bat dang thuc cosi

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI. Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc3++= Chứng minh rằng: () () ()() () () 333 abc3 (1) abac bcba cacb 4 ++≥ ++ ++ ++ Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải : Sử dụng giả thiết abc3++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế () () ()() () () () 333 abc abc (1) abac bcba cacb 4 ++ ⇔++≥ ++ ++ ++ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: () () () () 33 3 aaabac3a 3 abac abac 8 88 a 4 bac 8 ⎛⎞ ⎛⎞ ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ++≥ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎟ ⎜ ++ ++ ++ ⎝⎠ Chứng minh tương tự ta cũng được: ()() ()() () () () () 33 3 33 3 bbcba bbcba3b 3 bcba 8 8 bcba 8 8 4 ccacb ccacb3c 3 cacb 8 8 cacb 8 8 4 ⎛⎞ ⎛⎞⎛⎞ ++ ++ ⎟ ⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ++≥ = ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎝⎠⎝⎠ ⎟ ⎜ ++ ++ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎛⎞ ++ ++ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ++≥ = ⎜ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎟ ⎜ ++ ++ ⎝⎠ Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: () () ()() () () 333 abcabc3 abac bcba cacb 4 4 ++ ++≥= ++ ++ ++ (đpcm) Đẳng thức xảy ra abc1⇔=== Bài tập tương tự: Bài 1: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng: () ()()()() () 333 abc3 1b1c 1c1a 1a1b 4 ++ ≥ ++ ++ ++ Bài 2: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca abc++= Chứng minh rằng: 222 abcabc abc bca cab 4 ++ ++≥ +++ Bài 3: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng: 222 abc3 bc ca ab 2 ++ ≥ ++ + Bài toán có liên quan: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng: () () () 333 1113 ab c bc a ca b 2 ++≥ +++ Bài 4: Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc1++= Chứng minh rằng: () () () 333 2 2 abc1 ca ab 4 bc ++≥ ++ + Bài 2 : Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc3++= Chứng minh rằng: () ()() 333 abc 1 (1) b2c a c2a b a2b c ++≥ ++ + Hướng dẫn: + Dự đoán dấu "=" xảy ra. + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. Bài giải : Sử dụng giả thiết abc3++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế () ()() 333 abcabc (1) b2c a c2a b a2b c 3 ++ ⇔++≥ ++ + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: () () () () () 33 3 aa 33b2ca9a b2c a b 9 2c a 3a 9 b2c ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ +≥ += ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ++ ⎝⎠ ++ Chứng minh tương tự ta cũng được: () () () () () () () () () () 33 3 33 3 99 9 bb 3c 2a b 3 3c 2a b 9b c2ab c2ab cc 3a 2b c 3 3a 2b c 9c a2b c a2b c 9 ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ++ +≥ += ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ++ ⎝⎠ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ++ +≥ += ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ++ ⎝⎠ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: () ()() ()() () ()() 333 333 abc 96abc9abc b2c a c2a b a2b c abcabc 1 b2c a c2a b a2b c 3 ⎡⎤ ⎢⎥ ++ +++≥++ ⎢⎥ ++ + ⎣⎦ ++ ⇒++≥= ++ + Đẳng thức xảy ra abc1⇔=== Bài 3 : Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 222 abc1++= Chứng minh rằng: 333 abc1 b2c c2a a2b 3 ++ ≥ ++ + Bài giải : Sử dụng giả thiết 222 abc1++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế () 333222 abcabc 1 b2c c2a a2b 3 ++ ⇔++≥ ++ + Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: () () () 33 2 a9a 2.ab2c6a b2c b ab 2 9 2 c c +≥ += ++ + Chứng minh tương tự ta cũng được: () () () () () () () 33 2 33 2 9 9 b9b bc 2a 2 .bc 2a 6b c2a c2a c9c ca 2b 2 .ca 2ab 6c a2b a2b ++≥ += ++ ++≥ + = ++ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: () () () () () 333 222 333 222 222 333222 abc 93abbcca6abc b2c c2a a2b abc 96abc3abbcca3abc b2c c2a a2b abcabc1 b2c c2a a2b 3 3 ⎛⎞ ⎟ ⎜ ++ +++≥++ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ++ + ⎝⎠ ⎛⎞ ⎟ ⎜ ⇒ + + ≥ ++ − ++ ≥ ++ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ++ + ⎝⎠ ++ ⇒++≥ = ++ + Đẳng thức xảy ra 3 abc 3 ⇔=== Bài tập tương tự Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 222 abc1++= Chứng minh rằng: 333 abc1 ab bc ca 2 ++≥ +++ Bài 4 : Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1++= Chứng minh rằng: 222 abc3 (1) 2 1a 1b 1c ++≤ +++ Hướng dẫn: + Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. + Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện Bài giải : Sử dụng giả thiết ab bc ca 1++= để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 22 aa aa1aa . abac 2abac 1a ab ca bca ⎛⎞ ⎟ ⎜ ==≤+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + + ++++ Chứng minh tương tự ta cũng được: 2 2 b1b b 2b c b a 1b c1c c 2c a a b 1c ⎛⎞ ⎟ ⎜ ≤+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + ⎛⎞ ⎟ ⎜ ≤+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: 222 abc1abbcca3 2a b b c c a 2 1a 1b 1c ⎛⎞ +++ ⎟ ⎜ ++≤++= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ +++ +++ Đẳng thức xảy ra 3 abc 3 ⇔=== Bài 5 : Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn abc2++= Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ab bc ac S 2c ab 2a bc 2b ac =++ +++ Bài giải : Ta lần lượt có: () () () () () () () ()() () () ab ab ab ab 1 1 2c ab 2 c a c b cabcacb bc bc bc bc 1 1 2a bc 2 a b a c aabc bc abac ca ca ca ca 1 1 2b ac 2 b c b a babc ca bcba bc ca bc ab c S 2a b b 2c a ac ⎧ ⎪ ⎛⎞ ⎪ ⎟ ⎜ ⎪ ==≤+ ⎟ ⎜ ⎪ ⎟ ⎜ ⎝⎠ +++ ⎪ +++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛⎞ ⎪ ⎪ ⎟ ⎜ ==≤+ ⎨ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎪ ⎝⎠ +++ ++ + + + ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎛⎞ ⎪ ⎟ ⎜ ==≤+ ⎪ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎜ ⎝⎠ +++ ++ + + + ⎪ ⎪ ⎩ ++ ⇒≤ + + + + + + () aab abc 1 2c b 2 +++ == + Đẳng thức xảy ra ⇔ 2 abc 3 === Vậy Max S1= . Bài tập tương tự Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn abc2++= Chứng minh rằng: ab bc ac 1 cab abc bac 2 ++≤ +++ Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ. Dạng 1: 1) x, y 0∀> ta luôn có: () 11 xy 4 xy ⎛⎞ ⎟ ⎜ ++≥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ Đẳng thức xảy ra ⇔ xy= 2) x, y, y 0∀> ta luôn có: () 111 xyx 9 xyy ⎛⎞ ⎟ ⎜ ++ + + ≥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ Đẳng thức xảy ra ⇔ xyz== Dạng 2: 1) x, y 0∀> ta luôn có: 11 4 xyxy +≥ + Đẳng thức xảy ra ⇔ xy= 2) x, y, z 0∀> ta luôn có: 111 9 xyzxyz ++≥ ++ Đẳng thức xảy ra ⇔ xyz== Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a b c ab2cbc2a ca2b 4 ++ ++≤ ++ ++ ++ Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: () () ab 1 1 1 1 ab. ab. ab2c 4ac ac bcbc ⎛⎞ ⎟ ⎜ =≤+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + ++++ Tương tự ta cũng được: () () ()() bc 1 1 1 1 bc. bc. bc2a ba ca 4ba ca ca 1 1 1 1 ca. ca. ca2b cb ab 4cb ab ⎛⎞ ⎟ ⎜ =≤+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + + + + + ⎛⎞ ⎟ ⎜ =≤+ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + + + + + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1bcca caab abbc abc a b 2c b c 2a c a 2b 4 a b b c a c 4 ⎛⎞ ++ +++ ⎟ ⎜ ++≤++= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ ++ ++ + + + Dấu đẳng thức xảy ra abc0⇔==> Bài 2: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: ab bc ca a b c a3b2cb3c2a c3a2b 6 ++ ++≤ ++ ++ ++ Bài giải Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: () () ab 1 1 1 1 1 ab. ab. a3b2c 9acbc2bac bc 2b ⎛⎞ ⎟ ⎜ =≤++ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + +++++ Tương tự ta cũng được: () () ()() bc 1 1 1 1 1 bc. bc. b3c2a ba ca 2c 9ba ca 2c ca 1 1 1 1 1 ca. ca. c3a2b cb ab 2a 9cb ab 2a ⎛⎞ ⎟ ⎜ =≤++ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ ++++ + + ⎛⎞ ⎟ ⎜ =≤++ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ + + ++++ + + Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt ab bc ca 1 a b c bc ca ca ab ab bc a b c a3b2cb3c2a c3a2b 9 2 ab bc ac 6 ⎛⎞ ++ + + + ++ ⎟ ⎜ ++≤ +++= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ ++ ++ + + + Dấu đẳng thức xảy ra abc0⇔==> Bài 3: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 111 4 abc ++= .Chứng minh rằng: 111 1 2ab2c a2bc ab2c ++≤ ++ + + ++ Bài giải: Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: () () ()() () () 111111211 2a b c 4 a b a c 16 a b c 111111121 a2bc ab bc 4ab bc 16a b c 111111112 ab2c ac bc 4ac bc 16a ab ac bc ⎛⎞ ⎛⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ =≤+≤++ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎝⎠ ++ + + ⎛⎞ ⎛⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ =≤+≤++ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎝⎠ ++ +++ + + ⎛⎞ ⎛⎞ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ =≤+≤++ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ⎝⎠ ++ + + + + + + ++ Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 11111111 .4 1 2a b 2c a 2b c a b 2c 4 a b c 4 ⎛⎞ ⎟ ⎜ ++≤++== ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ + + ++ Dấu đẳng thức xảy ra 3 ab 4 ⇔== Bài 4: Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab1+< .Chứng minh rằng: 1119 1a 1b a b 2 ++ ≥ −− + Nhận xét : () ()( ) 1a 1b a b 2−+−++= Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: () ()( ) 111 9 2 1a 1b a b 1a 1b a b 9 ++ ≥ = −− + −+−++ (đpcm) Dấu đẳng thức xảy ra 1 ab 3 ⇔== Bài toán có liên quan: Cho a,b là các số dương thỏa mãn ab1+< . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 ab 1 Sab 1a 1b a b =++++ −− + Kết quả: 5 min S 2 = Bài 5: Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn abc1++= .Chứng minh rằng: 1119 1a 1b 1c 4 ++≥ +++ Nhận xét : () () () 1a 1b 1c 4+++++= Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: () () () 111 9 9 1a 1b 1c 1a 1b 1c 4 ++≥ = + + + + ++ ++ (đpcm) Dấu đẳng thức xảy ra 1 ab 3 ⇔== . Bài toán có liên quan: Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc1++=. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức abc S a1 b1 c1 =++ +++ Kết quả: 3 Max S 4 = Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG THỨC BẬC BA Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba: () () () () () 3 22 22 3 33 3 aba abb a b ab a b ab a b 22 6 2 ab +++ + + ⎛⎞ ++ ⎟ ⎜ ≤≤ ≤≥ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ + (1) Dấu bằng xảy ra ab⇔= Bài 1: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: () () () 33 3 3 3 3 333 bc ca ab 2 a4bc b4ca c4ab +++ ++≤ ++ ++ ++ Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có () 33 3 4b c b c+≥+ Do đó: () () () () 33 33 33 33 33 33 4b c b c a 4b c a b c 11bcbc abc abc a4bc a4bc +≥+⇒+ +≥++ ++ ⇒≤⇒≤ ++ ++ ++ ++ Chứng minh tương tự ta cũng được: () () 33 3 33 3 ca ca abc b4ca ab ab abc c4ab ++ ≤ ++ ++ ++ ≤ ++ ++ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt () () () () 33 33 33 333 2a b c bc ca ab 2 abc a4bc b4ca c4ab ++ +++ ++≤= ++ ++ ++ ++ Dấu đẳng thức xảy ra abc0⇔==> Bài 2: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 33 33 33 1111 ababcbcabccaabcabc ++≤ ++ ++ ++ Bài giải Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có () 33 ababab+≥ + Do đó: () () 33 33 11 ababcababc ababcababc ++ ≥ ++⇒ ≤ ++ ++ Chứng minh tương tự ta cũng được: () () 33 33 11 bcabcbcabc 11 caabccaabc ≤ ++ ++ ≤ ++ ++ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 33 33 33 11111111 a b abc b c abc c a abc a b c ab bc ca abc ⎛⎞ ⎟ ⎜ ++≤++= ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝⎠ ++ ++ ++ ++ Dấu đẳng thức xảy ra abc0⇔==> Bài toán có liên quan: Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc 1= Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 33 32 33 111 S ab1bc1ca1 =++ ++ ++ ++ Kết quả: Max S1= Bài 4: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1= . Chứng minh rằng: 33 33 33 222222 ab bc ca 2 aabb bbcc ccaa +++ ++≥ ++ ++ ++ Bài giải: Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 22 22 ab ab aabb 3 ++ ≥ ++ Suy ra: () 33 33 33 3 222222 ab bc ca abbcca2 2 abc 3.abc2 aabb bbcc ccaa 3 3 3 3 3 ++++++ ++≥++=++≥= ++ ++ ++ Dấu đẳng thức xảy ra abc1⇔=== Bài toán có liên quan: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1= . Chứng minh rằng: 99 99 99 6339 63366336 xy yz zx 2 xxyy yyzz zzxx +++ ++≥ ++ ++ ++ Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ Bài 1: Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc 1= Chứng minh rằng: 22 22 22 1a b 1b c 1c a 33 ab bc ca ++ ++ ++ ++≥ Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 33 33 3 1 a b 3 1.a .b 3ab++≥ = (Tạm gọi là bđt phụ trợ) Suy ra: 33 33 33 3 1a b 3 1 a b 3 1.a .b 3ab ab ab ++ ++≥ = ⇒ ≥ Chứng minh tương tự ta cũng được: 33 33 1b c 3 bc bc 1c a 3 ca ca ++ ≥ ++ ≥ Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 22 22 22 3 1a b 1b c 1c a 3 3 3 3 3 3 3 33 ab bc ca ab bc ca ab bc ca ++ ++ ++ ++≥++≥ = Dấu đẳng thức xảy ra abc1⇔=== Bài 2: Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 32 32 32 2 22 2a 2b 2c 1 1 1 abbcca a bc ++≤++ +++ Bài giải Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 32 32 ab2ab2abb+≥ = Suy ra: 32 32 32 2a 1 ab2ab2abb ab ab +≥ = ⇒ ≤ + Chứng minh tương tự ta cũng được: