Các chủ đề tự chọn Toán 11NC

Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 1 - CHỦ ĐỀ 1 ( 6 Tiết) PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN 1. Phương trình sinx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = α + k2π và x = π - α + k2π, k ∈ , với sin α = a. 2. Phương trình cosx = a • Nếu |a| > 1 : Phương trình vô nghiệm • Nếu |a| ≤ 1 : Phương trình có nghiệm là x = ± α + k2π, k ∈ , với cosα = a. 3. Phương trình tanx = a Điều kiện: cosx ≠ 0 hay x ≠ 2 π +kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình x = α + kπ, k ∈ , với tanα = a 4. Phương trình cotx = a Điều kiện: sinx ≠ 0 hay x ≠ kπ, k ∈ . Nghiệm của phương trình là x= α + kπ, k ∈  với cotα = a. B. MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP: 1. Phương trình asinx + bcosx = c • asinx + bsinx = c ⇔ sin(x + α) = 2 2 c a b+ trong đó: sinα = 2 2 b a b+ ; cosα = 2 2 a a b+ • asinx + bsinx = c ⇔ cos(x – β) = 2 2 c a b+ trong đó: sin β = 2 2 a a b+ ; cos β = 2 2 b a b+ Chú ý: Phương trình này có nghiệm khi và chỉ khi c 2 ≤ a 2 + b 2 . 2. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinxcosx = c Đặt t = sinx + cosx, |t| ≤ 2 Phương trình trở thành bt 2 + 2at – (b + 2c) = 0 Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần (Loại do điều kiện) Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 2 - II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: 1. Phương trình đưa về phương trình tích: Bài 1: Giải phương trình: 3tan2x.cot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 Giải Điều kiện của phương trình là cos2x ≠ 0 và sin3x ≠ 0 Ta biến đổi 3tan2xcot3x + 3 (tan2x – 3cot3x) – 3 = 0 ⇒ 3tan2xcot3x + 3 tan2x – 3 3 cot3x – 3 = 0 ⇒ tan2x (3cot3x + 3 ) - 3 (3cot3x + 3 ) = 0 ⇒ (3cot3x + 3 ) (tan2x - 3 ) = 0 ⇒ 2 3 3 cot 3 3 3 3 tan 2 3 3 x k x x k x π π π π   = +  = −  ⇒    = + =    (k ∈ ) ⇒ 2 9 3 6 2 x k x k π π π π  = +    = +   (k ∈ ) Caá giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là: x = 2 9 3 k π π + và x = 6 2 k π π + , k ∈  Bài 2: Giải phương trình: 1 tan 2 sin 1 cot x x x + = + Giải: Điều kiện của phương trình đã cho là: cosx ≠ 0, sinx ≠ 0 và cot x ≠ -1. Ta biến đổi phương trình đã cho: 1 tan cos sin sin 2 sin . 2 sin 1 cot cos sin cos x x x x x x x x x x + + = ⇒ = + + ⇒ sin 2 sin cos x x x = ⇒ sinx 1 2 0 cos x   − =  ÷   ⇒ sin 0 2 cos 2 x x =    =   ⇒ x = ± 2 4 k π π + , k∈  Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 3 - Giá trị x = - 2 4 k π π + , k∈  bị loại do điều kiện cot x ≠ -1. Vậy nghiệm của của phương trình đã cho là x = 2 4 k π π + , k∈ . Bài 3: Giải phương trình tan3x – 2tan4x + tan5x = 0 với x ∈ (0,2π) Giải: Điều kiện của phương trình đã cho: cos3x ≠ 0, cos4x ≠ 0 và cos5x ≠ 0. Ta có: tan3x -2tan4x + tan5x = 0 ⇒ sin8 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x − = ⇒ 2sin 4 cos4 2sin 4 0 cos3 cos5 cos4 x x x x x x − = ⇒ 2sin4x 2 cos 4 cos3 cos5 0 cos3 cos 4 cos5 x x x x x x   − =  ÷   ⇒ 2sin4xsin 2 x = 0 ⇒ sin 4 0 sin 0 x x =   =  ⇒ 4 4 4 x k x k x k x k x k π π π π π  = =   ⇒ ⇒ =   =  =  (k ∈ ) Từ giả thiết và điều kiện, nghiệm của phương trình là: 1 2 3 4 5 3 5 7 ; ; ; ; 4 4 4 4 x x x x x π π π π π = = = = = 2. Phương trình đưa về phương trình bậc hai của các hàm số lượng giác. Bài 4: Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) Giải: Ta có: 1 + sin2x = 2(cos 4 x + sin 4 x) = 2[(cos 2 x + sin 2 x) 2 – 2sin 2 xcos 2 x] = 2 2 1 1 sin 2 2 x   −  ÷   = 2 – sin 2 2x Vậy ta được phương trình sin 2 2x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1 ≤ t ≤ 1 ta được phương trình: t 2 + t – 1 = 0 ⇒ t = 1 5 2 − ± . Giá trị 1 5 2 − − < -1 nên bị loại. Với t = 1 5 2 − + ta có phương trình sin2x = 1 5 2 − + Phương trình này có nghiệm: x= 1 1 5 arcsin 2 2 k π   − + +  ÷  ÷   , k ∈  Và x = 1 1 5 arcsin 2 2 2 k π π   − + − +  ÷  ÷   , k ∈  Đó cũng là các nghiệm của phương trình đã cho. Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 4 - Bài 5: Giải phương trình sin 2 x(tanx – 1) = cosx(5sinx – cosx) – 2. Giải: Điều kiện của phương trình là cosx ≠ 0 Chia hai vế của phương trình cho cos 2 x ta được: tan 2 x (tanx – 1) = 5tanx – 1 – 2(1+tan 2 x) ⇒ tan 3 x – tan 2 x = 5tanx – 3 – 2 tan 2 x ⇒ tan 3 x + tan 2 x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình. t 3 + t 2 – 5t +3 = 0 ⇔ (t – 1)(t 2 + 2t – 3) = 0 ⇔ 1 3 t t =   = −  Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm 4 x k π π = + , k ∈  Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho. Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 4 k π π + , x = arctan(-3) + kπ, k ∈  Bài 6: Giải phương trình: 3 3 2 3 1 3 1 sin cos sin 2 sin cos 3 2 2 3 x x x x x     − + = + −    ÷  ÷       Giải Ta biến đổi phương trình đã cho: 3 3 2 3 1 3 3 2 sin cos 2sin cos sin cos 3 2 6 x x x x x x   − − + − +     =0 ⇔ 3 2 2 3 2 2 2 2 sin 3 sin cos sin cos cos sin cos 3 sin cos 0 3 3 x x x x x x x x x x     − + + + − =  ÷  ÷     ⇔ 2 2 2 sin 3 sin cos cos (sin cos ) 0 3 x x x x x x   − + + =  ÷   ⇔ 2 2 sin cos 0 (1) 2 sin 3 sin cos cos 0 (2) 3 x x x x x x + =    − + =  • Giải phương trình (1) ta được: x = 3 4 π +kπ, k ∈  • Giải phương trình (2): sin 2 x - 3 sinxcosx + 2 3 cos 2 x = 0 Nếu cosx = 0 thì vế trái bằng 1 nên cosx = 0 không thoả mãn phương trình. Với cosx ≠ 0, chia hai vế của phương trình cho cos 2 x, ta được: tan 2 x - 2 3 tan 0 3 x + = Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 5 - Giải phương trình, ta được: x = 6 k π π + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  Vậy phương trình đã cho có các nghiệm x = 3 , 4 6 k x k π π π π + = + và x = arctan 2 3 3 + kπ, k ∈  3. Phương trình asinx + bcosx = c Bài 7: Giải phương trình 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 Giải: Ta có: 4cosx + 2 3 sinx + cos2x + 3 sin2x + 3 = 0 ⇔ 4cosx + 2 3 sinx + 2cos 2 x – 1 + 2 3 sinxcosx + 3 = 0 ⇔ 2 3 sinx(cosx+1) + 2(cosx +1) 2 = 0 ⇔ 2(cox +1)( 3 sinx + cosx + 1) = 0 ⇔ cos 1 0 3 sin cos 1 0 x x x + =   + + =  ⇔ (2 1) 2 3 x k x k π π π = +    = − +  (k ∈ ) Bài 8: Giải phương trình: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 Giải: Ta biến đổi phương trình đã cho: 2cos 3 x – sin2x(sinx + cosx) + cos2x(sinx + 2 ) - 2 (sin2x + 1) – 2cosx – sinx = 0 ⇔ 2 (cos2x – sin2x – 1) + sinx(cos2x – sin2x – 1) + 2cos 3 x – sin2xcosx – 2cosx = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(2cos 2 x – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1) ( 2 + sinx) + cosx(cos2x + 1 – sin2x – 2) = 0 ⇔ (cos2x – sin2x – 1)(cosx + sinx + 2 ) =0 ⇔ cos 2 sin 2 1 0 cos sin 2 0 x x x x − − =   + + =  ⇔ 2 cos 2 4 2 cos 1 4 x x π