Bài tập phép biến hình ôn thi THPT Toán

WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG Vấn đề : PHÉP DỜI HÌNH A KIẾN THỨC CƠ BẢN Phép biến hình ª ĐN : Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác đònh điểm M mặt phẳng , điểm M gọi ảnh M qua phép biến hình ª Kí hiệu : f phép biến hình M ảnh M qua phép f ta viết : M= f(M) hay f f(M) = M hay f : M I  M hay M I  M Điểm M gọi tạo ảnh f phép biến hình đồng  f(M) = M ,  M  H Điểm M gọi điểm bất động , kép , bất biến f1 ,f2 phép biến hình f2  f1 phép biến hình ª Nếu H hình tập hợp điểm M= f(M), với M  H, tạo thành hình H gọi ảnh H qua phép biến hình f ta viết : H= f(H) Phép dời hình ĐN : Phép dời hình phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách hai điểm , tức với hai điểm M,N ảnh M, N chúng , ta có MN= MN ( Bảo toàn khoảng cách ) Tính chất : ( phép dời hình ) ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng thành ba điểm không thẳng hàng HQ : Phép dời hình biến : Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng  trực tâm , trọng tâm I  trọng tâm ) Tam giác thành tam giác ( Trực tâm I  I , R = R ) Đường tròn thành đường tròn ( Tâm biến thành tâm : I I Góc thành góc B BÀI TAÄP  x  = 2x   M  = f(M) =  Trong mpOxy cho pheùp biến hình f : M(x;y) I  y = y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(1;2) b) B(  1;2) c) C(2;  4) Giaûi : a) A  = f(A) = (1;5) b) B = f(B) = (  7;6) c) C = f(C) = (3;  1)  x = 2x  y  Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M  = f(M) =   y = x  2y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(2;1) b) B(  1;3) c) C(  2;4) Giaûi : a) A  = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = (  4;  4) c) C = f(C) = (  7;  7) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M  = f(M) = (3x; y) Đây có phải phép dời hình hay không ? Giải : Lấy hai điểm M(x1; y1 ), N(x2 ; y2 )  M = f(M) = (3x1; y1 ) Khi ñoù f : M(x1; y1 ) I  N = f(N) = (3x2 ; y2 ) f : N(x2 ; y2 ) I W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Ta coù : MN = (x2  x1 )2  (y  y1 )2 , MN = 9(x  x1 )2  (y  y1 )2 Nếu x1  x MN  MN Vậy : f phép dời hình (Vì có số điểm f không bảo toàn khoảng cách) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I  M = f(M) = ( y ; x  2) x y b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( 2x  ; y+1)  x y Phép biến hình phép dời hình ? HD : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( x1  x MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình : a) f : M(x;y) I  M = f(M) = (y + ;  x) b) g : M(x;y) I  M = g(M) = ( x ; 3y ) Phép biến hình phép dời hình ? Giải : a) f phép dời hình b) g phép dời hình ( y1  y MN  MN ) Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (2x ; y  1) Tìm ảnh đường thẳng () : x  3y  = qua phép biến hình f Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ   x x =  2x x  Ta coù f : M(x;y) I  M = f(M) =    y  y   y  y    x Vì M(x;y)  ()  ( )  3(y  1)    x  6y    M(x;y)  () : x  6y   Cách : Lấy điểm M,N  () : M  N M  () : M(2;0) I  M  f(M)  (4;1)  N  f(N)  (2; 0) N  ( ) : N(  1;  1) I  Qua M(4;1) x+ y   ()  (MN) :   PTCtaéc () :   PTTQ () : x  6y   1  VTCP : MN  (6; 1) Trong mpOxy cho pheùp biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  ; y  1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 =  (C) : (x  2)2 + (y  3)2 = I Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  ; y  1) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x + 2y  = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 = x2 y2 + =1 Giải : a) Lấy hai điểm M(x1; y1 ),N(x2 ; y2 ) d ) Tìm ảnh elip (E) : Khi f : M(x1; y1 ) I  M = f(M) = (x1  3; y1  1) f : N(x2 ; y2 ) I  N = f(N) = (x2  3; y2  1) Ta coù : MN = (x2  x1 )2  (y2  y1 )2 = MN Vậy : f phép dời hình W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM b) Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ  x = x   x  x  Ta coù f : M(x;y) I  M = f(M) =    y  y   y  y  Vì M(x;y)  ()  (x  3)  2(y  1)    x  2y    M(x;y)  () : x  2y   Cách : Lấy điểm M,N  () : M  N  M  f(M)  (2;1) M  () : M(5 ;0) I  N  f(N)  (0;2) N  () : N(3 ; 1) I  Qua M(2;1) x  y 1  ()  (MN) :   PTCtaéc () :   PTTQ() : x  2y   2  VTCP : MN  (2;1) Cách : Vì f phép dời hình nên f biến đường thẳng () thành đường thẳng () // () Lấy M  () : M(5 ;0) I  M  f(M)  (2;1) Vì () // ()  () : x + 2y  m = (m  5) Do : ()  M(2;1)  m =   () : x  2y   c) Caùch 1: Dùng biểu thức toạ độ x = x  x  x   M = f(M) =   Ta coù f : M(x;y) I y  y  y  y  Vì M(x;y)  (C) : (x + 1)2 + (y  2)2 =  (x  4)2  (y  3)2    M(x;y)  (C) : (x  4)2  (y  3)2  + Taâm I(  1;2) f + Taâm I= f [ I(  1;2)]  (4;3) Caùch : (C)    (C)   BK : R =  BK : R= R =  (C) : (x  4)2  (y  3)2  d) Dùng biểu thức toạ độ  x = x   x  x   M = f(M) =   Ta coù f : M(x;y) I  y  y   y  y  Vì M(x;y)  (E) : x2 y2 (x+ 3)2 (y  1)2 (x + 3)2 (y  1)2 + =1  + =  M(x;y)  (E) : + =1 3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  1; y  2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x  