Nguyên hàm tích phân đầy đủ chi tiết ôn thi THPT Toán

TP1: TÍCH PHÂN HÀM SỐ HỮU TỈ Dạng 1: Tách phân thức Câu I  x2 dx x2  7x  12    I   1 16   dx =  x  16ln x   9ln x   = 1 25ln2  16ln3 x  x  3 Câu I  dx x5  x3 1 x    x x3 x2  x3( x2  1)  Ta có:   I    ln x   Câu I  Câu I  2 3  ln( x2  1)    ln2  ln5  2 2x 1 3x2  x  2x  5x  dx 13 14  I   ln  ln  ln2 3 15 xdx ( x  1)3 x x  1 1   ( x  1)2  ( x  1)3  I   ( x  1)2  ( x  1)3 dx   Ta có: 3 ( x  1) ( x  1) Dạng 2: Đổi biến số Câu I  Câu I  ( x  1)2 (2x  1)4 dx  7x  199 101  2x  1  7x    I     2x   99  x 1   Ta có: f ( x)     2x   I  (x 5x  4) 99  7x   1  7x     d    2x  12  2x    2x   dx 100 Câu  x    x 1    I    C  2x    2x   dx 1  7x       100  2x   dx  100   2  1 900  Đặt t  x2   I  Trang http://megabook.vn x7 Câu I  Câu I   x5(1  x3)6dx (1  x )5  Đặt t  1 x2  dt  2xdx  I  dx (t  1)3 1 dt   t5 25  Đặt t   x3  dt  3x2dx  dx  Câu 10 I   1 x( x  1) 2  x7 Câu 12 I   x(1  x7 ) Câu 13 I    Đặt : x  11  t t8  t (1  t ) dt      30   168 1 t    t  t  dt  ln   32 dt  I   10 Đặt t  x  I   2 t (t  1)2 x ( x  1) x.( x10  1)2 3x2 I   Đặt t  x2  I  dx dx Câu 11 I   dt  I  dx x4.dx (1  x7 ).x6 x7.(1  x7 ) dx Đặt t  x7  I  128  t dt 1 t(1  t ) dx x (1  x2 )  I  t 3  t6 dt  t2   117  41     t  t    dt = 135 12 t     Câu 14 I   x2001 (1  x2 )1002 x2004  I  1002 x (1  x ) Cách 2: Ta có: I  dx dx   1002  3 x   1 x  1000  x2 1 x x2   dt   11 x2000.2xdx Đặt t  1 x2  dt  2xdx  2000 2 (1  x ) (1  x ) (t  1)1000  1  I   1000 dt   1   21 t 1 t  t Câu 15 I   dx Đặt t   1 d 1    t  2002.21001 dx Trang http://megabook.vn x3 dx 1 x  Ta có: 1   x4 x2 Đặt t  x   dt     dx   x x2   x2  x 2   1  t  I   ln  ln   dt   t  t     1 2 t  2 2 t    1   dt Câu 16 I   1  x2 1 x4 1 dx 1  1 dt Đặt t  x   dt     dx  I     x x  x x2  t   x2  x2 du 5 Đặt t  tan u  dt  ; tan u   u1  arctan2; tan u   u2  arctan 2 cos u 1 x  Ta có: u  2 2 du  (u2  u1)   arctan  arctan2   u 2    I Câu 17 I   1 x2 x x Câu 18 I   x4  x6  1 1 x  Ta có: I   dx Đặt t  x   I  ln x x x dx dx x4  ( x4  x2  1)  x2 x4  x2  x2 x2      x6  x6  ( x2  1)( x4  x2  1) x6  x2  x6   Ta có: 1 d( x3)     I   dx   dx    (x )  4 x 1 Câu 19 3  I x4  I 3  x2 x dx ( x  1)( x  1) Câu 20 I   xdx x  x2  dx  3   1      dx  ln(2  3)  12  x  x  1  Đặt t  x2  I  1 dt 11  0 t  t  0 Trang http://megabook.vn dt  1    t      2     Câu 21 I  1  x2  x  x2  1 1 x2   Ta có: dx x  x2  x2  x2  x2 Đặt t  x  1  1  dt     dx x x2    dt  I  1 0t du Đặt t  tan u  dt  cos u  I   du   TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I   dx 3x  9x  x  I  dx   x(3x  9x2  1)dx   3x2dx   x 9x2  1dx 3x  9x2  + I   3x dx  x  C1 1 + I   x 9x  1dx   9x2  d(9x2  1)  (9x2  1)  C2 18 27  I  (9x2  1)  x3  C 27 Câu 23 I     x2  x 1 x x x2  x 1 x x dx x2 dx   1 x x x dx   1 x x dx x2 dx Đặt t=  x x  t   x x  x3  (t  1)2  x2dx  t (t  1)dt 1 x x + I1   4 4   (t  1)dt  t  t  C = 9 x + I2   1 x x Vậy: I   Câu 24 I   1 dx = 1 x x 2x  2x   dx  1 x x   x x  C1 d(1  x x)  x x  C2 =  3 1 x x C  Đặt t  2x  I = Trang http://megabook.vn t2   t dt 2  ln2 dx Câu 25 I   2x   4x  1 Câu 26 I   x3  x2 dx 12  Đặt t  4x  I  ln   Đặt: t   x2  I    t  t  dt  0 1 x Câu 27 I   1 15 dx x  t t  11  4ln2 dt = 2  t  t   dt = t 1 1 t   0  Đặt t  x  dx  2t.dt I = 2 x3 Câu 28 I   dx x   x  2 dt   (2t  6)dt  6 dt  3  6ln 2 t 1 t  3t  1  Đặt t  x   2tdu  dx  I   Câu 29 I   x 2t  8t x  1dx 1  t7 t4   Đặt t  x   t  x   dx  3t dt  I   3(t  1)dt  3     28  0 3 Câu 30 I   x2  x 3x  1 dx  t2  1   1 4  2tdt 2tdt  Đặt t  3x   dx   I   3 t 1 t 4 2  t 1 100   t  t   ln   ln 9 t  27 2 Câu 31 I    Đặt x2  x  x 1  24 dt ( t  1) dt    92 t 1 dx x   t  x  t   dx  2tdt 2(t  1)2  (t  1)  2tdt  I  t  4t  54  2 (2t  3t )dt    2t    1 Trang http://megabook.vn x2dx Câu 32 I  2 ( x  1) x 1  Đặt t  x   t  x   2tdt  dx I   (t  1)2 t3 2tdt 2  x 1 Câu 33 I   1  2  t3  1 1 16  11  t   dt    2t    t 1  t 3  2x  dx  Đặt t    2x  dt  dx  2x  dx  (t  1)dt x  t  2t (t  2t  2)(t  1) t  3t  4t  4 2 Ta có: I =  dt   dt    t    dt 2 22 22 2 t t2  t t = Câu 34 I    t2 2   3t  4ln t   = 2ln2   t  x 1 dx x2     x     I  dx =  x   ln x  x    2 x 1 3 x 1 8 =  ln   2  ln   3 Câu 35 I   ( x  1)3 2x  x2 dx 1  I   ( x  1)3 2x  x2 dx   ( x2  2x  1) 2x  x2 ( x  1)dx Đặt t  2x  x2  I   0 2x  3x  x Câu 36 I   x2  x   I  ( x2  x)(2x  1) x2  x  dx dx Đặt t  x2  x   I   (t  1)dt  x3dx Câu 37 I    x2  Đặt t   x2  x2  t   2xdx  3t 2dt  I   3 (t  4t )dt     43   23 2  Câu 38 I   11  dx x   x2 Trang http://megabook.vn 15  Ta có: I  + I1  + I2  1  x   x2  1 (1  x)2  (1  x2 ) 1  x   x2 11   x2 dx     1 dx   dx x x x   1 1 1 dx   11  1   1 dx   ln x  x |1  1 x  1  x2 dx Đặt t  1 x2  t  1 x2  2tdt  2xdx  I2= 2x  1  t 2dt 2 2(t  1) 0 Vậy: I  Cách 2: Đặt t  x  x2  3 x x   Câu 39 I    x2 dx x Câu 40 I    x2  Ta có: I   x I= t (tdt )   t2 Câu 41 I   ( x2  1) x2  x 2 x  x2 3  Đặt t  x  I   1  Đặt t  x   I   3t dt 4  15 ln x2  x    2  5 2t  dt   1    dt  5   ln    2  12 t t  t  1  t(t  1)  t3  2 dx 1   2   =    ln    3   dx  Đặt t  x  x2  x   I  Câu 44 I   dx Câu 43 I   t2 x 27   x2  t   x2  tdt   xdx xdx Đặt t =  t 2    dt   (1  )dt   t  ln  t2  t2   3t 4 Câu 42 I  dx x4  3 1  Ta có: I     1 dx Đặt t    I  x  x 1 x x2 2 (1   x ) (2   x )  1 2dt  ln(2t  1) 2t   ln dx 42 36   Đặt  1 x  t  I    2t  16    dt  12  42ln t t  3 Trang http://megabook.vn 3 3 x2 2( x  1)  x 1  x x 1 Câu 45 I   t (t  1)2 Câu 46 I  2  x  x3  2011x 2  Ta có: I   M 2  N 2011  1 2 2011 x2 dx   dx  M  N x3 x  dx Đặt t  dx  2 x  I 1 x2 x3 2  (1  x2 1  M    2  2011 2011x dx      2x2  3 t 3dt    213 128 14077 16 x3)  x3 3 3 dt     t t       t  Đặt u   Câu 48 I  t3 2   du   t2 t 4.(t  1) 3dt dt  dt  t4   Đặt t   x  I  1 dx Câu 47 I    3 14077 213  16 128 dx x4 2 2  2 (t  1)2 dt  (t  1)3  3 2t(t  1)2 dt  Đặt t  x   I   dx 3  t 1   t   u  I    dt t 2.