Giải các bài toán bất đẳng thức, cực trị trong đề vào lớp 10 chuyên năm 2019

1 Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 2009-2019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] 2 Cho x, y số thực dương thỏa mãn: 4x  4y  17xy  5x  5y  2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  17x  17y  16xy Lời giải Ta có: 4x2  4y2  17xy  5x  5y    x  y   9xy   x  y   Đặt t  x  y, t  , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: x  y xy   t2 2 2 2 2 hay x  y  Do đó: 4t  t  5t   t  5 P  17x2  17y  16xy  17  x  y   18xy Ta có:  17  x  y  Dấu “=” xảy x  y   x  y  18 2 25 25  2    x  y      4   1 Vậy giá trị nhỏ P  Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xy  x   y    13x2  4y2  26x  24y  46 Lời giải Ta có: P  xy  x   y    13x  4y  26x  24y  46         x  2x y  6y  13 x  2x  y  6y  46 2 2   x  1  1  y      13  x  1  1   y      46        Đặt a  x  1, b  y  , đó: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com        P  a  b   13 a   b   46  a b2  9a  b2   13a  13  4b  36  46  4a  3b  a b  6 a  x 1    x  1, y  3 Dấu “=” xảy  b  y   Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  1   1 a2 b2 c2 1   2) Tìm giá trị nhỏ nhất: P  a  b2  b2  c  c2  a2  1) Chứng minh rằng:       Lời giải 1) Ta có: 1   1 a2 b2 c2   b   c     a   c     b   a     a   b   c    ab  bc  ca   a  b  c   12  abc   ab  bc  ca    a  b  c     ab  bc  ca Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi l| tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng thức:   x2  y   x  y  (*) 11 1     (**) xy 4x y Thật vậy: *   x  y * *    (luôn đúng) 2 xy    x  y   4xy   x  y   (luôn đúng) 4xy x  y Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta có:   a  b2   1 1 1      a  b   a     b    a  b   Tương tự: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com  b2  c  1 1     ; 4 4 b2 c2  c2  a2  1 1     ; 4 4c2 a2 Cộng theo vế ta được: 1 1  1 P       2a2 b2 c2 2 D}u “=” xảy a = b = c [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: Cho K  ab  4ac  4bc với a, b,c  a + b + 2c = 1 2) Tìm giá trị lớn K 1) Chứng minh rằng: K  Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: 2  b  2c   a  b  2c  1 4bc    2   4bc     2     Mặt khác: a, b,c   K  ab  4ac  4bc  4bc   Dấu “=” xảy a  0, b  1 ,c  Cách khác: Ta có: K  ab  4c  a  b   ab  1  a  b  a  b    ab   a  b   a  b  2b   a   b  2a  2a  Do đó: 2b2   a   b  2a  2a  K   *  Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm:        a    4.2 2a  2a  K   8K  20a  17a  Vì a, b,c  a  b  2c    a  Do đó: 2a  17a  a  20  17a   a  20  17.1  3a  Do 8K  4  K   1 ,c  2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: Dấu “=” xảy a  0, b  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com  a  b  2c  a  b  2c        Mặt khác: a, b,c   K  ab  4ac  4bc  ab  4ac  2ab  4ac  2a  b  2c   a  b  2c   2  Dấu “=” xảy khi: a  b  2c,a  b  2c  1, bc  0,ab   a  1 , b  0,c  [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020] Vậy giá trị lớn K Câu 5:    a, b,c  Cho số thực a, b, c thỏa mãn  Tìm giá trị nhỏ biểu 2a  3b  4c  thức P    a  3b  4c   b  4a  8c   c 2a  3b   Lời giải Ta có: P   a  3b  4c   b  4a  8c   c  2a  3b  1    a   2a   b   6b   c   4c  1    a   2a  b   2b  c 1  2c   2a 3b 4c   2 a   2a  b   2b  c   2c 2 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  a  a   2a  a 1  2a      27   Tương