skkn chứng minh bất đẳng thức

 Th viÖn SKKN cña Quang HiÖu http://quanghieu030778.violet.vn/ A: §Æt vÊn ®Ò   !" ##$ %% &'% ( ) *%% &%"+,'+ -.%)/% &#), *#.## % &0 1#.## (% &#)2 3 4/5%67!8#.###4*#095% % &(#!8 *#.##): %#)#;*##.##*#-0 <% & *=!8!"% )%+=#.%#.+#. 3%+ >?@/%(000 *67!8 =#"000A=B6CD#), *'D .%)% &0 D)!"BEFG1H63#2 )%% &%% &F)IJ#.## > 6K > *?)%093=/ 6G1H"D)2!B;! 6 $$%D=!8D)!"%=# 0 !/ K *=#?+6;#.## B *67!8% &L!4 >M%D NO . .!4% & P%D#.###)000000 6;%=#=!8Q$#6%?$$3#% B=!8% &$#6( >? * R #.##$.% & %0 S  ((mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh bÊt ®¼ng thøc vµ øng dông cñabÊt ®¼ng thøc )) ;$#66;#. ##% & T! UB @'"D *6#T/B  (  *+.KV). W B giải quyết vấn đề phần I: điều trathực trạng trớc khi nghiên cứu X)!"B?#3#6;%=#% &B6 $$+%=#B >? 3%+ 6E % ++(%=#! B ? B+CD#)?!I66;#. ##% &!8/% &+ CD6 ($#6D% & +6%=#% & Phần II: các phơng pháp nghiên cứu P.## Y.## ; Y.##+ Phần III: nội dung của đề tài i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức Z@.%-+[% Z?.%-+\% Z@.3%Q%-+[% Z?.3%Q%-+\% 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : -]L\%[^\%[ H;_*6`(@`(`(%`(BD`( abccdR]bR e %-fL\%%\^\\ -bL\%[^\Z\%Z G+)L\%[^\O\%O Z\%[^\\%O !-gL\%\!^\Z\%Z! \%[!^\O\%O! J-dL\%\c^\\%! \%[c^\[%! h-RL\%\ci\!\c^\\%! -WL\%\c^\ \% \%[^\ \% ?j0 -eL\%i%\c^\ 3, Một số bất đẳng thức thông dụngL < &16L A?f6;!.%L ab ba + 2 k &K)BL^% %< &<#KL A?6;i%iKiBLlKZ%Bm f l f Z% f mlK f ZB f m k &K)B[^\ y b x a = < &>B+ ;L baba ++ k &K)BL% c II : Một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức 1.Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa n OXDL`(o\<Ka+oO<po O<\c0 OqTLo f  ≥ c?oi!rr^rrK)Bo^c0 OA-!8L Bµi 1.1 : A?6;LKBsQLK f ZB f Zs f Zb ≥ flKZBZsm Gi¶i : Ka+LG^K f ZB f Zs f ZbOflKZBZsm ^K f ZB f Zs f ZbOfKOfBOfs ^lK f OfKZ]mZlB f OfBZ]mZls f OfsZ]m ^lKO]m f ZlBO]m f ZlsO]m f klKO]m f  ≥ c?K lBO]m f  ≥ c?B lsO]m f  ≥ c?s  ^\G ≥ c?KBs GBK f ZB f Zs f Zb ≥ flKZBZsm?KBs0 k%QK)B[^\K^B^s^]0 Bµi 1.2L 1%!J6;L 1QL f Z% f Z f Z! f ZJ f  ≥ l%ZZ!ZJm Gi¶i : ta+LG^ f Z% f Z f Z! f ZJ f Ol%ZZ!ZJm ^l b a − 2 m f Zl c a − 2 m f Zl d a − 2 m f Zl e a − 2 m f kl b a − 2 m f  ≥ c?% kl c a − 2 m f  ≥ c? kl d a − 2 m f  ≥ c?! kl e a − 2 m f ≥ c?J ^\G ≥ c?%!J krr^rrK)B[^\%^^!^J^ 2 a Bµi 1.3 :1% &L ]c 2 22 22 + + baba Giải : ta+LG^ 2 22 22 + + baba ^ 4 )2()(2 2222 bababa +++ ^ 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba 0A?%0 krr^rrK)B^%0 2. Phơng pháp 2 ; Dùng phép biến đổi tơng đơng . OXDL<D N% &C. .?% & $3% & P * $0 O96;% &F!4L loZ<m f ^o f Zfo<Z< f loO<m f ^o f Ofo<Z< f loZ<Z1m f ^o f Z< f Z1 f Zfo<Zfo1Zf<1 loZ<m b ^o b Zbo f <Zbo< f Z< b loO<m b ^o b Obo f <Zbo< f O< b 0 A-!8L Bài 2. 1L1%6;!.N%Q]01QL 3 4 1 1 1 1 + + + ba Giải: k4#a#%D N. .i blZ]Z%Z]m glZ]ml%Z]m n gl%ZZ%Z]mlZ%^]m n g%Ze] g%lZ%m f g% < &; $0HB #)0 Bài 2. 