Ứng dụng hàm số trong giải toán pps

Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Ứng dụng hàm số trong giải toán Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình: mxxxx ≥++++ )64)(3)(1( 2 thoả mãn với mọi Rx ∈ Hướng dẫn: Đặt 34 2 ++= xxt 2042' −=⇔=+=⇒ xxt Ta có BBT: x - ∞ -2 + ∞ t’ - 0 + t + ∞ -1 + ∞ Vậy 1−≥t với mọi Rx ∈ . Khi đó ta có: mtt ≥+ 3 2 (*) Để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi Rx ∈ khi và chỉ khi bất phương trình (*) nghiệm đúng với mọi 1−≥t . Xét hàm số: tty 3 2 += với 1−≥t Có 2 3 032' −=⇔=+= tty BBT: t - ∞ 2 3 − 1 + ∞ y’ - 0 0 + y + ∞ -1 -2 + ∞ Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi 21 −<⇔−≥ mt Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi 2 −<⇔∈ mRx Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 1 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Bài toán 2: Tìm điều kiện của a để : 182)2)(4(4 2 −+−≤+−− axxxx nghiệm đúng với mọi ]4,2[−∈x Hướng dẫn: * TXĐ: ]4,2[−∈x . Đặt 82 2 ++−= xxu với ]4,2[−∈x Có 10 82 1 ' 2 =⇔= ++− +− = x xx x u BBT: x -∞ -2 -1 4 +∞ u’ + 0 - u 0 3 0 Vậy: 30 ≤≤ u Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: auu ≤+− 104 2 Xét hàm số: 104 2 +−= uuy với 30 ≤≤ u Có : 2042' =⇔=−= uuy BBT x -∞ 0 2 3 +∞ u’ - 0 + u 10 6 7 Vậy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi ]4,2[−∈x [ ] a Maxy u ≤⇔ ∈ 3,0 1010 ≥⇔≤⇔ aa Bài toán 3: Tìm m để phương trình: 12318511 +=−−−−−++ mxxxx có nghiệm. có nghiệm? Hướng dẫn : Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 2 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT * TXĐ: ]5,1[∈∀x Đây là một dạng phương trình “không mẫu mực”, tức là ta không thể luỹ thừa 2 vế của phương trình để giải. Đối với các loại phương trình này người ta thường giải bằng cách đánh giá giá trị của 2 vế của phương trình đó. ở bài toán này ta sẽ khảo sát hàm số xxxxy 318511 −−−−−++= trên tập xác định của nó là đoạn ]5,1[ . Khi đó việc tìm m để phương trình có nghiệm hoàn toàn có thể thực hiện được. Ta có ]5,1[,0 3182 1 52 1 12 1 12 1 ' ∈∀> − + − + − + + = x xxxx y Do đó hàm số đồng biến trên đoạn [1,5] và: 1522)1( −−=y ; 362)5( −+=y Ta có BBT sau: x -∞ 1 5 +∞ y’ + y 1522 −− 362 −+ Kết luận: Vậy phương trình có nghiệm khi : 362121522 −+≤+≤−− m ; 2 262 2 1522 −+ ≤≤ −− ⇔ m Bài toán 4: Tìm điểu kiện để phương trình: mxxxx =−+−−++ )6)(3(63 Hướng dẫn : * TXĐ: [ ] 6,3−∈∀x Đây là một bài toán thường gặp trong các bài thi Đai học. Đối với bài toán này ta có thể sử dụng một số phương pháp khác như: Phương pháp tam thức bậc 2, phương pháp chuyển hệ phương trình và sử dụng điều kiện đường tròn Đặt: xxt −++= 63 , [ ] 6,3−∈∀x Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 3 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Ta có: 2 3 0 )6)(3(2 36 62 1 32 1 ' =⇔= −+ +−− = − − + = x xx xx xx t x -∞ -3 3/2 6 +∞ t’ + 0 - t 3 23 3 Vậy [ ] 23,3∈t Khi đó ta có: 2 9 )6)(3()6)(3(29 2 2 − =−+⇔−++= t xxxxt Vậy phương trình đã cho trở thành: mtt 292 2 =++− Để phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình ẩn t có nghiệm [ ] 23,3∈t . Xét hàm số: 92 2 −+−= tty , [ ] 23,3∈t . có: 1022' =⇔=+−= tty BBT: t -∞ 1 3 23 +∞ y’ 0 - y 6 926 − Vậy phương trình có nghiệm khi: 3 2 926 62926 ≤≤ − ⇔≤≤− mm Bài toán 5: Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 1 3 1 2 2 ++=       − mm xx . (1) Hướng dẫn: Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 4 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Vì mmm ∀>++ 01 2 nên ta có: (1) )1(log 3 1 log.2 2 3 1 3 1 2 ++=−⇔ mmxx )1(log2 2 3 1 2 ++=−⇔ mmxx Đặt: )1(log 2 3 1 ++= mmM Mxx =−⇔ 2 2 Xét xxy 2 2 −= Ta có bảng biến thiên sau: x 0 1 2 xxy 2 2 −= xx 2 2 − -( xx 2 2 − ) xx 2 2 − y’ 2x-2 2-2x 2x-2 y’ - + 0 - + xxy 2 2 −= 1 0 0 Từ BBT ta thấy: Để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 10 << m ⇔ 1)1(log0 2 3 1 <++< mm ⇔ 11 3 1 2 <++< mm ⇔ 01 <<− m Bài toán 6: Biện luận số nghiệm của phương trình 1 2 +=+ xmmx Hướng dẫn: TXĐ: R ⇔ )11( 2 −+= xmx ⇔ 22 )11( mxxx =++ Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 5 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT ⇔    =++ = mxx x 11 0 2 Vậy phương trình luôn có nghiệm x=0. Với 0 ≠ x ta có: x x m 11 2 ++ = Xét hàm số: ( ) 0; 11 2 ≠ ++ = x x x y 0,0 1 1 1 )1( ' 2222 22 ≠∀> + − = + +− =⇒ x xxxx xx y Vậy hàm số nghịch biến với mọi 0≠x . Và: 1 11 limlim;1 11 limlim 22 += ++ =−= ++ = +∞→ +∞→ −∞→ −∞→ x x y x x y x x x x +∞= ++ =−∞= ++ = + + − − → → → → x x y x x y x x x x 11 limlim; 11 limlim 2 0 0 2 0 0 Ta có BBT sau: x - ∞ 0 + ∞ y’ - - y -1 - ∞ + ∞ +1 Kết luận: Với 11 ≥∨−≤ mm Phương trình có 2 nghiệm phân biệt Với 11 <<− m Phương trình có 1 nghiệm duy nhất x=0 Bài toán 7: Tìm các giá trị của m để hệ phương trình :    =++ =−+ myxyx yxyx 22 22 12 (I) có nghiệm? Hướng dẫn: * Với y=0 , hệ trở thành:    = = mx x 2 2 12 . Hệ có nghiệm khi 2 1 =m . * Với 0≠y , ta đặt t y x = . Khi đó hệ trở thành      −+=++ =−+ )12(1 1 12 22 2 2 ttmtt y tt (II) Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 6 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Vậy để hệ phương trình (I) có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y). Từ hệ (II) xét phương trình : 2 2 1 12 y tt =−+ ta có:     > −< ⇔>−+ 2 1 1 012 2 t t tt Do đó hệ phương trình (II) có nghiệm (t,y) 12 1 2 2 −+ ++ =⇔ tt tt m có nghiệm ), 2 1 ()1,( +∞∪−−∞∈t . Xét hàm số: 12 1 )( 2 2 −+ ++ = tt tt tf trên ), 2 1 ()1,( +∞∪−−∞ Ta có: 22 2 )12( 26 )(' −+ ++ −= tt tt tf ;    +−= −−= ⇔= 73 73 0)(' t t tf Lập bảng biến thiên: t -∞ 73 −− -1 73 +− 2 1 +∞ f’(t) - 0 + + 0 - - f(t) 2 1 71128 7514 + + +∞ +∞ 2 1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy để hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 71128 7514 + + ≥m Bài toán 8: Tìm điều kiện của a để hệ phương trình    =+ =+ )2( )1( 22 22 xaxy yayx có nghiệm duy nhất? Hướng dẫn: Trừ hai vế của hai phương trình cho nhau ta có:    =++ = ⇒=++− 0 0))(( yxxy xy yxxyyx TH1: Nếu y=x thay vào phương trình (1) ta có: 23 xxa +−= . Số cặp nghiệm của hệ phương trình là số nghiệm của phương trình: 23 xxa +−= Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 7 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Xét hàm số 23 )( xxxf +−= Ta có:     = = ⇔=+−= 3 2 0 023)(' 2 x x xxxf BBT: x -∞ 0 3 2 +∞ f’(x) - 0 + 0 - f(x) +∞ 0 27 4 -∞ Vậy: - Với ), 27 4 ()0,( +∞∪−∞∈a Hệ có một cặp nghiệm. - Với     = = 27 4 0 a a Hệ đã cho có 2 cặp nghiệm phân biệt. - Với ) 27 4 ,0(∈a Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm phân biệt. TH2: Nếu 1 0 + − =⇔=++ x x yyxxy vì 1−≠x Thay vào phương trình (1) ta có: 2 234 )1( + ++ = x xxx a Xét hàm số 2 234 )1( )( + ++ = x xxx xg với 1−≠x Ta có: 4 2 )1( )12)(2)(1( )(' + ++++ = x xxxxx xg Vậy      −≠ −= = ⇔= 1 2 0 0)(' x x x xg BBT: x -∞ -2 -1 0 +∞ g’(x) - 0 + - 0 + g(x) +∞ 12 +∞ +∞ +∞ Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 8 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT 0 Vậy: - Với a<0 Hệ phương trình vô nghiệm. - Với a=0 Hệ có 1 cặp nghiệm. - Với )12.0(∈a Hệ có 2 cặp nghiệm. - Với a=12 Hệ có 3 cặp nghiệm. - Với ),12( +∞∈a Hệ có 4 cặp nghiệm. Kết luận: Vậy với m<0 Hệ phương trình đã cho có 1 cặp nghiệm duy nhất. Bài toán 9: 1/. Tìm miền giá trị của hàm số: x x y 4cos3 4cos 2 + = 2/. Tìm m để phương trình sau có nghiệm: xmxx 4coscossin 2244 =+ . Hướng dẫn: 1/. Đặt ]1,1[4cos −∈⇒= txt , như vậy bài toán trở thành tìm miền giá trị cử hàm số: ]1,1[, 3 2 −∈ + = t t t y Ta có:    −= = ⇒= + + = 6 0 0 )3( 6 ' 2 2 x x t tt y Vậy ta có BBT sau: t -∞ -1 0 1 6 +∞ y’ - 0 + y 2 1 0 4 1 Vậy miền giá trị của hàm số đã cho là: 2 1 0 ≤≤ y 2/. Xét phương trình: xmxx 4coscossin 2244 =+ xmx 4cos44cos3 22 =+⇔ Vì m=0 không thoả mãn phương trình nên ta có: 2 2 4 1 4cos3 4cos m x x = + Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 9 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Từ câu 1/. ta thấy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi: 2 1 2 1 4cos3 4cos 0 2 2 ≥⇔≤ + ≤ m x x Vậy phương trình đã cho có nghiệm nếu: 2 2 ≥m Bài toán 10: Tìm điều kiện để phương trình: tgxxmx += 1.cos.2cos 2 có nghiệm       ∈ 3 ;0 π x Giải: Với       ∈ 3 ;0 π x ta có [ ] 3;0∈tgx Phương trình đã cho tương đương với: xtg tgx m xtg xtg 22 2 1 1 . 1 1 + + = + −      =+−       ∉+−=⇔−=⇔=+ ⇔ +=+−⇔ (*)1)1( 3 ;0 4 101 1.)1)(1( mtgxtgx kxtgxtgx tgxmtgxtgx π π π Vậy để phương trình đã cho có nghiệm       ∈ 3 ;0 π x khi và chỉ khi (*) có nghiệm       ∈ 3 ;0 π x Xét phương trình: mtgxtgx =+− 1)1( Đặt      −=       +∈ ⇒+= 1 31;1 1 2 ttgx t tgxt Khi đó ta có: m=(2-t 2 ).t=-t 3 +2t Xét hàm số y=-t 3 +2t trên đoạn       + 31;1 Ta có: 3 6 023' 2 ±=⇔=+−= tty Và có: )13(2)31(;1)1( −−=+= yy Vậy ta có BBT như sau: t -∞ 3 6− 1 31+ 3 6− +∞ y' 0 0 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 10 [...]