tự: b2   2b   1 ; c   2c   27 27 Suy ra: P  27  2a  3b  4c   81 Vậy giá trị nhỏ P 81 Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 6: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com a b  4b  4a  Lời giải  2 Ta có: a  b  4ab   a  b    a  b  a  b  1   a  b 1 a  b   Lại có: a 4b2  Câu 7: a 4ab2 4ab2  a   a  ab 4b 4b2  b 4a b 4a b  b   b   a  ab 4a 4a  4a  a b ab 1 Do đó:    a  b   2ab   a  b    a  b  2 2 4b  4a  1 Dấu “=” xảy a  b  [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] 2 Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x  y  z  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P    x  1  y    z   2 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 1 11 1 (*)  2     2  a b   a  b 2 a b Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: P  x  1  y    1     z  3   y  x   2     z  3  64  y   x   z  5   Mặt khác:  xz x z P 2    3y  y  64  2   2y  y      3y  y  64 2  8   y      1 Dấu “=” xẩy  x, y, z   1, 2,1 Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: 1    Tìm giá trị nhỏ a 1 b1 c 1 a3 b3 c3   biểu thức: P  a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a Lời giải Ta dễ dàng chứng minh bất đẳng thức: 1 (với x,y,z  ) (*)    x y z xyz  1 1 Thật vậy: (*)   a  b  c       a b c Áp dụng AM – GM ta được:  a  b  c   a1  b1  1c     abc 3 abc 9 Vậy bất đẳng thức (*) chứng minh, dấu “=” xảy x = y = z Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1 1    abc3 abc  a 1 b1 c 1 a  bc  Đặt Q  b3 c3 a3   a  ab  b2 b2  bc  c2 c2  ca  a2 Ta có: a  b3 b3  c c3  a3   a  ab  b2 b  bc  c c  ca  a  a  b  a  ab  b2  b  c  b2  bc  c  c  a  c  ca  a    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b   b  c   c  a  PQ        0 Do đó: P = Q Mặt khác: x2  xy  y   x  xy  y  * *  Thật vậy:   2 x  xy  y  3x  3xy  3y  x  xy  y   x  y   Sử dụng (**) ta được: x2  xy  y  a  b3 b3  c c3  a3   a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a  a  b  a  ab  b2  b  c  b2  bc  c  c  a  c  ca  a    a  ab  b2 b2  bc  c c  ca  a 1  a  b   b  c    c  a  3 PQ    LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC     FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com 2 a  b  c     3 Mà P  Q  P   Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 9: [TS10 Chuyên Phan Bội Châu, 2019-2020] Cho số dương a, b, c dương thỏa mãn abc  a  b  c  Tìm giá trị lớn biểu thức P  a b 2  b c 2  c  a2 Lời giải Từ abc  a  b  c    a  b  b  1 c  1   a  1 b  1   b  1 c  1   c  1 a  1  1   1 a 1 b1 c 1 Đặt  x, y, z  1  x,  y,  z a 1 b1 c1 x  y  z  Khi đó: a  Nên P  xy 1 x y  z zx  ;b  ;c  x x y z a  b2  b2  c  c2  a2   1       ab bc ca   y y  x z z x      zx xy x  y y  z   y  z z  x  y y  x z x z      zx xy x  y y  z   y  z z  x  y   x  y x   z z         2  y  z z  x   z  x x  y   x  y y  z    y   y  x z   z x          2  x  y x  y   y  z y  z   z  x z  x   Dấu “=” xảy x  y  z hay a  b  c Vậy giá trị lớn biểu thức P Câu 10: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] a = b = c =   Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x2  y2  z2  9x  y  z   18yz  Tìm giá trị lớn biểu thức: Q  2x  y  z yz Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com Ta có:   x  y  z  9x  y  z   18yz   5x  9x  y  z    y  z   28yz   5x  9x  y  z    y  z   7.4yz   y  z  2  5x  9x  y  z    y  z   2  x  x  5 20   yz yz x Đặt: t   t   đó: yz 5t  9t     5t  