CLB mathexpress đề đáp án các bài toán bất đẳng thức GTLN, GTNN trong đề thi chuyên 2021 2022 (2)

CLB Toán bồi dưỡng MathExpress www.toanboiduong.edu.vn TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TỐN BẤT ĐẲNG THỨC – GTLN, GTNN TRONG KÌ THI CHUYÊN NĂM HỌC 2021 - 2022 Câu (Trích đề thi trường chuyên Nguyễn Du tỉnh Daklak năm 2021 – 2022) Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= b ( a + 1) a ( b + 1) + c ( b + 1) b ( c + 1) + a ( c + 1) c ( a + 1) Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022) Xét số thực a, b, c khơng âm, thịa măn a + b + c = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu a b c thức S = + + + bc + ac + ab Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022) yz xz xy + +  Cho ba số thực dương x , y , z thỏa mãn xy + xz = Chứng minh rằng: x y z Câu (Trích đề thi chun tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022) Cho a , b số dương thỏa mãn a + 2b  3a + a 2b + ab + ( + a ) b3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = ab Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022) Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: a3 b a− a) 2 a +b a3 b3 c3 a+b+c + +  b) 2 2 a + ab + b b + bc + c c + ca + a Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ngãi năm 2021 – 2022) Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn ( c + a )( c + b ) = Chứng minh rằng: ( a − b) + (c + a ) + (c + b)  Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022) ( x + 2) ( y + 2) + ( z + 2) +  12 y+z z+x x+ y Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022) a+b b+c c+a + + 2 a+ b+ c Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh: c a b Câu (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022) Cho số thực không âm a, b c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh 2a + 2ab + abc  18 Cho x, y , z là các số thực dương Chứng minh rằng: ( ) Câu 10 (Trích đề thi chuyên Phổ thông khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022) Cho dãy n số thực x1 ; x2 ;; xn ( n  ) thỏa mãn: x1  x2    xn x1 + x2 + xn = Hotline: 0868199115 Page 1 x1 + x2  xn 2 b) Chứng minh xn  tìm số nguyên dương k  n cho  x1 + x2 ++ xk  3 Câu 11 (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022) Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y + xy = a) Chứng minh xn  x+ y Câu 12 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hải Phịng năm 2021 – 2022) Tìm giá trị lớn biểu thức: P = − x + − y + Cho số thực dương x, y , z Chứng minh rằng: x xy 2x + y + y yz 2y + z + z zx  3xyz 2z + x Câu 13 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022)     Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn x + y + z  Chứng minh  − 1  − 1  − 1  512 x  y   z Câu 14 (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022) 1 Cho x, y , z số thực lớn 2021, thỏa mãn + + = x y z 2021 Chứng minh rằng, ta có bất đẳng thức sau: x + y + z  x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 Câu 15 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lâm Đồng năm 2021 – 2022) Cho a, b, c số dương và a + b + c = a3 b3 c3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = + + a + 4ab + b b + 4bc + c c + 4ca + a Câu 16 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022) 1 a) Cho hai số thực dương x; y thỏa mãn: x + y  Tìm giá trị nhỏ A = 53x + 53 y + + x y b) Cho ba số thực dương x; y , z thỏa mãn: x + y + z  Chứng minh rằng: (x + y + z ) + ( x3 + y + z )  + x + y + z Câu 17 (Trích đề thi chun Lê Qúy Đơn tỉnh Khánh Hịa năm 2021 – 2022) = 12 Cho số thực x1 ; x2 ;, x21 thỏa mãn x1 ; x2 ; : x21  −2 x13 + x23 + x33 ++ x21 Chứng minh x1 + x2 ++ x21  18 Câu 18 (Trích đề thi chuyên tỉnh Nghệ An năm 2021 – 2022) Cho số dương a , b , c thỏa mãn ab + bc + ca  3abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức  a + b2 b2 + c2 c2 + a2  P = a +b + b+c + c+a − + +   2a + 2b  b + c c + a   Câu 19 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022) Cho ba số thực x, y, z  5;7  Chứng minh rằng: xy + + yz + + zx +  x + y + z Câu 20 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam (đề chung) năm 2021 – 2022) Cho ba số thực x; y; z thỏa mãn x  0; y  0; z  x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức H = xyz Câu 21 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022) Cho số thực x thỏa mãn  x  Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: T = 3+ x 6− x + x 3− x Câu 22 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị (đề chung) năm 2021 – 2022) Cho số thực x, y , z thỏa mãn  x, y, z  Chứng minh rằng: x + y + z − ( xy + yz + zx ) + xyz  Câu 23 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022) Cho hai số thực x, y thỏa mãn  x  y  xy  x + y Chứng minh x + y  100 Câu 24 (Trích đề thi chun tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022) Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3abc a b c + + 2 2 3a + 2b + c 3b + 2c + a 3c + 2a + b Câu 25 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2021 – 2022) Tìm giá trị lớn biểu thức T = a + b + ab + + c = Chứng minh rằng: Cho số dương a; b; c thỏa mãn a) a + b + 2c  10 2a + 2b + 2c + b) + +  a +1 b +1 c + Câu 26 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (đề khối xã hội) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022)  x x2 y z y z  Cho x, y , z số dương thỏa mãn xyz = Chứng minh + +  2 + +  yz xz xy  y+z z+x x+ y Câu 27 (Trích đề thi chuyên Toán Quốc Học Huế năm 2021 – 2022) Cho x, y , z số thực dương thỏa mãn x + y + z = Chứng minh: x ( y + 3z ) + y ( z + 3x ) + z ( 2x + 3y )  Câu 28 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022) Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn abc = 1 1 Tìm giá trị lớn biểu thức M = + + 2 a + 2b + b + 2c + c + 2a + Câu 29 (Trích đề thi chun tỉnh Hịa Bình năm 2021 – 2022) 25 Cho số a, b, c lớn a b c + + Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q = b −5 c −5 a −5 Câu 30 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (đề chung) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) 1 Cho x, y , z số dương thỏa mãn + +  2021 x y z Chứng minh rằng: x − xy + y 2 + y − yz + z 2 + z − zx + x 2  2021 Câu 31 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong ( đềchuyên Toán) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) a + bc b + ca c + ab Cho a, b, c  a + b + c = Chứng minh + +  b+c c+a a+b Câu 32 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tây Ninh năm 2021 – 2022) Cho x, y , z số thực thỏa mãn  x, y, z  Tìm giá trị lớn biểu thức T = ( x3 + y + z ) − ( x y + y z + z x ) Câu 33 (Trích đề thi chuyên tỉnh Ninh Thuận năm 2021 – 2022) 1 Cho số thực dương x, y, z  thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: −  xy + yz + zx x + y + z Câu 34 