ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán

Trong đó các bài toán loại tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức là những bài toán khó, để giải đợc các dạng toán đó đòi hỏi chúng ta phải nắm đợc nhiều kiến thức cơ bản và các phơng p

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán

Mục lục

A Đặt vẫn đề

B Giải quyết vẫn đề

i- Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu

II- Kiến thức cần nắm

III- Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm

C Phần chi tiết

Phần I: vận dụng BĐT Cosi để giải toán “tìm cực trị”

Phần II: Sử dụng BĐT cosi để chứng minh BĐT

Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán

d kết luận

i- Kết quả đạt đợc

II- Bài học kinh nghiệm

A Đặt vấn đề

Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều và rất đa dạng và phong phú Trong đó các bài toán loại tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức là những bài toán khó,

để giải đợc các dạng toán đó đòi hỏi chúng ta phải nắm đợc nhiều kiến thức cơ bản và các phơng pháp để giải

Có nhiều phơng pháp để giải và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi loại bài toán

mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp Đối với học sinh trung học cơ sở loại toán tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức làm đa số các em rất ngại nhng nó lại thờng đợc sử dụng trong các kỳ thi HSG Hơn nữa đa số các em khá giỏi lại rất có hứng thú với loại toán này,

bởi nó giúp các em khả năng phân tích, dự đoán, tính lập luận lô rích, khả năng tổng hợp, khái quát một vấn đề …

Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các dạng toán này vì các bài toán tìm cực ttrị và chứng ming bất đẳng thức th ờng không có cách giải mẫu, không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh không xác

định đợc hớng giải bài toán Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vạn dụng kiến thức vào giải các dạng bài toán khác

Với nhiều năm giảng dạy môn toán THCS bản thân tôi đã có cố gắng tìm tòi góp nhặt đợc một số kinh nghiệm nhỏ để giải bài toán cực trị và chứng minh BĐT Với kinh nghiệm này tôi mong giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với loại toán này và có định h-ớng rõ hơn khi giải toán

B- Giải quyết vấn đề

I- Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu

Khi giảng dạy trên lớp 9 chọn, gặp một số bài tập về tìm cực trị và chứng minh BĐT học sinh còn lúng túng khi ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán

Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy

Số lợng Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém

Trớc vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh một số phơng pháp khi ứng dụng BĐT côsi trong loại toán tìm cực trị và chứng minh BĐT Để vận dụng BĐT côsi vào giải toán nh thế nào cho hợp lý đó là đIũu mà tôI trăn trở nhất trong SKKN này

ở đây qua các ví dụ ngoài việc giải rõ ràng tôi đã cố gắng hớng dẫn các em cách phân tích bài toán để phân dạng, phân loại đế sử dụng phơng pháp giải hợp lý và một số bài tập đã

đợc nâng lên thành ví dụ tổng quát giúp học sinh khái quát hoá vấn đề một cách nhanh chóng

II- Kiến thức cần nắm

Nh chúng ta đã biết từ lớp 8 học sinh đã đợc làm quen với bất BĐT côsi

ab b

a  2 (Với a, b 0)

Mở rộng cho trờng hợp n số không âm a1, a2,… an

Ta có a1+ a2+… +an nn a1a2 a n (dấu = xẩy ra  a1= a2 = … = an )

III- Cấu trúc SKKN này gồm 3 phần

Phần I: áp dụng BĐT Côsi để giải bài toán cực trị

Phần II: Sử dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT

Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng bài toán chìa khoá để giải toán

C Phần chi tiết

Phần I: Vận dụng BĐT Cosi để giải toán “tìm cực trị”

Trờng hợp 1: Biểu thức cần tìm cực trị có dạng a  b với (a,b là một hằng số

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán

VD1: Tìm giá trị lớn nhất của P1 = 4x 5  7  4x

Giải: ĐK:

4

7 4

5



x

Ta có: P12 = 4x + 5 + 7 – 4x + 2 ( 4x 5 )( 7  4x)

áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có:

2 4 7 5 4 ) 4 7 )(

5 4 (

Vậy P1 2  2  4  P1 2 dấu “=” xẩy ra

2

3 4

7 5

Vậy Max P1 = 2

Trờng hợp 2: BT cần tìm cực trị có dạng

bx

b

ax 

VD2: Tìm giá trị lớn nhất của P2 =

x

x

7

9

2  ĐK: x>

2 9

ở đây ta thấy cần dùng BĐT Cosi để đánh giá P2 mà ta lại có

9

9 ) 9 2 ( 9

2   x x

áp dụng BĐT Cosi cho hai số không âm ta có

3

3 3

9 2 2

1 9

9 ) 9 2























Vậy P2

21

1 7

.

