Bat dang thuc Cosi

Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu I. ĐÁNH GIÁ TỪ TRUNG BÌNH CỘNG SANG TRUNG BÌNH NHÂN VD1: CMR: (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8a 2 b 2 c 2 ∀ a,b,c Bài toán nay thường gặp sai lầm sau: Sử dung kết quả: x 2 +y 2 ≥ 2xy. Do đó: a 2 + b 2 ≥ 2ab b 2 + c 2 ≥ 2bc c 2 + a 2 ≥ 2ac suy ra (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8a 2 b 2 c 2 Lời giải đúng : a 2 + b 2 ≥ 2ab b 2 + c 2 ≥ 2bc c 2 + a 2 ≥ 2ac suy ra (a 2 + b 2 )(b 2 + c 2 )(c 2 + a 2 ) ≥ 8a 2 b 2 c 2 =8 a 2 b 2 c 2 . VD2: CMR: Giải Ta có: (ĐPCM) VD3: Cho a,b,c,d ≥ 0 và a+b+c+d=1 CMR: 81 1 ≥abcd Giải Từ gt ta suy ra: = Tơng tự ta có:       + −+       + −+       + −≥ + dcba 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( )( )( ) 3 111 3 111 dcb bcd d d c c b b +++ ≥ + + + + +              +++ ≥ + +++ ≥ + +++ ≥ + +++ ≥ + 3 3 3 3 )1)(1)(1( 3 1 1 )1)(1)(1( 3 1 1 )1)(1)(1( 3 1 1 )1)(1)(1( 3 1 1 cba abc d dba abd c dca acd b dcb bcd a 28 )(64)( baabba +≥+ ( ) ( ) [ ] 2224 4 4 4 2 8 )(64)(2.2 )2).((22 )( baabbaab abbaabba baba +=+=       +≥++= =       +=+ Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu Nhân vế theo vế ta được: Suy ra: (ĐPCM) Chúng ta có thể tổng quát bài toán trên: VD4: Cho CMR: VD5: Cho: CMR: Giải Ta có: VT= (ĐPCM) Ta có bài toán tổng quát: VD6: Cho CMR: VD7: CMR: ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) dcba abcd dcba ++++ ≥ ++++ 1111 81 1111 1 81 1 ≥abcd n n n n aaa n aaa aaa )1( 1 1 1 1 1 1 1 1 0, ,, 21 21 221 − ≤      −≥ + ++ + + + > 8 111 1 0,, ≥       −       −       −    =++ > c c b b a a cba cba 8 2 . 2 . 2 1 . 1 . 1 =≥ +++ = −−− c ab b ca a bc c ba b ac a cb c c b b a a ( ) n n n n n na a a a a a aaa aaa 1 1 11 1 0, ,, 2 2 2 1 21 21 −≥         −         −         −    =+++ > ( ) 0,,8)1()1)(1(1 3 1 3 3 3 ≥∀≥+≥+++≥       ++ + cbaabcabccba cba 03 )1)(( 4 2 ≥>∀≥ +− + ba bba a Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu II.KỸ THUẬT TÁCH NGHỊCH ĐẢO Kỹ thuật tách nghịch đảo đó là kỹ thuật tách nghịch đảo phần nguyên theo mẫu số để khi chuyển sang TB nhân thì các phần chứa biến bị triệt tiêu chỉ còn lại hằng số. VD1: CMR: Giải Vì nên a và b cùng dấu. Do đó: VD2: CMR: Giải VD3: CMR: Giải Ta có: (ĐPCM) VD4: CMR: Giải Ta có: (ĐPCM) VD5: CMR: 02 ≠∀≥+ ab a b b a 1. = a b b a 2.2 =≥+=+ a b b a a b b a a b b a 2 1 2 2 2 ≥ + + a a 2 1 1 12 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + +≥ + ++= + ++ = + + a a a a a a a a    = > ∀≥ − + 1 22 22 ab ba ba ba 03 )( 1 >>∀≥ − + ba bab a 3 )( 1 .).(3 )( 1 )( )( 1 3 = − −≥ − ++−= − + bab bba bab bba bab a ⇒= − −≥ − +−= − +−= − +− = − + 22 2 ).(2 2 )( 2 )( 2)( 222 ba ba ba ba ba ab ba ba abba ba ba ⇒=−=− +− ++ −≥ − +− + + + + +−= +− + 3141 )1)(( 4 ) 2 1 )( 2 1 )((4 1 )1)(( 4 2 1 2 1 )( )1)(( 4 4 2 22 bba bb ba bba bb ba bba a Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu Giải Ta có: (ĐPCM) Ta có thể tổng quát bài toán này: VD6: Cho CMR: Giải Ta có: VT= (ĐPCM) III. KỸ THUẬT ĐÁNH GIÁ TỪ TB NHÂN SANG TB CỘNG VD1: CMR: (1) Giải Ta có: (1) Theo BĐT Cô si ta có: 2)1( )1( 13221 1 21 2)1( ) ()()( 1 