π    + =   ÷       − = −   ÷    Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 6 - ⇔ 2 2 4 4 2 4 x k x k π π π π π π  + = ± +    − = +   (k ∈ ) ⇔ 4 5 2 4 x k x k x k π π π π π   =   = − +    = +  (k ∈ ) 4. Phương trình a(sinx + cosx) + bsinx. cosx = c Bài 9: Giải phương trình cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 Giải: Ta có: cos2x + cos 2 x + (5 – 3cosx)(sinx + cosx) – 2 = 0 ⇔ 5(sinx + cosx) – 3cosxsinx = 3 Đặt t = sinx + cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ), phương trình trở thành: 3t 2 – 10t + 30 = 0 ⇒ 3( ) 1 3 t loai t =    =  ⇒ sinx + cosx = 1 3 ⇒ sin 2 4 6 x π   + =  ÷   Giải ra ta được: 2 arcsin 2 4 6 3 2 arcsin 2 4 6 x k x k π π π π  = − + +    = − +   (k ∈ ) Bài 10: Giải phương trình 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 =0 Giải: Biến đổi phương trình đã cho, ta được: 2sin 3 x + cos2x – 3cosx + 2 = 0 ⇔ 2sinx (1-cos 2 x) + 2cos 2 x – 3cosx +1=0 ⇔ (1 – cosx)[2sinxcosx + 2(sinx – cosx) + 1} = 0 ⇔ cos 1 (1) 2sin cos 2(sin cos ) 1 0 (2) x x x x x =   + − + =  Phương trình (1)cho ta nghiệm x = k2π, k ∈  Giải phương trình (2), đặt t = sinx – cosx (- 2 ≤ t ≤ 2 ). Phương trình (2) trở thành: t 2 – 2t – 2 = 0 ⇒ 1 3( ) 1 3 t loai t  = +  = −   Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 7 - Với t = 1 - 3 , giải ra ta được: 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k π π π π    − = + +   ÷  ÷       −  = − +  ÷  ÷     (k ∈ ) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 2 2 6 arcsin 2 4 2 5 2 6 arcsin 2 4 2 x k x k x k π π π π π   =     −  = + +  ÷  ÷        − = − +   ÷  ÷     (k ∈ ) III. BÀI TẬP: Giải các phương trình sau: 1. 3 cot2xtan3x-(cot2x + 3 tan 3x) + 1 =0 2. 4cos 2 2xsinx + 2cosxsin4x + 2 3 cos2x + 2sin3x + 3 = 0 3. 1 cos 2 sin 4 1 tan 2 x x x − = − 4. 3sin 2 x - 3 3 sinxcosx + sin2x - 3 cos2x = 3 5. sin4x 2 1 3 sin 4 sin 2 3 5sin 2 4sin 2 9 cos2 (9 sin 4 ) 0 4 2 x x x x x x   − + + − − + − =  ÷   6. cos3x(3tanx + 6 + 2 3 ) – 3tanx + (3 - 2 3 ) sin2x = 2 3 . 7. sin2x – 2sin 2 x + 3sinx – cosx = 1 8. ( 2 - 1)sinx - 2 cosx-cos3x = 0 9. (sinx + cosx)(3cosx + 2) = cos2x + cos 2 x + 3 CHỦ ĐỀ 2: ( 5 Tiết ) Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 8 - TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT I. TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN, HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP: 1. Quy tắc cộng: Một công việc được hoàn thành bởi một trong hai hành động, hành động này có m cách thực hiện, hành động kia có n cách (không trùng với hành động thứ nhất). khi đó có m + n cách hoàn thành công việc. 2. Quy tắc nhân Một công việc được hoàn thành bởi hai hành động liên tiếp, có m cách thực hiện hành động thứ nhất và ứng với mỗi cách đó có n cách thực hiện hành động thứ hai. Khi đó m.n cách hoàn thành công việc. 3. Hoán vị: • Cho tập hợp A gồm n phần tử (n ≥ 1). Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập A được gọi là hoán vị của n phần tử đó. • Số các hoán vị của n phần tử được kí hiệu là P n . Ta có: P n = n(n – 1) … 2.1 = n! 4. Chỉnh hợp: • Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp A và xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho. • Kí hiệu k n A là số các chỉnh hợp chập k của n phần tử. Ta có: k n A = n(n -1) … (n – k + 1). Với quy ước 0! = 1, ta có: ! ( )! k n n A n k = − 5. Tổ hợp: • Cho tập A có n phần tử (n ≥ 1). Mỗi tập con gồm k phần tử của tậm A gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho. • Kí hiệu k n C là số các tổ hợp chập k của n phần tử. Ta có: ! ! !( )! k k n n A n C k k n k = = − 6. Nhị thức Niu – tơn: 0 1 1 0 ( ) . . n n n n k n k k n n k n k k n n n n n k a b C a C a b C a b C b C a b − − − = + = + + + + + = ∑ B. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ: 7. Giải sử Ω là không gian mẫu, A và B là các biến cố. • Ω\A = A được gọi là biến cố đối của biến cố A. • A ∪ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A hoặc B xảy ra. Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 9 - • A ∩ B là biến cố xảy ra khi và chỉ khi A và B cùng xảy ra. A ∩ B còn được viết là AB. • Nếu AB = ∅, ta nói A và B cung khắc. C. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 8. Kí hiệu P(A) là xác suất của biến cố A, ta có: P(A) = ( ) ( ) n A n Ω Từ đó: • 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(∅) = 0, P(Ω)=1 • P(A ∪B) = P(A) + P(B) nếu A ∩ B = ∅. 9.Ta nói hai biến cố A và B độc lập nếu sự xảy ra (hay không xảy ra) của A không làm ảnh hưởng đến xác suất của B. A và B độc lập khi và chỉ khi P(AB) = P(A).P(B) A và B độc lập ⇒ A và B độc lập. 10. Công thức cộng mở rộng: Giải sử A và B là hai biến cố tùy ý cùng liên quan đến một phép thử. Lúc đó: P (A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB) D. BIẾN NGẪU NHIÊN: 11. Biến ngẫu nhiên hay đại lượng ngẫu nhiên là một quy tắc cho ứng mỗi kết quả của phép thử với một số thực: Giả sử X là một biến ngẫu nhiên và a là một giá trị của nó. biến cố “X nhận giá trị a” được kí hiệu là [X = a] hay (X = a) Giải sử X có tập các giá trị là {x 1 , x 2 ,…,x n } Đặt: p 1 = P[X = x 1 ], … , p n = P[X = x n ]. Ta có bảng sau đây gọi là bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X. X x 1 x 2 … … x n P p 1 p 2 … … P n 12. Kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Giả sử X là biến ngẫu nhiên có bảng phân phối (1). Kì vọng của X, kí hiệu E (X), là một số được cho bởi công thức: E(X) = x 1 p 1 + … + x n p n (2) Phương sai của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu V(X), là một số được cho bởi công thức: 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) . ( . ) n n n n V X x p x p x p x p x p= + + + − + + Độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên X, kí hiệu: σ (X), là một số được cho bởi công thức: σ (X) = ( )V X Kì vọng của X là số đặc trưng cho giá trị trung bình của X. Phương sai là độ lệch chuẩn là số đặc trung cho độ phân tán của X so với kì vọng của X. II. RÈN LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI TOÁN: Bài 1: Hỏi có bao nhiêu đa thức bậc ba P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d mà các hệ số a, b, c, d thuộc tập {- 3, -2, 0, 2, 3}. Biết rằng: Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 10 - a. Các hệ số tùy ý? b. Các hệ số đều khác nhau? Giải: a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ≠ 0. Có 5 cách chọn hệ số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn hệ số d. Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức. b. Có 4 cách chọn hệ số a (a≠ 0) - Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b - Khi đã chọn a và b, có 3 cách chọn c. - Khi đã chọn a, b và c, có 2 cách chọn d. Theo quy tắc nhân có: 4 x 4 x 3 x 2 = 96 đa thức. Bài 2: Để tạo những tín hiệu, người ta dùng 2 lá cờ màu khác nhau cắm thành hàng ngang. Mỗi tín hiệu được xác định bở số lá cờ và thứ tự sắp xếp. Hỏi có thể tạo ra bao nhiêu tín hiệu nếu: a. Cả năm lá cờ đều được dùng? b. Ít nhất một lá cờ được dùng? Giải: a. Nếu dùng cả 5 lá cờ thì mỗi tín hiệu chính là một hoán vị của 5 lá cờ. Vậy có 5!=120 tín hiệu được tạo ra. b.Mỗi tín hiệu tạo bởi k lá cờ là một chỉnh hợp chập k của 5 phần tử. Theo quy tắc cộng, có tất cả 1 2 3 4 5 5 5 5 5 5 325A A A A A+ + + + = tín hiệu. Bài 3: Từ một tổ gồm 6 bạn nam và 5 bạn nữ, chọn ngẫu nhiên 5 bạn xếp vào bànd 9ầu theo những thứ tự khác nhau. Tính xác suất sao cho trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam. Giải Mỗi một sự sắp xếp chỗ ngồi cho 5 bạn là một chỉnh hợp chập 5 của 11 bạn. Vậy không gian mẫu Ω gồm 5 11 A (phần tử) Kí hiệu A là biến cố: “Trong cách xếp trên có đúng 3 bạn nam” Để tính n(A) ta lí luận như nhau: - Chọn 3 nam từ 6 nam, có 3 6 C cách. - Chọn 2 nữ từ 5 nữ, có 2 5 C cách. - Xếp 5 bạn đã chọn vào bàn đầu theo những thứ tự khác nhau, có 5! Cách. Từ đó theo quy tắc nhân ta có: n(A) = 3 6 C . 2 5 C .5! Vì sự lựa chọn và sự sắp xếp là ngẫu nhiên nên các kết quả đồng khả năng. Do đó: 3 2 6 5 5 11 . .5! ( ) 0,433 C C P A A = ≈ . Bài 4: Một tổ chuyên môn gồm 7 thầy và 5 cô giáo, trong đó thấy P và cô Q là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên 5 người để lập hội đồng chấm thi vấn đáp. Tính xác suất để sao cho hội đồng có 3 thầy, 2 cô và nhất thiết phải có thầy P hoặc cô Q nhưng không có cả hai. Giải: Kết quả của sự lựa chọn là một nhóm 5 người tức là một tổ hợp chập 5 của 12. Vì vậy không gian mẫu Ω gồm 5 12 792C = phần tử. Gọi A là biến cố cần tìm xác suất. B là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thầy, 2 cô trong đó có thầy P nhưng không có cô Q. C là biến cố chọn được hội đồng gồm 3 thấy, 2 cô trong đó có cô Q nhưng không có thầy P. Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần [...]... Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 28 - 8 Cho dây cung AB độ dài không đổi có hai đầu mút chạy trên đường tròn tâm O bán kính R và một điểm C cố định trên (O) Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC chạy trên một đường tròn cố định Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần - 29 - Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao CHỦ ĐỀ 5: (6 Tiết) QUAN HỆ SONG SONG TRONG.. .Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 11 - Như vậy: A = B ∪ C và n(A) = n(B) + n(C) Tính n(B) như sau: - Chọn thầy P, có 1 cách 2 - Chọn 2 thầy từ 6 thầy còn lại, có C6 cách 2 - Chọn 2 cô từ 4 cô, có C4 cách 2 2 Theo quy tắc nhân, n(B) = 1 C6 C4 = 90 3 1 Tương tự n(C) = 1 C6 C4 = 80 n( A) 170 = ≈ 0, 215 n(Ω) 792 Bài 5: Sáu bạn,... trực tâm,tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác A’B’C’ Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần - 25 - Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - Phép đồng dạng biến một đa giác n cạnh H thành một đa giác n cạnh H’, biến các đỉnh của H thành các đỉnh của H’, biến các cạnh của H thành các cạnh