x x dấu “=” xẩy ra  x  9 vậy min P2 =

21

1

ở đây ta cũng có thể giải bài toán ở góc độ tổng quát nh sau:

VD3: Tìm giá trị lớn nhất của P3 =

bx

n



ã Với a, b, n > 0 và x

a

n



n

n ax n

ax   áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có

n

ax n

n

n ax n

n

n

ax

2 2

1























vậy P2

n b

a bx n

ax

2

:



dấu “=” xẩy ra

a

n x n n

ã









n b

a

2

Trờng hợp 3: BĐT đã cho là tổng của nhiều phân thức.

* Phơng pháp giải:

3.1 Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử bằng nhau

VD4: Cho x > 0 tìm GTNN của P3 = 3x + 813

x

3 3

81

x x

x

x

P     áp dụng BĐT Cosi cho 4 số không âm ta có:

12 3 4

81

.

4 4

3

x x

x

x

P dấu”=” xẩy ra  813  x 3

x

x vậy Min P3 = 12

3.2 Tạo ra một hạng tử là nghịch đảo của hạng tử đã cho

VD5: Cho a > 0; 0 < x < k Tìm giá trị nhỏ nhất của P4 =

x

k x k

ax



 ở đây ta thấy cần phải tạo ra một hạng tử có dạng

x

x

k 

(là nghịch đảo của

x k x

Mặt khác ta lại có    1

x

x k x

k

vậy 4    1





x

x k x k

ax P

áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: 4 2   1  2   1



x

x k x k

ax P

dấu “=” xẩy ra

1















a

k x x

x k x k

ax

vậy Min P4  2 a  1

VD6: Cho 0 < x < 1 tìm giá trị nhỏ nhất của B =

x x

4 1

3



 ta có

B = 4(1 ) 7

1

3







x x

x

áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dơng ta có

1

3 2 ) 1

(

4

1

3



















x

x x

x x

x x

x

3 )

1 ( 4 1

3

a x

x

x x

x













Chú ý: Vấn đề “kỹ thuật” làm thế nào để biết tách

7 ) 1 ( 4 1

3

4

1

3













x x

x x

x

x a ab x

ax x













) ( 1

3 4 1

3

sau đó đồng nhất hệ số ta đợc a = b = 1; c = 7 VD7: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

y x

z x z

y z y

x P













2 2 2

5

Ta thấy muốn vận dụng BĐT Cosi để dánh giá đợc P5 thì cần phải làm triệt tiêu các mẫu của các hạng tử vì vậy ta phải cộng thêm mỗi hạng tử một lợng thích hợp

x x z y z y

x









2 2

z x

y









2 2

z z y x y x

z









2 2

1 2 2

) (

2

5

5        xyz 

P z y x z

y

x

P

dấu “=” xẩy ra

3

2







 x y z vậy min P5  1

Chú ý: Khi gặp loại bài tập này đa số học sinh sẽ rất lúng túng vì không biết sẽ thêm vào

BT nào cho phù hợp để nhằm thoả mãn cả 2 ĐK

+ ) Vận dụng đợc BĐT Cosi để dánh giá P5

+) x + y + z = 2

Trở về với ví dụ trên ta thấy tại sao mẫu số của biểu thức cần thêm vào phải là 4 mà không phải là một số chính phơng khác Đến đây học sinh vẫn phải biết “kỹ thuật” phân tích ngợc vấn đề Giả sử BT cần thêm là

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán

a

y x a

z

x

a

z









lúc Min  dấu “=” xẩy ra nghĩa là:

z y x a a

z

y

z

y

x











2

(1) tơng tự

a.y xz (2)

a.zyx (3) Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có:

y x y

x x y

y

x

a(  )      0   (vì a  0); Lập luận tơng tự y = z; z = x

Vậy thay vào (1) ta có a.x 2x a  2  a 4

Bài tập vận dụng phần I:

1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

A = x 7  5  x

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

B = 2

3 2000

x

x 

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

C = 5x + 3y + 12x 16y

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

D = 4x +

1

25



x

Phần II: Sử dụng bất dẳng thức Cosi để chứng minh BĐT

VD1: CMR: x  R ta luôn có x x x

x x

x

5 4 3 3

20 4

15 5

12















































Với bài toán này nếu học sinh biết cách sử dụng BĐT Cosi thì việc giải sẽ trở nên vô cùng

đơn giản nh sau:

Giải:

áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dơng ta có:

x x x

x

3 2 4

15 5

15 2 4

15 5

12











































x x x

x

5 2 3

20 4

15 2 3

20 4

15











































x x x

x

4 2 5

12 3

20 2 5

12 3

20











































Thực hiện phép cộng từng vế của cả 3 BĐT trên sau đó chia cả 2 vế cho 2 ta có:

x x x x x

x

5 4 3 3

20 4

15 5

12













































Dờu “=” xẩy ra 

x x

x









































3

20 4

15 5

Mở rộng cho tr ờng hợp tổng quát:

Từ bài toán trên nếu ta đặt a = 3; b = 4; c = 5 thì ta đợc bài toán tổng quát sau:

x x

x

c b a b

ca a

bc c

ab















































(Học sinh có thể giả bài toán này một cách dễ dàng bằng cách tơng tự nh trên)

VD2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1

CMR: 1 1 1 1 1 1  64









































c b

a

Giải:

Vế trái =

abc

c b a c

c b

b a

1

































Mà









































4 1

4 1

4 1

abc c

b a

c c

c ab c

b a

b b

bc a c

b a

a a

(áp dụng BĐT Cosi cho 4 số dơng)

Thực hiện phép nhân từng vế của 3 BĐT trên ta có: (a 1 )(b 1 )(c 1 )  64abc

Vậy ( 1)( 1)( 1)  64

abc

c b

a

(1) dấu “=” xẩy ra

3

1







VD3: CMR: Với số thực không âm a, b, c ta luôn có

c b a c b

9 1

1 1

(*)

Giải:

Ta thấy (*) 1 1 1    9















c b a

áp dụng BĐT Cosi cho 3 số không âm ta có:

3 1 3 1 1

1

abc c

b

a  

3

abc c

b

a  

Thực hiện phép nhân 2 vế của 2 BĐT trên ta có:

1 1

1





















c b

a dấu “=” xẩy ra  abc

Chú ý: Bài toán trên có thể mở rộng cho trờng hợp n số dơng.

VD: Cho a1, a2,… , an > 0 CMR:

n

n a

a

a       

1

1 1

2 2

2 2

1

(Ta dễ dàng CM bài toán nay tơng tự ví dụ 3)

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán

VD4: CMR với số thực a, b, c > 0 thì

2

3











c c a

b c b a

Giải

Đặt S =

b a

c c a

b c b

a











P =

b a

a c a

c c b

b











Q =

b a

b c a

a c b

c











Ta dễ thấy P + Q =  3

















b a

b a a c

a c c b

c b

; P + S =

b a

a c a c

c b c b

b a

















áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dơng ta có P + S  3; Q + S 3 

2S + Q + P  6 mà P + Q = 3

Vậy 2S 3  S  dấu “=” xẩy ra  abc

Bài tập vận dụng phần II:

1 Cho a > b > c > 0 CMR: c(a c)  c(b c)  ab

2 Cho x > y và xy = 5 Tìm giá trị nhỏ nhất Q =

y x

y xy x





2 1 , 2

3 Cho x, y, z  0 và x + y + z = 0 Tìm giá trị lớn nhất của A = xy + yz + xz

Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán

Thật vậy, từ BĐT Cosi quen thuộc x2 + y2  2xy

Ta dễ dàng CM đợc x y x y





 1 4

1

(Với > 0) (*) Thật vậy: x2 + y2  2xy

xy xy y

x2 2 2 4









y x xy

y x xy y

x













y x y

x  

dấu “=” xẩy ra  x = y Với BĐT chìa khoá này nó đợc sử dụng để CM rất nhiều bài toán khác Mời các bạn cùng theo dõi

Bài tập 1: Cho a, b, c, d > 0 và thoả mãn a + b + c + d = 1; CMR: 1111  16

d c b a

Giải:

áp dụng BĐT (*) cho 2 số dơng

b a

1

;

1

và 2 số dơng

d c

1

;

1

ta có





























d c b

a

1 1 1

1

d c b

a  

Mà

d c b

a  

4 4

16 1

4 4 4

4 1 1

.





