10 +− − − +− ≥ −−− + ∈≤>>>> kn kn nn kk n n k kn aaaaaaa a Zkaaa 1 2 2 3 1 1 2 2 3 1 2 3 2 3 1 1 1 2 1 2 1 2 2 3 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1 ( ) ( ) n n n n n n n n n n n k so hang k so hang k so hang k k n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a k k k k k k a a a a a − − − − + − + − + + − + − − − − − − − − − = + + + + + + + + + + + − − 1 4 44 2 4 4 43 1 4 4 4 2 4 4 43 1 4 4 44 2 4 4 4 43 } [ ] ( ) ( 1) ( 1) 2 1 ( 1) 2 ( 1) 1 ( 1)( 2) ( ) ( 1) 2 Co si n k n k k n n n k n k n k a a k n k k − − + − − + −   ≥ − +  ÷ −   − + = ))(( dbcacdab ++≤+ 1 ))(())(( ≤ ++ + ++ ⇔ dcba cd dbca ab 1 2 1 2 1 2 1 =       + + + + + =       + + + +       + + + ≤ db db ca ca db d ca b db c ca a VT Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu VD2: CMR: (1) Giải Ta có: (1) Theo BĐT Cô si ta có: (ĐPCM) Ta có thể tổng quát bài toán này: VD3:CMR: (1) Giải Ta có: (1) Theo BĐT Cô si ta có: (ĐPCM) VD4: CMR: Giải Ta có: Theo BĐT Cô si ta có: 3 3 )1)(1)(1(1 +++≤+ cbaabc 1 )1)(1)(1( 1.1.1 )1)(1)(1( )1)(1)(1(1.1.1 33 3 33 ≤ +++ + +++ ⇔ +++≤+⇔ cbacba abc cbaabc ⇒=       + + + + + + + + =       + + + + + +       + + + + + ≤ 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1113 1 c c b b a a cbac c b b a a VT 0, ,,,, ,,)) ()(( 212122112121 ≥∀+++≤+ nn n nn n n n n bbbaaababababbbaaa 1 )) ()(( )) ()(( 2211 21 2211 21 ≤ +++ + +++ ⇔ n nn n n nn n bababa bbb bababa aaa 1. 1 1 1 1 22 22 11 11 22 2 11 121 ==         + + ++ + + + + + =         + ++ + + + +       + ++ + + + ≤ n nba ba ba ba ba ba n ba b ba b ba b nba a ba a ba a n VT nn nn nn nn Nn nn nn ∈≤∀≤+ −− 31 1 ! 1 11 1 11 3 2 3 1 2 1 2 1 1 1 1 4 3 3 2 2 1 1 11 3 1 2 1 1 1 1 1 4 3 . 3 2 . 2 11 3 1 . 2 1 1 1 ! 1 1 1 ! 1 11 11 11 =             − +++       ++       + − = =       − ++++ − +       +++ − ≤ ≤ − +⇔ ≤+⇔≤+ −− −− −− n n nn n n nnn VT n n n nn nn nn nn nn Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu IV.KỸ THUẬT THÊM HẰNG SỐ Để sử dụng được BĐT Cô si từ TB nhân sang TB cộng ta cân nhân thêm các hằng số để làm mất dấu căn thức, hoặc để khử biến số. VD1: CMR: Giải Ta có: Cộng vế theo vế ta đợc: (ĐPCM) VD2: Cho CMR Giải + VD3: Cho x,y > 0. Tìm: Giải Ta có: 1,11 ≥∀≤−+− baababba 22 1)1( .1).1(1 22 1)1( .1).1(1 aba babab abb ababa = +− ≤−=− = +− ≤−=− 1 1 2 2 ab ab a b b a ab− + − ≤ + = 6 1 0,, ≤+++++    =++ ≥ accbba cba cba                ++ ≤+=+ ++ ≤+=+ ++ ≤+=+ 2 3 2 )( . 2 3 3 2 ).( 2 3 2 3 2 )( 2 3 3 2 ).( 2 3 2 3 2 )( . 2 3 3 2 ).( 2 3 ac acac cb cbcb ba baba 63. 2 3 2 2)(2 . 2 3 == +++ ≤+++++ cba accbba 2 3 )( ),inf( xy yx yxM + = 4 27 ),inf( 4 27 )( 27 4 )()( ),( )( 27 4 )( 3 4 16 1 3 224 16 1 )2)(2)(4( 16 1 3 3 2 3 3 33 2 =⇒ = + + ≥ + = +=       +=       ++ ≤= yxM yx yx xy yx yxfraSuy yxyx yyx yyxxy Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu Dấu bằng xảy ra khi và chi khi 4x=2y=2y hay y=2x. VD4: Cho x,y,z > 0. Tìm Giải Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 6x=3y=2z Tổng quát ta có bài toán sau: Cho x 1 ,x 2 ,x n > 0. Tìm VD5: CMR: Giải Với n=1,2 ta thấy BĐT (1) đúng. Với n ≥ 3 ta có: (ĐPCM) Ta có bài toán tương tự: VD6: CMR: Giải Với n=1,2,3,4 ta thấy (1) đúng Với n > 4 ta có: 32 6 )( ),,inf( zxy zyx zyxM ++ = n n n n n xxx xxx xxxM ) ( ), ,,inf( 2 21 21 22 21 +++ +++ = 432),,inf( 4323.2.6 )( ),,( )( 3.2.6 1 6 222336 3.2.6 1 )2)(2)(2)(3)(3)(6.