Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 289 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
BDT BẤT ĐẲNG THỨC VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2009-2019 BDT Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 20092019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Cho x, y số thực dương thỏa mãn: 4x + 4y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 17x + 17y +16xy + 17xy + 5x + 5y ≥ Lời giải Ta có: 4x + 4y + 17xy + 5x + 5y ≥ ⇔ ( x + y ) + 9xy + ( x + y ) ≥ Đặt t = x + y, t > , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( xy ≤ ≥ 2 x+y − )2 = t2 Do đó: 4t + t + 5t ≥ 2 ⇒ t ≥ −2 hay x + y 4 Ta có: P = 17x + 17y + 16xy = 17 ( x + y (x + y) ≥ 17 ( x + y) − 18 = Dấu “=” xảy x = y = 2(x + y) 2 ≥ 5 4 −1 ) −18xy 2 2 − = 6−4 Vậy giá trị nhỏ P − Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = xy ( x − )( y + ) + 13x + 4y − 26x + 24y + 46 Lời giải Ta có: P = xy ( x − 2)( y + 6) + 13x2 + 4y2 − 26x + 24y + 46 (x − 2x )( y ) ( ) ( ) + 6y + 13 x2 − 2x + y2 + 6y + 46 = ( x − 1) − ( y + 3) − + 13 ( x − 1) − + ( y + 3) − + 46 Đặt a = x − 1, b = y + , đó: ( a − 1)( b − 9) + 13 ( a − 1) + ( b − 9) + 46 = a2 b2 − 9a2 − b2 + + 13a2 − 13 + P= 4b2 − 36 + 46 2 BDT LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com = 4a +6 ≥ + 3b Dấu “=” xảy +a b a = x −1 = ⇔ x = 1, y = − ⇔ b = y + = Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab + bc + ca + abc = Chứng minh 1 = 1) rằng: a + b+ + +2 c +2 Tìm giá trị nhỏ nhất: P 2) = Lời giải ( a2 + b2 ) + + ( b2 + c ) + + ( c2 + a2 + )4 1) Ta có: + + = a b+ c +2 +2 ⇔ ( b + )( c + a + 2)( c + 2) + ) = ( a + 2)( b )( c + 2) ( 2)( a + +2 ( a + b + c) + 12 = ( ab + bc + ca) + ( a + b + abc + c) + 2) + (b+ ⇔ ab + bc + ca +4 ⇔ = ab + bc + ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi l| tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức: x2 + y2 ≥ ( x + y) (*) 1 1 ≤ + (**) ( x+ x y Thật vậy: * ) y ) ⇔ ( x −y )2 ≥ x+y (luôn đúng) ⇔( x + y ⇔ ( x −y x+ ≥ ( **) ⇔ 4xy ≥ y ) 4xy ) ≥ (luôn đúng) Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta BDT có: ( a2+b2 ) ≤ +4 a+b+ = + )+ ( a2) ≤ (b+ 1 + a+2 b 2 4+ Tương tự: ( b2+c2 ) ≤ 1 + b+2 c +4 4+ Cộng theo vế ta được: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 ≤ ; ( c2+a +4 ) + ; 4c a+ + FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com P ≤ 1 1 1 1 + + = 1= a b+2 c+ 2+ 2 D}u “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Cho K = ab + 4ac − 4bc với a,b,c ≥ a + b + 2c = 1) Chứng minh rằng: K ≥ 2) Tìm giá trị lớn K Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a + b + 2c b + 2c ⇒ −4bc 4bc ≤ ≤ ≥ − = 2 Mặt khác: a, b, c ≥ ⇒ K = ab + 4ac − 4bc ≥ − 4bc ≥ − Dấu “=” xảy a = 0, b = Cách khác: Ta có: Κ = ab + 4c ( a − b )= ( ,c= ) ab + ( − a − b ab + ( a − b ) − a − b2 )( a − b) 2b + ( a − ) b + 2a − 2a Do đó: 2b + ( a − ) b + 2a − 2a − K = ( * ) 2 Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm: ( ) ∆ ≥ ⇔ ( a − 2) − 4.2 2a − 2a2 − K ≥ 8K ≥ 20a − 17a2 − Vì a,b,c ≥ a + b + 2c = ⇒ ≤ a ≤ Do đó: 2a − 17a = a ( 20 − 17a Do 8K ≥ − ⇒ K ≥ − )≥ a ( 20 − 17.1) = 3a ≥ 1 Dấu “=” xảy a = 0, b = ,c= 2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a + b + 2c a ( b + 2c ) ≤ = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com Mặt khác: a, b,c ≥ ⇒ K = ab + 4ac − 4bc ≥ ab + 4ac ≤ 2ab + 4ac = 2a ( b + 2c) ≤ + 2c) = Dấu “=” xảy khi: a = b + 2c,a + b + 2c = 1, bc = 0,ab = ⇒ a = Vậy giá trị lớn K Câu 5: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] < a, b, c 0 < Cho số thực a, b, c thỏa mãn + 3b + 4c 2a = thức P = Lời giải Ta có: P= = a ( 3b + 4c − 2) 3) + + + b ( 4a + 8c − 3) a ( − 2a − b ( − 6b − c ( − 4c 2) + b (1 − 2a) + 2b) 2a a2 ( − 3b2 3) Tìm giá trị nhỏ biểu + −1) + c ( 2a + 3b −1) −1) c ( − 2c +) 4c b2 ( − c2 ( − 2a) = + 2b) + 2c) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a ( −2a) ≤ a + a Tương tự: b Suy ra: P ≥ 2a + − = 27 ( − 2b) ≤ 27 ; c ( − 2c) ≤ 27 ( 2a + 3b + 4c ) = 81 Dấu “=” xảy a = b = c = c ( 2a + 3b 2 , b = 0, c = b ( 4a + 8c − a ( 3b + 4c − 2) a (1 − = (a+b 27 1 Vậy giá trị nhỏ P 81 Câu 6: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: BDT a + b ≥1 4b + 4a + 1 Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com Ta có: a+b= 4ab ≤ Lại có: a 4b2 + ( ) a+ b ) ( a+ ⇔ b a+b +b − 1≥ ⇔ a ≥ a+b> 4ab = a 4ab 2 − ≥ a− = a − ab 4b2 +1 4b 4a2 = b 4a b b − ≥ b − b = a − ab 4a + 4a2 +1 4a a b 2 4b + 4a + Do đó: ) ( a+ b ( a + b ) − 2ab = ( a + + b )− ≥ Dấu “=” xảy a = b = ( a + b) = 2≥ 2 Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x +y +z ≤ 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x+ y+ z+ ( 1) + ( ) + ( 3) P = Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 2 1 11 + ≥ + ≥ 2 (*) (a + b) a 2 a b b Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: P = ( x+ 1 ) z+ + + y ( +1 ) ≥ x+z≤ P +z )≤ = ( 3y − y ) ≤ 64 y x+ Mặt khác: (x + 2 + 3y − y2 ≥ + ( 64 z+ 2≥ y 2 ) + z + 5 x+ BDT ≥ + 2y1 − y 2 8 − (y − 2) 2 Dấu “=” xẩy ( x, y, z ) = ( 1, 2,1) Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 20192020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a3 biểu thức: P= 1 + + a+1 b+1 c+1 b3 c3 ≤ Tìm giá trị nhỏ a2 + ab + b2 + bc + c c2 + ca + + + b2 a2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH a +b b+b 2 +c = ( a + b + c )(a + b + c )= a +b a+b + bc +c + ca c + c 2a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH +a 136 Website: Tailieumontoan.com a3 + b2 a ≥ 2a2 b; b3 + bc2 ≥ 2b2 c; c3 + ca2 ≥ 2c2a Do suy a +b b+b 2 +c = a +b a+b + bc +c + ca 2 +a b+b c+c c + c 2a) a b+b2c+c ≥a a a ≥ (a Từ ta ab + bc + ca a2b+b2c+c ≥ a Hay Đặt t = a +b +c ( ab + bc + 3ca) a2+b2+ c2 +b ( + c2 −3 a + b + c2 ) ( = a + b + c2 ) ⇒t ≥ Khi biểu thức viết lại thành A 14t + − 3t = 28t + − 3t = 27t + + t − 2t 2t t 2t 2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có = Suy t 3 Mặt khác − ≥ − − 2 Vậy giá trị nhỏ A 23 27 27 = t + 3≥ t 39 2 2t t A≥ 9− = 3 Đẳng thức xẩy a = b = c = 3 Câu 215: [TS10 Chuyên KHTN, 2012-2013] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a ≤ b ≤ ≤ c; c ≥ b + 1; a + b ≥ c 2ab + a + b ( ) ab −1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: + c Q= a+1 ( ) ( b+1 c+1 )( ) Lời giải Ta có Q = 2ab + a + b + c ( ab − = 1) ( a + 1)( b + 1)( c ( a + 1)( b + ) + ( ab − 1)( c + 1) ( a + 1)( b + 1)( c + + 1) c+1 = + 1) ab − ( )( ) = a+b+1 a+1 b+ 1 + ab −1 ab + a + b + Từ giả