Bất đẳng thức CosiI.. Kiến thức cơ bản: Định lý: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của n số đó... Hệ qủa 2: Nếu các số không âm có tích không đổi thì tổ
Trang 11 Bất đẳng thức Cosi
I Kiến thức cơ bản:
Định lý: Trung bình cộng của n số không âm lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của
n số đó
Cho a1, a2, …, an ≥ 0 ta luôn có:
+ + + ≥
n
a a
n
a a
a1 2 (*)
Dấu đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a1 = a2 =…= an
Trong khuôn khổ sáng kiến này tôi chỉ chứng minh đến n=4
Chứng minh:
Trờng hợp 1: Với n=1, bất đẳng thức (*) hiển nhiên đúng
TRờng hợp 2: Với n=2, Khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với:
2
2
1 a
2
1a
a
⇔ a1+a2 ≥ 2 a1a2
2
2
1 ) ( )
( a + a - 2 a1a2 ≥0 (Vì a1, a2 ≥0)
2
( a − a ≥0 (đpcm)
Trờng hợp 3: n=3 Khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với: 3
3 2 1 3 2 1
a a a
≥ + +
Đặt a1=x3, a2=y3, a3=z3 , x ≥0 , y ≥0, z ≥0
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng x +y +z ≥xyz
3
3 3 3
Hay x3 + y3 + z3-3xyz ≥0
Mà x3 + y3 + z3-3xyz=(x+y+z) [ 2 2 ( ) 2
2
1 ) ( 2
1 ) ( 2
1
x z z
y y
Suy ra điều phải chứng minh
Trờng hợp 4: với n=4 khi đó bất đẳng thức (*) tơng đơng với:
4
4 3 2 1 4 3
2
1
a a
a
a
≥ +
+
+
Thật vậy ta có:
A=
4
4 3 2
1 a a a
2
2 2
4 3 2
1 a a a
≥
2
4 3 2
1a a a
4 3 2
1a a a
4 3 2
1a a a a
Trang 2Hay:
4
4 3 2
1 a a a
4 3 2
1a a a
a Dấu “=” a1a2= a3a4
mà a1 = a2 nên a1= a2= a3= a4
Từ định lý trên ta có hai hệ qủa:
Hệ qủa 1:Nếu các số không âm có tổng không đổi thì tích của chúng đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau
Hệ qủa 2: Nếu các số không âm có tích không đổi thì tổng của chúng đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi chúng bằng nhau
II Một số ví dụ
1.Sử dụng bất đẳng thức côsi chứng minh các bất đẳng khác.
áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số a,b> 0
Ta có: a + b ≥ 2 ab (1)
Tơng tự ta có:
a + c ≥ 2 ac (2)
b + c ≥ 2 bc (3)
Nhân vế theo vế của (1),(2),(3) ta có (a + b)(b + c)(c + a)≥ 8abc
Bài toán này có thể cho nh sau:Cho a,b,c là các cạnh của một tam giác thoả mãn điều kiện: (a+b)(a+c)(b+c) ≥ 8abc
Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác đều
Ví dụ 2: Chứng minh 3 (a+k)(b+l)(c+m) ≥ 3 abc + 3 klm (a,b,c,k,l,m >0)
Chứng minh:
Ta có: 3 (a+k)(b+l)(c+m) ≥ 3 abc + 3 klm
⇔(a + k)(b + l)(c + m) ≥ ( 3 abc + 3 klm )3
⇔(ab + al + kb + kl)(c + m) ≥ abc + klm + 3 abcklm (3 abc + 3 klm)
Đặt P = abc + klm + 33 abcklm(3 abc+ 3 klm)
⇔ abc + abm + alc + alm + kbc + kbm + klc ≥ P
⇔ ( abm + kbc + alc) + (alm + kbm + klc) ≥ 33 a2b2c2klm + 3 3 abck2l2m2 (áp dụng
bất đẳng thức côsi cho các số abm , kbc , alc và alm , kbm , klc )
Ta lại có: abm + klc + abc ≥ 3 3 a2b2c2klm (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số
abm,klc,abc)
Và: alm + kbm + klc ≥ 3 3 abck2l2m2 (áp dụng bất đẳng thức côsi cho các số
abm,klc,abc)
Từ đó ta có điều phải chứng minh
Trang 32 Sử dụng bất đẳng thức côsi tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của Y = 4x2-3x3 với 0
3
4
≤
≤x
Ta có: Y = x2(4-3x) =
2
3 2
3 9
4 x x ( 4-3x) ≥ 0 vì 0
3
4
≤
≤ x
Mặt khác ta có tổng ba số không âm
2
3x,
2
3x, 4-3x là:
2
3x+
2
3x+4-3x = 4 không đổi Nên tích của chúng đạt đợc giá trị lớn nhất khi chúng bằng nhau:
2
3x = 4-3x ⇔ x =
9
8 thỏa điều kiện 0
3
4
≤
≤x
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = (3-x)(4-y)(2x+3y) biết rằng 0 ≤x≤ 3 và 0 ≤ y≤ 4
Ta có: A =
3 2
1 ( 6-2x)(12-3y)(2x+3y)
Và 6-2x ≥ 0; 12-3y ≥0 ; 2x+3y ≥ 0 vì 0 ≤ x≤ 3 và 0 ≤ y≤ 4
Mà 6-2x+12-3y+2x-3y=18 không đổi
Suy ra A lớn nhất khi và chỉ khi:
6-2x=12-3y=2x-3y ⇔x=0 và y=2
Vạy Amax=48 khi x=0, y=2
Ví dụ 5:Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M= x−2+ 4−x
Giải Ta phải có:
≥
−
≥
−
0 4
0 2
x
x
⇔2≤x≤ 4
Do M > 0 nên M đạt giá trị lớn nhất khi M2 đạt giá trị lớn nhất
Vậy M2= ( x−2+ 4−x)2=x-2+4-x+2 (x− 2 )( 4 −x) ≤ 2+2 4
2
) 4 ( ) 2
Dấu “=” xẩy ra khi và chỉ khi x-2=4-x ⇔x=3
Vậy Mmax=2 khi x=3
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của tích
N=x.y.z.t biết rằng x, y, z, t là những số không âm và tx+xy+z+yzt=1
Giải: Theo bất đẳng thức Cosi ta có
4 4
yzt
z
xy
tx
zt y z xy tx
≥ +
+
4
1 )4 ≥ x2y2t2z2
2 2 2 2
256
1
z t y
x
≥
⇔
⇔ ≥xyzt
16
1
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: tx=xy=z=yzt=
4
1suy ra y=t=1, x=
4 1