(t  1)  1  t  t4 1    du   dt 2 3 u du  3 x4 dx  1  x  x  x 1    Đặt t  x2  Trang http://megabook.vn  1  u3 2    3     0 1  u3  3  I  (t  1)2 dt = t2  2  t  2t  t2  2 3 dt   t dt   2t 2 2 dt  19  4   ln      Dạng 2: Đổi biến số dạng 1   dx  x ln  x    1 x    1 x Câu 49 I    1 x  Tính H   1 x    x  cost; t   0;   H    2 dx Đặt u  ln(1  x)  Tính K   2x ln(1  x)dx Đặt   K  dv  2xdx Câu 50 I   (x  x2 )  x2 dx 2 I=  (x  x )  x dx = 2 2 x  x dx + 2 + Tính A = x x  x2 dx = A + B 2  x2 dx Đặt t   x Tính được: A =  x2 dx Đặt x  2sin t Tính được: B = 2 2 + Tính B = x 2 Vậy: I  2 Câu 51 I   3    x2 dx 2x4  Ta có: I   2x + Tính I =  2x + Tính I   dx   dx =  x2 2x4  x2 2x4 dx 4 x dx   21 16 dx Đặt x  2sin t  dx  2costdt Trang http://megabook.vn    cos tdt 12    cot t dt   cot t d (cot t )        sin t 8 8  sin t  2  I2  Vậy: I  1  3 16 x2dx  x6 Câu 52 I   6  Đặt t  x3  dt  3x2dx  I  1 dt 0  t    16  Đặt t  2sin u, u  0;   dt  2cosudu  I   dt   2 30 18  2 x dx x2 Câu 53 I   x2dx Câu 54 I    x  x2  Ta có: I   x2dx 22  ( x  1)2 Đặt x   2cost 2   I   2 Câu 55  t  Đặt x  2cost  dx  2sin tdt  I   sin2 dt    (1  2cost ) 2sin t  (2cost )2 dt =    4cost  2cos2t  dt =    3 4 2   2x  x2 dx  Đặt x  sin t  I   (cost  sin t ) costdt  0 Dạng 3: Tích phân phần Câu 56 I   x2  1dx Trang 10 http://megabook.vn  12   8 Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 65 11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN I ĐẶT ẨN PHỤ LƯỢNG GIÁC dx = a cos tdt x = a sin t a − x   → 2 2  a − x = a − a sin t = a cos t adt  dx =  a + x x = a tan t  cos t  →   a + x  a + x = a + a tan t = a  cos t −a cos dt  dx = a  x= sin t  sin t x − a  → a2  x2 − a2 = − a = a cot t  sin t Chú ý: Sau đặt ẩn phụ ta phải đổi cận theo ẩn phụ vừa đặt Ví dụ 1: Tính tích phân sau I1 = ∫ − x dx I = ∫ + 3x dx x2 I = 2 ∫ x2 − x2 dx dx + x2 I = ∫ I = ∫ x2 − dx x3 Hướng dẫn giải: dx = cos tdt Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  → cos t = cos t Đổi cận :  π   x = ⇒ t = π π ⇒ I1 = ∫ − x dx = ∫ π π 16 π 1 6 − sin t cos tdt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt =  x + sin 2t  = + 20 2 0 12 0  3dt  dx =  cos t Đặt x = tan t ⇒   + x = + tan t =  cos t π   x = ⇒ t = Đổi cận :   → cos t = cos t x = ⇒ t = π  π I2 = ∫ π 4 + 3x + tan t dx = dt = ∫π 3tan t cos2 t ∫π x2 π π dt cos tdt = = = 2 2 ∫ ∫ sin t π cos t sin t π cos t sin t cos t.cos t 6 cos t π π 6 dt π  d (sin t ) 1  1   = 3∫ = + = + + d (sin t )   d (sin t ) =  2 2  ∫ ∫ sin t  2(1 + sin t ) sin t  π (1 − sin t ).sin t π  − sin t π  2(1 − sin t ) Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 π π π π 6 π d (sin t ) d (sin t ) d (sin t ) + sin t = ∫ + ∫ + 3∫ = ln 2 π − sin t π + sin t − sin t π sin t π − sin t π Trang 66  3 2+ =  ln − ln  + − 2 2− 2  dx = cos tdt Đặt x = sin t ⇒  2  − x = − sin t = cos t x = ⇒ t =  → cos t = cos t Đổi cận :  π  ⇒t = x =  π π π π π π sin t cos t 1 4 π =∫ I3 = ∫ dt = ∫ dt = ∫ sin tdt = ∫ (1 − cos 2t )dt =  t − sin 2t  = − 2 cos t 20 2 0 1− x − sin t 0 3dt   dx = cos t = (1 + tan t ) dt Đặt x = 3tan t ⇒  9 + x = (1 + tan t )  x dx sin t cos t π x = ⇒ t = dx (1 + tan t )dt π  Đổi cận :  → I4 = ∫ = 3∫ = t = π  + x2 + tan t 12 0  x = ⇒ t = 2cos tdt  dx = −  sin t  ⇒ Đặt x = sin t  x − = cos t = cot t  sin t π π   x = ⇒ t = Đổi cận :   → cot t = cot t x = ⇒ t = π 3  I5 = π π π π x −4 2cos t.2cos t 1 1 2 π dx = − ∫ dt = ∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  = − π 2π 4π 4 24 16 x  π sin t sin t 3 sin t ∫ II ĐẶT ẨN PHỤ t = f(x) Trong biểu thức f(x)dx có chứa đặt t Trong biểu thức f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ 2: Tính tích phân sau: x dx I1 = ∫ + x2 e I = ∫ 1 + 3ln x ln x dx x I = ∫ x( x − 4) 20 dx I = ∫ x15 + 3x8 dx e3 I = ∫ ln x dx x ln x + I = − ∫ −2 x2 + x x2 + dx Hướng dẫn giải:  xdx = 3t dt Đặt + x = t ⇔ + x = t ⇒   x = t − Đổi cận : 7 2  3t 3t  x3 dx x xdx (t − 1)t 141  x = ⇒ t =  → I1 = ∫ =∫ = ∫ dt = ∫ (t − t )dt =  −   = 3 21 t 21  20  x = ⇒ t = 1+ x 1+ x  10 0 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 67  dx = dt Đặt x − = t ⇒  x = t + 1  t 22 4t 21  x = ⇒ t = 109 Đổi cận :   → I = ∫ x( x − 4) 20 dx = ∫ (t + 4)t 20 dt = ∫ t 21dt + ∫ t 20 dt =  +  = x = ⇒ t =  22 21  462 0 tdt  7 24 x dx = 2tdt ⇒ x dx = 12 Đặt + x8 = t ⇔ + x8 = t ⇒   x8 = t −  x = ⇒ t = Đổi cận :  x = ⇒ t = 2  → I = ∫ x15 + x8 dx = ∫ x8 + 3x8 x dx = 2 (t − 1) 1  t5 t3  29 t tdt = ( t − t ) dt =  −  = ∫ ∫ 12 36 36   270 + 3ln x ln x dx = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) x e e I = ∫ 3d (ln x) = 2tdt  Đặt + 3ln x = t ⇔ + 3ln x = t ⇒  t2 −1 ln x =   2 e 2  2t 2t  x = ⇒ t = t2 −1 2 116  → I = ∫ + 3ln x ln xd (ln x) = ∫ t − Đổi cận :  tdt = ∫ (t − t )dt =   = 3 91 x = ⇒ t =  45 27  135 1 e3 I = ∫ ln x x ln x + e3 ln x dx = ∫ ln x + 1 d (ln x)  d (ln x) = 2tdt Đặt + ln x = t ⇔ + ln x = t ⇒  ln x = t − Đổi cận : e 2 x = ⇒ t =  t 2t  ln x (t − 1) 2t 76  → I = d (ln x ) = dt = ( t − t + 1) dt = +t =   − ∫ ∫ ∫ t ln x + 5  15 x = e ⇒ t = 1  xdx = tdt x2 + = t ⇔ x2 + = t ⇒  2 x = t −1 −  x = −2 ⇒ t = x2 + Đổi cận :   → I6 = ∫ dx =  x = − ⇒ t = −2 x x + Đặt = ∫ dt + dt ∫ t −1 − dt  t −  ∫ t + =  t + ln t +  5 t2 ∫ t − dt = t −1 + ∫ t − dt = 3  ∫ 1 + t   dt −1 1 −1 −1 = − +  ln − ln  2 +1 +  III SỬ DỤNG VI PHÂN Ví dụ 3: Tính tích phân sau: 1 ∫ I1 = (1 + x)(1 + x + x )3 dx I = ∫ I = I = x ( x + 4) dx ∫ π 3x x +2 e I = dx ∫ 1 + ln x dx x e cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) I = + ln x dx x ∫ Hướng dẫn giải: ∫ I1 = (1 + x)(1 + x + x )3 dx = ( 1 (1 + x + x )3 d (1 + x + x ) = + 3x + x 30 12 ∫ ) 41 = 200 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 I = 3x ∫ x3 + e I = dx = ∫ + ln x dx = x ∫ d ( x3 + 2) x3 + ∫ = ( x3 + − 2) + ln xd (1 + ln x) = ( ∫ ( I = π ∫ cos xdx ∫ ( 2sin x + 1) ) = 2( − 2) ) 2 (1 + ln x ) = 2 − 3 1 I = x ( x + 4) dx = ( x + 4)3 d ( x + 4) = x + 20 ( x3 + e e ∫ d ( x + 