ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán

Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán Mục lục A. Đặt vẫn đề B. Giải quyết vẫn đề i- Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu II- Kiến thức cần nắm III- Cấu trúc sáng kiến kinh nghiệm C. Phần chi tiết Phần I: vận dụng BĐT Cosi để giải toán tìm cực trị Phần II: Sử dụng BĐT cosi để chứng minh BĐT Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán d. kết luận i- Kết quả đạt đợc II- Bài học kinh nghiệm Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 1 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán A. Đặt vấn đề Toán học là một môn khoa học tự nhiên, toán học có một vai trò rất quan trọng trong các lĩnh vực khoa học, toán học nghiên cứu rất nhiều và rất đa dạng và phong phú. Trong đó các bài toán loại tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức là những bài toán khó, để giải đợc các dạng toán đó đòi hỏi chúng ta phải nắm đợc nhiều kiến thức cơ bản và các phơng pháp để giải. Có nhiều phơng pháp để giải và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi loại bài toán mà sử dụng phơng pháp cho phù hợp. Đối với học sinh trung học cơ sở loại toán tìm cực trị và chứng minh bất đẳng thức làm đa số các em rất ngại nhng nó lại thờng đợc sử dụng trong các kỳ thi HSG. Hơn nữa đa số các em khá giỏi lại rất có hứng thú với loại toán này, bởi nó giúp các em khả năng phân tích, dự đoán, tính lập luận lô rích, khả năng tổng hợp, khái quát một vấn đề . Tuy nhiên trong thực tế giảng dạy ở trờng THCS, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các dạng toán này vì các bài toán tìm cực ttrị và chứng ming bất đẳng thức thờng không có cách giải mẫu, không theo một phơng pháp nhất định nên học sinh không xác định đợc hớng giải bài toán. Mặt khác vì nhận thức của học sinh THCS còn có nhiều hạn chế và khả năng t duy cha tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vạn dụng kiến thức vào giải các dạng bài toán khác Với nhiều năm giảng dạy môn toán THCS bản thân tôi đã có cố gắng tìm tòi góp nhặt đợc một số kinh nghiệm nhỏ để giải bài toán cực trị và chứng minh BĐT. Với kinh nghiệm này tôi mong giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận với loại toán này và có định h- ớng rõ hơn khi giải toán. B- Giải quyết vấn đề I- Điều tra thực trạng trớc khi nghiên cứu Khi giảng dạy trên lớp 9 chọn, gặp một số bài tập về tìm cực trị và chứng minh BĐT học sinh còn lúng túng khi ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán. Thực hiện việc kiểm tra một vài bài tập về nội dung đề tài thấy Số lợng Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém 35 0 6 11 16 2 Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 2 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán Trớc vấn đề trên tôi thấy việc cần thiết phải hớng dẫn học sinh một số phơng pháp khi ứng dụng BĐT côsi trong loại toán tìm cực trị và chứng minh BĐT. Để vận dụng BĐT côsi vào giải toán nh thế nào cho hợp lý đó là đIũu mà tôI trăn trở nhất