thiết a + b ≥ c ≥ b + ⇒ b ≥ a ≥ ⇒ ( a − 1)( b − 1) ≥ ⇒ ab ≥ a + b − ≥ c −1 ≥ Suy Q ≥ LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC ab −1 ab + ab + +2 ) ( FB TRỊNH BÌNH 137 Website: Tailieumontoan.com x −1 x+ x+ +2 ( Đặt x = ab ⇒ x ≥ , ta Q ≥ ) ( x − 2)( x + 5) Suy x −1 5 x+ 1 x+ Q − ≥ + x + 1− = ( ) ( ) x2 + ≥ ( ) Do ta có Q Vậy giá trị nhỏ Đẳng thức xẩy ≥ Q 12 12 a = 1; b = 2; c= Câu 216: [TS10 Chuyên Bình Phước, 20122013] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc Tìm giá trị lớn biểu 1 P= + + thức: a2+1 c +1 b +2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta ab + bc + P + + ≤ + + = ca = =3 a b + c + 2 +1 a 2b 2a 2abc Vậy giá trị lớn P Đẳng thức xẩy a = b = c= 12 Câu 217: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2012-2013] Cho n số thực x1 , x , , xn với n ≥ Kí hiệu Max {x số lớn số x1 , x ,x , , x , , xn Chứng minh rằng: x1 + x2 + + x1 − x2 − + + xn − x1 xn x2 + x3 Max{x1 , x2 , , xn } ≥ + 2n n Lời giải Để ý l| hai số thực x, y ta ln có Min{x, y} ≤ x, y ≤ Max{x, y} Max{x, y} = Sử dụng đẳng thức Max{x, x + y + x − y ta có: y} = , x+ + + + x1 − x + x − x + + x n − x+y + x −y n } n n 2n x1+x2 x2+x2 xn+x1 xn− + x −x + + x − x + + + x1 = 2n 2n Max{x , x } + Max{x , x} + Max{x , x } 2 n 2n ≤ Max{x ; x ; ; x n } n Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy v| x1 = x = xn LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC = FB TRỊNH BÌNH 138 Website: Tailieumontoan.com Câu 218: [TS10 Chuyên Phú Thọ, 2012-2013] Cho x, y, z số x + y + z = không âm thỏa mãn S= x3+y3+z3+x2y Tìm giá trị nhỏ 2 z nhất: Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Bunyakoskicopxki ta có ) ( ( + y x + z ) ( xyz ≥ − x) − 82 S≥ t + + y 3 − +z ≥ x +y +z ≥ ( x +y ⇔x +y +z ≥ 33 ) +z 2 ) 3( 2 x +y +z 2 2 3 − 2z 2 (*) − 2x − 2y ( x + y + z) + ( xy + yz + xz) − 8xyz (x + y2 + z (x+y+ z) = + ) ⇔x y2 − z2 − + + + x y z ≥ − 8 2 2 Khi ta t 2t t t = ) +z z = 2 ( x + y − z)( x + z − y)( y + z 27 ( ) ⇔ 9xyz ≥ Đặt t = x ) ≥ Hay Mặt khác, dễ dàng chứng minh 33 ( +y y x x 2( x + y+ z ) = 7t t − + = 2 11 1 t− + t + 3 9464 8 4 94646 trị nhỏ S Đẳng thức xẩy x = y = z= Câu 219: [TS10 Chuyên Phú Thọ, 20122013] Cho a,b,c số dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1+ 1+ 1+ ≥ 3a + 3b + 3c 1+b 1+ 1+c2 a2 ≥ 64 64 Vậy giá Lời giải Ta viết lại vế trái thành 1+ 1+ 1+ + 3c = + + 3a +3b + 3a + b + 3c 1+ c 1+a 1+b 1+c +a +b +c 2 2 2 1+b 1 1+ a2 ≥ = 2 − b b b = − − Khi {p dụng ta đẳng thức Cauchy ta : 2 b + b + 1 2b2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 139 Website: Tailieumontoan.com Ho|n to|n tương tự ta Khi ta có bất đẳng thức: c2+ ≥ 1c − ; a2+ + + b +1 c +1 a2+ 1− a −a + b + c 2 Mặt khác ta lại có Do ta : a + b + c b +1 c+1 a + 2 + + + 1+c + 2 b a2 ≥ a + b + ab + bc + = a + b + ca c− c− ≥ + 3a + 3b + 3c + + +c 1+ 2 a2 1b 5( a + b + c) ≥ −96 2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 220: [TS10 Chuyên Hải Dương, 2012-2013] 1 Cho số dương a, b thỏa mãn + = Tìm giá trị lớn biểu thức a b Q = a +b2+ 2ab 4 b +a2+ + 2ba2 Lời giải Với a > 0; b > ta có: (a − b) ≥ ⇔ a − 2a b + b ≥ ⇒ a + b ≥ 2a b 1 2 2 + + ⇔ a b 2ab ≥ b+ 2a 2ab 2ab ( a + a4 + b + ⇔ 2ab2 b) ≤ (1) 1 b4 + a2 + 2a2 