( 2.3.6 1 23 32 6 6 23 32 6 33 32 32 =⇒ =≥ ++ = ++≤⇔       +++++ ≤ = zyxM zxy zyx zyxfraSuy zyxzxy zzzyyx zzzyyxzxy Nnn n n n ∈>∀+< ,0)1( 2 1  ⇒+= + < −+ ≤⇒ +++++ ≤= − − n n nn n nn n n nn nnn n son n son n 2 1 2)2(2 1 11 1 1.1 12 12    Nnn n n n ∈>∀+< ,0)1( 1 1 n n nn nn n son n son n 1 1 1 1122 22 1 1.1.2.2. 2 . 2 14 14 += +++++++ ≤= − −     Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu VD7: CMR: Giải Ta có: Măt khác: Ta thấy đẳng thức không thể xảy ra nên ta có đpcm. V. KỸ THUẬT GHÉP ĐỐI XỨNG Các kỹ thuật thường dùng: zxyzxyxyz zxyzxyzyx xzzyyx zyx xzzyyxzyx ))()(( 222 )()()()(2 222 = = + + + + + =++ +++++=++ VD1: CMR: 0 2 2 2 2 2 2 ≠∀++≥++ abc b c a b c a a c c b b a Giải Theo BĐT Cô si ta có: nmnm n mnm 1 1 1 1 1 1 1 1 +<       +⇔       +<       + nn mn m m n mmm mmmm n mn m n m 1 1 )( 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1.1. 1 1 1 1. 1 1 1 1 += −+       + = = ++++       +++       ++       + ≤       +       +       +=       + −     Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu            ≥=≥         + ≥=≥         + ≥=≥         + b c b c b a a c b a a c a b a b a c c b a c c b c a c a c b b a c b b a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . 2 1 . 2 1 . 2 1 Cộng vế theo vế ta có: b c a b c a a c c b b a ++≥++ 2 2 2 2 2 2 VD2: CMR: 0,, 222333 ≥∀++=++ cbaabccabbcacba Giải Ta có: a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 +b 2 -ab) ≥ (a+b)(2ab-ab)=(a+b)ab Tương tự ta có: b 3 +c 3 ≥ (b+c)bc c 3 +a 3 ≥ (c+a)ca Do đó: 2(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥ (a+b)ab+(b+c)bc+(c+a)ca ⇔ 2(a 3 +b 3 +c 3 ) ≥a 2 b+c)+b 2 (c+a)+c 2 (a+b) ≥ abccabbca 222 222 ++ Suy ra abccabbcacba 222333 ++=++ VD3: Mọi tam giác ABC ta đều có:       ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 Giải Ta có: 0 2 > −+ =− acb ap , tương tự ta có p-b > 0, p-c > 0. Áp dung BĐT Cô si ta được: b apcp apcp apcp a cpbp cpbp cpbp c bpap bpap bpap 2 2 1 ))(( 111 2 1 2 2 1 ))(( 111 2 1 2 2 1 ))(( 111 2 1 = −+− ≥ −− ≥         − + − = −+− ≥ −− ≥         − + − = −+− ≥ −− ≥         − + − Cộng vế theo vế ta được Bùi văn Thịnh – THCS Hoàng Diệu       ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 VI.KỸ THUẬT CẶP NGHỊCH ĐẢO 3 SỐ: Ta sử dung kết quả sau: 0,,9 111 )( >∀≥       ++++ cba cba cba VD1: CMR: Mọi tam giác ABC ta đều có: rhhh cba 9≥++ Giải Ta có: 9 111 )(9 111 2 9 222 9 ≥       ++++⇔≥       ++⇔ ≥++⇔≥++ cba cba cba p p S c S b S a S rhhh cba Điều nay đúng, vậy ta có điều phải chứng minh. VD2: CMR: 0,, 2 222 >∀ ++ ≥ + + + + + cba cba ba c ac b cb a Giải Ta có: 2 3 )( 2 3 )( )( 2 3 111 )( 2 3 2 222 222 ≥ + + + + + ⇔ ++≥       + + + + + ++⇔ ++≥       + ++       + ++       + +⇔ ++≥         + ++         + ++         + +⇔ ++ ≥ + + + + + ba c ac b cb a cba ba c ac b cb a cba cba ba c c ac b b cb a a cba ba c c ac b b cb a a cba ba c ac b cb a