ÔN tập PHẦN bất ĐẲNG THỨC

Jean le Rond dAlembert (16 tháng 11 năm 1717 – 29 tháng 10 năm 1783) là một nhà toán học, nhà vật lý, nhà cơ học, triết gia người Pháp. Ông là người đồng chủ biên và xuất bản cùng với Denis Diderot cuốn từ điển Encyclopédie. Phương pháp giải phương trình sóng của dAlembert được đặt theo tên ông.123

ÔN TẬP PHẦN BẤT ĐẲN THỨC (Giáo viên: Lê Văn Quý, THPT Bình Sơn) Bài Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh      4    a b c a  b b  c c  a  Lời giải Áp dụng BĐT: Ta có 1 11 1        x y x y x  y x y   1   1     2     a b b c c a a  b b  c  c  a a  b   1 1 1 1 1 2              a b b c   c a a b  a 4b 4b      4    a  b b  c c  a  a b c Bài Cho x, y > thỏa Lời giải Ta có: 1   Tìm GTNN biểu thức A  x  y x y 1 11 1      x y 2x y  Do đó: A  x  y  xy  xy   Dấu “=” xảy  x = y = Vậy MinA = x = y = Bài Tìm GTLN biểu thức A  x 9 5x Lời giải ĐK x Ta có: A  x 9  5x  1x  x 9  3  3    5x 5x 30 x 9 x = 18   x  18 Vậy MaxA = 30 9x Bài Tìm GTNN biểu thức A  với < x <  2x x Lời giải Dấu “=” xảy  Ta có: A  9x 2x 9x  x  1 1  2x x 2x x 9x 2x  x  2x x Vậy MinA = x  Bài tương tự : f  x   x    x  1 1x x Dấu “=” xảy  Thầy: Lê Văn Quý, Trường THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi ĐT: 0983852415 Facebook: Lê Văn Quý Bài Cho x, y, z > thỏa x+ y+ z = Tìm GTNN A  x2 y2 z2   y z z x x y Lời giải Áp dụng BĐT cosi ta có : x2 y z  x y z Công BĐT tương tự ta : A  Dấu “=” xảy  x =y= z = x y z 1 2 Vậy MinA = x = y =z = Câu Cho a, b, c > thỏa abc = CMR: bc ca a b    a  b  c 3 a b c Lời giải Áp dụng BĐT TBN TBC ta có  bc bc ca ab ca ab         b c  a b c  a  bc ca   ca ab   ab bc  =  a  b    b  c    c  a         2( a  b  c )  a  b  c  3 abc  a  b  c  Câu Cho a, b, c số thực dương thỏa : a + b + c = 3, Chứng minh a b c    bc2 ca2 a b2 Lời giải Đặt A vế trái BĐT a a a(b  c  2) Áp dụng BĐT TBC-TBN ta có:    a bc2 bc2 2(ab  bc  ac)  2(a  b  c) 15 ab  bc  ac Cộng BĐT tương tự ta có: 2A  (a  b  c)    4 2 Ta lại có: =a + b + c + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)  ab + bc + ca ≤ 3 15  2A     A  4 Câu (ĐH K A-2007) CMR với số thực dương x, y, x thỏa xyz = 1, Tìm GTNN biểu thức P= x2 ( y  z) y ( z  x) z ( x  y)   y y  2z z z z  2x x x x  y y Giải:Ta có x ( y  z )  x x , tương tự y ( z  x)  y y ; z ( x  y)  z z Vậy P  y y x x z z   y y  2z z z z  2x x x x  y y Đặt a = x x  y y , b = y y  z z , c = z z  x x x x 4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a ; y y ; z z 9 Thầy: Lê Văn Quý, Trường THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi ĐT: 0983852415 Facebook: Lê Văn Quý  4c  a  2b 4a  b  2c 4b  c  2a    c a b   a b c   Do P      = 4  b  c  a    b  c  a   6 9 9          4.3     Dấu xảy  x = y = z = MinP = 1 1 Câu Cho x,y,z >0 có tích CMR:    2 2 2 ( x  1)  y  ( y  1)  z  ( z  1)  x  Câu 10 (ĐH K A-2006) Cho hai số thực khác thỏa (x +y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN biểu thức 1 A= 3 x y Câu 11 (ĐH KA -2005) Cho x,y,z > 1 1 1   1    CMR: 2x  y  z x  y  z x  y  2z x y z Câu 12 (ĐH KA -2003) Cho x,y,z > x + y + z ≤ CMR: x2  1  y   z   82 x y z Câu 14 (ĐH K B-2007) Cho số thực dương x, y, x Tìm GTNN biểu thức x  y  z  P = x    y    z    xz   xy   yz  1 1 Câu 15.Cho x,y,z >0 có tích CMR:    2 2 2 ( x  1)  y  ( y  1)  z  ( z  1)  x  Câu 16 Cho x ,y ,z số thực dương thỏa mãn xyz =1 Chứng minh 1 y2  x2 1 z2   3 yz zx yx Câu 17 Cho x  y  ; CMR : x  3 ( x  y )( y  1) b bc b ca c a  b 15       bc a ca b ab c a b Câu 19 Cho số a  0, b  ; CMR :   a b b a -Câu 18 Cho a, b, c >0 CMR Thầy: Lê Văn Quý, Trường THPT Bình Sơn, Quảng Ngãi ĐT: 0983852415 Facebook: Lê Văn Quý ... = Tìm GTNN A  x2 y2 z2   y z z x x y Lời giải Áp dụng BĐT cosi ta có : x2 y z  x y z Công BĐT tương tự ta : A  Dấu “=” xảy  x =y= z = x y z 1 2 Vậy MinA = x = y =z = Câu Cho a,...  2A     A  4 Câu (ĐH K A-2007) CMR với số thực dương x, y, x thỏa xyz = 1, Tìm GTNN biểu thức P= x2 ( y  z) y ( z  x) z ( x  y)   y y  2z z z z  2x x x x  y y Giải:Ta có x ( y ...  1)  x  Câu 10 (ĐH K A-2006) Cho hai số thực khác thỏa (x +y)xy = x2 + y2 – xy Tìm GTLN biểu thức 1 A= 3 x y Câu 11 (ĐH KA -2005) Cho x,y,z > 1 1 1   1    CMR: 2x  y  z x  y  z