trong SKKN này. ở đây qua các ví dụ ngoài việc giải rõ ràng tôi đã cố gắng hớng dẫn các em cách phân tích bài toán để phân dạng, phân loại đế sử dụng phơng pháp giải hợp lý và một số bài tập đã đợc nâng lên thành ví dụ tổng quát giúp học sinh khái quát hoá vấn đề một cách nhanh chóng. II- Kiến thức cần nắm Nh chúng ta đã biết từ lớp 8 học sinh đã đợc làm quen với bất BĐT côsi. abba 2 + (Với a, b 0) Mở rộng cho trờng hợp n số không âm a 1 , a 2 , a n Ta có a 1 + a 2 + +a n n n aaan . 21 (dấu = xẩy ra a 1 = a 2 = = a n ) III- Cấu trúc SKKN này gồm 3 phần Phần I: áp dụng BĐT Côsi để giải bài toán cực trị Phần II: Sử dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng bài toán chìa khoá để giải toán C. Phần chi tiết Phần I: Vận dụng BĐT Cosi để giải toán tìm cực trị Trờng hợp 1: Biểu thức cần tìm cực trị có dạng ba + với (a,b là một hằng số VD1: Tìm giá trị lớn nhất của P 1 = xx 4754 + Giải: ĐK: 4 7 4 5 x Ta có: P 1 2 = 4x + 5 + 7 4x + )47)(54(2 xx áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: 24754)47)(54(2 =++ xxxx Vậy P 1 2 =+ 422 P 1 2 dấu = xẩy ra 2 3 4754 == xxx Vậy Max P 1 = 2 Trờng hợp 2: BT cần tìm cực trị có dạng bx bax VD2: Tìm giá trị lớn nhất của P 2 = x x 7 92 ĐK: x > 2 9 ở đây ta thấy cần dùng BĐT Cosi để đánh giá P 2 mà ta lại có 9 9)92( 92 = x x Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 3 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán áp dụng BĐT Cosi cho hai số không âm ta có 3 3 3 92 2 1 9 9)92( xxx = + Vậy P 2 21 1 7. 3 = x x dấu = xẩy ra 9 = x vậy min P 2 = 21 1 ở đây ta cũng có thể giải bài toán ở góc độ tổng quát nh sau: VD3: Tìm giá trị lớn nhất của P 3 = bx n ã Với a, b, n > 0 và x a n Ta thấy n n nax nax = áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có n ax n n nax n n nax 2 2 1 = + vậy P 2 nb a bx n ax 2 : 2 = dấu = xẩy ra a n xn n n 2ã == vậy Max P 3 = nb a 2 Trờng hợp 3: BĐT đã cho là tổng của nhiều phân thức. * Phơng pháp giải: 3.1 Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử bằng nhau VD4: Cho x > 0 tìm GTNN của P 3 = 3x + 3 81 x 3 3 81 x xxxP +++= áp dụng BĐT Cosi cho 4 số không âm ta có: 123.4 81 .4 4 3 3 == x xxxP dấu= xẩy ra 3 81 3 == x x x vậy Min P 3 = 12 3.2 Tạo ra một hạng tử là nghịch đảo của hạng tử đã cho VD5: Cho a > 0; 0 < x < k. Tìm giá trị nhỏ nhất của P 4 = x k xk ax + ở đây ta thấy cần phải tạo ra một hạng tử có dạng x xk (là nghịch đảo của xk x ) Mặt khác ta lại có 1 = x xk x k vậy 1 4 + + = x xk xk ax P áp dụng BĐT Cosi cho 2 số không âm ta có: 1 .21.2 4 ++=+ a x xk xk ax P dấu = xẩy ra 1 + = = a k x x xk xk ax vậy Min 12 4 += aP VD6: Cho 0 < x < 1 tìm giá trị nhỏ nhất của B = xx 4 1 3 + ta có B = 7 )1(4 1 3 + + x x x x áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dơng ta có 34734 )1(4 . 