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam (đề chuyên Toán) năm 2021 – 2022) Cho ba số thực dương x, y , z thỏa mãn xy + yz + zx = xyz x2 y2 z2 + + z + zx x + xy y + yz Câu 35 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Trị (đề chuyên Toán) năm 2021 – 2022) Cho a, b, c số thực tùy ý Chứng minh: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: H = a) a − ab + b  (a + b) b) ( a + b )( b − bc + c )( 3c + 2ac + 3a )  ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) 2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu (Trích đề thi trường chuyên Nguyễn Du tỉnh Daklak năm 2021 – 2022) Ta có: P  3 (a + 1)( b + 1)( c + 1) abc   1  = 3  a +   b +   c +  a  b  c  Lại có: a + a 1 = +  1313 ; a 9a a b+ b 1 = +  1313 ; b 9b b c+ c 1 = +  1313 c 9c c Suy ra: P  3 133.13 2 Mà = a + b + c  3 abc  abc     39 12 27 5 a b c 13 3 15 2 224.354   3 Dấu " = " xảy a = b = c = Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bà Rịa – Vũng Tàu năm 2021 – 2022) Ta có: (1 + bc ) = + 2bc + b 2c = a + b + c + 2bc + 2b 2c 2 = a + ( b + c ) + b 2c  a + ( b + c )   + bc  2 (a + b + c) a a  (a + b + c)  + bc a+b+c a b c   + + Chứng minh tương tự, ta có:  S   =  a+b+c a+b+c a+b+c  Dấu " = " xảy a = b = Vậy giá trị lớn S , c = hốn vị 2 a = b = , c = hốn vị Theo BĐT AM – GM, ta có: a +  b2 + c  (a + 1)(2 + b2 + c )  a + + + b2 + c  a (1 + bc )    1 + =    4  a b c  a Tương tự:  b2 ;  c  S  a + b + c = 1 + bc + ac + ab Dấu " = " xảy a = 1; b = c = Từ đó: Vậy giá trị nhỏ S a = 1; b = c = hốn vị Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bến Tre năm 2021 – 2022) yz xz xy + + Đặt M = , ta có x y z M= yz xz xy yz yz xz xz xy xy  yz xz   yz xy   xz xy  + + = + + + + + =  +  + 3 +  +  +  x y z x x y y z z  x y  x z   y z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: = 13 M 2 yz xz yz xy xz xy + 3.2 + 4.2  z + y + 8x  ( z + x ) + (6 y + 6x ) x y x z y z Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: M  2.2 xz + 6.2 xy  ( xz + xy ) = 4.2 =  x = y = z Dấu " = " xảy  x= y=z=   xz + xy = M  (đpcm) Câu (Trích đề thi chun tỉnh Bình Định năm 2021 – 2022) 3a + a 2b + ab + ( + a ) b3 3a 9b 8b 2 = +a+ + + b2 Ta có: P = ab b a Vậy x = y = z = Theo đề a + 2b   2b  − a  Do đó: P = 8b 4b.2b 4b ( − a ) 12b = = = − 4b a a a a 3a 9b 8b 3a 9b 12b 3a 12b 3b +a+ + + b2  + − 2b + + − 4b + b = + +b − +3 b a b a b a 2  3a 12b   39 39 231 + b −  +  12 + = b a   16 16 16 a , b   3a 12b   a = 2b = Đẳng thức xảy  = a b  a + 2b = Vậy giá trị nhỏ P 231 3 3 ( a ; b ) =  ;  16 2 4 Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Bình Phước năm 2021 – 2022) a ( a + b ) − ab a3 ab a) Ta có = =a− a + b2 a + b2 a + b2 ab ab b a− =a− Theo BĐT Cauchy ta có: a − 2 a +b 2ab b3 c3 c a c− b) Tương tự theo câu a) ta có: 2  b − , 2 b +c c +a a3 b3 c3 a +b+c + 2+  Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có: 2 a +b b +c c +a a3  Ta có: a + ab + b a3 a3 = a + b2 a + b2 2 a + +b b3 b3 c3 c3  ,  Tương tự ta có b + bc + c b + c c + ca + a c + a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có: a3 b3 c3  a3 b3 c3  a + b + c + +  + +   a + ab + b2 b2 + bc + c c + ca + a  a + b b + c c + a  Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ngãi năm 2021 – 2022) Đặt x = c + a; y = c + b Khi xy = Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: Ta có: ( x − y) ( a − b) + 1 +  x y ( x − y ) + xy 1 x2 + y + 2+ = + = + 2 2 x y x y x2 y ( x − y) (x − y) ( x − y) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: ( x − y) + 2 =  1 (c + a) + (c + b) ( x − y) + +8 16 ( x − y) = ( x − y) ( x − y) + ( x − y) + 16 16 2 ( x − y) 2 + ( x − y) 16 =  (đpcm)  xy = Dấu " = " xảy  (tồn x, y  tồn các giá trị a, b, c )  x − y = Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Cần Thơ năm 2021 – 2022) Ta có: Xét: ( x + 2) y+z ( y + 2) + ( z + 2) + z+x ( x + y + z + 6) 2( x + y + z) x+ y (x + y + z) = 2 ( x + y + z + 6)  2( x + y + z) y+z ( y + 2) + 2( x + y + z) z+x ( z + 2) + x+ y + 12 ( x + y + z ) + 36 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ( x + 2)  (x + y + z) + = (x + y + z) + 18 2 ( x + y + z) 18 + 12 (x + y + z) (x + y + z) 18 =6 (x + y + z)  + = 12  ( x + )2 ( y + )2 ( z + )2 = =  Dấu " = " xảy và  y + z z+x x + y  x = y = z =  x + y + z = Câu (Trích đề thi chuyên tỉnh Đồng Nai năm 2021 – 2022) Đặt x = a ; y = b ; z = c suy x = a; y = b; z = c ( x; y; z  ) Khi ta cần chứng minh Ta có: x2 + y y + z z + x2 + +  ( x + y + z ) z x y x2 + y y + z z + x2 x2 y y z z x2 + + = + + + + + z x y z z x x y y  x2 z   y z   y x2  ( x + z ) ( y + z ) ( y + x ) =  + + + + +   + + = ( x + y + z ) x  z y  x y z+x z+ y x+ y  z Dấu " = " xảy x = y = z a+b b+c c+a + + 2 a+ b+ c c a b Dấu " = " xảy a = b = c Vậy ( ) 2 Câu (Trích đề thi chuyên thành phố Hà Nội năm 2021 – 2022) b+c+2 7−a Ta có: 2a + 2ab + abc = 2a + ab ( c + )  2a + a    2a + 2ab + abc  2a + a       Ta chứng minh: 2a + a  a − 14a + 49  18  a − 14a + 57a − 72   (a − 3) (a − 8)  với  a  Câu 10 (Trích đề thi chun Phổ thơng khiếu thành phố Hồ Chí Minh năm 2021 – 2022) a) Giả sử x1 + x2  xn   , xi  với  i  n Do n  nên x1 + xn −1  x1 + x2 + x3 + x4  ( x1 + x2 )   xn  (vô lý) 3 1 b) Nếu xn  ,  xn  Từ x1 + x2 + + xn =   x1 + x2 + + xn −1 = − xn  3 3 1 Nếu xn  Suy xi  với i 3  x1 + x2 ++ xk  () 3 Ta chứng minh tồn l  n − cho x1 + xl  x1 + xl +1  ( ) 3 1 Thật khơng tồn l x1  , suy x1 + x2  , ngược lại ( ) nên  x1 + x2  3 3 (mâu thuẫn ( ) ) Giả sử không tồn k thỏa đề bài, tức khơng có k để (mâu thuẫn) Do tồn l thỏa ( ) suy xl +1   xn (vô lý) Vậy điều giả sử sai Do tồn k thỏa đề Câu 11 (Trích đề thi trường THPT chuyên Hà Tĩnh năm 2021 – 2022) Đặt a = x + y   xy = − a Lý luận tương tự x1 + x2 + xn −1  Ta có: a = ( x + y )  xy  ( x + y ) + xy = 12  4a + a  12  ( a − )( a + )   a  Theo bất đẳng thức AM – GM, ta có: + ( − x ) 17 x2 9− x = 2 − x  = − 2 2 4 2 17 y2 − 4 17  x+ y − Suy ra: P  ( x + y ) − xy  +  2 2 a 17 P− a + (3 − a ) + + 2 2 − y2  Tương tự: P− a2 − ( )a+5 −1 2 P− 22 − −1 + = + 4 Dấu " = " xảy a = hay x = y = Câu 12 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hải Phòng năm 2021 – 2022) x y z BĐT  P = + +  z ( 2x + y ) x (2y + z) y ( 2z + x )   x y z P  3 + +  (BĐT Côsi)  3z + x + y 3x + y + z y + z + x    x2 y2 z2 =2 3 + +   x ( 3z + x + y ) y ( 3x + y + z ) z ( y + z + x )   (x + y + z) 2 ( x + y + z ) + ( xy + yz + xz ) = (BĐT Bunhiacopxki) (đpcm) Đẳng thức xảy x = y = z Câu 13 (Trích đề thi chuyên tỉnh Hà Nam năm 2021 – 2022)     Ta có:  − 1  − 1  − 1  512 x  y   z  (1 − x )(1 − y )(1 − z )  512 x y z  (1 − x )(1 + x )(1 − y )(1 + y )(1 − z )(1 + z )  512 x y z Do x + y + z  nên ta có (1 − x )(1 − y )(1 − z )(1 + x )(1 + y )(1 + z )  ( y + z )( z + x )( x + y )( x + y + z )( x + y + z )( x + y + z ) (1) Chứng minh được: ( x + y )( y + z )( z + x )  xyz ( 2) ( x + y + z )( x + y + z )( x + y + z )  x + y x + z = ( x + y )( y + z )( z + x )  8.8 xyz Từ (1) , ( ) ( 3) suy điều phải chứng minh y + x y + z z + x z + y ( 3) Dấu xảy x = y = z = Câu 14 (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022) 2021 2021 2021 + + = Từ giả thuyết đề suy x y z Do x − 2021 y − 2021 z − 2021 + + = − = x y z  x − 2021 y − 2021 z − 2021  Suy x + y + z = ( x + y + z )  + +  () x y z   Do x, y , z  2021 nên x − 2021, y − 2021, z − 2021  Vì thế, cách áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki cho hai ba số thực dương  x − 2021 y − 2021 z − 2021  , ,   , từ ( ) ta được: x y z   ( ) x , y , z x+ y+z  Do ( x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 ) x + y + z  x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 6063 Câu 15 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lâm Đồng năm 2021 – 2022) Đẳng thức xảy x = y = z = Với a, b  , ta chứng minh a3 b a− 2 a +b Áp dụng: ( a − b )   a + b  2ab  Khi đó: a3 a2 + b Tương tự: = a ( a + b ) − ab a + b2 −1 −1  a +b 2ab ab ab b =a− a− =a− a +b 2ab b3 c c3 a b− ; c− 2 b +c c +a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên, ta có: Áp dụng: ( a − b )   ( a + b )  4ab a3 b3 c3 a +b+c + +  2 2 2 a +b b +c c +a 2 a3 a3 a3 ;  = a + 4ab + b a + 2(a + b ) + b a + b b3 b3 b3  = ; b + 4bc + c b + 2(b + c ) + c b + c c3 c3 c3  = c + 4ac + a c + 2(c2 + a ) + a c + a Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức ta có: a3 b3 c3  a3 b3 c3  a + b + c + +  + + =   a + 4ab + b2 b2 + 4bc + c c + 4ca + a  a + b b + c c + a  Dấu " = " xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Ta có: Câu 16 (Trích đề thi chun tỉnh Lào Cai năm 2021 – 2022) 1     a) Ta có: A = 53x + 53 y + + =  27 x + 27 x +  +  27 y + 27 y +  − ( x + y ) x y  x   y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 1 160 + 3 27 y.27 y − ( x + y ) = 27 + 27 − ( x + y )  54 − = x y 3 Dấu " = " xảy x = y = 160 Vậy GTNN A đạt x = y = 3 A  3 27 x.27 x b) Ta có: x +  x = x ; y +  y = y ; z +  z = z  x + y + z  ( x + y + z ) −  ( VT )  ( x + y + z ) − + x3 + y + z Tương tự: x3 + x  x3 x = x ; y + y  y y = y ; z + z  z z = z  x3 + y + z  ( x + y + z ) − ( x + y + z )  ( VT )  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + ( x + y + z ) −  ( VT )  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + ( x + y + z ) −  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + 3.3 −  ( VT )  ( x + y + z ) − ( x + y + z ) + Mà: x +  x = x ; y +  y = y ; z +  z = z  x + y + z  ( x + y + z ) −  ( VT )  ( x + y + z ) − − ( x + y + z ) + = ( x + y + z ) + (đpcm) Câu 17 (Trích đề thi chun Lê Qúy Đơn tỉnh Khánh Hịa năm 2021 – 2022) Với i có giá trị từ đến 21, ta có: xi +   ( xi + )( xi − 1)   xi3 − 3xi +   xi3 +  xi (* ) Dấu " = " xảy xi = xi = −2 Áp dụng bất đẳng thức (*) , ta có: x13 +  x1 x23 +  x2 x21 +  x21 Suy x13 + x23 + + x21 + 42  ( x1 + x2 + + x21 )  54  ( x1 + x2 + + x21 )  x1 + x2 + + x21  18 Dấu " = " xảy có số −2 20 số cịn lại Câu 18 (Trích đề thi chun tỉnh Nghệ An năm 2021 – 2022) 1 Vì ab + bc + ca  3abc  + +  a b c Ta có a+b = Do P  (a + b) a+b = a + b 2ab  a + b2 2ab  +  +   a+b a+b a + b   a + b ab bc ac + + = a+b b+c a+c 1 + a b + 1 + b c + 1 + a c = 1 + y+z x+z 1 , y = , z = x + y + z  a b c 9 1   = + +  3.6 x+ y y+z x+z x+ y + y+z + x+z 3( 2x + y + 2z ) Với x = Vì + x+ y 3 = 2 Dấu '' = '' xảy x = y = z = hay a = b = c = Suy P  Câu 19 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Bình năm 2021 – 2022) Do x, y  5;7   x − y   ( x − y )   x − xy + y   ( x + y )  ( xy + 1)  x + y  xy + Chứng minh tương tự ta có: y + z  yz + 1; z + x  zx + Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta có 2( x + y + z)  ( ) xy + + yz + + zx  xy + + yz + + zx +  x + y + z  x− y =  Dấu xảy  y − z =  z−x =2 (1) Vì x  y  z nên giả sử x  y  z x − y = x − y =   Ta có (1)   y − z =   x − z = (vô nghiệm) x − z = x − z =   xy + + yz + + zx +  x + y + z Vậy Câu 20 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam (đề chung) năm 2021 – 2022) Tìm giá trị lớn biểu thức H = xyz Vì x  0; y  0; z  nên x + y + z z z  3 x y (dấu xảy x = y = ) 2 z z z z  Suy  x + y +  +  3 x y + 2 2  z z z  Mà  x + y +  + = x + y + z = z    2 2  z z z Vậy  3 x y +  3 x y   x y   xyz  2 Do H  z   x= y=  Dấu " = " xảy  x + y + z =  x = y = 1; z =  z=2   Vậy giá trị lớn H đạt x = y = 1; z = Câu 21 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Long năm 2021 – 2022) + x − x ( + x )( − x ) + ( − x ) x − x + x − x 2 x − x − Ta có: T = + = = = x 3− x x (3 − x ) 3x − x x − 3x ( )  T x − 3x = x − x −  Tx − 3Tx − x + x + =  (T − ) x + ( − 3T ) x + = (*) ( Có:  = ( − 3T ) − (T − ) = 36 − 36T + 9T − 36T + 72 = T − 8T + 12 ) T  Để phương trình (*) có nghiệm    T − 8T + 12   T − 8T + 12    T  ( Với T =  x2 − x − =  x − x − = x − x  − = (vô lý) x − 3x x2 − x − =  x − x − = x − 18 x  x − 12 x + =  x = (TM ) 2 x − 3x =6  x= Với T =   TMin ) Vì:  x  Thay x = vào T ta được: T = x − x − 13 = = 6,5  2 x − x − = 13 x − 3x 2 x − 3x ( ) ( x =  x − 12 x − 18 = 13x − 39 x  x − 27 x + 18 =  x − 3x + =   (TM ) x = x =  TMax = 6,5   x = Câu 22 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quãng Trị (đề chung) năm 2021 – 2022)  xy ( z − 1)   Vì  x, y, z    yz ( x − 1)   3xyz  xy + yz + zx  3xyz − ( xy + yz + zx )  (1)   xz ( y − 1)  Lại có ( x − 1)( y − 1)( z − 1)   xyz − xy − yz − zx + x + y + z −  ( 2) Cộng vế theo vế (1) ( ) ta được: xyz − ( xy + yz + zx ) + x + y + z −   x + y + z − ( xy + yz + zx ) + xyz  (đpcm) Dấu " = " xảy ( x; y; z ) = (1;1;1) ( x; y; z ) = ( 0;1;1) hốn vị Câu 23 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Ninh năm 2021 – 2022) Với  x  ,  y   x + y  100 (1) Với  x  y    y − x   ( y − x )  ( y − x )  x + y  xy + ( y − x )  x + y − x + y = x + y Có ( x + y )  ( 62 + 82 )( x + y )  x + y  10 x + y 2  x + y  10 x + y  x + y  100 ( 2) Từ (1) , ( ) suy điều phải chứng minh Câu 24 (Trích đề thi chuyên tỉnh Thái Bình năm 2021 – 2022) a b c Ta có: a + b + c = 3abc  + + = bc ca ab Áp dung bất đẳng thức AM - GM ta có: a b c c a c b c a b b 2 a + +2 + + 2 2    = = ; = ; bc ca bc ab b ca ab a bc ab bc ca c ca ab c   a b  1 1 1 Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có:  + +    + +   + +   bc ca ab  a b c a b c Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có: 3a + 2b + c = ( a + b ) + ( a + c )  4ab + 2ac  a a 1  = 2 3a + 2b + c 4ab + 2ac 2b + c Áp dụng Cauchy – Schwarz ta có: Hoàn toàn tương tự, ta có: 1 1 2 1 + +     +  b b c b+b+c 2b + c 18  b c  b 2 1 c 2 1   + ;   +  2 2 3b + 2c + a 18  c a  3c + 2a + b 18  a b  ) 1 1 1 Suy T   + +    T  a b c Dấu " = " xảy a = b = c = a = b = c = Câu 25 (Trích đề thi chuyên tỉnh Vĩnh Phúc năm 2021 – 2022) Vậy GTLN T a) Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có: ( a + 1) + ( b + 1)   = ab + a + b + + c  ( a + 1)( b + 1)  ab + a + b +  a+b+2 a+b+2 + c  a + b + + 2c  12 Suy a + b + 2c  10 Dấu " = " xảy a +1 = b +1  a = b Vậy a + b + 2c  10 2a + 2b + 2c + b) Ta có: + + 5 a +1 b +1 c + 2a + 2b + 2c + −1 −1 −2 1  −2+ −2+ −  −1  + +  −1  + +  a +1 b +1 c+2 a +1 b +1 c + a +1 b +1 c + Ta có: ( 2+ ) 1 2 + +  +  a +1 b +1 c + (a + 1)(b + 1) c + (a + 1)(b + 1) + c + 1 16 16 + +  =  = (đpcm) a + b + c + a + b + + c + a + b + 2c + 10 + 2a + 2b + 2c + Vậy + +  a +1 b +1 c + Câu 26 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (đề khối xã hội) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) Với x, y , z số dương và xyz = ta có:   x  x x2 y z y z  y z  3 + +  2 + + + +   x + y + z  2  yz xz xy  y+z x+z x+ y  y+z x+z x+ y Ta có x3 + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) x − xy + y  xy x+ y z z+x y+z Tương tự ta có y + z  z + x3  y x Suy x3 + y  ( x + y ) xy  x3 + y   1 1 1 1 1 Từ các BĐT ta có: ( x3 + y + z )  x  +  + y  +  + z  +  z x x y  y z Mặt khác áp dụng BĐT Côsi cho các số dương ta có 1 1 + 2 = x y x y xy 1 1 x+ y 1 4z , suy +   z +   x y x+ y  x y x+ y 1 1 4x  1  4y Tương tự ta có: y  +   ; x +   z x z+x  y z y+z Mà xy   x 4x 4y 4z y z  + +  x3 + y + z   + +  y+z z+x x+ y  y+z z+x x+ y Ta điều cần chứng minh Dấu " = " xảy khi: x = y = z = Suy ( x3 + y + z )  Câu 27 (Trích đề thi chun Tốn Quốc Học Huế năm 2021 – 2022) 1 Đặt P = + + x ( y + 3z ) y ( z + 3x ) z ( 2x + 3y ) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Tương tự ta có: y ( z + 3x )  x ( y + 3z )  , y + z + 3x x + y + 3z  z ( 2x + 3y )  x ( y + 3z )  x + y + 3z 5z + x + y   1 Do P   + +   x + y + 3z y + z + 3x z + x + y  1 1 Ta chứng minh bất đẳng thức ( a + b + c )  + +   9, a, b, c  a b c a b a c b c  1 1 a b a c b c Thật vậy: ( a + b + c )  + +  = +  +  +  +  +  +   + + + = b a c a c b a b c b a  c a c b Dấu " = " xảy a = b = c 1 Suy + +  a b c a +b+c Do đó: 1 + +  = x + y + 3z y + z + 3x z + x + y 10 ( x + y + z ) 10 5.3 = Dấu " = " xảy x = y = z = 10 Câu 28 (Trích đề thi chuyên tỉnh Tiền Giang năm 2021 – 2022) 1 1 Ta có: a + b  2ab, b +  2b  =  a + 2b + ( a + b ) + ( b + 1) + 2 ab + b + Vậy P  1 1 1  ;  2 b + 2c + bc + c + c + 2a + ac + a + 1  1  + + Suy ra: M     ab + b + bc + c + ac + a +  Tương tự: Thay c =  ab b  + + ta được: M   =  ab + b + ab + b + ab + b +  ab Dấu " = " xảy a = b = c = Vậy GTLN M đạt a = b = c = Câu 29 (Trích đề thi chun tỉnh Hịa Bình năm 2021 – 2022) Áp dụng BĐT AM-GM ta có: a b c + b −  a; + c −  b; + a −5  c b −5 c −5 a −5 a b c + + + b − + c − + a −  b + c + a  Q  15 b −5 c −5 a −5 Dấu " = " xảy a = b = c = 25 Vậy GTNN Q 15 đạt a = b = c = 25  Câu 30 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong (đề chung) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) 1 1 Với a, b, c  0, ta có a + b + c  3 abc ; + +  3 a b c abc 11 1 1 1  (a + b + c)  + +      + +  a+b+c 9 a b c  a b c Đẳng thức xảy a = b = c Với x, y , z số dương ta có x − xy + y = ( x + y ) + ( x − y )  ( x + y )  x − xy + y  x + y  x − xy + y  2 1 11 1  =   + +  2x + y x + x + y  x x y  Dấu " = " xảy x = y Tương tự ta có: 1 1 1   + + ; y − yz + z  y y z  11 1   + +  z − zx + x  z z x  1 Cộng bất đẳng thức ta được: x − xy + y + y − yz + z +  3  2021   + +  z − zx + x  x y z  2021 Câu 31 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong ( đềchuyên Toán) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) a + bc a ( a + b + c ) + bc ( a + b )( a + c ) = = Ta có b+c b+c b+c ( a + b )( a + c ) + ( b + c )( b + a ) + ( c + a )( c + b )  Tương tự BĐT cần chứng minh viết lại thành: b+c c+a a+b Dấu " = " xảy x = y = z = Theo BĐT Cauchy có: ( a + b )( a + c ) + ( b + c )( b + a )  ( a + b )( a + c ) ( b + c )(b + a ) = b+c c+a b+c ( b + c )( b + a ) + ( c + a )( c + b )  (b + c ) ( 2) c+a a+b ( a + b )( a + c ) + ( c + a )( c + b )  c + a ( ) ( ) b+c a+b Cộng vế các BĐT (1) , ( ) , ( 3) suy đpcm Tương tự có: Câu 32 (Trích đề thi chun tỉnh Tây Ninh năm 2021 – 2022) Do  x, y, z  nên ta có: (1 − x ) (1 − y ) + (1 − y ) (1 − z ) + (1 − z ) (1 − x )   ( x + y + z ) + ( x + y + z ) − ( x y + y z + z x )  (1) Do  x, y, z  nên: x3  x  x; y  y  y; z  z  z Từ T = ( x3 + y + z ) − ( x y + y z + z x ) ( 2) c+a ( a + b ) (1) (1)  ( x2 + y + z ) + ( x + y + z ) − ( x2 y + y z + z x )  ( 3) Vậy giá trị lớn T Dấu " = " xảy chi x = y = z = x = y = 1; z = hoán vị Câu 33 (Trích đề thi chun tỉnh Ninh Thuận năm 2021 – 2022) 1 − Đặt: P = xy + yz + zx x + y + z Ta có: x + y + z = xyz ( x + y + z ) = ( xy.zx + xy yz + yz.zx )   ( xy + yz + zx ) 3  P − x + y + z 8( xy + yz + zx) xy + yz + zx 8( xy + yz + zx)2 Đặt t = 3 16  3 4 2 Ta được: P  − t + t = −  t − t +  + = −  t −  +  xy + yz + zx 8 9 8 3 3   xy + yz + zx =  Dấu " = " xảy  xy = yz = zx x= y=z=   xyz =  Câu 34 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Nam (đề chuyên Toán) năm 2021 – 2022) 1 Theo đề ta có: + + = x y z Đặt 1 = a , = b , = c ( a, b, c  )  a + b + c = y x z Khi H = Ta có: c + a + b 9a + 9b + 9c + c 9a +  2 c ( 9a + 1) − 9a 2c 9a + 9a c =c− 9a + 9a c 9a c  c − = c − ac 9a + 6a a b Chứng minh tương tự ta có:  a − ba ;  b − cb 9b + 9c +  H  a + b + c − ( ab + bc + ca ) Vì 9a +  6a  c − Mà (a + b + c) ab + bc + ca  Vậy GTNN H 1  H  1− = Dấu " = " xảy x = y = z = Câu 35 (Trích đề thi chuyên tỉnh Quảng Trị (đề chuyên Toán) năm 2021 – 2022) 2 a) Ta có: a − ab + b  ( a + b )  4a − 4ab + 4b  a + 2ab + b  ( a − b )  (luôn đúng) Dấu " = " xảy a = b b) Chứng minh tương tự câu a, ta có: b2 − bc + c  ( b − c ) Suy ra: ( a + b2 )( b2 − bc + c )( 3c + 2ac + 3a )  ( a + b ) ( b − c ) ( 3c + 2ac + 3a ) Lại có: a + b 2 (a + b)  Ta cần chứng minh: Thật vậy:  4(a + b 2 )(b − bc + c )(3c + 2ac + 3a ) (a + b)  2 (b − c ) (3c + 2ac + 3a ) 3c + 2ac + 3a 2  (c + a) 3c + 2ac + 3a 2  ( c + a )  3c + 2ac + 3a  2c + 4ac + 2a  ( a − c )  (luôn đúng) Vậy ( a + b )( b − bc + c )( 3c + 2ac + 3a )  ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) Dấu " = " xảy a = b = c 2 ... Câu 14 (Trích đề thi chuyên tỉnh Kiên Giang năm 2021 – 2022) 2021 2021 2021 + + = Từ giả thuyết đề suy x y z Do x − 2021 y − 2021 z − 2021 + + = − = x y z  x − 2021 y − 2021 z − 2021  Suy x... bất đẳng thức ta được: x − xy + y + y − yz + z +  3  2021   + +  z − zx + x  x y z  2021 Câu 31 (Trích đề thi trường chuyên Lê Hồng Phong ( đ? ?chuyên Toán) tỉnh Nam Định năm 2021 – 2022) ... y , z x+ y+z  Do ( x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 ) x + y + z  x − 2021 + y − 2021 + z − 2021 6063 Câu 15 (Trích đề thi chuyên tỉnh Lâm Đồng năm 2021 – 2022) Đẳng thức xảy x = y = z = Với

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	607,9 KB