Chủ đề tự chọn Bất đẳng thức

Tuần 19 , 20, 21 CHỦ ĐỀ BÁM SÁT TỰ CHỌN ( 3 tiết) MỤC TIÊU: Kiến thức: Ôn tập và củng cố kiến thức về bất đảng thức : Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhâncủa hai số. Bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối Kỹ năng: - Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức , dùng phép biến đổi tương đương , bất đẳng thức Cauchy và hệ quả để chứng minh một số bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức đơn giản - Biết biểu diễn các điểm trên trục số thỏa mãn các bất đẳng thức x < a ; x > a ( với a > 0) chuẩn bị cho bài học tiếp theo ở phần tìm tập nghiệm của bất phương trình CHUẨN BỊ : HS: Ôn tập lý thuyết, xem lại các ví dụ, áp dụng đã học. Làm một số bài tập GV cho về nhà và theo SGK trang 79. Bảng phụ hoạt động nhóm ( 4 bảng cho 4 nhóm ) GV : Bài soạn theo tài liệu tự chọn ( chủ đề 2 ) từ trang 16 đến 22. Một số bảng phụ hỗ trợ ( tóm tắt định lý bđt Cauchy, tính chất cơ bản bđt, tính chất bđt có dấu giá trị tuyệt đối, câu hỏi trắc nghiệm… ) TIẾN TRÌNH CÁC HOẠT ĐỘNG: Nội dung Hoạt động của Thầy Hoạt động của trò Chủ đề: BẤT ĐẲNG THỨC Tiết 1 : 1. Điền vào chỗ trống để có kết quả đúng ; a) [ ] ⇔∈ bax ; ………………. b) ⇔≤ 3x …………………. c) 2 ≥ x ⇔ ………………… d) ≥+ ba ………………… 2. Nêu định lý BĐT Cô-si và chứng minh bất đẳng thức: 2 1 ≥+ x x với x > 0 Bài tập : Phần A : BẤT ĐẲNG THỨC VỀ Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ : - Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. - Bđt Cauchy và các hệ quả Trả lời kiểm tra 1. Điền vào chỗ trống a) … bxa ≤≤ b) …- 3 ≤ x ≤ 3 c) …x ≥ 2 hoặc x ≤ - 2 d) … ≥+ ba ba + 2. Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số dương x và x 1 ta có x x x x 1 .2 1 ≥+ 2 1 ≥+⇔ x x Hoạt động theo nhóm. Hai nhóm GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1. Cho x ∈ [ - 3 ; 7 ]. Chứng minh rằng 52 ≤− x 2. Chứng minh rằng 121 ≥−+− xx với mọi x ∈ R Hoạt động 2: Bài tập vận dụng phần bất đẳng thức có dấu GTTĐ. Cho HS thực hiện theo nhóm sau khi nhắc lại kết luận phần kiểm tra câu 1a,b,d để áp dụng. một bài. Trình bày kết quả trong bảng phụ trên bảng 1. x ∈ [ - 3 ; 7 ] 73 ≤≤−⇒ x 27223 −≤−≤−−⇒ x 5255 ≤−⇒≤≤−⇒ xx đpcm 2. xxxx −+−≥−+− 2121 =1 Phần B : BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI , HỆ QUẢ 3. Cho hai số dương a và b. Cmr: (a + b) 4 11 ≥       + ba 4. Cho x > 2. Tìm gía trị nhỏ nhất của biểu thức : f(x) = 2 3 − + x x Bài tập tương tự : 1. Cho các số dương a, b, c. Cmr (a + b + c ) 9 111 ≥       ++ cba 2. Với mọi số thực a, b, c ,chứng minh rằng : cbbaca −+−≤− 3. Tìm GTNN của f(x) = x x 2 8 + với x > 0 4. Cho 0 ≤ x ≤ 1. Tìm GTLN của biểu thức g(x) = x(1- x) Hoạt động 3: Cho HS sửa bài tập về nhà ở tiết trước ( có đánh giá cho điểm) Gợi ý (a + b) ≥ ? ≥       + ba 11 ? Nhắc lại tính chất nhân vế với vế của hai BĐT cùng chiều Đưa bảng phụ có ghi tóm tắt tính chât bất đẳng thức , BĐT Cô-si và hệ quả; chú ý các bđt tương đương . Mở rộng bđt (1) với tổng ba số không âm a+ b + c ≥ ? Nhận xét bài tập 4 có liên quan đến kiến thức nào ? Chú ý từ “ giá trị nhỏ nhất” Nhắc lại các hệ quả 2 và 3. GV gợi ý cách giải cho HS : Chú ý không thể xác định tích của x và 2 3 − x nên phải biến đổi f(x) = (x – 2) + 2 3 − x + 2 Tìm được x = 23 + thay vào f(x) để xác định GTNN HS sửa bài tập 3 đã cho : Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương , ta có (a + b) ≥ ab2 (1) baba 1 . 1 2 11 ≥       + (2) Nhân từng vế hai BĐT (1) và (2) (a + b) ab ab ba 4 11 ≥       + Giải BT 4: Xác định f(x) là tổng hai số dương suy ra cách giải: Vì x > 2 nên x – 2 > 0 x – 2 . 2 3 − x = 3 không đổi f(x) nhỏ nhất khi và chỉ khi x – 2 = 2 3 − x 3)2( 2 =−⇔ x x = 23 + và x = 23 +− Chọn x = 23 + thỏa đk x > 2 khi đó f(x) = 2 23 + là GTNN Hướng dẫn bài 1: sử dụng hệ quả Với ba số dương a, b, c , ta có (a + b + c ) ≥ 3 3 cba Hoạt động 4: Củng cố : Nêu lại phương pháp giải các dạng bài tập trên Chuẩn bị tiết tiếp theo cùng chủ đề , giải bài tập tương tự. Tuần 20 ( tiết 2 ) BÀI TẬP TỰ CHỌN(tt) I. Giải bài tập ở nhà ( 4 bài ) Hoạt động 1: Sửa bài tập về nhà: Bài tập 1: Nhắc lại bđt Cô-si 1) (a + b + c ) ≥ 3 3 cba (1) 3 1 . 1 . 1 3 111 cbacba ≥       ++ (2) Áp dụng hệ quả bđt Cô-si cho tổng ba số dương Áp dụng tính chất bdt có dấu GTTĐ cho tổng ba số dương và hướng dẫn HS trình bày bài làm Bài tập 2 vận dụng tính chất bất đẳng thức có dấu GTTĐ ≥+ ba ba + baba +≤+⇔ Bài tập 3 và 4 vận dung hệ quả 2, hệ quả 3 Cần xác định các số trong BĐT là số dương hoặc không âm ⇒ (a + b + c ) 9 111 ≥       ++ cba 2) cbbaca −+−=− ()( cbba −+−≤ 3) Ta có 4 12 . 8 = x x không đổi ,vậy tổng x x 2 8 + lớn nhất khi và chỉ khi ⇔= x x 2 8 x 2 = 16 , x = ± 4 , chọn x = 4 , GTNN là f(4) = 1 4) Theo đề bài ta có x > 0 và (1- x) > 0 . Tổng x + (1 – x) = 1 không đổi nên tích x(1 – x) lớn nhất khi và chỉ khi x =1 – x suy ra x = 2 1 khi đó GTLN là g( 2 1 ) = 4 1 II. Bài tập tương tự : 1. Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: 8111 ≥       +       +       + a c c b b a 2. Cho các số dương x, y, z. Cmr : (x + y)(y+ z)(z + x) ≥ 8 xyz 3. Cho ba số dương a, b, c, chứng minh rằng ≥++ b ca a bc c ab a + b + c Hoạt động 2 : Hướng dẫn HS giải bài tập tương tự Bài 1, 2 : Cho HS nhận xét các dấu hiệu quen thuộc trong BĐT : tổng 2 số dương. dấu ≥ viết thành ba BĐT áp dụng BĐT Cô-si cho tổng hai số và nhân từng vế của các BĐT đó Bài 3 : Gợi ý cho HS khá giải hoặc GV hướng dẫn giải nhóm mỗi tổng hai số để có ba tổng hai số rồi vận dụng tính chất cộng từng vế ba BĐT ta được đpcm Hai nhóm giải 2 bài cùng dạng 1) Phân tích theo gợi ý của GV b a b a .121 ≥       + c b c b .121 ≥       + a c a c .121 ≥       + suy ra đpcm 2) Chứng minh tương tự HS khá giải bài 3 Bài tập : củng cố bằng cách thay đổi các chữ a, b, c thành x,y,z hoặc tổng x + y thành x + 1, x + 2 … Hoạt động 3: Nhắc lại phương pháp chung để chứng minh bđt, cho bài tập tương tự. Làm BT SGK Làm các bài tập SGK trang 79 Tiết 3 A. Giải bài tập SGK (trang 79) Hoạt động 1: Hướng dẫn HS giải các bài tập 3, 4 trang 79 SGK . ф HS thực hiện theo hướng dẫn (dành cho HS khá, giỏi) Vận dụng các hằng đẳng thức, các bất đẳng thức đã học để chứng minh bất đẳng thức. Bài 3: Cho a, b, c là độ dài tam giác ABC. Chứng minh: a) (b – c) 2 < a 2 a) a 2 + b 2 + c 2 < 2 ( ab + bc + ca) Bài 4: Cho 2 số không âm x, y. Chứng minh : x 3 + y 3 ≥ x 2 y + xy 2 Các dạng bài tập này thường vận dụng đưa về bđt tương đương có dạng hằng đẳng thức đúng. Bài 3: Nhận xét điều kiện của a, b, c ? Bất đẳng thức tam giác ? Theo đề bài ta phải cm (b – c) 2 < a 2 tương đương phải cm điều gì ? viết lại bđt Đưa vế trái về dạng hằng đẳng thức rồi phân tích thành dạng tích của hai thừa số dương Câu b được suy từ câu a với các bđt tương tự . Áp dụng cộng từng vế ba bđt và rút gọn để được kết luận Bài 4 : Nhắc lại hằng đẳng thức hiệu của hai lập phương, chuyển vế phải sang vế trái, khai triển và phân tích vế trái thành dạng một tích. Đưa về một bđt tương đương với bđt ban đầu. Nêu phương pháp chung? * Nhận xét a, b, c là các số dương, và a – b < c < a + b, tương tự ta suy ra a + b – c > 0 ; a + c – b > 0 Ta có : (b – c) 2 < a 2 (1) ⇔ a 2 – (b – c) 2 > 0 ⇔ (a + b –c ) (a – b + c) > 0 đúng * Tương tự, viết được các bđt ( a – b) 2 < b 2 (2) ; (c – a) 2 < c 2 (3) Cộng các vế tương ứng của ba bđt (1), (2) và (3), rút gọn: 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) – 2 ( ab + bc + ca) < a 2 + b 2 + c 2 suy ra đpcm ф Thực hiện theo hướng dẫn : (x 3 + y 3 ) – ( x 2 y + xy 2 ) ≥ 0 Vế trái bằng (x – y )(x 2 – xy + y 2 ) – xy(x + y) = (x + y)(x – y) 2 ≥ 0 0,0 ≥∀≥∀ yx B. Bài tập áp dụng: 1. Chứng minh rằng: x 2 + 2y 2 - 2xy + 1 > 0 , ∀ x, y 2. Chứng minh: a 2 + b 2 + ab ≥ 0 với mọi a, b Hoạt động 2: Bài tập cho HS tự giải. gợi ý cho học sinh tách được các hạng tử vế tráivà làm xuất hiện một hằng đẳng thức, đưa về một bđt đúng. Chú ý : Trong các bài dạng này không áp dụng bđt Cô-si. Vì sao ? Hoạt động theo nhóm Nhận xét đề và tìm ra được dạng hằng đẳng thức trong vế trái: x 2 + y 2 - 2xy + y 2 + 1 = = (x – y) 2 + y 2 + 1 > 0, ∀ x, y Bài 2 chứng minh tương tự ví dụ ở bài học ( a 2 + b 2 - ab ≥ 0 ∀ a, b ) Câu hỏi: Chọn khẳng định đúng : 1) a > b ⇒ a 2 > b 2 2) a > b ⇒ ac > bc 3) dbca dc ba +<+⇒    < < 4) a + b > 2 ⇒    > > 1 1 b a Hoạt động 3: Câu hỏi trắc nghiệm củng cố kiến thức: Đưa bảng phụ ghi câu hỏi ttrắc nghiệm. Yêu cầu HS đưa phản ví dụ, lập mệnh đề đảo của mđ ở câu 4 cho biết đúng / sai. Bài tập về nhà : Xem thêm bài tập về bđt ở sách BT ĐS 10 từ trang 102 đến 106 . Xem bài “ Bất PT ” Đọc câu hỏi và trả lời, chú ý phương pháp loại trừ Câu 1, 2 sai trong trường hợp có số âm. Câu 4 sai vì khi a + b > 2, thì có thể a = 0, b = 3 Chuẩn bị chủ đề tiếp theo. Ôn tập về phương trình, bất phương trình. . Tuần 19 , 20, 21 CHỦ ĐỀ BÁM SÁT TỰ CHỌN ( 3 tiết) MỤC TIÊU: Kiến thức: Ôn tập và củng cố kiến thức về bất đảng thức : Bất đẳng thức giữa trung bình. hai số. Bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối Kỹ năng: - Biết vận dụng các tính chất của bất đẳng thức , dùng phép biến đổi tương đương , bất đẳng thức