2y  = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y2 = 4x ÑS : b) x  2y  = c) (x + 2)2 + (y  1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x  1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x ; y) Khẳng đònh sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)]  đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua truïc tung  C sai 12 Trong mpOxy cho phép biến hình :  M = f1(M) = (x + ; y  4) ; f2 : M(x;y) I  M = f2 (M) = (  x ;  y) f1 : M(x;y) I Tìm toạ độ ảnh A(4;  1) qua f1 f2 , nghóa tìm f2 [f1(A)] f f  A(6;  5) I  A(  ; ) ÑS : A(4;  1) I x 11 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = ( ; 3y) Khẳng đònh sau sai ? A f (O) = O (O điểm bất biến) B Ảnh A  Ox ảnh A= f(A)  Ox C Ảnh B  Oy aûnh B= f(B)  Oy D M= f [M(2 ;  3)] = (1;  9) ĐS : Chọn D Vì M= f [ M(2 ;  3)] = (1; 9) W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM A KIẾN THỨC CƠ BẢN Vấn đề : PHÉP TỊNH TIẾN    ĐN : Phép tònh tiến theo vectơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M cho MM  u   Kí hiệu : T hay Tu Khi ñoù : Tu (M)  M  MM  u Phép tònh tiến hoàn toàn xác đònh biết vectơ tònh tiến Nếu To (M)  M , M To phép đồng  Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) phép tònh tiến Tu  x= x + a  M=Tu (M)  (x; y )  M(x;y) I  y= y + b Tính chất : ĐL : Phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách hai điểm HQ : Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến tia thành tia Bảo toàn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tam giác thành tam giác (Trực tâm I  trực tâm , trọng tâm I  trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm : I I I , R = R )  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT ĐIỂM  x= x + a M(x;y) I  M=Tu (M)  (x; y )   y= y + b  PHƯƠNG PHÁP TÌM ẢNH CỦA MỘT HÌNH (H) Cách : Dùng tính chất (cùng phương đthẳng , bán kính đường tròn : không đổi ) Laáy M  (H) I  M  (H) (H)  đường thẳng   (H)  đường thẳng phương  Tâm I  Tâm I  (H)  (C)  (H)  (C)  I  (caàn tìm I) + bk : R + bk : R= R Cách : Dùng biểu thức tọa độ Tìm x theo x , tìm y theo y thay vào biểu thức tọa độ  M, N  (H) Cách : Lấy hai điểm phân biệt : M, N  (H) I B, BÀI TẬP  Trong mpOxy Tìm ảnh M điểm M(3;  2) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;1) Giaûi    x    x   Theo đònh nghóa ta có : M = Tu (M)  MM  u  (x  3; y  2)  (2;1)    y    y   1  M(5; 1)  Tìm ảnh điểm qua phép tònh tiến theo vectô u :  a) A(  1;1) , u = (3;1)  A(2;3)  b) B(2;1) , u = (  3;2)  B(  1;3)  c) C(3;  2) , u = (  1;3)  C(2;1) W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM  Trong mpOxy Tìm ảnh A,B điểm A(2;3), B(1;1) qua phép tònh tiến theo vectơ u = (3;1)   Tính độ dài AB , AB Giải   Ta có : A= Tu (A)  (5;4) , B= Tu (B)  (4;2) , AB = |AB|  , AB = |AB |     Cho vectô u1; u2 Gỉa sử M1  Tu (M),M2  Tu (M1) Tìm v để M2  Tv (M) Giải     Theo đề : M1  Tu (M)  MM1  u1 , M2  Tu (M1)  M1M2  u2            Neáu : M2  Tv (M)  MM2  v  v  MM2  MM1  M1M2  u1+ u2 Vậy : v  u1+ u2 Đường thẳng  cắt Ox A(  1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng  ảnh   qua phép tònh tiến theo vectơ u = (2;  1) Giải Vì : A  Tu (A)  (1; 1) , B  Tu (B)  (2;1)  qua A(1;  1) x   t Mặt khác :   Tu ()   qua A,B Do :    ptts  :  y  1  2t  VTCP : AB= (1;2) Đường thẳn g  cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đườn g thẳn g   ản h   qua phép tònh tiến theo vectơ u = (  1;  2) Giải Vì : A   Tu (A)  (0; 2) , B  Tu (B)  ( 1;1)  qua A (0;  2) x  t  Mặt khác :    Tu (  )    ñi qua A ,B Do :     ptts   :   y  2  3t  VTCP : A B= (  1;3)  Tương tự : a)  : x  2y  = , u = (0 ; 3)    : x  2y    b)  : 3x  y  = , u = (  ;  2)    : 3x  y    2 Tìm ảnh đườn g tròn (C) : (x + 1)  (y  2)  qua phép tònh tiến theo vectơ u = (1;  3) Giaûi  x= x +  x = x   Biểu thức toạ độ phép tònh tiến Tu :   y= y   y = y + Vì : M(x;y)  (C) : (x + 1)2  (y  2)2   x2  (y   1)2   M (x ;y )  (C) : x  (y  1)2  Vaäy : Ản h (C) (C) : x  (y  1)2  Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = (x  1; y  2) a) CMR f phép dời hình b) Tìm ảnh đường thẳng () : x  2y  = c) Tìm ảnh đường tròn (C) : (x + 3)2 + (y  1)2 = d) Tìm ảnh parabol (P) : y = 4x ÑS : b) x  2y  = c) (x + 2)2 + (y  1)2 = d) (y + 2)2 = 4(x  1) 10 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) I  M = f(M) = ( x ; y) Khẳng đònh sau sai ? A f phép dời hình B Nếu A(0 ; a) f(A) = A C M f(M) đối xứng qua trục hoành D f [ M(2;3)]  đường thẳng 2x + y + = ĐS : Chọn C Vì M f(M) đối xứng qua trục tung  C sai  Tìm ảnh đường tròn (C) : (x  3)2  (y  2)2  qua phép tònh tiến theo vectô u = (  2;4) x= x  x = x+ Giải : Biểu thức toạ độ phép tònh tiến Tu :    y = y   y = y  Vì : M(x;y)  (C) : (x  3)2  (y  2)2   (x  1)2  (y  2)2   M(x;y)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  Vậy : Ảnh (C) (C) : (x  1)2  (y  2)2  W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM  BT Tương tự : a) (C) : (x  2)2  (y  3)2  1, u = (3;1)  