1 t    t2   5t    x 2 yz Ta có: Q  2x  y  z x    2.2   yz yz x Dấu “=” xảy y  z  Vậy giá trị lớn Q Câu 11: [TS10 Chuyên Bắc Ninh, 2019-2020] Cho x, y, z không âm thỏa mãn x  y  z  Tìm GTLN GTNN biểu thức M  x2  6x  25  y2  6y  25  z2  6z  25 Lời giải Ta có: M  x  6x  25  y  6y  25  z  6z  25    x  16  3  y  16  3  z  16  abc  Đặt a   x, b   y,c   z, Khi đó:  0  a, b,c  M  a  16  b2  16  c  16 Tìm GTNN: Theo bất đẳng thức Minkowski ta có: M  a  16  b2  16  c  16  a  b  c       2 6 Đẳng thức xảy a = b = c = Tìm GTLN LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 Website: Tailieumontoan.com Sử dụng phương ph{p UCT với điều kiện  a  ta Thật vậy:  *   a  a  16  a  12 *   16   a  12   8a  24a   a  a    (đúng) Ho|n to|n tương tự suy ra: M  14 Đẳng thức xảy  a, b,c    0, 3,  hóa vị Câu 12: [TS10 Chuyên KHTN, 2019-2020] Cho x, y,z số dương thỏa mãn xy  yz  zx  Chứng minh rằng: y 1 2 x z       2 2  1 x 1 x 1 y 1 z 1 y  z2      (1) Lời giải Ta có:  x2  xy  yz  zx  x2   x  y  x  z  Tương tự:  y2   x  y  y  z  ;  z2   x  z  y  z  Do đó: VT1      x  y  z  x  y  x  z   x  y  y  z   x  z  z  y   x  y  y  z  z  x  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:  x  x y y z  z     x  y  z       2 2    x2  x  y  z2   y  z      y x z  x  y  z       x  y  y  z   x  y  y  z   x  z  z  y    x  y  z  xy  yz  zx    x  y  y  z  z  x   x  y  z  x  y  y  z  z  x  Suy ra: VP1  x  y  z  x y z     x  y  y  z  z  x    x2  y2  z2      Như để chứng minh bất đẳng thức cho ta cần chứng minh: y x z     2 2 2 1 x 1 y 1 z Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 10 Website: Tailieumontoan.com x  x2 1 x x       x  y  x  z   x  y x  z  x  y  1 y z 1 z z     ;       y2  x  y y  z   z2  z  x y  z  y Tương tự: Cộng theo vế bất đẳnng thức ta bất đẳng thức (2) B|i to{n chứng minh Dấu “=” xảy x  y  z  Câu 13: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2019-2020] Cho x, y, z số thực thuộc đoạn 0;  thỏa mãn điều kiện: x  y  z  2 a) Chứng minh rằng: x  y  z  3 b) Tìm giá trị lớn biểu thức: P  x  y  z  3xyz Lời giải a) Ta có:   x   y   z      x  y  z    xy  yz  zx   xyz   x  y  z  x  y  z    x  y  z    xy  yz  zx   xyz   x  y  z    x  y  z    xyz 2 2 2   4.3   xyz   xyz   b) Ta có:  P  x  y  z  3xyz   x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx  3    x  y  z  x  y  z  2xy  yz  zx  2    x  y  z   x  y  z    2   3.5   9       Dấu “=” xảy  x, y, z    2,1,0  hốn vị Câu 14: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: xy  yz  4zx  32 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  16y  16z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 13 Website: Tailieumontoan.com Câu 18: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] Vậy giá trị nhỏ T Cho số thực dương x, y Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P xy x2 y2    xy y2 x2 Lời giải Ta có: xy xy x  2x y  y x2 y2 P      xy xy y2 x2 x2 y2  x2  y2  xy x  y xy       xy xy  xy  x  y  x2  y2  xy  x  y   xy  P  2  2  xy xy  xy  xy Đặt t  xy xy Theo AM – GM thì: x  y  xy  xy xy  1 t  2 2 t Khi đó: P t t  15 t2     2 2  t  2 16t  16t t t 15  2  2 2 16t 16 15    4  Dấu “=” xảy x = y  33 Câu 19: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Vậy giá trị nhỏ P Với x, y số thực thỏa mãn  y  xy   2y Tìm giá trị nhỏ x2  biểu thức M  y 1 Lời giải Theo giải thiết ta có: 4xy   8y 2 Sử dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: 4x  y  4xy 2 Suy ra: 4x  y   4xy   8y LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 14 Website: Tailieumontoan.com       Do đó: x2    8y  y2  y2    5y    y   y  Suy ra: x2   y   M  x2  1 y2  Dấu “=” xảy x = 2, y = Vậy giá trị nhỏ M Câu 20: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] Với x, y cá số thực thỏa mãn   x  y  1  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x4  4x3  6x2  4x   y  8y  24y  32y  17 Lời giải Ta có: A  x4  4x  6x  4x   y  8y  24y  32y  17    x  1    y   4 Đặt a  x  1, b  y  , ta A  a   b4 Từ giả thiết ta được:  a  1 b  1   a  b  ab  4 Theo AM – GM ta có:   4a   4a  a  b2  a  b  (1)  2  4b   4b   2 a  b2  ab Cộng theo vế (1) v| (2) ta được: a  b2  2ab    a  b2  a  b  ab      a  b2  2 4 Áp dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: A  a   b4    1   a 2  b2   a  b2  4 1 17    4  2 Dấu “=” xảy a  b  1  x   ,y  2 17 Câu 21: [TS10 Chuyên Bình Thuận, 2019-2020] Vậy giá trị nhỏ A Cho số dương x, y, z thỏa xyz  Chứng minh rằng: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 15 Website: Tailieumontoan.com yz xy zx    xy  yz  zx x  y  z y z  x z x  y Dấu “=” xảy nào: Lời giải Ta có: yz xy zx    xy  yz  zx x  y  z y z  x z x  y y2 x2 11 1    z      1 1 1 2x y z    y z x z x y Đặt a  1 , b  ,c   abc  x y z Khi ta cần chứng minh: a2 b2 c2 abc    bc ac ab Thật vậy, sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:  a  b  c   a  b  c  VP (đpcm) a2 b2 c2 VT     b  c a  c a  b a  b  c  2 Dấu “=” xảy x = y = z Câu 22: [TS10 Chuyên Hải Phòng, 2019-2020] Cho x; y; z ba số thực dương thỏa mãn x(x  z)  y(y  z)  Tìm giá trị nhỏ y3 x2  y2  x3   biểu thức P  xy x  z y  z2 Lời giải x3 xz2 xz2 z  x  x  x Áp dụng bất đẳng thức Côsi 2 2xz x z x z Tương tự y3 x2  y2  z  y  P  x  y  z  Suy xy y2  z2 Theo gt z  x2  y2 P  xy  xy xy Vậy Pmin   x  y  z  Câu 23: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 1  a  P  b2  ab  a  1  b   LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC  c2  bc  b  1  c    a2  ca  c  FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 16 Website: Tailieumontoan.com Lời giải Ta có: 1  a   b2  ab  a  a  b2  2a  2ab  2a   ab  a    2     2 ab  a  ab  a  ab  a  ab  a  1  b  Tương tự:  c2  bc  b   2 ; bc  b  1  c   a2  ca  c   2 ca  c   1    Do đó: P       2Q  ab  a  bc   ca  c   Với x, y dương ta có:  x  y    x  y   4xy  xy 1 11 1       (*) x  y 4xy xy 4x y Dấu “=” xảy x = y 1 1 1      ab  a   ab  a  1   ab  a   Áp dụng (*) ta được: Tương tự: 1 1 1 1    ;     bc  b  4  bc  b   ca  c  4  ca  c   Do đó: 1 1  1 1  Q       2Q      1  ab  a  bc  b  ca  c    ab  a  bc  b  ca  c   1 1  P 6     1  ab  a  bc  b  ca  c   1 c ac  6     1  abc  ac  c bc.ac  abc  ca  c   1 c ac  6     1  ca  c  ca  c  ca  c     2 5 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P Câu 24: [TS10 Chuyên Lai Châu, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: ab bc ca    a  b  c  a  b  2c b  c  2a c  a  2b Lời giải Với x, y dương ta có:  x  y    x  y   4xy  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC xy 1    x  y 4xy xy 11 1    (*) 4x y FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 17 Website: Tailieumontoan.com Dấu “=” xảy x = y Sử dụng (*) ta được: Tương tự: ab ab ab  1      a  b  2c  a  c    b  c   a  c b  c  bc bc  1  ca ca  1     ;     b  c  2a  b  a