2L1%6;!.)PLZ%Z^g 1QLlZ%ml%ZmlZm b % b b Giải: uLlZ%m f g%lZ%Zm f ^ [ ] cbacba )(4)( 2 +++ ]] ^\]R ≥ glZ%m^\]RlZ%m ≥ glZ%m f  ≥ ]R% ^\Z% ≥ % .L%Z ≥ % Z ≥ % ^\lZ%ml%ZmlZm ≥  b % b  b  Bµi 2.3L1% &L  3 33 22       + ≥ + baba i \ci%\c Gi¶i : k4#a#%D N. .LA?\ci%\c^\Z%\c  3 33 22       + ≥ + baba         + ≥+−       + 2 ).( 2 22 ba baba ba 0 2 2       + ba  f O%Z% f  ≥  2 2       + ba g f Og%Zg% f  ≥  f Zf%Z% f  b f OR%Zb% f  ≥ bl f Of%Z% f m ≥ c < &;4 $i6BL 3 33 22       + ≥ + baba Bµi 2.4: 1f6;%)PZ%^]019v b Z% b Z% ≥  2 1 Gi¶i : L b Z% b Z% ≥  2 1 [^\ b Z% b Z%O 2 1  ≥ c [^\lZ%ml f O%Z% f mZ%O 2 1  ≥ c [^\ f Z% f O 2 1 ≥ c0AZ%^] [^\f f Zf% f O] ≥ c [^\f f Zfl]Om f O] ≥ cl%^O]m [^\g f OgZ] ≥ c [^\lfO]m f  ≥ c < &;4 $0A=B b Z% b Z% ≥  2 1 krr^rrK)B^%^ 2 1 Bµi 2.5 :1% &L 3 33 22       + ≥ + baba  ]f L\c%\c0 Giải : A?\c%\c^\Z%\c L 3 33 22 + + baba [^\ ( ) 2 22 22 . 2 + + + + baba baba ba [^\ 2 22 2 + + ba baba [^\g f Og%Zg% f f Zf%Z% f [^\bl f Of%Z% f m c [^\blO%m f c0< &B $ ^\ 3 33 22 + + baba krr^rrK)B^%0 Bài 2.6LA?\c%\c01% &L a b a a b b Giải : k4#a#%D N. .L a b a a b b l )() baabbbaa ++ c [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 0))(( + baba < &; $i6BL a b a a b b 3. Phơng pháp 3: dùng bất đẳng thức quen thuộc . OXDLk4% &JL16<#K % &!>B+ ; (%D N 96;+)u% &LK f ZB f fKB A?%\c 2 + a b b a ]b 1-!8L Bµi 3.1Lw)67%6;!.QL  2> + + + + + ba c ac b cb a  Gi¶i #!8<`1BL Zl%Zm )(2 cba +≥  cba a cb a ++ ≥ + 2 . *L  cba b ac b ++ ≥ + 2  cba c ba c ++ ≥ + 2 k%Q/%<`( pFK)B L ^%Z%^Z^Z%Z%Z^cl?)D%  6;!.m0 u 6BL 2> + + + + + ba c ac b cb a Bµi 3.2: 1KBf6;)PL  K f ZB f ^ 22 11 xyyx −+−  1QLbKZgB ≤ d Gi¶i : ¸#!8% &<#KL lK f ZB f m f ^l 22 11 xyyx −+− m f l 1 ≤ x i 1 ≤ y m  ≤ lK f ZB f ml]OB f Z]OK f m ^\K f ZB f  ≤ ] "LlbKZgBm f  ≤ lb f Zg f mlK f ZB f m ≤ fd ^\bKZgB ≤ d `&K)B        = >> =+ 43 0,0 1 22 yx yx yx       = = 5 4 5 3 y x `+L 2 5 2 3 ≤≤ x Bµi 3. 3:1% ≥ ciZ%Z^]01QL  6 ≤+++++ accbba % 5,3111 <+++++ cba Gi¶i ]g ¸#!8%!&<#K?f%b6;L ( ) ( ) ( ) ( ) ( )       +++++++≤+++++ 222 1111.1.1. accbbaaccbba ^\ ( ) 6)22.(3 2 =++≤+++++ acbaaccbba ^\ 6 ≤+++++ accbba 0 krr^rrK)BL^%^^ 3 1 %¸#!8% &16L  1 22 1)1( 1 += ++ ≤+ aa a .L 1 2 1 +≤+ b b i 1 2 1 +≤+ c c 1uD/b% & *L  5,33 2 111 =+ ++ ≤+++++ cba cba k &K)B^%^^c?)DLZ%Z^ ] A=BL 5,3111 <+++++ cba Bµi 3.4L16;!.%)PLZ%Z^]0 1QL 9 111 ≥++ cba Gi¶i : L 0 >+ a b b a %\c L =++ cba 111 ) 111 ( cba ++ 0]^ ) 111 ( cba ++ 0lZ%Zm ^ 111 ++++++++ b c a c c b a b c a b a ^ ≥++++++ )()()(3 c a a c b c c b a b b a bZfZfZf^n ^\ 9 111 ≥++ cba krr^rrK)BL^%^^ 3 1 Bµi 3.5 1KB\c01QL yxyx + ≥+ 411   Gi¶i ¸#!8% &16L xyyx 2 ≥+  ]d [...]