2) = Trang 68 π d ( sinx + 1) = =− (2sin x + 1) 4(2sin x + 1) ∫ π ) = = ( ) 2 − 32 16 e e e e  + ln x ln x  I = dx = (1 + ln x)d (ln x) = d (ln x) + ln xd (ln x) =  ln x +  = x   1 1 e ∫ ∫ ∫ ∫ IV TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Thứ tự ưu tiên đặt u : Hàm loga → Hàm đa thức→ Hàm lượng giác = Hàm mũ Ví dụ 4: Tính tích phân sau: e ln x I = ∫ dx ( x + 1) I1 = ∫ e sin xdx x e I = ∫ x ln xdx e 1 I = ∫ x ln(1 + x )dx I = ∫ x e x dx 0 Hướng dẫn giải: 1 e = u e dx = du Đặt  ⇒ ⇒ I1 = ∫ e x sin xdx = − ( e x cos x ) + ∫ cos x.e x dx = − ( e x cos x ) + J 0 sin xdx = dv  − cos x = v 0 1 cos xdx = dv v = sinx x x Đặt  ⇒ ⇒ J = cos xe dx = e sin x − sin xe x dx = e x sin x 10 − I1 ( )  ∫ ∫ ' x x u = e  du = e dx 0 1 − e (sin1 − cos1) ⇒ I1 = ( e x sin x ) − ( e x cos x ) = − e(sin1 − cos1) ⇒ I1 = 0  dx ln x = u = du e e e ln x ln x dx   x Đặt  dx ⇒ ⇒ I2 = ∫ dx = − + ∫ x + 1 x( x + 1) ( x + 1)  ( x + 1) = dv v = − e  e e x +1  x =− ln x x +1 e e x e e e e e e e e dx dx ln x x −∫ =− + ln = −1 + = x +1 x +1 1 x ( x + 1) +∫ dx  e e du = 2ln x e e e ln x = u   x2  dx  x 2  x 2 Đặt  ⇒ ⇒ I = x ln xdx = ln x − x ln x = ln x −     ∫1 ∫ ∫ x ln xdx x   1 1  xdx = dv v = x  dx  e e du = e e   x2   x2 u = ln x x2  x  Xét J = ∫ x ln xdx Đặt  ⇒ ⇒ J =  ln x  − ∫ xdx =  ln x −  1  xdx = dv v = x  1   e  x2 x2 x2  e2 −  → I =  ln x − ln x +  = 1  Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 69 xdx  du =  ln(1 + x ) = u  + x2 Đặt  ⇒  xdx = dv v = x  2 1 1  x2  x dx  x x    ⇒ I = ∫ x ln(1 + x )dx =  ln(1 + x )  − ∫ = ln(1 + ) − x   x−  dx = ∫ x +1   0 1+ x  0 0 1 1 1  x2  x2    x2  xdx  x 1   =  ln(1 + x )  −   + ∫ =  ln(1 + x )  −   +  ln ( x + 1)  = ln − 0     0 x +1  0  0 2 1 1  du = xdx  x = u x x Đặt  x ⇒ ⇒ I = x e dx = x e − xe x dx = ( x e x ) − J ( ) ∫ ∫ x 0 0 e dx = dv v = e 1 1 x = u  du = dx x x Xét J = ∫ xe x dx Đặt  x ⇒ ⇒ xe dx = xe − e x dx = ( xe x − e x ) ( ) ∫ ∫ x 0 e dx = dv v = e 0 Vậy I = ( x e x ) − J = ( x e x ) − ( xe x − e x ) = e − 1 1 0 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Tốn để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học LTĐH mơn Tốn – Thầy Đặng Việt Hùng (0985.074.831) – Facebook: LyHung95 Trang 70 MỤC LỤC ĐẠI CƯƠNG VỀ NGUYÊN HÀM 01 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÌM NGUYÊN HÀM 07 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIÊN SỐ TÌM NGUYÊN HÀM 13 PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN TÌM NGUYÊN HÀM 20 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ 23 KĨ THUẬT ĐỒNG NHẤT TÌM NGUYÊN HÀM 35 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ 40 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 46 TÍCH PHÂN CƠ BẢN 60 10 PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN .62 11 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .64 MỤC LỤC 69 Tham gia gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv mơn Toán để đạt kết