a
c b
; b
; c
; b
; p
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2
: cã
ta a
1
vµ a
sè bé hai cho copxki
-Bunhia thøc
d¼ng
bÊt
dông
¸
Bµi 39:
64
1 b a ab
: r»ng minh Chøng 1
b a m·n tho¶
b
a,
Gi¶i:
8
1 ab
2
1
ab
: hay 4
1 ab 2 1 ab 2 2
1 2
ab 2 1 ab 2 ab 2
1
ab
2
: cã ab 2 -1
vµ ab 2 : Êm kh«ng sè hai cho
Cosi
dông
p
¸
8
1 ab 2
1
ab
8
1 ab 2 b a ab 8
1 b a ab 64
1 b
a
Trang 10Bµi 40:
1 ab b a : r»ng minh Chøng b
a b a
vµ 0 b
0;
a
Gi¶i:
óng
§ T B§
b 0 b a b a 1 b a
b a 1 ab
b
a
VËy
b a
b a ab b a b a ab b a
b
a
ab b a b a ab b a b a b a
b
a
Tõ
3 3
3 3 3 3
3
3 3 2
2
3 3
3 3 2
2 3 3 2
2
3
3
2 2 2
2 3 3 3
3
Bµi 41:
3 abc
c b a
a
c
c
b
a
: r»ng minh Chøng
d ong
sè
ba
lµ
c
b,
a,
Cho
Gi¶i:
minh
chøng ph¶
diÒu
d îc
ta vÕ
víi
vÕ
Céng
c
b
:
d îc tù ng
t b
a
: Cosi
dông
¸p
3
3
3 3
2 2
abc
c 3 b
a
a
c
a
c
abc
b a
c
c
b
abc
a 3 c b
b a 3
c
b
b
a
Trang 11Bµi 42:
6
c b a b a 3 c
ca a
2 c 3 b
b 2c
a
ab
: cã
ta c b, a,
d ong thùc sè mäi víi r»ng,
minh
Chøng
Gi¶i:
6
c b a c b a 18
1 c
b
a
9
1
c b a 18
1 c b
ac ab c a
ab bc b
a
ac
bc
9
1
b a 3 c
ca a
2 c 3 b bc
a 2
1 b a
1 c b
1 9
ac
b
a
3
c
ac
c 2
1 c a
1 b a
1 9 bc
b
1 c b
1 c a
1 9
ab b c b c a
ab c
2
b
a
ab
2c
3b
a
ab
:
VËy
2a
3c
b
bc
: tù
T ong
Bµi 43:
1 abc m·n tho¶
d ong thùc sè c¸c
lµ c
b,
a,
dã
trong
a
1
: r»ng
minh
Chøng
2
1 3 a 2 c
1 3
c 2 b
1 3
Gi¶i:
1 a ac
1 1 c bc
1 1 b ab
1 2
1 3 a 2 c
1 3
c 2 3
b
a
1
1 a ac
1 2
1
3
a
2
c
1
1 c bc
1 2
1 3
c
2
1 b ab
1 2
1 3
b
a
1
1 b ab 2 3 b a b 1 b
; ab
2
b
2 2 2
2
2
2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2
2
b 1
b
1
: cã
ta tù ng
t
a
Cã
2
1 3 a 2 c
1 3
c 2 3
b
a
1
1 1 b ab
b ab 1 1 b ab
b 1
b ab
ab 1
b
ab
1
b ab abc
b ab
abc c ab
ab 1
b ab
1 1
a ac
1 1
c bc
1 1
b
ab
1
2 2 2
2
2
2
2
b
1 :
VËy
:
cã
l¹i
Bµi 44:
b
a c a
c b
c
2 2
2
b
a
: r»ng minh Chøng c
b, a,
d ong
sè
c¸c
Cho
Gi¶i:
Trang 12 2
2 2
2 2
2
2
c b a 4 c
b a b
a c a
c b c
: copxki -Bunhia
dông
¸p
Bµi 45:
3 2 4 xy
1
y3
3
x
1 : r»ng
minh
Chøng
1
y x : m·n tho¶
d ong thùc sè c¸c
lµ
y
x,
Cho
Gi¶i:
3 2 4 xy
y x y x
xy 3 4 xy
xy 3 y x y
x
xy 3 y x xy
1 y
1 xy 3 y 1
y x xy 3 y x 1
3 3 3 3
3 3 3
3
3 3 3
3 3
3 3
3
3
x
1
:
VËy
x hay y
x 1
y
x
Tõ