bai tap dai so so cap va thuc hanh giai toan

tìa liệu toán,

BO GIAO DUC VA DAO TAO

BO GIAO DUC VA DAO TAO

DHSP DONG THAP LỚP CĐSTOANII

BÀI TẠP Đại SỐ SƠ cap

va

Thue hanh Giải toán

Giáo trình dùng cho sinh viên Cao đẳng

(In lan thir 1)

BAI TAP CHUONG 1

GIAI BAI TOAN NHU THE NAO

Bài 1: Giải hệ phương trình:

+ Nếu XỊ, Xa, Xa là các số dương Giả sử xị > X2> x3 xét hiệu xa-xị, chứng minh xạ >xị Từ đó X1=X2=x3 và tính nghiệm

+ Nếu xị, Xa, x3 la các số âm đặt x;=-x¡ với i=1, 2, 3 ta đưa về trường hợp trên

Bài 2: Điền các đơn thức thích hợp vào các dấu ? trong các đẳng thức sau:

(2+2)(2+3xy+?2)=(2)"-(2)°

Có thê điện nhiêu giá trị đơn thức thích hợp

Bài 3: Cho x+y=2 Chứng minh xy < 1

(x+y) -(x-y)=4xy, 4-(x-y}=4xy => xy <l,

Giải

Bài 4: Cho sơ đồ, đặt đầu bà thích hợp

——————— ————-

50 Giai Lớp học có 50 hoc sinh, 25 em giỏi môn văn, 35 em giỏi môn toán Vậy có bao nhiêu học sinh giỏ cả văn và toán?

Bài 5: Tìm các cặp số nguyên dương thỏa điều kiện: tổng của chúng bằng tích của chúng

2 Xét hiéu X2Y_ ya)

Bai 8: Chứng minh rằng tích ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 3

J

=3y+12_-AV +1249 wy vege?

2

Ta co: 2x=-3yt+12 @ x= 2

xy EZ& 5 cZ ® y=2t (tcZ), tính tiếp x

Bài 10: Chứng minh răng tồn tại số nguyên dương k sao cho 3”-1 chia hết cho 1000

Giải Xét 1000 số 3! 3Ý, 3'”' sử dụng nguyên t8alc suy luận Dirichlet cho 1001 số trong phép chia cho 1000 (hoặc dinh 111 Fermat)

BÀI TẬP CHƯƠNG 2

Bai 1: Ton tai hay không sô tự nhiên có tích các chữ sô của nó băng 165?

Giải Giả sử số tự nhiên can tim co dang a,a, , a4,a, (1< a, <0, 0< a, <9, i= 0,n-1)

Ta cd 165=11.15=a,a, , a,a, , suy ra phải tổn taia, chia hết cho 11 (vô lí vì 1< a, <9)

Vậy không tồn tại số tự nhiên thỏa bải toán

Bài 2: Tìm số chính phương có bốn chữ số biết rằng nếu cộng them 1 vào tất cả các chữ

sô đ1o thì ta cũng được một sô chính phương

Giải

Gọi số chính phương can tim 1a abcd = x Theo dé bai ta co: (a + 1)(6 + Ie + 1)(d +1) = y?

ta thấy y?>x” (x,y thuộc Z)

+ Vi p>7 la sé nguyén t6 nén p chia cho 6 du 1 hodc 5 nén p=6k+1

Ta co 3%? =1(mod 7) => 3°=1(mod 7) =>3%"'! =3(mod 7) => 2°” =1(mod 7) =>2°= 1(mod

7) =>2"! =2(mod 7)

Do d6 3%'1-2%'! =0(mod 7) => 3?-2?-1=0 => A:7 (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra A! 42p (dpcm)

a Chung minh f(1)= ne(2 \evnez’ )

Xét bộ 3 số ai,aa,as (1), aa,as,ao (2), ai,as,az (3)

Ta có trong 3 số bất kì bao giờ cũng có ít nhất 2 số có cùng tính chăng lẻ

Giả sử:

+ (1) có ai, a; có cùng tính chăn lẻ, suy ra ai+aa =2k, ke Z

+ (2)c6 a4, as cO cling tinh chan lẻ, suy ra aytas =21, le Z

+ (2)có ac, a1 CO cling tinh chan lẻ, suy ra asta; =2t, te Z

Trong 3 số k.l,t có ít nhất 2 số có cùng tính chẵn lẻ Giả sử k,l có cùng tính chăn lẻ, suy ra

k†I=2q, qe Z, suy ra ai+aa+ +a;=2(k†l)=2.2q=4q: 4 (đpcm)

Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

Vậy nghiệm của phương trình là (1,0)

Bài 7 : Ching minh rang voi moi số tự nhiên n ta có : A= 46”""!+296,13”"'!: 1947,

Giải + Ta có: 1947=33.59

Bai 9: Giai phuong trinh nghiém nguyén: (x+2)*- x* = yỶ

y z 1991 x y x -199]

, ,, 1 11 1 ee ae to mes Kk

Do đó phương trình —+—+—=——— với x, y là những sô hửu hạn thì z cũng là sô huu han

xX y Z Nên phương trình chỉ có một số hửu hạn nguyên đương

Đây là câu hỏi dé cung có khái niệm biêu thức toán học

Một biểu thức toán học là cách viết chỉ rõ các phép toán và thứ tự thực hiện các phép toán đó trên các số (thuộc một trường số K) và các chữ gọi là đối số (lấy giá trị trong trường K)

Dựa vào khái niệm trên nhận dạng biểu thức toán học

Ta có:

A, C, D là các biểu thức toán học

B, E không phải biểu thức toán học Vì X, Y, Z„, A, B là các tập hợp hoặc các mệnh đề logic, không phải là các đôi sô hoặc trường cơ sở

Bài 2: Các biêu thức sau đây trên R biêu thức nào là siêu việt, đại sô hữu tỉ (nguyên, phân), đại sô vô tỉ?

Phan tich va tra loi

Day là bài toán nhận dạng khái niệm, dựa vào các khái niệm đã biết (khái niệm về biểu thức

siêu việt, đại số hữu tỉ (nguyên, phân), đại số vô tỉ) để xét xem các biểu thức đã cho thuộc

loại nào?

Chú ý: Để phân loại một biểu thức là đại số hay siêu việt, cần chú ý đến tính chất của phép

toán trên các đối số chứ không phải trên các hệ số (là các phần tử của trường cơ sở K)

Ta có:

A là biểu thức siêu việt

B là biểu thức đại số vô tỉ

C là biêu thức đại số hữu tỉ phân

D là biểu thức đại số hữu tỉ nguyên

Bài3 Cho các biểu thức trên C:

a) f(x,y) = xy" —V2x°y +4[x+ y —sin(xyz)

Bài 5: Thực hiện các phép nhân đa thức

ø) 5x`—3x°y—2x)y` và 3x” —5xy” +2yÌ›

b) I+x+x +x `+x + và I—x;

€) 2x°—x`+x?+x+l và x—=2x+l;

d) x -x°-x-1 va x -2x41

Quy tắc: Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với

từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau

a) (5x° —3x*y— 2x7 y*)\(3x* —S5xy? +2y°)

=3x 5x! -3x?3x y—3x”2x y` -5xy ”5x” +5xy?3x”y +

-1 1 -1 2 -3

Ta có đa thức thương là x”— x+2 và dư là r=-3

Vậy, không tôn tại a, b để h(x)=(x+1)g(x)

Bài 7:Đơn giản biểu thức

P(, y)= (2x? +3xy- y”)(2x” +3xy)- 4(x” - y”Xx”+3xy+2y”)—3x”y'

Lời giải

P(x, y)= (2x? +3xy- y 2x” +3xy)- 4(x” - y”)(x”+3xy+2y”)—3x”y'

=4x* + 6x? y+ Ox? y+ 9x7 y? —2x7y? —3xy* -

—4x”—12xÌy—§x”yˆ +4x”yˆ +12xy`+§y!—3x”y/

=(4xˆ°—4x?)+(6xÌy+6xÌy—12xÌy)+(9x”yˆ—2x”y?°—§x”y?+4x?y”—3x”y”)+ +(-3xy` +12xy`)+8§y'

2 1 1 1

Vậy, đa thức cân tìm là: ƒ(x) = 3° + x tex +d (d lay tuy y)

Bài 13:Tìm điều kiện để đa thức

Vay, dé ƒ(x) là lập phương của một nhị thức bậc nhất là: In

a) Gọi đa thức phải tìm là: ƒ(x) = ax!+ðx` +cx? +av+e

Ta có:

#Œ)- ƒ(x-1)= ay! +bx` +ecx” +av+e~—[a(x =1)” +ð(xT— ID +c(x— L +đ(x—1)+e]

= 4ay` +(3b~— 6a)x” +(4a—3b+2c)x-a+b-c+d

mà theo đầu bài: ƒ(x)- f(x-l=x°

- HD: Thực hiện phép chia đa thức f{x) cho g(x) tức là ta tim thương q(x) và du r(x)

nên ta chia truoc tiép f(x) cho g(x) ta sẽ tìm được thương và số dư

x 3x7- x- 1 x’ —2x +1

2 1(x) =-—x- (JAX = G

* Khai thac bai toan:

1) Hay tim thuong va s6 du cua phép chia f(x) cho g(x), h(x) cho k(x) voi:

b) f(x) =x° +(1 + 2i)x* — (1 + 3i)x” + 7 voi x9 =-2-i

Dùng sơ dé Hoocne dé chia f(x) cho x + 2 +i

Đa thức f(x) chia hét cho g(x) nghia 1a: f(x) = g(x) h(x) + r(x) với r(x) = 0

Dung luoc đồ hoocne ta tim được a

2 | 1 1—2a 54 a’ —8at7

b) Dung luoc dé Hoocne

| 1 l-a atl -3a — 3 -7

1 | 1 2-a -a+at+3 -a” — 2a — 7

Dé f(x) chia hé cho g(x) thì -a2 - 2a - 7= 0 =_ phương trinh vô nghiệm = không có

Vậy giá trị cần tim là a = 2, b = 4

Bài 19: Tìm điều kiện để đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x)

a) fx) =xÌ+x+g; #(x) =x +mmx—l

b) f(x) = xÌ+øx+g; g(x) = x +mx+l

Vay voi m=q và p=—q’ —1 thi f(x) : g(x)

C2: Dung phuong phap hé s6 bat định

Vay voi m=—q va p= —q’ +1 thi f(x) : g(x)

C2: Dung phuong phap hé s6 bat định

Thay vào f{x) ta được: f (-1) = I(—) +1| =0

=> -1 cing là nghiệm của f(x)

b) Tìm đa thức bậc ba sao cho khi chia cho (x—1), (x+1) và (x—2) ta đều được

dư là 7, biết rằng f(x) chia hết cho (2x- I)

Gia str f(x) = ax? +bx* +ex+d (a#0)

Do f(x) (2x-1) — f{x) có một nghiệm là Š

2 a 2a+b 4a+2b+c 8a+4b+2c+d

Do f(x) chia cho (x—1), (x+1) và (x—2) ta đều được dư là 7 nên ta có:

Ta thực hiện phép chia f(x) cho g(x)

x +x°-9x° +ax? +bx+e > 43x? —Ax-12

C3: Dung phuong phap hé s6 bat dinh

Gia str 3 q(x) = x* + px+q sao cho f(x) = g(x).q(x)

p-3=8 p=il

© )b-3p=5 ©4 0ñ=38

bp=a a=418

Vay f(x) = x° +8x° +5x+418; g(x) = x° -3x +38;

Bài 23 Dùng sơ d6 Hoocne biéu thi:

f (x) = xÍ+2/y`—(1+i)x”=3x+7+¡ theo lũy thừa cla x +7

Theo sơ dé trén ta co f(x) = (x +i) —2i(x +i) —(14i)(x 41) —5(x +i) +745

Bài 24 Tìm UCLN của các đa thức

a) f(xj=x4 +33 3x2 —4x-1 va g(x)= x3 4x2-x-1

Lời giải

Bài 25:Tìm các đa thức u(x) va v(x) Sao cho

ƒ(x).(x)+ g(x).v(x)= đ(x) trong đó d(x) là UCLN của hai đa thức

Bài 27.Tìm ƯCLN của 2 đa thức

ƒ(x)=x”—1 và øg(x)=x” —I

Lời giải

Goi UCLN(m,n) =d

= UCLN(f (x), 2(x)) = x4 -1

Bài 28 Chỉ rõ bội số của

a, Nghiệm 2 đối với đa thức: ƒ(Y)= x? —5x4 47x3 —2x? +.4x-8

b, Nghiém -2 déi véi da thie: f(x) =x> +7x4 +16x3 +8x7 -16x-16

Vậy nghiệm 2 đối với đa thức có bội số bằng 3

b) Theo sơ đồ Hoocne ta có:

Vay nghiém -2 đối với da thức có bội số bằng 4

Bài 29: Tìm a để ƒ(x) = xỔ — ax” — ax +1 nhận (-1) là nghiệm bội

Lời giải

a) Nghiệm kép 1, nghiệm đơn 2, 3, 1+

b) Nghiệm bội ba là 2-3i

c) Nghiệm kép 1và nghiệm đơn -I-1

Lời giải

a) f(x) có nghiệm (Ï+7) nên có ngiệm liên hợp là (I—?)

