Bất đẳng thức Bunhia copxky I.Kiến thức Định lý: Với số a1, a2, an, b1, b2 , ., bn ta có: ( a1b1 + a b2 + + a n bn )2 (a 12 +a 22 ++a 2n )(b 12 +b 22 ++b 2n ) Dấu đẳng thức xẩy khi: a a1 a = = = n b1 b2 bn Chứng minh: (a1t-b1)2 (a2t-b2)2 (ant-bn)2 ( a12 + a22 +.+ a n2 )t2-2(ab+ab++ab)t+( b12 + b22 +.+ bn2 ) Đặt A= a12 + a22 +.+ a n2 B=ab+ab+ab C= b12 + b22 +.+ bn2 Ta có: At2-2Bt+C với t A[(t-B)2- B B2-AC AC ]0 4A với t B2 AC (điều phải chứng minh) II Một số ví dụ: 1)Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky chứng minh bất đẳng khác Ví dụ Cho a,b,c > Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a b c + + + + b2 c2 a2 b c a với a, b, c > ta có : a+b+c 3 abc (bất đẳng thức Cosi) a2+b2+c2 (a+b+c)2 Cosi-Bunhia 2 a b c Hay a + b + c ( + a + b )2 ( + + ) b c a b c b c a a b c a b c = + + (đpcm) b c a b c a Ví dụ Cho a2+b2+c2=1 m2+n2 = Chứng minh rằng: am + bn + c Ta có: m2+n2+1 = đó: (am+bn+c)2 (a2+b2+c2)( m2+n2+1)=1.2 (áp dụng BĐT Bunhia a,b,c m,n,1) (am+bn+c)2 am + bn + c (đpcm) -1- Ví dụ Cho ba số a,b,c thoả mãn điều kiện a+b+c=1 Chứng minh a2+b2+c2 Giải: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki 1,1,1 a,b,c ta có: (12+12+12)( a2+b2+c2) (1 a+1.b+1.c)2 =( a+b+c)2=1 3( a2+b2+c2) a2+b2+c2 Dấu xẩy a=b=c= Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-copxky tìm giá trị lớn nhất,nhỏ Ví dụ Cho số x, y, z thỏa mãn điều kiện: xy + yz + zx = Tìm giá trị nhỏ P = x4+y4+z4 Ta có: áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho số a1=x; a2=y; a3=z; b1=y; b2=z; b3=x ta có: 1=(xy+yz+zx)2 (x2+y2+z2)( x2+y2+z2) ( x2+y2+z2 ) Ta lại áp dụng bất đẳng thức Bunhia cho: a1=1; a2=1; a3=1; b1=x2; b2=y2; b3=z2 (x2+y2+z2)2 (1+1+1) (x4+y4+z4) ( x4+y4+z4 ) x y Dấu đẳng thức xẩy khi: = Vậy Pmin = y z = x2=y2=z2 x=y=z= z x 3 Ví dụ 5: Cho số dơng a,b,c số dơng x,y,z thay đổi cho: a b c + + = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=x+y+z x y z Giải: Ta có: a + b + c = a b c x+ y+ z x y z áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: a b c ( a + b + c )2 ( + + )( x + y + z ) x y z -2- ( a + b + c )2 x+y+z Dấu xẩy khi: a : x= x b : y= y a b c = = = x y z c : z z a+ b+ c x+ y+ =1:( a + b + c ) Đến dễ dàng suy ra: x= a ( a + b + c ) y= b ( a + b + c ) z= c ( a + b + c ) Khi Amin=( a + b + c )2 3.Dùng bất đẳng thức cosi-bunhia copxky vào giải phơng trình I Một số ví dụ: Ví dụ 1: Giải phơng trình x + x =x2 - 10x + 27 Giải: Đk:4 x Ta có VP= x2 - 10x + 27= x2 - 10x + 25+2=(x-5)2+2 VT2=( x + x )2 (12+12) { ( x )2 +( x )2 } (áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho 1,1 x , x ) Măt khác : ( x )2 +( x )2=x-4+6-x=2 Suy : VT2 2.2 VT 2(vì VT= x + x 0) Ta thấy VP 2, VT nên phơng trình có nghiệm VT=VP=2 x=5 Vậy phơng trình có môt nghiệm x=5 Ví dụ Giải phơng trình x + + x + x = Giải: Đk : -1 x Theo bât đẳng thc Cô-si ta có: x = (1 x)(1 + x ) x + 1+ x (1) + x = 1.(1 + x) + + x (2) x = 1.(1 x) 1+ x (3) -3- Từ (1),(2),và(3) ta có : x + + x + x 1+ + x + ! x 1+ 1+1+ x 1+1 x + =3 2 Dấu = xẩy 1+ x = x + x =1 x =1 x=o Kiểm tra lại ta thấy x=0 nghiệm phơng trình -4-