b) (C) : x2  y2  2x  4y   0, u = (  2;3)  (C) : (x  1)2  (y  2)2  (C) : x2  y2  2x  2y   10 Trong hệ trục toạ độ Oxy , xác đònh toạ độ đỉnh C D hình bình hành ABCD biết đỉnh A(  2;0), đỉnh B(  1;0) giao điểm đường chéo I(1;2) Giải    Gọi C(x;y) Ta có : IC  (x  1; y  2),AI  (3;2),BI  (2; 1) Vì I trung điểm AC neân :   x   x    C(4; 4) C = T (I)  IC  AI   AI y   y  Vì I trung điểm AC nên :   x   x   D  D(3; 4) D = T (I)  ID  BI   D BI y D   y D  Bài tập tương tự : A(  1;0),B(0;4),I(1;1)  C(3;2),D(2;  2) 11 Cho đường thẳng song song d d Hãy phép tònh tiến biến d thành d Hỏi có phép tònh tiến ? Giải : Chọn điểm cố đònh A  d , A  d   Lấy điểm tuỳ ý M  d Gỉa sử : M = T (M)  MM  AB AB    MA  MB  MB / /MA  M  d  d = T (d) AB Nhận xét : Có vô số phép tònh tiến biến d thành d 12 Cho đường tròn (I,R) (I,R) Hãy phép tònh tiến biến (I,R) thành (I,R)   Giải : Lấy điểm M tuỳ ý (I,R) Gỉa sử : M = T (M)  MM  II II    IM  IM  IM  IM  R  M  (I,R)  (I,R) = T [(I,R)] II 13 Cho hình bình hành ABCD , hai đỉnh A,B cố đònh , tâm I thay đổi di động đường tròn (C) Tìm quỹ tích trung điểm M cạnh BC Giải   Gọi J trung điểm cạnh AB Khi dễ thấy J cố đònh IM  JB Vậy M ảnh I qua phép tònh tiến T Suy : Quỹ tích M JB  ảnh đường tròn (C) phép tònh tiến theo vectơ JB  14 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho parabol (P) : y = ax2 Gọi T phép tònh tiến theo vectơ u = (m,n) (P) ảnh (P) qua phép tònh tiến Hãy viết phương trình (P) Giaûi :    Tu  M(x;y) , ta có : MM= u , với MM= (x  x ; y  y) M(x;y) I   x  x = m  x = x  m  Vì MM= u     y y = n   y = y  n Maø : M(x; y)  (P) : y  ax2  y  n = a(x  m)2  y = a(x  m)2  n  M(x;y)  (P) : y = a(x  m)2  n Vậy : Ảnh (P) qua phép tònh tiến Tu (P) : y = a(x  m)2  n  y = ax2  2amx  am  n   15 Cho ñt  : 6x + 2y  1= Tìm vectơ u  để  = Tu ()     Giaûi : VTCP  a = (2;  6) Để :  = Tu ( )  u phương a Khi : a = (2;  6)  2(1; 3)   choïn u = (1;  3)   16 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm A(  5;2) , C(  1;0) Bieát : B = Tu (A) , C = Tv (B) Tìm u v để thực phép biến đổi A thành C ? Giaûi W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM          Tu Tv  B I  C(1; 0) Ta coù : AB  u,BC  v  AC  AB  BC  u  v  (4; 2) A(  5;2) I Tu + v   17 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho điểm K(1;2) , M(3;  1),N(2; 3) vectơ u = (2;3) ,v = (  1;2) Tìm ảnh K,M,N qua phép tònh tiến Tu Tv          Tu Tv HD : Gỉa sử : A(x;y) I  B I  C(x; y) Ta coù : AB  u,BC  v  AC  AB  BC  u  v  (1;5)  x   x  Do : K=Tu  v (K)  KK  (1;5)     K(2; 7)  y   y  Tương tự : M(4;4) , N(3;2) 18 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho ABC : A(3;0) , B(  2;4) , C(  4;5) G laø trọng tâm ABC phép   tònh tiến theo vectơ u  biến A thành G Tìm G = Tu (G) Giaûi Tu Tu  G(1;3) I  G(x; y) A(3;0) I     x   4 x  5   G(5;6) Vì AG  (4;3)  u Theo đề : GG  u   y    y  19 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn (C) : (x  1)2  (y  3)2  2,(C) : x2  y2  10x  4y  25   Coù hay không phép tònh tiến vectơ u biến (C) thành (C) HD : (C) có tâm I(1;  3), bán kính R = ; (C) có tâm I(5;  2), bán kính R=  Ta thấy : R = R= nên có phép tònh tiến theo vectơ u = (4;1) biến (C) thành (C) 20 Trong hệ trục toạ độ Oxy , cho hình bình hành OABC với A(  2;1) B   :2x  y  = Tìm tập hợp đỉnh C ? Giải    Vì OABC hình bình hành nên : BC  AO  (2; 1)  C  Tu (B) với u = (2; 1)   Tu  x  x   x  x  B(x;y) I  C(x; y) Do : BC  u     y  y  1 y  y  B(x;y)    2x  y  =  2x  y  10 =  C(x; y)   : 2x  y  10 = 21 Cho ABC Goïi A1,B1,C1 trung điểm cạnh BC,CA,AB Gọi O1,O2 ,O3 I1,I2 ,I3 tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường tròn nội tiếp ba tam giác AB1C1, BC1A1, CA1B1 Chứng minh : O1O2O3  I1I2 I3 HD :  Xét phép tònh tiến : T1  biến A I  C,C1 I  B,B1 I  A1 AB T1  T1  T1  AB AB AB 2   AB1C1 I  C1BA1;O1 I  O2 ; I1 I  I2    O1O2  I1I2  O1O2  I1I2  Lý luận tương tự : Xét phép tònh tiến T1  ,T1  suy : BC CA 2     O2O3  I2 I3 vaø O3O1  I3I1  O2O3  I2 I3 ,O3O1  I3I1  O1O2O3  I1I2 I3 (c.c.c) 22 Trong tứ giác ABCD có AB = 3cm ,CD  12cm , A  60 ,B  150 vaø D  90 Tính độ dài cạnh BC DA HD :   T BC  M  AM  BC.Ta có : ABCM hình bình hành BCM  30 (vì B  150 )  Xeùt : A I W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Lại có : BCD  360o  (90  60  150 )  60  MCD  30 Đònh lý hàm cos MCD :  36 MD2  MC2  DC2  2MC.DC.cos30  (6 3)2  (12)2  2.6 3.12  MD = 6cm Ta coù : MD = CD MC = MD  MDC tam giác  MCD nửa tam giác  DMC  90 MDA  30 Vậy : MDA  MAD  MAB  30  AMD laø tam giác cân M Dựng MK  AD  K trung điểm AD  KD=MDcos30  cm  AD  3cm Tóm lại : BC = AM = MD = 6cm , AD = AB = 3cm Vấn đề : PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A , KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN1: Điểm M gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a đường trung trực đoạn MM Phép đối xứng qua đường thẳng gọi phép đối xứng trục Đường thẳng a gọi trục đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường tha úng a   Kí hiệu : Đa (M)  M  MoM  MoM , với Mo hình chiếu M đường thẳng a Khi : Nếu M  a Đa (M)  M : xem M đối xứng với qua a ( M gọi điểm bất động ) M  a Đa (M)  M  a đường trung trực MM Ña (M)  M Ña (M)  M Ña (H)  H Đa (H)  H , H ảnh hình H ĐN : d trục đối xứng hình H  Đd (H)  H Phép đối xứng trục hoàn toàn xác đònh biết trục đối xứng Chú ý : Một hình trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng Biểu thức tọa độ : M(x;y) I  M  Ñd (M)  (x;y ) x= x x=  x ª d  Ox :  ª d  Oy :   y =  y y = y ĐL : Phép đối xứng trục phép dời hình HQ : 1.Phép đối xứng trục biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia Đoạn thẳng thành đoạn thẳng Tam giác thành tam giác (Trực tâm I  trực tâm , trọng tâm I  trọng tâm ) Đường tròn thành đường tròn (Tâm biến thành tâm : I I  I , R  = R ) Góc thành góc  PP : Tìm aûnh M = Ña (M) (d)  M , d  a H = d  a H trung điểm MM  M ? W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : = Đa ()  TH1: () // (a) Laáy A,B  () : A  B Tìm ảnh A= Đa (A)   A,// (a)    TH2 :  // a Tìm K =   a Lấy P   : P  K Tìm Q = Đa (P)   (KQ) ª PP : Tìm M  () : (MA + MB)min Tìm M  () : (MA+ MB)min  Loaïi : A, B nằm phía () : 1) gọi A đối xứng A qua () 2) M  (), MA + MB  MA+ MB  AB Do đó: (MA+MB)min= AB  M = (AB)  ()  Loại : A, B nằm khác phía () : M  (), MA + MB  AB Ta coù: (MA+MB)min = AB  M = (AB)  () B BÀI TẬP Trong mpOxy Tìm ảnh M(2;1) đối xứng qua Ox , đối xứng qua Oy Đ Đ Oy Ox  M(2;  1) I HD : M(2;1) I  M(2; 1) Trong mpOxy Tìm ảnh M(a;b) đối xứng qua Oy , đối xứng qua Ox Ñ Ñ Oy Ox  M(a;  b) HD : M(a;b) I  M(  a;b) I Đ Đ b  M Cho đường thẳng (a) : x  = , (b) : y + = điểm M(  1;2) Tìm : M Ia  M I Đ Đ b  M(5; 4) [ vẽ hình ] HD : M(  1;2) Ia  M(5;2) I Cho đường thẳng (a) : x  m = (m > 0) , (b) : y + n = (n > 0) Ñ Ñ b  M(x; y) Tìm M: M(x;y) a  M(x; y)  Đa Đb x  2m  x x  2m  x  M  HD : M(x;y) I  M  I tñ(m;y) tñ(2m x; n) y  2n  y  y  y Cho điểm M(  1;2) đường thẳng (a) : x + 2y + = HD : (d) : 2x  y + = , H = d  a  H(  2;0) , H trung điểm MM  M(  3;  2) Cho điểm M(  4;1) đường thẳng (a) : x + y =  M = Ñ a(M)  ( 1; 4) Cho đường thẳng () : 4x  y + = , (a) : x  y + = Tìm ảnh = Ña ( ) HD : 1   caét a  K    a  K(2;1) Vì  1 M(  1;5)    d  M,  a  d : x  y    H(1/ 2; / 2) : tđiểm MM  M  Đa (M)  (2;2)   KM: x  4y + = Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y + = HD : a  Ox = K(  3;0) M  O(0;0)  Ox : M= Ña (M) = (  ;  ) 5 b  KM: 3x + 4y  = Tìm b = Đa (Ox) với đường thẳng (a) : x + 3y  = W W W V N M A T H C O M - -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM HD : a  Ox = K(3;0) P  O(0;0)  Ox + Qua O(0;0)    : 3x  y  +  a 9 E = a    E( ; ) trung điểm OQ  Q( ; ) 10 10 5 b  KQ : 3x + 4y  = 10 Tìm b = ĐOx (a) với đường thẳng (a) : x + 3y  = Giải : Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ (rất hay) Cách : K= a  Ox  K(3;0) P(0;1)  a  Q = ÑOx (P) = (0;  1) b  KQ : x  3y  = 11 Cho đường thẳng () : x  2y + = , (a) : x  2y  = Tìm ảnh = Đa () PP :  / /a Cách : Tìm A,B    A,B      AB Cách : Tìm A    A     / / ,   A Giải : A(0;1)    A  Đa (A)  (2; 3)   A, / /    : x  2y   12 Cho đường tròn (C) : (x+3)2  (y  2)2  , đường thẳng (a) : 3x  y + 1= Tìm (C) = Đa [(C)] HD : (C) : (x  3)2  y  13 Trong mpOxy cho ABC : A(  1;6),B(0;1) C(1;6) Khẳng đònh sau sai ? A ABC cân B B ABC có trục đối xứng C ABC  ĐOx (ABC) D Trọng tâm : G = ĐOy (G) HD : Chọn D 14 Trong mpOxy cho điểm M(  3;2), đường thẳng () : x + 3y  = 0, đường tròn (C) : (x+3)2 (y  2)2 Tìm ảnh M, () (C) qua phép đối xứng trục (a) : x  2y + = Giải : Gọi M, () (C) ảnh M, () (C) qua phép đối xứng trục a  Qua M(  3;2) a) Tìm ảnh M : Gọi đường thẳng (d) :   a + (d)  (a)  (d) : 2x  y + m = Vì (d)  M(  3;2)  m =  (d) : 2x  y  =   x H  (x M  x M  ) + H = (d )  (a )  H (  2;0 )  H la ø tru n g ñ ie åm c u ûa M ,M   H   y  (y  yM )  H M   2  (  x M  ) x  1     M  M (  1;  ) yM   2   (2  y  ) M  b ) T ìm a ûn h (   ) : Vì   (  ) c a ét (a )  K = (  )  (a ) 2 x + 3y  =  T o a ï ñ o ä c u ûa K la ø n g h ie äm c u ûa h e ä :   K (2; ) x  2y + = Lấy P  K  Q = Đa [P(  1;3)] = (1; 1) ( Làm tương tự câu a) )  Qua P(  1;3) Gọi đường thaúng (b) :   a W W W V N M A T H C O M - 10 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM  ĐIH : E I  F,B I  C, H I  H  ÑIH (EBH)  FCH    ÑIH : T (AEI)  FCH AE Do : ĐIH  T (AEI)  FCH  AEI  FCH AE Cho hình chữ nhật ABCD Gọi O tâm đối xứng ; E,F,G,H,I,J theo thứ tự trung điểm cạnh AB,BC,CD,DA,AH,OG Chứng minh : Hai hình thang AJOE GJFC HD :  Phép tònh tiến theo AO biến A,I,O,E thành O,J,C,F Phép đối xứng qua trục OG biến O,J,C,F thành G,J,F,C Từ suy phép dời hình có cách thực liên tiếp hai phép biến hình biến hình thang AJOE thành hình thang GJFC Do hai hình thang  [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) đường thẳng (d) : 2x  y = Tìm ảnh (d) qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay Q phép tònh tiến Tu (O;90 ) Q Tu (O;90 )  d I  d HD : PP : d I  Goïi d  Q (d) Vì tâm O  d neân Q (O)  O  d  (O;90 ) (O;90 ) Mặt khác : d   d  d  : x  2y  C  (C  0) mà d  qua O nên C =  d : x + 2y = Q (O;90 )  M  d Caùch khác : Chọn M(1;2)  d I x  OM cos(  90 ) x  OM cos  cos 90  OM sin  sin 90 x  x cos 90  y sin 90 Ta coù : M           y  OM sin(  90 ) y  OM sin  cos 90  OM cos  sin 90 y  y cos 90  x sin 90 x  1cos 90  sin 90 x  2    M(2;1)     y   y  cos 90  1sin 90  Goïi d  Tu (d)  d // d  d : x  2y  C     x   x   x    O(3;1) Goïi O  Tu (O)  OO = u    y  y   y  Vì d  O    C   C  5  d : x  2y   Vaäy :Tu  Q (d)  (d) : x  2y   (O;90 ) Tìm ảnh đường tròn (C) : x2  y2  2x  4y   có cách thực liên tiếp phép  tònh tiến theo u = (3;  1) phép ĐOy ĐS : (C) : (x + 4)2  (y  3)2  Tìm ảnh đường tròn (C) : x2  y2  6x  2y   có cách thực liên tiếp phép quay Q phép ĐOx (O;90 ) HD : (C) có tâm I(3;1) , bk : R = Khi : Q ĐOx (O;90 ) (C) : I(3;1) , R = I (C) : I(  1;3) , R = I (C) : I(  1;  3) , R =  (C) :(x + 1)2  (y  3)2  [CB-P23] Trong mpOxy cho điểm A(  3;2),B(  4;5) C(  1;3) a) Chứng minh : Các điểm A(2;3),B(5;4) C(3;1) theo thứ tự ảnh A,B C qua Q (O;90 ) b) Gọi A1B1C1 ảnh ABC qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép W W W V N M A T H C O M - 26 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Q phép đối xứng ĐOx Tìm toạ độ đỉnh A1B1C1 (O;90 ) HD : a) Gọi M,N hình chiếu A Ox,Oy M(  3; 0),N(0;2) Q (O;90 ) Khi : Hình chữ nhật OMAN I  hcnhật OMAN với M(0;3),N(2;0) Do : A(2;3) = Q (A) (O;90 ) Ttự : B(5;4) = Q (B),C(3;1) = Q (C) (O;90 ) (O;90 ) Q (O; 90 ) Cách khác : Gỉa sử A I  A  AOA vuông cân O   Điều : OA = OA= 13, OA.OA  Làm tương tự cho B,C ta có điều cần chứng minh b)  Phép quay : Q (ABC)  ABC , ÑOx (ABC)  A1B1C1 (O; 90 )  x A  x A    A1(2; 3).Ttự : B1(5; 4),C1(3; 1) Khi :     y y  A A  Trong mpOxy , cho hai parabol : (P1) : y  2x2 , (P2 ) : y  2x2  4x  Khẳng đònh sau ñaây sai ? A) y  2x2  4x   y  2(x  1)2  B) Tònh tiến sang trái đơn vò xuống đơn vò ta (P2 ) C) (P1) (P2 )  D) Phép tònh tiến theo u = (1;  3) biến (P1) thành (P2 ) ÑS : B) Trong mpOxy , cho điểm A(2;0),B(4;4),C(0;2) D(  4; 4) Khẳng đònh sau sai ? A) Các OAC,OBD tam giác vuông cân Q (O;90 )  OCD B) Pheùp quay : OAB I C) OAB OCD hai hình D) Tồn phép tònh tiến biến A thành B C thành D ĐS : D) Trong mpOxy cho ABC với A(  3; 0),B(0;3),C(2; 4) Phép biến hình f biến A thành A(;3) , B thành B(2;6),C thành C(4;7) Khẳng đònh sau ? A) f phép quay Q  B) f phép đối xứng tâm I(  1; ) D) f phép đối xứng trục (O;90 )  C) f phép tònh tiến theo vectơ u = (2;3) ĐS : C) Vấn đề : PHÉP VỊ TỰ ĐN : Cho điểm I cố đinh số k  Phép vò tự tâm I tỉ số k   Kí hiệu : VIk , phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho IM  k IM Biểu thức tọa độ : Cho I(xo ; yo ) phép vò tự VIk VIk x= kx+ (1  k)xo  M  VIk (M)  (x; y)  M(x;y) I y= ky+ (1  k)yo W W W V N M A T H C O M - 27 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Tính chất :   M  VIk (M), N  VIk (N) MN= kMN , MN= |k|.MN Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên |k| Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với Đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R= |k|.R Biến góc thành góc B BÀI TẬP Tìm ảnh điểm sau qua phép vò tự tâm I , tỉ số k  : a) A(1;2) , I(3;  1) , k = b) B(2;  3), I(1; 2), k  3 c) C(8;3), I(2;1) , k =  A(  1;5)  B(  10;1)  C(5;2) 1  P (1;  ),Q (  ;  ),R(  ; ) 3 3   V(I;2) x   4  A(x; y)  IA  2IA  (x  3; y  1)  2(2;3)   HD : a) Goïi : A(1;2) I  y    x   1   A(1;5)  y  d) P(  3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I  O,k =  1/ Cho ba điểm A(0;3),B(2;  1),C(1;5) Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thaø nh C   V(A;k) 1  k(2) Khi : B I C  AC  kAB   k 2  k(4) Vaäy : Tồn phép vò tự V C : B I (A; ) Cho ba điểm A(  1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn hay không tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ? HD : Gỉa sử tồn phép vò tự tâm A , tỉ số k biến B thành C   V(A;k) Khi ñoù : B I C  AC  kAB (1) Cho OMN Dựng ảnh M,N qua phép vò tự tâm O , tỉ số k trường hợp sau : a) k = b) k = c) k =  Giaûi     : M I a) Phép vò tự VO  M , N I  N ta có OM  3OM,ON  3ON 1/2 : M I b) Phép vò tự VO  H , N I  K HK đường trung bình OMN     3/ : M I c) Phép vò tự VO  P , N I  Q ta có OP   OM,OQ   ON 4 W W W V N M A T H C O M - 28 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Cho hình bình hành ABCD (theo chiều kim đồng hồ) có tâm O Dựng : a) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k = b) Ảnh hình bình hành ABCD qua phép vò tự tâm O , tỉ số k =  Giải   : A I a) Gọi VO  A OA  2OA   B I  B OB  2OB   C I  C OC  2OC    D OD  2OC D I : ABCDM I  VO  ABCD Ta veõ : AB// AB,BC // BC,CD // CD,DA // DA   1/2 : A I  P OP   OA b) Gọi VO   B I  Q OQ   OB    R OR   OC C I    S OS   OD D I  1/2  VO  PQRS : ABCDM  Ta veõ : AB// PQ,BC // QR,CD // RS,DA // SP Cho ABC coù AB = 4, AC = , AD phân giác A ABC (D  BC) Với giá trò k phép vò tự tâm D , tỉ số k biến B thành C HD : Theo  tính chất phân giác A , ta coù :  V( D;3/2 ) DB AB          DC   DB  B I C DC AC  Do DB DC ngược hướng Cho ABC vuông A AB = 6, AC = Phép vò tự V biến B thành B,C thành C (A; ) Khẳng đònh sau sai ? A) BBCC hình thang B) BC = 12 C) SABC  SABC D) Chu vi (ABC) = Chu vi(ABC) HD : V(A;3/2)  A) BC   BC 3 AB2  AC2  15  B) sai : BC= BC  2 3 SABC AB.AC AB AC  C) :    SABC AB.AC AB.AC Chu vi ABC  D) :  Chu vi ABC Cho ABC coù hai đỉnh B C cố đònh , đỉnh A di động đường tròn (O) cho trước Tìm tập hợp trọng tâm ABC W W W V N M A T H C O M - 29 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM   HD : Gọi I trung điểm BC Ta có I cố đònh Nếu G trọng tâm ABC IG  IA Vậy G ảnh A qua phép vò tự VI1/3 Tập hợp điểm A đường tròn (O) nên tập hợp G đường tròn (O) , ảnh đường tròn (O) qua phép vò tự VI1/3 Trong mpOxy , cho điểm A(  1;2) đường thẳng d qua A có hệ số góc Gọi B đường thẳng di động d Gọi C điểm cho tứ giác OABC hình bình hành Tìm phương trình tập hợp : a) Các tâm đối xứng I hình bình hành b) Các trọng tâm G caùc tam giaùc ABC HD : a)  Qua A(  1;2)  (AB):   (AB) : y   1(x  1)  y  x   Hsg : k = 1  Vậy B chạy d I chạy d // d qua trung điểm M(  ;1) đoạn OA Vậy d : x  y  =   2/3 (B) Vậy G chạy đt d// d qua điểm N(  ; )  V2/3 (A) b)  Ta coù : OG  OB  G  VO O 3  d: x  y  = 10 Tìm ảnh đường thẳng d qua phép vò tự tâm I , tỉ số k : a) d : 3x  y  = ,V(O;  ) b) d : 2x  y  = ,V(O;3) c) d : 2x  y  = ,V(I;  2) với I(  1;2) d) d : x  2y  = ,V(I;2) với I(2;  1)  d : 9x  3y  10   d : 2x  y  12   d : 2x  y    d : x  2y   11 Tìm ảnh đường tròn (C) qua phép vò tự tâm I , tỉ số k : (Có cách giải ) a) (C) : (x  1)2  (y  2)2 = ,V(O;  2)  (C) : (x  2)2  (y  4)2 = 20  (C) : (x  2)2  (y  2)2 = 16 b) (C) : (x  1)2  (y  1)2 = ,V(O; 2) c) (C) : (x  3)2  (y  1)2 = ,V(I;  2) với I(1;2)  (C) : (x  3)2  (y  8)2 = 20 12 Tìm phép vò tự biến d thành d : x y a) d :   1,d : 2x  y   0,V(O; k) k=   HD : d : 2x  y   // d : 2x  y   Laáy A(2;0)  d,B(3; 0)  d       Vì : phép vò tự V(O;k) : A I  B  OB  kOA Vì : OA= (2; 0),OB  (3;0)  OB  OA 3 V(O; ) V(O; ) 2 Vaäy : A I B  d I d Lưu ý : Vì O,A,B thẳng hàng nên ta chọn chúng nằm đường thẳng Để đơn giản ta chọn chúng nằm Ox Oy b) (C1) : (x  4)2  y  ; (C2 ) : (x  2)2  (y  3)2  HD : V(I; 2), I( 2;1)  (C1) có tâm I1(4; 0), R1  , (C2 ) có tâm I2 (2;3), R  2 V(I;k)  (C2 ) :  Gỉa sử :(C1) I W W W V N M A T H C O M - 30 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM R R2  | k | R1  | k |    k  2 R1   II2  kII1  k =  Gọi I(x o ; yo ) (2  xo ;3  yo )  2(4  xo ; yo )  I(2;1)  k = Goïi I(x o ; y o ) (2  x o ;3  y o )  2(4  x o ; y o )  I(10; 3) Vậy có phép vò tự biến (C1)   (C2 ) V(I;  2) với I(  2;1) V(I;2) với I(  10;  3) 13 Trong mpOxy , cho đường tròn (C1) : (x  1)2  (y  3)2 = vaø (C2 ) : (x  4)2  (y  3)2 = a) Xác đònh toạ độ tâm vò tự hai đường tròn b) Viết phương trình tiếp tuyến chung hai đường tròn HD : (C1) có tâm I1(1;3) , bk : R1  ; (C2 ) có tâm I (4;3) , bk : R    R a) Gọi I tâm vò tự (C1) (C2 ) , ta có : II  kII1 với k =    I(2;3) R1 b) Tiếp tuyến chung hai đường tròn tiếp tuyến từ I đến (C1) Gọi đt  qua I có hệ số góc k   :y  = k(x+2)  ky  y   2k    : 2.x  4y  12    tiếp xúc (C1)  d(I1;  )  R1  k     2 : 2.x  4y  12   2 14 Cho đường tròn (O,R) đường kính AB Một đường tròn (O) tiếp xúc với (O,R) đoạn AB C, D , đường thẳng CD cắt (O,R) I Chứng minh : AI  BI HD :  C tâm vò tự đường tròn (O) (O)  D  (O), I  (O) ba điểm C,D,I thẳng hàng Gọi R bán kính đường tròn (O) , : R VCR : O I  O, I I D  OI // OD  OI  AB (Vì OD  AB)  I trung điểm AB  AI  BI 15 Cho hai đường tròn (O,R) (O, R) tiếp xúc A (R > R) Đường kính qua A cắt (O,R) B cắt (O, R) C Một đường thẳng di động qua A cắt (O, R) M cắt (O, R) N Tìm quỹ tích I = BN  CM HD : IC CN  Ta coù : BM // CN Hai BMI NCI Do ñoù : IM BM AC CN  Hai ACN ABM Do : AB BM IC AC 2R R IC R       IM AB 2R R IM  IC R  R R V(C;k )        CI R R R  R  I CM  M : I    CI  CM R  R R  R Vậy : Tập hợp điểm I đường tròn () vò tự đường R tròn (O,R) phép vò tự V(C ; k  ) R  R 16 Cho ABC Goïi I , J M theo thứ tự trung điểm AB, AC IJ Đường tròn ngoại tiếp tâm O AIJ , cắt AO A Gọi M chân đường vuông góc hạ từ A xuống BC Chứng minh : A , M , M thẳng hàng W W W V N M A T H C O M - 31 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM HD :     Gọi M1 trung điểm BC Ta có : AB  2AI AC  2AJ V(A;2) Từ : AIJ  ABC Khi :  A,M I  M1  OM  IJ  AM1  BC V(A;2) : O I Như : M1  M  A,M,M thẳng hàng ( A,M,M1 thẳng hàng ) 17 Cho ABC Gọi A1,B1,C1 tương ứng trung điểm BC,CA, AB Kẻ A1x,B1y,C1z song song với đường phân giác góc A,B,C ABC Chứng minh : A1x,B1y,C1z đồng quy HD : Xét phép vò tự tâm G , tỉ số  G trọn g tâm  ABC , I tâm đườn g tròn nôïi tiếp  ABC  A1x , BI I  B1y , CI I  C1z , Ta coù : AJ I GI J (   )  A1x, B1y, C1z đồn g quy J I I GJ 18 Cho hai đường tròn (O1, R1) (O2 , R2 ) R1  R2 Một đường tròn (O) thay đổi tiếp xúc với (O1) A tiếp xúc với (O2 ) B Chứng minh : Đường thẳng AB luôn qua điểm cố đònh HD :   A tâm vò tự biến (O1) thành (O) : AO1 AO ngược hướng   B tâm vò tự biến (O) thành (O2 ) : AO1 AO ngược hướng   Kéo dài AB cắt (O2 ) C : AO CO2 ngược hướng   Vậy : AO1 CO2 ngược hướng Như AC AB phải qua tâm I tâm vò tự (O1) (O ) 19 Cho ABC Người ta muốn đònh ba điểm A,B,C cạnh BC,CA,AB cho ABC AB  CA , BC  AB vaø CA  BC Gọi E,F,K chân đường cao phát xuất từ A,B,C 2/3 (A),A= V2/3 (E),B= V2/3 (F) Đặt : C= VB B B   2/3 a) Nghiệm lại : A= VB (E) vaø BC  CK b) Suy : ABC Chứng minh trực tâm H ABC trọng tâm ABC HD : Trong ABC đướng cao : AE = BF = CK = a (a laø cạnh ABC) E,F,K trung điểm cạnh        2/3 (E)  BA  BE  BC  CA  ( BC)  CA  CB Vaäy : A= V2/3 (E) a) Vì A= VB B 3         2/3 (A)  BC  BA  BA  AC  BA  AC   BA  AK  B= V2/3 (C) Vì C= VB A 3 3 2/3 2/3   VA VA Vaäy : C I B, K I C  BC  CK W W W V N M A T H C O M - 32 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM    BC // CK cuøng  AB b) Ta coù : BC  CK   a 3  BC = CK = 3    Tương tự : CA  AE vaø AB  BF 3 a  ABC Trực tâm H ABC trọng tâm tam giác , neân :           BH  BF Maø : BC  BA  BH  BC  (BF  BA)  CH  AF 3 3 Vaäy : CH // AF Suy : CH  AB Lý luận tương tự : AH  BC Vaäy : BC  AB,CA  BC,AB  AC BC= CA= AB= Vấn đề : PHÉP ĐỒNG DẠNG A KIẾN THỨC CƠ BẢN ĐN : Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M , N ảnh M, N ảnh chúng , ta có MN= k.MN ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k (k> 0) hợp thành phép vò tự tỉ số k phép dời hình D Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng : Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) Biến đường thẳng thành đường thẳng Biến tia thành tia Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k ( k tỉ số đồng dạng ) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với ( tỉ số k) Biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính R= k.R Biến góc thành góc Hai hình đồng dạng : ĐN : Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng biến hình thành hình F H đồng dạng G   F đồng dạng : H I G Cho điểm M a) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục Đa phép vò tự V tâm O , với O  a , tỉ số k = b) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép vò tự V tâm O , tỉ số k =  phép quay tâm I với góc quay  = 90 Giải Đa VO a) Gọi : M I  M1 I  M2  M  (a) M1  M M trung điểm OM2  M  (a) O  M1 : a trung trực đoạn MM1 M1 trung điểm đoạn OM2  M  (a) O  M1 : a trung trực đoạn MM1 M1 trung điểm đoạn OM2  3 VO Q 90 I  M Khi : b) Gọi M I M1 I   OM1  3OM , IM = IM1 vaø (IM1; IM)  90 W W W V N M A T H C O M - 33 -W W W V N M A T H C O M WWW.VNMATH.COM CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM Cho ABC có đường cao AH H đoạn BC Bieát AH = , HB = , HC = Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F hợp thành hai phép biến hình ? A) Phép đối xứng tâm H phép vò tự tâm H tỉ số k =  B) Phép tònh tiến theo BA phép vò tự tâm H tỉ số k = C) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép quay tâm H , góc (HB;HA) D) Phép vò tự tâm H tỉ số k = phép đối xứng trục HD : Q(H;) với  = (HB;HA) : B I Pheùp VH  A, A I C Vậy : F phép đồng dạng hợp thành V Q biến HBA thành HAC    Cho hình bình hành ABCD có tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA  2IB  gọi G trọng tâm ABD F phép đồng dạng biến AGI thành COD F hợp thành hai phép biến hình sau ? A) Phép tònh tiến theo GO phép vò tự V(B;  1) B) Phép đối xứng tâm G phép vò tự V(B; ) C) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm O 2 D) Phép vò tự V(A; ) phép đối xứng tâm G HD :   Vì G trọng tâm ABD nên AO  AG   Theo giả thiết , ta có : AB  AJ Phép đối xứng tâm O , biến A thành C B thành D ( O bất biến ) 2/3 ĐO VA C A I A I 2/3 ÑO VA G I O I O 2/3 ÑO VA I I B I D V(A; ) ÑO  AGI  AOB   COD Phép đồng dạng F - HEÁT - W W W V N M A T H C O M - 34 -W W W V N M A T H C O M PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP VỀ PHÉP BIẾN HÌNH I Tìm tập hợp điểm phép tịnh tiến Tu Phương pháp: Xác định phép tịnh tiến Tu biến điểm M thành M' Tìm quỹ tích điểm M Từ quỹ tích điểm M, dựa vào tính chất phép tịnh tiến để suy quỹ tích điểm M' Bài tốn 1: Cho đường tròn (O) hai điểm A, B Một điểm M thay đổi đường tròn (O) Tìm quỹ tích điểm M’ cho: MM '  MA  MB Bài giải Ta có MM '  MB  MA  AB Phép tịnh tiến T theo vecto AB biến M thành M’ Gọi O’ ảnh O qua phép tịnh tiến T, tức OO'  AB quỹ tích M' đường tròn O' có bán kính bán kính đường tròn (O) Bài tốn 2: ABC có A  900 Từ điểm P thay đổi cạnh huyền BC ABC vẽ đường vng góc PR, PQ với cạnh vuông AB, AC ( R  AB, Q  AC) Tìm quỹ tích trung điểm M đoạn thẳng RQ Bài giải Dựng hình chữ nhật ABSQ Ta có PR  AB, PQ  AC RA  AQ  ARPQ hình chữ nhật Suy RBSP hình chữ nhật Gọi N trung điểm cạnh BP MN//SQ MN= SQ  MN//BA MN= BA Đặt u  BA  NM  u Phép tịnh tiến Tu : N  M Khi P  C N  D trung điểm cạnh BC Khi P thay đổi cạnh huyền BC N thay đổi đoạn thẳng BD thuộc cạnh huyền BC Tu : B  B1 Tu : D  N1 B1 N1 trung điểm cạnh AB, AC Suy quỹ tích điểm M đoạn thẳng B1N1 II Tìm tập hợp điểm phép đối xứng Đa Phương pháp: Xác định phép đối xứng Đa biến điểm M thành M' Tìm quỹ tích điểm M Từ quỹ tích ddierm M, dựa vào tính chất phép đối xứng trục để suy quỹ tích điểm M' Bài tốn 3: Cho đường tròn (O;R) hai điểm A, B cố định Với điểm M ta xác định điểm M' cho MM '  MA  MB Tìm quỹ tích điểm M' cho M chạy (O;R) Bài giải Gọi I trung điểm AB I cố định MA  MB  2MI , MM '  MA  MB  MM '  2MI  MM ' nhận I làm trung điểm hay phép đối xứng tâm ĐI biến điểm M thành M' Vậy M chạy đường tròn (O;R) quỹ tích điểm M' ảnh đường tròn qua ĐI Nếu ta gọi O' điểm đối xứng O qua điểm I quỹ tích M' đường tròn (O'; R) Bài tốn 4: Cho đường tròn (O) có dây cung BC cố định điểm A di động đường tròn (O) Tìm quỹ tích trực tâm H  ABC Bài giải Ta có: HAC  CBH (góc có cạnh tương ứng vng góc) HAC  KBC (cùng chắn cung KC ) Suy ra: CBH  CBK nên BC phân giác góc KBH Mặt khác AI  BC Suy  BHK cân B  HI=IK Phép đối xứng trục BC ĐBC: K  H Khi A chạy đường tròn (O) K chạy đường tròn (O) Quỹ tích điểm H đường tròn (O), ảnh đường tròn (O) qua phép đối xứng trục BC III Tìm tập hợp điểm phương pháp quay Q  O;  Phương pháp: Xác định phép quay biến điểm M thành M' Xác định quỹ tích điểm M Dựa vào tính chất phép quay để tìm quỹ tích điểm M' Bài tốn 5: Cho đường tròn (O) điểm I khơng nằm đường tròn Với điểm A thay đổi đường tròn, ta xét hình vng ABCD có tâm I Tìm quỹ tích điểm B, C, D Bài giải Phép đối xứng qua điểm I biến A thành C Vậy quỹ tích C đường tròn đối xứng với (O) qua I Phép quay Q tâm I góc quay 900 biến A thành B( thành D), phép quay Q' tâm I góc quay - 900 biến A thành D ( thành B) Vậy quỹ tích B D ảnh (O) qua hai phép quay Bài tốn 6: Cho đường thẳng a điểm G không nằm a Với điểm A nằm đường thẳng a ta dựng tam giác ABC có tâm G Tìm quỹ tích hai điểm B C A chạy a Bài giải Phép quay tâm G góc quay 1200 biến A thành B ( C) Phép quay tâm G góc quay 2400 biến A thành C ( B) Vậy quỹ tích B C ảnh đường thẳng a qua hai phép quay nói Bài tốn 7: Cho đường thẳng d, điểm A cố định không nằm d Với điểm B  d ta dựng tam giác ABC Tìm tập hợp điểm C B thay đổi đường thẳng d Bài giải Từ điều kiện toán ta suy C ảnh B qua phép quay tâm A với góc quay 600 Tập hợp điểm C ảnh d qua phép quay IV Tìm tập hợp điểm phép vị tự Phương pháp: Xác định phép vị tự biến điểm M thành điểm M' Tìm quỹ tích điểm M Dựa vào tính chất phép vị tự để tìm quỹ tích điểm M' Bài tốn 8: Tam giác ABC có bán kính B, C cố định đỉnh A chạy đường tròn (O;R) cố định khơng có điểm chung với đường thẳng BC Tìm quỹ tích trọng tâm G ABC Bài giải Gọi I trung điểm BC I cố định Điểm G trọng tâm ABC IG  IA Phép vị tự tâm I tỉ số biến điểm A thành điểm G Khi A chạy (O;R) quỹ tích g ảnh đường tròn 1 qua phép vị tự V, tức đường tròn (O', R') mà IO '  IO R '  R 3 Bài toán 9: Cho đường tròn (O; R) điểm I cố định khác O Một điểm M thay đổi đường tròn Tia phân giác góc MOI cắt IM N Tìm quỹ tích điểm N Bài giải Đặt IO=d ( d  0) Theo tính chất tia phân giác MOI ta có: IN IO d   NM OM R Suy IN d IN d    IN  NM d  R IM d  R Hai vecto IN IM hướng nên IN  Gọi V phép vị tự tâm I tỉ số k  d IM dR d V biến điểm M thành dR điểm N Khi M vị trí M0 đường tròn (O; R) cho IOM  00 tia phân giác góc IOM cắt IM Điểm N không tồn Vậy M chạy (O; R) (M khơng trùng M0) quỹ tích điểm N ảnh (O;R) qua phép vị tự V bỏ ảnh điểm M0 Vậy quỹ tích S đoạn thẳng A1B1 V Tìm tập hợp điểm phương pháp đồng dạng Phương pháp: Tìm tập hợp điểm phương pháp đối xứng tâm Bài toán 10: Cho điểm A cố định nằm đường tròn (O) điểm C thay đổi đường tròn Dựng hình vng ABCD Tìm quỹ tích điểm B điểm D Bài giải Giải Gọi AR đường kính (O) PQ đường kính (O) vng góc với AR ((AR,AP)=450)  Phép đồng dạng F biến AR thành AP Vậy quỹ tích B đường tròn đường kính AP Tương tự quỹ tích D đường tròn đường kính AQ (Lưu ý: F hợp thành phép vị tự tâm A tỉ số k = phép quay tâm A góc quay 450) Bài tốn 11: Cho đường tròn (O), đường kính AB=2R M điểm (O), dựng hình vng AMNP có đỉnh theo chiều dương Tìm quỹ tích điểm N Bài giải Ta có AN  AM (AM, AN)=450 Phép quay Q(A;450): M  M1 Phép vị tự V(A; ): M1  N      V A; Q A;450 : M  N M thuộc đường tròn (O), đường kính AB=2R nên N thuộc đường tròn (O') ảnh (O) qua phép đồng dạng     hợp thành V A; Q A;450 có tâm O' trung điểm cung AB bán kính R'= 2R (Sưu tầm) ... hình phép dời hình Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình B BÀI TẬP Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự trung điểm cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến AEI thành... Trong hình sau , hình có nhiều trục đối xứng ? A Hình chữ nhật B Hình vuông C Hình thoi ĐS : Chọn B Vì : Hình vuông có trục đối xứng BC 30 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ? A Hình chữ... CHƯƠNG I : PHÉP BIẾN HÌNH WWW.VNMATH.COM 31 Trong hình sau , hình có trục đối xứng ? A Hình thoi B Hình vuông ĐS : Chọn C Vì :  có trục đối xứng C  D  vuông cân 32 Trong hình sau , hình có