cao kỳ thi THPT quốc gia Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 13 TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC HỮU TỈ Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH] – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP có website MOON.VN I MỘT SỐ CÁC VÍ DỤ GIẢI MẪU x2 x − x + 12 I = ∫ dx 2  16  Ta có I = ∫  + − dx = ( x + 16 ln x − − ln x − ) = + 25ln − 16 ln x −4 x −3  dx I = ∫ x + x3 1 Ta có: x ( x + 1)  ⇒ I =  − ln x −  I = ∫ 1 x + + x x x +1 =− 2 3 + ln( x + 1) = − ln + ln + 2 2x2 1 xdx ( x + 1)3 x x + 1−1 1 Ta có: = = ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 ⇒ I = ∫ ( x + 1)−2 − ( x + 1)−3 dx = ( x + 1)3 ( x + 1)3 I = ∫ x (1 − x )6 dx Đặt t = − x ⇒ dt = −3x 2dx ⇒ dx = I = ∫ 11  t t8  t (1 − t ) dt =  − = ∫ 30   168 dx x ( x + 1) 2 dx x.( x10 + 1)2 1  x dx x ( x10 + 1)2 − x7 x (1 + x ) t  ∫  t − t + dt = ln 2 Ta có I = ∫ I = ∫ 3x ⇒I = Đặt t = x ⇒ I = I = ∫ −dt  Đặt t = x ⇒ I = 32 dt ∫ t (t + 1)2 dx 128 − t dx Đặt t = x ⇒ I = ∫ dt 7 t (1 + t ) x (1 + x ) Ta viết lại I dạng I = ∫ (1 − x ).x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG I = Facebook: LyHung95 dx ∫ x (1 + x ) Đặt : x = ⇒ I =− t 3 ∫ t6 dt = t2 + 1  117 − 41 π  + t − t +1−  dt = 135 12 t +   ∫ I = ∫ 1+ x 11+ Ta có: x4 1+ x 1+ x dx 1+ x Đặt t = x − ⇒ dt =  +  dx   x x2   x2 + x2 = 2  −1  t− ⇒ I=∫ = − ln ln   2=   dt = ∫  +1 2 2 t t − t + 2 + 2 2 t −   1   1 dt − x2 10 I = ∫ 11+ x4 1− x 1 dx −1  1  dt = x Đặt t = x + ⇒ dt =  −  dx ⇒ I = − ∫ x + x4 x2 + t + x2   x2 du 5 Đặt t = tan u ⇒ dt = ; tan u = ⇒ u1 = arctan 2; tan u = ⇒ u2 = arctan 2 cos u Ta có: 2 ⇒I= u2 ∫ du = u1 1− x 11 I = ∫ 1x+x  2 (u2 − u1 ) =  arctan − arctan  2   dx −1 x Ta có: I = ∫ dx Đặt t = x + ⇒ I = ln x +x x 12 I = ∫ x4 + x +1 x4 + Ta có: x6 + 1 ⇒ I =∫ 13 I = dx = x2 + x6 + dx + 3 x2 x4 −1 ∫ ( x − x + 1) + x = x4 − x2 + ( x + 1)( x − x + 1) + x2 x6 + = x2 + + x2 x6 + 1 d (x3 ) π π π dx = + = ∫ ( x )2 + 4 dx Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học Luyện thi THPT Quốc Gia 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG 3 Ta có I = ∫ ( x − 1)( x + 1) x xdx 14 I = ∫ x + x +1 dx = 3  ∫ 1  π + dx = ln(2 − 3) +   12  x − x2 +  1 dt 11 Đặt t = x ⇒ I = ∫ = t + t + 0∫ dt 15 I = 1+ x2 + ∫ x4 − x2 + 1 Ta có: x +1 x − x +1 ⇒ I =∫ 0t Facebook: LyHung95 = π dx 1+ =  1  3  t +  +   2   x2 + x2 x2 −1 Đặt t = x −  1  ⇒ dt =  +  dx x x2   π dt +1 Đặt t = tan u ⇒ dt = du cos u ⇒ I = ∫ du = π BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: [ĐVH] Tính tích phân sau: x2 + ∫1 x + dx a) b) 1 ∫1 x + dx c) ∫x dx + x2 + Bài 2: [ĐVH] Tính tích phân sau: x4 − ∫0 x + dx a) b) ∫1 x + x3 dx c) x ∫ (1 + x ) dx Bài 3: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) x dx ∫ (1− x ) b) ∫ ( 3x + 2) x2 + x3 + x2 + x + dx ∫0 x2 + dx c) Bài 4: [ĐVH] Tính tích phân sau: x3 + x + ∫ x + dx a) − x 2010 ∫ x + x 2010 dx b) ( ) x4 c) ∫ (x ) −1 2 dx Bài 5: [ĐVH] Tính