a  c  c  a  2b  c  b b  a  Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: ab bc ca   a  b  2c b  c  2a c  a  2b ab  1  bc  1  ca  1              a  c b  c   b  a a  c   c  b b  a   ab  bc ab  ca bc  ca      4 ca bc a  b   b a  c  a  b  c  c a  b         a  c bc a  b    a  b  c   dpcm  Đẳng thức xảy a = b = c Câu 25: [TS10 Chuyên Vĩnh Phúc, 2019-2020] Cho số dương a, b, c thỏa mãn: abc  Chứng minh rằng: a b  ac  b c  ab  c a  bc  Lời giải Ta có: a  c a  2b  c a  2b  c   b  ac  2 2 a a     a  2b  c a  2b  c b  ac b  ac b  ac  b    a b c   Do đó: VT    a  b  2c 2a  b  c   a  2b  c   a2 b2 c2  2     a a  2b  c b a  b  2c c 2a  b  c  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 18 Website: Tailieumontoan.com  a  b  c  a a  2b  c  b a  b  2c  c 2a  b  c a  b  c   2 a a  2ab  ca  b ab  b  2bc  c 2ac  bc  c a  b  c   c   ab  bc  ca   ab  bc  ca    a  b  c  a  b2 a  b  c   a  b  c   a  b  c   ab  bc  ca   2 Dễ dàng chứng minh:    Do đó: VT       a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c     a  b  c      a  b  c   a  b  c       a  b  c  2 a  b  c  a  b  c  a  b  c  3 abc 18    dpcm  2 Dấu “=” xảy a = b = c = Câu 26: [TS10 Chuyên Tuyên Quang, 2019-2020] Cho số dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  a a a 3 b  b b b 3 c  c c c 3 a Lời giải Ta có: P a a  b b  c c a 3 b b 3 c c 3 a 2 a b c2    a  ab b  bc c  ac Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 19 Website: Tailieumontoan.com P  a2 a  ab  b2 b  bc a  b  c  abc3   c2 c  ac ab  bc  ca Mặt khác theo AM-GM:  ab  bc  ca  a  b bc ca   abc 2 a  b  c  abc Do đó: P   1 a  b  c  a  b  c  Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy giá trị nhỏ P Câu 27: [TS10 Chuyên Hà Nam, 2019-2020] Cho số dương a, b, c Chứng minh: a b c abc    4 b c a a  b2  c Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được:  a  b  c   ab  bc  ca a b2 c abc VT      ab bc ca a  b  c ab  bc  ca a  b2  c 2 a  b2  c ab  bc  ca 2 ab  bc  ca a  b2  c  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  a  b2  c     2    ab  bc  ca  a  b  c 2 a  b  c   ab  bc  ca     Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho số ta được: VT  3  a  b2  c ab  bc  ca ab  bc  ca  2  ab  bc  ca  a  b2  c 2 a  b2  c 2     dpcm  2 Đẳng thức xảy a = b = c Câu 28: [TS10 Chuyên Phú Yên, 2019-2020] Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: a b2   b c   c a   Dấu “=” xảy nào? Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Minicopski ta được: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 20 Website: Tailieumontoan.com ab  a b2   b c   c a      ab  bc  ca    a  b  c     dpcm  2  a2   bc  ab  bc  ca   2  b2   ca   c2   ab  bc  ca  Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 29: [TS10 Chuyên Cao Bằng, 2019-2020] Cho a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a+ b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: R  a b c   2  b  c  a2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được: a ab2 ab2 ab  a   a  a 2 2b 1 b 1 b b bc c ca Tương tự:  b ; c 2 2 1 c 1 a Cộng theo vế bất đẳng ta được: R a b c ab  bc  ca    a  b  c   2 2 1 b 1 c 1 a a  b  c   32  a  b  c   3  6 Dấu “=” xảy a  b  c  3 Vậy giá trị nhỏ R Câu 30: [TS10 Chuyên Nam Định, 2019-2020] Cho x, y, z số thực không âm thỏa mãn điều kiện x  y  z  Chứng minh rằng: x  2xy  4xyz  