2ab ( a + b) ≤ Tương tự có b (2 Từ (1) (2) ⇒ Q ) ≤ ab ( a + b) 1 = ⇔ a + b = 2ab mà a + a ⇔ ab ≥ ⇒ Q 1 Vì + b ≥ b ≤ 2(ab ≤ )2 a b Khi a = b = ⇒ Vậy giá trị lớn biểu 1 Q= thức 2 Câu 221: [TS10 Chuyên Phú Thọ, 2012-2013] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu 1 thức: P = − ( ab + bc + ab c + ca) Lời giải Do a + b + c = ⇒ − ( ab + bc + ca )= a +b + c2 Suy P = a +b2+c 2 a+b+ c + = abc + + 1+ a +b + c2 ab bc ca LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 140 Website: Tailieumontoan.com Dễ chứng minh: + + b ab c Do ta có bất đẳng thức ≥ ab + bc + ca ca 1 + 1+ + ≥ + 2 a +b + ab + bc + ab bc ca a + b + 2 c c ca Áp dụng tiếp đ{nh gi{ ta a + b + + c + ( + a b 2 + c ) ≥ ++ + 2ab 2bc 2ca ab + a + bc + ca bc + ca b a2+b2+ ab + bc + ≥ + c ca Hay Mặt khác ta lại có ≥ 21 ab + bc + ca Cộng theo vế bất đẳng thức ta + + + ≥ 30 a+ b + 2 c ab bc ca Vậy bất đẳng thức chứng minh Vậy giá trị nhỏ P 30 Đẳng thức xẩy a = b = c = Câu 222: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2012-2013] Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: xy ( x − y) = x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x + y Lời giải Từ giả thiết suy ra: x > y > 0, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: (x + y = ) ) xy ( x − y 4xy = y) ( (x + 4xy + ( x + y − 4xy )≤ 4 − ) 4xy 1 2 = 1 (x + y ) Do x + y ≥ Vậy A = x = + 2; y = − Câu 223: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2012-2013] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abc ≤ 1.Chứng minh rằng: a b b 3+ c c +3 ≥ a + b + c a Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 141 Website: Tailieumontoan.com Đặt x = ;y= a ;z= b ⇒ xyz ≥ Khi bất đẳng thức viết lại thành c x 3 + y + z ≥ +1 + z x y x y z Áp dụng bất đẳng thức Binhiacopcxki ta ) ( + y2 + ≥ x3 y z x z2 + + ≥ x + y 2+ z2 xx + yz + z x y zx Phép chứng minh hoàn tất ta x2 + 1+ + y2 + z2 ≥ x y z Thật theo đ{nh gi{ quen thuộc giả thiết xyz ≥ ta có x2 + y2 + z2 ≥ xy + yz + xy + yz + zx zx ≥ = + 1+ z xyz x y Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a = b= c= Câu 224: [TS10 Chuyên KHTN, 2012-2013] Giả sử a, b số thực dương thỏa mãn điều kiện: Tìm giá x trị nhỏ biểu thức: P = + y x y2 ( )( y + 1) ≥ x+1 Lời giải Ta có: ) +1 ( x( khác: ) y +1 ≥ 4⇔4≤ +1 x + + y x y≤ x+ y x+ + y +1 + ⇔ x + y ≥ + Mặt 2 x + y ≥ 2y, y + x ≥ 2x y x Do P ≥ x + y ≥ Vậy giá trị nhỏ P x = y = Câu 225: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2012-2013] Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: ( + a )( + b )( + c ) ≥ (1 −a )( − b )( − c) Lời giải Vì a, b, c số dương v| a + b + c = nên ta có a, b,c < Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH ...BDT Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 20092019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10... 4b2 − 36 + 46 2 BDT LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com = 4a +6 ≥ + 3b Dấu “=” xảy +a b a = x −1 = ⇔ x = 1, y = − ⇔ b = y + = Vậy giá... PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC 1 ≤ ; ( c2+a +4 ) + ; 4c a+ + FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com P ≤ 1 1 1 1 + + = 1= a b+2 c+ 2+ 2 D}u “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu