Giới hạn, đạo hàm, và phép đồng dạng trong mặt phẳng

Xét phép thử gieo một đồng tiền 3 lần

Trong đó chẳng hạn NSN là kết quả đồng tiền lần đầu ngửa, lần thứ hai sấp, lần thứ ba ngửa.

CHỦ ĐỀ 3: (8 Tiết) GIỚI HẠN VÀ ĐẠO HÀM

VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG

Chứng minh rằng phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng

* Để chứng minh hai hình bằng nhau ta chỉ ra một phép dời hình biến hình này thành hình kia. Khi đó tổng các khoảng cách là ngắn nhất khi đường gấp khúc đó thuộc một đường thẳng. * Để có thể dùng phép biến hình giải các bài toán tìm tập hợp điểm ta xem tập hợp điểm đó là ảnh của một hình đã biết qua một phép biến hình xác định.

Do đó khi A chạy trên nửa đường tròn C, thì I chạy trên nửa đường tròn C’ là ảnh của C qua phép đồng dạng F. Chứng minh rằng hợp thành của hai phép đối xứng qua hai đường thẳng song song là một phép tịnh tiến. Dựng về một phía của đường thẳng AC các tam giác đều ABD và BCE.

Cho dây cung AB độ dài không đổi có hai đầu mút chạy trên đường tròn tâm O bán kính R và một điểm C cố định trên (O). Chứng minh rằng trọng tâm của tam giác ABC chạy trên một đường tròn cố định.

QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

Một đường thẳng và một mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung. Nếu (β) chứa d và cắt (α) theo giao tuyến d’ thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với d. Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Nếu (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng đó cùng song song với (β) thì (α) song song với (β). Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

- Ba mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn tương ứng tỉ lệ. Khi đó ba đường AA’, BB’, CC’ lần lượt nằm trên ba mặt phẳng song song, tức là chúng cùng song sng với một mặt phẳng. - Cách 2: Tìm một điểm chung của hai mặt phẳng và tìm phương của giao tuyến.

S là điểm chung của (SAB) và (SCD), hơn nữa (SAB) và (SCD) lần lượt chứa AB và CD song song với nhau nên giao tuyến là đường thẳng ∆ đi qua S và song song với AB và CD. Nhận xét rằng khi mặt phẳng (α) đi qua trung điểm E của đoạn AC thì (α) không cắt đường thẳng AB. Theo định lí Ta – lét đảo ta có: MN,AN, CF cùng song song với một mặt phẳng.

Vì AB và CF chéo nhau nên (CFD) là mặt phẳng duy nhất chứa CF mà song song với AB. * Chú ý: Ta có thể sử dụng định lý Ta – lét đảo trong không gia để giải bài này. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) và giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).

QUAN HỆ VUễNG GểC TRONG KHễNG GIAN

• Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. • Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song vớ nhau. Gọi b là đường thẳng không thuộc (α) đồng thời không vuông góc với (α) và b’ là hình chiếu vuông góc của b trên (α).

Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là góc tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d trên (α). • Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng vuông góc với nhau là mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia. • Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba đó.

* Sử dụng quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp để biến đổi vế này thành vế kia Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là là một hình chữ nhật. Chứng minh rằng nếu điểm M thuộc mặt phẳng (ABC) thì OMuuuur=xOA yOB zOCuuur+ uuur+ uuur. Ta có DI là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (ADI) vuông góc với nhau nên hình chiếu vuông góc H của đỉnh A phải nằm trên giao tuyến DI của hai mặt phẳng đó.

Trong mặt phẳng (ADI), ta vẽ AH ⊥ DI thì H là hình chiếu vuông góc của đỉnh A lên mặt phẳng (BCD). Gọi (α) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CA tại A và (β) là mặt phẳng vuông góc với đường thẳng CB tại B. Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng và đến mặt phẳng Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.

ABC’ là tam giác vuông tại B, do đó khoảng cách từ B đến AC’ là độ dài đường cao BI kẻ từ B xuống AC’. Lập luận tương tự đối với các điểm còn lại ta chứng minh được các khoảng cách từ các điểm này đến đường chéo AC’ đều bằng nhau. Tìm khoảng cách giữa AI và OC đồng thời xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Hai tam giác đều ABC và ABD có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD); gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB và SD.