tích phân sau: − x4 ∫ + x dx a) b) ∫ ( x + 2)2 ( x + 3)2 dx c) ∫x 1 (1 + x ) dx Bài 6: [ĐVH] Tính tích phân sau: a) dx ∫ x4 + x2 + 4 b) dx ∫ x3 − x c) dx − 1) ∫ x( x Chương trình Luyện thi PRO–S PRO–E: Giải pháp tối ưu cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! www.MATHVN.com VÀI MẸO NHỎ KHI TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN LÊ ANH DŨNG (Gv THPT Chuyên Huỳnh Mẫn Đạt, Rạch Giá, Kiên Giang) Khi tính tích phân cơng thức tích phân phần ta chọn u, v cách khéo léo thành phần  vdu  udv  uv   vdu , đơn giản việc tính tích phân đơn giản Bài viết trao đổi với bạn số kĩ tính tích phân phương pháp tích phân phần Tách tích phân thành phần, phần phần cho phần lại khử vdu Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm I =  e x (x  4x  1)dx Bình thường ta đặt u = x2 + 4x + phải tích phân phần lần; để tránh điều này, ta thêm bớt, để thành phần vdu khử hết phần lại  du  2xdx u  x   ; nên  vdu=  xe x dx khử hết xe2x ta thêm vào u :   2x x    v  e dv  e dx   + 3x để phần lại xe2x Lời giải I =  e x (x  4x  1)dx   e x (x  3x)dx   e x (x  1)dx   u  x  3x  Đặt  , chọn 2x   dv e dx   Khi đó: I = =  du  (2x  3)dx      v  e2x    e x (x  3x)   2 e x (x  3x)   e x (2x  3)dx   e x (x  3)dx e x dx  e x (x  3x)  e x  C Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm sau I   e x (x  4x  1)dx   u  x3  Tương tự ví dụ  x  dv  e dx  du  3x dx ; nên  vdu=  3x e x dx khử hết 3x2ex  v  e x ta thêm vào u : x2 để phần lại lại 3x2    u  x3  x  du  (3x  2x)dx   ; nên vdu=(3x +2x)e x dx khử hết 2xex ta lại  x x   dv  e dx v  e   thêm vào u: -2x để phần lại 2x Lời giải I   e x (x  x  2x)dx   e x (3x  2x  1)dx www.mathvn.com www.MATHVN.com   u  x  x  2x  Đặt:  , chọn x   dv  e dx   du  (3x  2x  2)dx   x   v  e I  e x (x  x  2x)   e x (3x  2x  2)dx   e x (3x  2x  1)dx  e x (x  x  2x)   e x dx  e x (x  x  2x  1)  C Trên sở đó, ta sử dụng sơ đồ sau để tìm thành phần u cho tốn tính tích phân phần hàm số eax  b (a n x n  a n 1 x n 1   a1  a )dx  an hệ số đa thức an-1 an-2 _ _ n/a (n-2)/a (n-1)/a x x bn - 1=an hệ số đa thức u a1 bn - bn - b n 1  a n   k2 b b k  a k 1  a k 1  (Nhân lên, lấy hệ số đa thức trừ hạ xuống) Thí dụ 3: Tính I = e 2x (x  4x  x  1)dx Ta lập sơ đồ sau ngồi nháp để tính u hệ số đa thức n=5, a =2 _ -4 2 1 2 x hệ số đa thức u - www.mathvn.com - 2 www.MATHVN.com Trình bày: I=   5  5  3 e  x  x  x  x  x  dx   e 2x  x  5x  x  x  1 dx    2  2 2x  5  u  x  x  x  x  x Đặt  2 ,  x dv  e dx   du  5x 10x  3x  3x     2x v  e  1 5  3 5  5 I  e 2x  x  x  x  x  x    e 2x  x  5x  x  x   dx 2 2 0 2 4  2 3 5    e 2x  x  5x  x  x  1 dx 2 2  1 5    e 2x  x  x  x  x  x    e 2x dx 2 2 0  1 5 1 1   e 2x  x  x  x  x  x    e  2 2 40 8   x ln x  2x   dx  x  Thí dụ 4: Tính tích phân I =  ln x  e 1 Chú ý: (x  1) '  2x; (ln x)' = ln x , ta tách I thành tích phân để khử vdu x  e e e x 1  x   Lời giải I =   x ln x + ln x dx =  x ln xdx +  2 ln x dx  