... luận : Hàm số và ứng dụng của nó có một vai trò quan trọng trong chương trình THPT, nó có tác dụng rất lớn trong các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Mặt khác các bài toán này thường được đề cập rất nhiều trong các kỳ thi, đặc biệt là các kỳ thi thuyển sinh vào các trường Đại học - Cao đẳng - THCN Với chuyên đề này tôi đã áp dụng đối với một số lớp 12... tương đôi khả quan trong các bài toán biện luận phương trình và hệ phương trình Đại số Do đó qua bài viết này tôi muốn nhấn mạnh những ưu điểm của việc sử dụng BBT của hàm số trong việc giải toán phổ thông Tuy nhiên trong bài viết này có nhiều vấn đề tôi chưa đề cập đến và cũng không tránh khỏi những thiếu sót Mong bạn đọc thông cảm và bổ sung ý kiến để đề tai hoàn thiện và có tác dụng tốt hơn nữa Biên... Bình 12 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT D/ Một số bài toán tương tự: 1/ Tìm điều kiện của m để phương trình: 4 x + 1 + 4 3 − x + x + 1 + 3 − x = m có nghiệm duy nhất 2/ Tuỳ thuộc vào m biện luận số nghiệm của hệ phương trình:  2  y − ( x + y ) = 2m  2  x − ( y + x ) = 2m  3/ Biện luận số nghiệm của phương trình: x + 3 = m x 2 + 1 theo m 4/ Tuỳ thuộc vào a biện luận số nghiệm phương... 3  ;1  2  Vậy x ∈  Khi đó ta có: P ≤ 2 x + Xét hàm số: y = 2 x + Ta có: y ' = 2 − 4 x  3  4 với x ∈  ;1 x  2  4 2x 2 − 4 = x2 x2 x = 2 2 Vây y'=0 ⇔ 2 x − 4 = 0 ⇔  x = − 2  Ta có bảng biến thiên như sau: x − 2 y' 0 y 3 2 1 - 2 0 11 3 6 Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 11 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Vậy y ≤  3  ; ∀x ∈  ;1 3  2  11 ⇒P≤...Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT 1 y − Vậy phương trình có nghiệm khi m ∈ (1;− 2 ( 3 − 1) 2 ( 3 − 1) ) Bài 11: Cho tam giác ABC có góc A ≥ B ≥ C Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = sin2B +sin2C + sin A Giải: Ta có: P = sin2B +sin2C + = 2 sin( B + C ) cos( B − C ) + 4 sin A 4 ; (cos( B − C ) ≤ . Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Ứng dụng hàm số trong giải toán Bài toán 1: Tìm m để bất phương trình: mxxxx ≥++++ )64)(3)(1( 2 . +−= . Số cặp nghiệm của hệ phương trình là số nghiệm của phương trình: 23 xxa +−= Biên soạn: Phạm Quốc Khánh - THPT Lê Quý Đôn TP Thái Bình 7 Sử dụng phương pháp hàm số trong giải toán THPT Xét hàm.              = = = ⇔      = =− 3 2 3 2 3 sin 1)cos( π π A A CB A CB C:/ Kết luận : Hàm số và ứng dụng của nó có một vai trò quan trọng trong chương trình THPT, nó có tác dụng rất lớn trong các bài toán biện luận số nghiệm của phương trình, hệ