của... “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nam”, C là biến cố: “Đoàn đại biểu được chọn gồm toàn nữ” Ta có: BC = ∅, A = B ∪ C Suy ra: P(A) = P(B) + P(C) 2 Chọn 2 người từ tổ I, có C13 cách 2 Chọn 2 người từ tổ II, có C12 cách 2 2 Từ đó không gian mẫu gồm: C13 C12 = 5148 (phần tử) 2 2 n(B) = C6 C8 = 420 2 2 n(C) = C7 C4 = 126 Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 12... tổng khoảng cách từ I tới các trung tâm của ba thành phố đó là ngắn nhất J I * Để giải các bài toán tìm điểm sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến một số điểm cho trước là ngắn nhất ta B C Hình 4.2 thường dùng các phép dời hình thích hợp để nối các đoạn thăẳg đang xét lại thành một đường gấp khúc Khi đó tổng các khoảng cách là ngắn nhất khi đường gấp khúc đó thuộc một đường thẳng Giải Bài toán thực... x = 0 11 Tìm vi phân của các hàm số: x+2 tan x a y = b y = x −1 x 12 Tính gần đúng các số sau với sai số 0,001 a cos610 b tan 440 c 16, 02 2 (4) 13 Cho y = x sinx Tìm y 14 Chứng minh rằng: π  (sin x)( n ) = sin  x + n ÷ (n ∈ *) 2  π  (cos x)( n ) = cos  x + n ÷ (n ∈ *) 2  Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 24 - CHỦ ĐỀ 4: (3 Tiết) PHÉP DỜI HÌNH... suất sao cho: a Không bàn nào có 1 nam và 1 nữ Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần - 14 - Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao b Có đúng 4 bàn được xếp 1 nam và 1 nữ 8 Cho một mạng giao thông như hình 2.3 mà các ô nhỏ đều là các hình vuông bằng nhau Một du khác B xuất phát từ A muốn đi đến B a Có bao nhiêu cách đi nhanh nhất C (i) Từ A đến B? (ii) Từ A qua C, đến B? Dựa vào ý tưởng giải câu a, hãy... lượt là trung điểm của các cạnh AB, B1C1, DD1 a Hãy xác định thiết diện tạo bởi hình lập phương đã cho và mặt phẳng (MNP) b Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (BDC1) 5 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Chứng minh các cặp đường thẳng sau đây chéo nhau a AA’ và BD b BD và A’C’ Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần - 34 - Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao CHỦ ĐỀ 6: (6 Tiết) QUAN HỆ... tam giác ABD vuông cân ở D Gọi I là trung điểm của DB, tìm tập hợp các điểm I khi A chạy trên nửa đường tròn C * Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định Giải: Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần - 27 - Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao Trên tia BD lấy điểm E sao cho BE = BA Do (BA, BE)... chọn môn Toán 11 nâng cao - 15 - x0 = 0, x1 = 100.000đ, x2 = 500.000đ; x3 = 1.000.000đ, x4 = 5.000.000đ; x5=10.000.000đ; x6 = 100.000.000đ Trường THPT Ba Tơ Gv: Huỳnh Đoàn Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao CHỦ ĐỀ 3: (8 Tiết) GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM I TÓM TẮT VÀ BỔ SUNG KIẾN THỨC A GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 1 Giới hạn hữu hạn Giả sử f(x) xác định trên khoảng K (hoặc K \ {x0}, x0 ∈ K   xn ∈ K \{x0 . Thuần Các chủ đề tự chọn môn Toán 11 nâng cao - 10 - a. Các hệ số tùy ý? b. Các hệ số đều khác nhau? Giải: a. Có 4 cách chọn hệ số a vì a ≠ 0. Có 5 cách chọn. số b, 5 cách chọn hệ số c, 5 cách chọn hệ số d. Vậy có 4 x 5 x 5 x 5 = 500 đa thức. b. Có 4 cách chọn hệ số a (a≠ 0) - Khi đã chọn a, có 4 cách chọn b -