1 3 2 )1(4 1 3 += + B x x x x x x x x Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 4 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán dấu = xẩy ra ( ) 2 3 )1(4 1 3 ax x x x x = = vậy Min B = 7 + 4 3 Chú ý: Vấn đề kỹ thuật làm thế nào để biết tách 7 )1(4 1 34 1 3 + + =+ x x x x xx ? Ta đặt c x xaab x ax xx + + =+ )( 1 34 1 3 sau đó đồng nhất hệ số ta đợc a = b = 1; c = 7 VD7: Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của yx z xz y zy x P + + + + + = 222 5 Ta thấy muốn vận dụng BĐT Cosi để dánh giá đợc P 5 thì cần phải làm triệt tiêu các mẫu của các hạng tử vì vậy ta phải cộng thêm mỗi hạng tử một lợng thích hợp x xzy zy x = + + + 4 2 4 22 y yxz zx y = + + + 4 2 4 22 z zyx yx z = + + + 4 2 4 22 1 22 )(2 55 = ++ ++ ++ + zyx Pzyx zyx P dấu = xẩy ra 3 2 === zyx vậy min 1 5 = P Chú ý: Khi gặp loại bài tập này đa số học sinh sẽ rất lúng túng vì không biết sẽ thêm vào BT nào cho phù hợp để nhằm thoả mãn cả 2 ĐK. + ) Vận dụng đợc BĐT Cosi để dánh giá P 5 +) x + y + z = 2 Trở về với ví dụ trên ta thấy tại sao mẫu số của biểu thức cần thêm vào phải là 4 mà không phải là một số chính phơng khác. Đến đây học sinh vẫn phải biết kỹ thuật phân tích ngợc vấn đề. Giả sử BT cần thêm là a yx a zx a zy + + + lúc Min dấu = xẩy ra nghĩa là: zyxa a zy zy x += + = + . 2 (1) tơng tự zxya += . (2) xyza += . (3) Trừ từng vế của (1) cho (2) ta có: yxyxxyyxa === 0)( (vì 0 > a ); Lập luận tơng tự y = z; z = x Vậy thay vào (1) ta có 422. === aaxxa Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 5 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán Bài tập vận dụng phần I: 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = xx ++ 57 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2 3 2000 x x + 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C = 5x + 3y + yx 1612 + 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = 4x + 1 25 x Phần II: Sử dụng bất dẳng thức Cosi để chứng minh BĐT VD1: CMR: Rx ta luôn có xxx xxx 543 3 20 4 15 5 12 ++ + + Với bài toán này nếu học sinh biết cách sử dụng BĐT Cosi thì việc giải sẽ trở nên vô cùng đơn giản nh sau: Giải: áp dụng BĐT Cosi cho 2 số dơng ta có: x xxx 3.2 4 15 . 5 15 2 4 15 5 12 = + x xxx 5.2 3 20 . 4 15 2 3 20 4 15 = + x xxx 4.2 5 12 . 3 20 2 5 12 3 20 = + Thực hiện phép cộng từng vế của cả 3 BĐT trên sau đó chia cả 2 vế cho 2 ta có: xxx xxx 543 3 20 4 15 5 12 ++ + + (1) Dờu = xẩy ra x xxx = = 3 20 4 15 5 12 0 = x Mở rộng cho tr ờng hợp tổng quát: Từ bài toán trên nếu ta đặt a = 3; b = 4; c = 5 thì ta đợc bài toán tổng quát sau: Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 6 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán Với Rx ; CMR: xxx xxx cba b ca a bc c ab ++ + + (Học sinh có thể giả bài toán này một cách dễ dàng bằng cách tơng tự nh trên) VD2: Cho a, b, c > 0 thoả mãn a + b + c = 1 CMR: 64 1 1. 1 1. 1 1 + + + cba Giải: Vế trái = abc cba c c b b a a )1)(1)(1(1 . 1 . 1 +++ = + + + Mà +++=+ +++=+ +++=+ 4 2 4 2 4 2 41 41 41 abccbacc cabcbabb bcacbaaa (áp dụng BĐT Cosi cho 4 số dơng) Thực hiện phép nhân từng vế của 3 BĐT trên ta có: abccba 64)1)(1)(1( +++ Vậy 64 )1)(1)(1( +++ abc cba (1) dấu = xẩy ra 3 1 === cba VD3: CMR: Với số thực không âm a, b, c ta luôn có cbacba ++ ++ 9111 (*) Giải: Ta thấy (*) ( ) 9 111 ++ ++ cba cba áp dụng BĐT Cosi cho 3 số không âm ta có: 3 1 3 111 abccba ++ ( ) 3 1 3 abc cba ++ Thực hiện phép nhân 2 vế của 2 BĐT trên ta có: ( ) 9 111 ++ ++ cba cba dấu = xẩy ra cba == Chú ý: Bài toán trên có thể mở rộng cho trờng hợp n số dơng. Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 7 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán VD: Cho a 1 , a 2 , ., a n > 0. CMR: nn aaa n aaa +++ +++ . 1 . 11 22 2 21 (Ta dễ dàng CM bài toán nay tơng tự ví dụ 3) VD4: CMR với số thực a, b, c > 0 thì 2 3 + + + + + ba c ca b cb a Giải Đặt S = ba c ca b cb a + + + + + P = ba a ca c cb b + + + + + Q = ba b ca a cb c + + + + + Ta dễ thấy P + Q = 3 = + + + + + + + + ba ba ac ac cb cb ; P + S = ba ac ac cb cb ba + + + + + + + + áp dụng BĐT Cosi cho 3 số dơng ta có P + S 3 ; Q + S 3 2S + Q + P 6 mà P + Q = 3 Vậy 2S 3 S . dấu = xẩy ra cba == Bài tập vận dụng phần II: 1. Cho a > b > c > 0. CMR: abcbccac + )()( 2. Cho x > y và xy = 5. Tìm giá trị nhỏ nhất Q = yx yxyx + ++ 22 2,1 3. Cho x, y, z 0 và x + y + z = 0. Tìm giá trị lớn nhất của A = xy + yz + xz. Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán Thật vậy, từ BĐT Cosi quen thuộc x 2 + y 2 2xy. Ta dễ dàng CM đợc yxyx + =+ 411 (Với > 0) (*) Thật vậy: x 2 + y 2 2xy xyxyyx 42 22 ++ yxxy yx xyyx + + + 4 4)( 2 yxyx + + 411 dấu = xẩy ra x = y Với BĐT chìa khoá này nó đợc sử dụng để CM rất nhiều bài toán khác. Mời các bạn cùng theo dõi. Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 8 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán Bài tập 1: Cho a, b, c, d > 0 và thoả mãn a + b + c + d = 1; CMR: 16 1111 +++ dcba Giải: áp dụng BĐT (*) cho 2 số dơng ba 1 ; 1 và 2 số dơng dc 1 ; 1 ta có + + dcba 1111 dcba + + + 44 Mà dcba + + + 44 16 1 4.44 .4 11 .4 == +++ + + + = dcbadcba Dấu = xẩy ra 4 1 ==== dcba Bài tập 2: Cho các số dơng x, y thoả mãn x+ y = 1; CMR 8 21 22 + + yxxy Giải: ( ) 8 1 4 .2 4 .2 1 2 1 2 2 2 221 2 222222 == + + += + += + + yx yxxyyxxyyxxy Vậy 8 21 22 + + yxxy Dấu = xẩy ra 2 1 2 22 ==+= yxyxxy L u ý : Có những lúc gặp tử thức không phải là 1 mà là một biểu thức chứa chữ thì chúng ta hãy tìm cách biến đổi để da về dạng sử dụng đợc BĐT (*) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số dơng. CMR: 4 + + + + + = + + + + + ad bd dc ac cb db ba ca Giải: Ta nhận thấy ( ) + + + += + + + + + dcab ac dc ac ba ca 11 Và ( ) + + + += + + + + + adcb bd ad bd cb db 11 áp dụng BDT (*) ta có ( ) dcba ca dcab ca +++ + + + + + )(411 ( ) dcba db dacb db +++ + + + + + )(411 Vậy VT = ( ) ( ) ( ) +++ + + + + ++ + + + + dcba ac adcb db dcba ac 4 . 11 . 11 . Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 9 Sáng kiến kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán ( ) +++ ++ dcba db 4 VT ( ) 4 4 . = +++ +++ dcba dcba Dấu = xẩy ra = = +=+ +=+ db ca adcb dcba Bài tập 4: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác; P là 2 1 chu vi. CMR: ++ + + cbacPbPaP 111 .2 111 (1) Ta có (1) cbabcacbaacb 111111 ++ + + + + + Vì a + b c > 0; c + a b > 0; b + c a > 0. Nên áp dụng (*) ta có: bbabccba 2 2 411 = + + + ccbacacb 2 2 411 = + + + aacbabac 2 2 411 = + + + ++ + + + + + cbabacabccba 111 2 111 .2 cbabacabccba 111111 ++ + + + + + Dấu = xẩy ra cba == (Tam giác đó đều) Tuy nhiên trong thực tế cũng có những bài toán cần thiết phải biết cách biến đổi tinh vi hơn một chút. Bài tập 5: Cho x, y, z là các số dơng. CMR: yxzxzyzyxxzzyyx ++ + ++ + ++ + + + + + 2 1 2 1 2 1 3 1 3 1 3 1 Giải: áp dụng BĐT (*) ta có: zyxzyxxzyyx ++ = ++ ++ + + 2 2 242 4 2 1 3 1 zyxxzyyx ++ ++ + + 2 2 2 1 3 1 Nguyễn Danh Thắng - Trờng THCS Thái Hoà 1 - Nghĩa Đang - NA 10 [...]... tập vận dụng phần 3: 1 Cho x, y, z > 0 và CMR: 1 1 1 + + =4 x y z 1 1 1 + + 1 y + 2z + x y + 2x + z x + 2 y + z 2 Cho a, b, c > 0 CMR: a b c d + + + 2 b+c c+d d +a a+b D- Kết luận: I- Kết quả đạt đợc: Qua việc áp dụng kinh nghiệm trên vào giảng dạy cho học sinh tôi thấy học sinh đã xác định đợc loại toán và cách làm về tìm cực trị và chứng minh BĐT (ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán) Đồng thời ứng trớc.. .ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán Sáng kiến kinh nghiệm 1 1 2 + y + 3z y + 2 x + z x + 2 z + y Tơng tự: 1 1 2 + z + 3x x + 2 y + z z + 2 x + y Thực hiện phép cộng từng vế của cả 3 BĐT trên ta đợc 1 1 1 1 1 1 + + + + + x + 3 y y + 3z z + 3x y + 2 z + x y + 2 x + z x + 2 y + z 1 1 1 ... kinh nghiệm ứng dụng bất đẳng thức Cosi trong giải toán Sau khi hớng dãn học sinh xong nội dung, cần cho học sinh hững kiến thức cần thiết đồng thời rèn luyện những kỹ năng làm bài tập cho học sinh, cần nội dung vào bài dạy cho phù hợp tránh dồn ép học sịnh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt một kết quả không mong muốn Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà thu tôi thu nhặt đợc trong quá trình... sinh đã xác định đợc loại toán và cách làm về tìm cực trị và chứng minh BĐT (ứng dụng BĐT Cosi trong giải toán) Đồng thời ứng trớc bài toán khó cho dù ở dạng bài tập nào học sinh cũng có hớng suy nghĩ và tập suy luận các em sẽ tự tin hơn Kết quả kiểm tra sau khi áp dụng đề tài: Số lợng HS Điểm giỏi Điểm khá Điểm TB Điểm yếu Điểm kém 35 7 11 14 3 0 II- Bài học kinh nghiệm: Qua việc hớng dẫn học sinh... dạy cho phù hợp tránh dồn ép học sịnh tiếp nhận kiến thức một cách thụ động mà đạt một kết quả không mong muốn Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà thu tôi thu nhặt đợc trong quá trình giảng dạy môn toán ở THCS Đề tài có thể đang còn nhiều hạn chế rất mong nhận đợc góp ý của các đồng nghiệp để đè tài đợc hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Nghĩa Đàn, ngày 2 tháng 5 năm 2008 Ngời viết Nguyễn Danh . Phần I: vận dụng BĐT Cosi để giải toán tìm cực trị Phần II: Sử dụng BĐT cosi để chứng minh BĐT Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng công thức để giải toán d. kết. I: áp dụng BĐT Côsi để giải bài toán cực trị Phần II: Sử dụng BĐT Côsi để chứng minh BĐT Phần III: Từ BĐT Cosi xây dựng bài toán chìa khoá để giải toán