1    x x    ln x  dx du  u  ln x  x Đặt  chọn   dv  xdx  v  (x  1)  x  1 ln x e  Suy I =  1 e  2  x2 1 x x  1 ln x e e     2   e x 1 ln x dx   2 ln x dx  x    2 Thêm số cho v www.mathvn.com www.MATHVN.com Trong tốn du có chứa mẫu số, thường ta chọn cho v số C thích hợp để thành phần vdu khử bớt phân số Thí dụ 5: Tính tích phân I =  (2x  1) ln(x  1)dx  3x du  3x dx  x3 1 (x  1)(x  x  1)   v  x  x  u  ln(x  1) Lời giải Đặt  , chọn dv  (2x 1)dx Bình thường ta lấy v = x2 – x, ta chọn C = + mục đích khử bớt mẫu số vdu Khi đó: I = (x  x  1)ln(x +1)   0 3x x 1 dx  x2      x  ln x     2ln  dx ln = ln  3 x        x  1   1  /4 Thí dụ 6: Tính tích phân  ln(sin x  cos x) dx cos x cos x  sin x dx sin x  cos x sin x  cos x v= dx chọn v  tan x +  cos x cos x Bình thường ta hay lấy v = tanx ta thêm C = để khử mẫu  /4 cos x  sin x  /4 Khi đó: I = (tan x  1) ln(sin x  cos x )   dx cos x Đặt u = ln(sin x  cos x)  du =  /4 = ln  ( x  ln cos x )    ln Cách chọn thành phần dv Để tìm v, ta phải tìm nguyên hàm dv Trong trường hợp dv khơng có bảng ngun hàm bản, ta phải tách tích để lấy nguyên hàm dv theo biến số π Thí dụ 7: Tính tích phân x2  (x sin x  cos x) dx Để giảm bậc mẫu phải nằm thành phần dv; để tìm (x sin x  cos x) nguyên hàm theo biến xsinx + cosx ta cần có d(xsinx + cosx) =– xcosxdx www.mathvn.com www.MATHVN.com π π Lời giải x  (x sin x  cos x) x cos x 2 dx   (x sin x  cos x) x cos x dx  x  x sin x  cos x   du  u dx  cos x   cos x  Đặt  chọn    x cos x d(x sin x cos x)    dv  dx  v   2   (x sin x  cos x) (x sin x  cos x) x sin x  cos x   π π Khi I =  x  cos x(x sin x  cos x) 0 2π 4 π  tan x 04  π4 4π π dx cos x  Thí dụ 8: Tính tích phân x dx  (x  1) Để giảm bậc lớn mẫu, ta dùng tích phân phần Để khử bậc mẫu phải nằm dv Nhưng để lấy nguyên hàm theo x4 ta cần (x4)’ = 4x3 ( x  1) u  x du  5x dx   Đặt  x dx d(x  1) , chọn  1  v   dv  (x  1)  (x  1) x 1  1 =  x dx  (x Vậy I = 1  1)  x 4(x  1)  x x4 1 dx     1 dx   1    dx  dx   1  2     x 1 x 2(x 1) 2(x 1)    0 x4 1    1 x   1 1 Ta có  1    ln  dx   x  ln   2(x 1)   x   1 3 Đặt x = tant Ta tính Tính  2(x Vậy I =  1) dx  π 12 1 π  ln   12 Cuối xin đưa số tập để bạn tự luyện tập Tính tích phân sau: www.mathvn.com www.MATHVN.com ln(1  x) 1)  x2 1 2) dx  x  2x  3x  e2 x dx  e 3)  ln 4)  esin x (1 x cos x)dx xdx  5)   sin x (1  cos x)e x dx 6)  (x  1)3 dx _ HẾT_ www.mathvn.com ...    I  ln x  x2   ln   1  ln2 Chú ý: Không dùng phép đổi biến x   2;3   1;1 cost Trang 11 http://megabook.vn TP3: TÍCH PHÂN HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Biến đổi lượng giác Câu... Trang 26 http://megabook.vn dt  t2  arctan du Dạng 4: Tích phân phần  x sin x  Câu 118 I   cos2 x dx  Sử dụng cơng thức tích phân phần ta có:  I        x xd     cos x ... dt     dx x x2    dt  I  1 0t du Đặt t  tan u  dt  cos u  I   du   TP2: TÍCH PHÂN HÀM SỐ VÔ TỈ Dạng 1: Đổi biến số dạng x Câu 22 I   dx 3x  9x  x  I  dx   x(3x  9x2