... bất đẳng thức dẫ đợc chứng minh 7 Phơng pháp 7 : Chứng minh phản chứng - Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng , ta hãy giả sử bất dẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái nhợc nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng Một số hình thức chứng. .. Dùng phép quy nạp toán học 22 - Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1 bằng phơng pháp quy nạp toán học , ta tiến hành : + Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0) + Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k > 1 (k > n0) + Chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1 + Kết luận bất đẳng thức đúng với n > 1 (n > n0) - Ví dụ : Bài 9.1 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n 3... Chuyên đề ((một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )) đợc áp dụng cho học sinh lớp 8, 9 thích hợp nhất là học sinhlớp 9 và với đối tợng là học sinh khá giỏi C: Kết luận Các bài tập về bất đẳng thức thờng là tơng đối khó đối với học sinh , nhng khi hớng dẫn học sinh xong đề tài ((một số phơng pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của bất đẳng thức )), học sinh sẽ thấy... hay áp dụng các bất đẳng thức thông dụng nh : Côsi , Bunhiacôpxki , bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Kiểm tra trờng hợp xảy ra dấu đẳng thức để tìm cực trị Tìm cực trị của một biểu thức có dạng là đa thức , ta hay sử dụng phơng pháp biến đổi tơng đơng , đổi biến số , một số bất đẳng thức Tìm cực trị của một biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối , ta vận dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá... > n ( ) m > ( ) n (2) b b b b a Bất đẳng thức (2) luôn đúng vì a>b>0 nên > 1 và m>n vậy bất đẳng thức (1) b (1) luôn đúng a m bm a n bn áp dụng bất đẳng thức trung gian m m > n n vối a>b>0 và m>n nên khi a +b a +b a1996 b1996 m=1996, n=1995 thì bất đẳng thức phảI chứng minh luôn đúng a1996 + b1996 a1995 b1995 > 1995 1995 a +b 17 6 phơng pháp 6: Dùng bất đẳng thức về 3 cạnh của tam giác a ,... = 6 Bài 8 a, Tìm giá trị nhỏ nhất của H = x x 1 với x > 1 b Tìm giá trị lớn nhất của K = x 1 x HD : áp dụng bất đẳng thức Côsi và làm tơng tự nh bài 5 : 2 - Dùng bất đẳng thức để giải phơng trình - Kiến thức : Nhờ vào các tính chất của bất đẳng thức , các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức , ta biến đổi hai vế ( VT , VP ) của phơng trình sau đó suy luận để chỉ ra nghiệm của phơng trình 2 Nếu... Điều vô lý đó chứng tỏ ít nhất một trong 4 bất đẳng thức cho trong đầu bài là sai Bài 7.2 : ( Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngợc nhau ) Chứng minh rằng không có 3 số dơng a, b, c nào thoả mãn cả ba bất đẳng thức sau : a+ 1 n thì a m bm a n bn > (1) a m + bm a n + bn Thật vậy ta dùng phép biến đổi tơng đơng để chứng minh a m + b m 2b m a n + b n 2b n > a m + bm a n + bn 2b m 2b n 2b m 2b n 1- m > 1 n m > . i : Các kiến thức cần lu ý 1, Định nghĩa bất đẳng thức Z@.%-+[% Z?.%-+\% Z@.3%Q%-+[% Z?.3%Q%-+\% 2, Một số tính chất cơ bản của bất dẳng thức : -]L\%[^\%[. 11 . Ngoài ra còn có một số phơng pháp khác để chứng minh bất đẳng thức nh : Phơng pháp làm trội , tam thức bậc hai . ta phải căn cứ vào đặc thù của