d c b a d

c b a

Dấu “=” xẩy ra

4

1









Bài tập 2: Cho các số dơng x, y thoả mãn x+ y = 1; CMR 1 22 2 8





y x xy

Giải:

4 2 4 2

1 2

1 2

2 2

2 2

1

2 2

2 2

2 2

































y x y

x xy y

x xy y

x

xy

Vậy 1 2 2 2 8





y x

xy

Dấu “=” xẩy ra

2

1











L

u ý : Có những lúc gặp tử thức không phải là 1 mà là một biểu thức chứa chữ thì chúng ta

hãy tìm cách biến đổi để da về dạng sử dụng đợc BĐT (*)

Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số dơng CMR:  4























a d

b d d c

a c c b

d b b a

c a

Giải:































d c a b a c d c

a c b a

c











































a d c b b d a d

b d c b

d

áp dụng BDT (*) ta có  

d c b a

c a d

c a b c a





























 

d c b a

d b d

a c b d b



























































































d c b a a c a d c b d b d c b a a





















d c b a d

























d c b a d c b a

Dấu “=” xẩy ra 

























d b c a a d c b

d c b a

Bài tập 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác; P là

2

1

chu vi

























P

1 1 1 2 1 1

1

(1)

Ta có (1)

c b a b c a c b a a c b

1 1 1 1

1 1

























Vì a + b – c > 0; c + a – b > 0; b + c – a > 0

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán

Nên áp dụng (*) ta có:

b b a b c c b a

2 2

4 1

1















c c b a c a c b

2 2

4 1

1















a a c b a b a c

2 2

4 1

1































































c b a b

a c a b c c b a

1 1 1 2 1

1 1

.

2



c b a b a c a b c c b a

1 1 1 1

1 1



































Dấu “=” xẩy ra  abc (Tam giác đó đều)

Tuy nhiên trong thực tế cũng có những bài toán cần thiết phải biết cách biến đổi tinh vi hơn một chút

Bài tập 5: Cho x, y, z là các số dơng.

CMR: x y y z z x x y z y z x z x y



























1 2

1 2

1 3

1 3

1 3

1

Giải:

áp dụng BĐT (*) ta có: x y y z x x y z x y z



















2 2

4 2

4 2

1 3

1

z y x x z y y

x      



2

2 2

1 3

1













2 2

1 3

1

y x z z y x x

z      2 

2 2

1 3

1

Thực hiện phép cộng từng vế của cả 3 BĐT trên ta đợc

z y x z x y x z y x z z y y

x             2 

1 2

1 2

1 3

1 3

1 3

1































z y x z x y x z

1 2

1 2

1

2

z y x z x y x z y x z z y y

x             



2

1 2

1 2

1 3

1 3

1 3

1

(ĐPCM)

Bài tập vận dụng phần 3:

1 Cho x, y, z > 0 và 111  4

z y

2

1 2

1 2

1

















 z x y x z x y z

2 Cho a, b, c > 0 CMR:  2













d a d

c d c

b c b a

D- Kết luận:

I- Kết quả đạt đợc:

Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh

đã xác định đợc loại toán và cách làm về tìm cực trị và chứng minh BĐT (ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán) Đồng thời đứng trớc bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hớng suy nghĩ và tập suy luận các em sẽ tự tin hơn

Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài:

Số lợng HS Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém

II- Bài học kinh nghiệm:

Qua việc hớng dẫn học sinh làm bài tập cho thấy phần kiến thức về đè tài là phần kiến thức mở do giáo viên đa vào cuối giờ luyện tập, hoặc giờ tự chọn nên nội dung đối với học còn phức tạp khó hình dung vì vậy cần đa kiến thức cho học sinh làm từ dễ đến khó, kết hợp ôn tập, giao bài tập về nhà, kiểm tra học sinh,…

Sau khi hớng dãn học sinh xong nội dung, cần cho học sinh hững kiến thức cần thiết đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh, cần nội dung vào bài dạy cho phù hợp tránh dồn ép học sịnh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt một kết quả không mong muốn

Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà thu tôi thu nhặt đợc trong quá trình giảng dạy môn toán ở THCS Đề tài có thể đang còn nhiều hạn chế rất mong nhận đợc góp ý của các đồng nghiệp để đè tài đợc hoàn thiện

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nghĩa Đàn, ngày 2 tháng 5 năm 2008

Ngời viết