theo giả thiết

Bài 31:Xác định a, b, c để chúng là nghiệm của phương trình

#(x)=xÌ`-ax?+bx—c=0

Lời giải

Vì a, b, c là nghiệm của phương trình ƒ(x) = xÌ-ax”+bx—c=0 nên ta có:

ƒ(a)=a`-aa°+Ba-c=0 <=> ab=c <=> c=ab_ (l)

ƒ(b)=b`~ab?+bb~e=0 (2)

ƒ(c)=cÌ-ac°+bc-c=0_ (3)

Thay (1) vào (2) và (3), ta được:

b`—abB° +Bˆ -ba=0 b`(B—ba+b—a)=0

ti ab’ +b’a-ba=0 = [re ~a@b+b-1)=0

Tu (*) va (**) ta co: (a, b, c) = (a, 0, 0) = (a, 1, a) = (1, -1, 1)

Bài 32: Chứng tỏ rằng các đa thức sau là bất khả quy trên Q

nhưng là ước của -8, 12, -6, 2 và pˆ=4 không là ước của 2

Vậy, đa thức f{x) đã cho là bất khả quy trên Q

Vậy, đa thức h(x) đã cho là bất khả quy trên Q

Bài 33:Tìm nghiệm hữu tỷ của các đa thức

<=> |,

x- 4x+7=0

Do x”—4x+7=0 có nghiệm trên trường C

Vậy x=2 là nghiệm hữu tỉ của f{x)

Do xÌ—5x?+7x—8=0 có nghiệm trên trường số thực R và trường số phức C

Vay x=-3 là nghiệm hữu tỉ của đa thức g(x)

<=> |x=3

x —x°-6=0

Do x’-x’-6=0 có nghiệm trên trường số thực R và trường số phức C

Vậy x=-2 và x=3 là nghiệm hữu tỉ của h(x)

y'-4y-16=0 không có nghiệm trên trường R

Vậy đa thức đã cho có nghiệm hữu tỉ y=-2 => x==

+>Í*

Bài 34: Phân tích các đa thức f(x) sau day thành nhân tử:

2a°b’ + 2a°c* + 2b°c* —a* —b* —c*

=2a°b’ + 2a°c? + 2b’? —a* —(b* +c")

= 2a”(b° +c”)+ 2b e?T=a*” =[(È“}) +2B “e” +(e”3ˆ — 2B e” ]

Bai 36: Phân tích thành nhân tử trên R:

a) (2a° —3ax)(5e + 2d) —(6a° — 4ax)(Se + 2d);

b) (ay+bx)y +(ax+byy —(a° +b’ \(x’ +");

c) abt+ab’+b’c+be’ +a’c+ac’ +3abe

Lời giải:

a) (2a —3ax)(5e + 2d) —(6a° — 4ax)(5e + 2d);

= (5c + 2d)(2a* —3ax — 6a’ + 4ax)

=(5¢e+2d)(ax — 4a’)

= a(5e +2d)(x — 4a)

b) (ay+bxy +(ax+byy —(a?+bh’ (x + y’);

Cach 1: Ta co

(ay + bx) +(axt+ by) —(a° +b’) +")

=a`y`+3a”y?bx+ 3ayb x” + b`x`+a`x`+3aˆx”by + 3axb y” + b`y`—

exe -a°yÌ _ bầy By

= 3a’ ybx + 3ayb’x* +3a°x’by + 3axb’ y*

= 3abxy(ay + bx +ax-+ by)

=3abxy[a(x+ y)+ b(x+y)]

=3abxy(x+ y)\(a+b)

Cach 2: Ta co

(ay+bxy +(ax+ byy —(a? +b’ (x? + y’)

=a`y`+3a”y?bx + 3ayBˆx” +bÌx`+a`x` +34 ”x”by + 3axB 2y” +b`y`—(a`+b)x`+yÌ)

=đ`(y`+x*`)+bÌ(`+y})-3abxy(ay +bx + ax + by)— (` +b})(x` + y})

=(@`+ð}Xx` + y)+3aBxy[a(x + y)+b(x+ y)]-(4`+ð})Xx` +)

=3abxy(x+ yXa+Ð)

Cách 3: Ta có

(ay+bxy +(ax+ byy —(a? +b’ (x? + y’)

=(ay+bxy +(axt+byy —(a@x +a y+bhx +b y’)

2 —

=(ay+bxy +(ax+byy —(ax? +b’ y’ +3a°x’by + 3axb* Wy là y là y

—3aˆx”by~ 3axb°y” +a`y`+b)`x` +34” y?bx + 3ayb°x” ~ 3a” yˆbxT— 3ayb”x”)

2

=(ay+bxy +(ax+ byy —[(ax +byy + (ay + bxy —3a°x*by —3axb’ y* —3a° y*bx —

—3ayb’x’ |

= (ay + bx)*+(ax + by) —(ax + by)’ —(ay + bx)? 3a’ x*by +3axb’y*? +3a’ y*bx + 3ayb?x*

=3abxyla(x+ y)+b(x+ y)]

=3abxy(a+b)\(x+y)

c) abt+ab’+b’c+be’ +a’c+ac’ +3abe

Giai:

abh+ab’+b’ct+be’ +a’ctac’ +3abe

=@b+ab’+bh’ct+be’ +act+ac’ +abc+abc+abe

=(a °b+ab” +abe)+(Bˆe+bc” +abe)+ (a°e + ac” + abc)

= bc(b +c)+ ac(c —đ)— aB[(b +c)— (c— a)]

=(b+c)(be— ab)+(c— a)(qac +aồ)

= b(b+c)(c—a)+(c—a)a(b+c)

=(b+c)(c—=a)b+a)

Cach 2:

A=bc(b+c)-ca(a—c)—ab(a+b)

=b’c+be° -a’c+ac’ —a’b—ab’

= (b°c —ab’)+(be* — ab) + (-a’c +.ac’)

Bai 38: Phân tich thanh nhan tu trén R:

a)_ a(b+c}` +b(a+e)°+c(a+b} - 4abc;

b) f(z)=2 -(a-b+c)z° +[ac—b(at+c)]z+ abc

Loi giai:

a) a(b+cy +b(a+c)*+e(a+by —4abe

Cach 1: Ta co

a(b+cy +b(at+c)*+ce(at+by —4abe

=a(b° +2be +e”)+B(a” + 2ae +e”)+c(aˆ +2ab+b”)— 4abec

= ab + 2abe + ac” + ba” + 2abc + bể” + ca” + 2abe + ca” — 4abc

=a° +ac” + ba” + be” +c(a+b)”

a(b+c)y +b(at+e)’+e(a+by —4abe

=a(b+cy +b(a’ +2ac+c°)+e(a’ +2ab +b’) —4abe

=a(b+c} +(a°b+be°+a*e+bŸe)

=a(b+cy +[a”(b+e)+ be(b +c)]

=a(b+cy +(a’ +be\(b+e)

=(b+c)(ab+ac+a’ +bc)

=(b+c)(a+b)at+c)

Cach 3: Ta co

a(b+cy +b(at+c)’+e(a+by —4abe

=a(b+c) —2abe+b(at+cy —2abe+c(at+by

=a{(b+c) —2be]+b[(a+c) —2ac]+c(a+by

=a(b’ +c*)+Bb(a@’ +e’) +ce(a+by

= ab” +ac” +ba” + be” +c(a +)

#()=z”—(a—b+c)z” +[ac — b(a +e)]z + abe

=z`—z°a+z”b— z”c + acz — abz — bcz + abe

=z (z-a)— bc(z-—a)+zb(z —a)— zc(z — a)

+Ex*+4Ex? +6Ex? +4Ex+E

<> x -2x° +3 = Ex? +(D+4E)x* +(C+3D+6E)x? +(B+2C+3D4+4E)x+

+(3C +5D)x+3D+Ex* +4Ex’ +10Ex? +12Ex+9

> x7 44x? +1 1x? +12x4+8=(C+E)x* +BC+D44E)x +(5C +3D+A+10E)x* +

Bai 1 Tim da thire f(x) biét rang f(x) chia x — 2 dw 1, f(x) chia x — 3 dư 2, f(x) chia x’ — 5x + 6 duoc thwong la x va con du

*Khai thac bai toan:

Ta sử dụng định lý Bơdu và định lý về phép chiacó dự trong vảnh đa thức R(x), ta có thê giải các bài toán tương tự:

1)Tim da thite f(x) biết rang f(x) chia cho x — 1, x — 2 du 2 va f(x) chia cho x’ + 4x + 3 thi duoc thuong la x — 1 va con du