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta được:  1 x  2xy  4xyz  x  x.4y  z   2   1 3 1  x  x  y  z    x  x   x   2 2  2  x  x 2  x  x   x 2  x  2     x    x  2x    x   x  1  2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 21 Website: Tailieumontoan.com Do x  y  z    x   x   Vì thế: x  2xy  4xyz   x   x  1   (đpcm) ,z  [TS10 Chuyên Bình Định, 2019-2020] Dấu “=” xảy x  1, y  Câu 31: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn  a  b  b  c  c  a   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  abc  1   a  2b b  2c c  2a Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức phụ sau:  a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca  Thật vậy:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Lại theo BĐT AM-GM ta có: abc  ab bc ca   a  b   b  c   c  a   a  b  b  c  c  a  2 Suy ra:  a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc   a  b  c  ab  bc  ca   Suy đpcm:  a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a   89 a  b  c ab  bc  ca  abc Áp dụng bất đẳng thức AM-GM dạng cộng mẫu số ta có:  ab  bc  ca  1 ab  bc  ca      a  2b b  2c c  2a  a  b  c  a  b  c Lại có:  ab  bc  ca     ab2c  a bc  abc  3abc a  b  c  a  b  c    a  b  c  3abc  a  b  c    abc 27 abc 92 a  b  c  Suy ra: P  2 abc  1 abc     2 a  2b b  2c c  2a abc   a  b  b  c  c  a    abc a  bc 1 Dấu “=” xảy khi:   abc    abc LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 22 Website: Tailieumontoan.com Vậy giá trị nhỏ P a = b = c = Câu 32: [TS10 Chuyên Bà Rịa Vũng T|u, 2019-2020] 1    Tìm giá trị nhỏ biểu a b c 1   thức: P  a  ab  3b2  b2  bc  3c  c  ca  3a  Cho số dương a, b, c thỏa mãn Lời giải Ta có:     a  ab  3b2   a  2ab  b  ab  b   b     a  b   ab  b2   b2  b2  ab  2b  b  a  b   a  ab  3b2   b  a  b  1  Tương tự: b  bc  3c  2  a  ab  3b2  1 c  b  c  2 ;  b  a  b  1 c  ac  3a  2  a c  a  2 Cộng theo vế sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta được: P b a  b    c b  c  2  a c  a    1  1           a b c  a  b  b  c  c  a    1   3    a b2 bc2 ca 2  Với x, y dương ta có:  x  y    x  y   4xy  xy 1    x  y 4xy xy 11 1    (*) 4x y Dấu “=” xảy x = y Sử dụng bất đẳng thức (*) ta được: 1  1 1 1 1 1  P  3            a  b   b  c   c  a   1 1  1   1   1                   8 16  a b  16  b c  16  c a     1  3 3             8 8  8  a b c  Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ P LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 23 Website: Tailieumontoan.com Câu 33: [TS10 Chuyên Tây Ninh, 2019-2020] Chứng minh  a  b  c   9abc   a  b  c  ab  bc  ca  với x, y, z số thực không }m Đẳng thức xảy nào? Lời giải Theo bất đẳng thức Schur với a, b, c số thực khơng âm thì: a  a  b  a  c   b  b  c  b  a   c  c  a  c  b   Biến đổi ta hệ quả: a  b3  c  3abc  a  b  c   b2  c  a   c a  b  Mặt kh{c ta có đẳng thức:  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a  Khi ta có:  a  b  c   9abc  a  b3  c  9abc   a  b  b  c  c  a  Do đó: VT  a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a  Ta có đẳng thức: ) ) a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  c  ab  bc  ca  abc   a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca  Do đó: a  b  c   b2  c  a   c  a  b   9abc   a  b  b  c  c  a    a  b  c ab  bc  ca  Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Câu 34: [TS10 Chuyên Quảng Nam, 2019-2020] Cho số dương x, y, z Tìm gi{ trị nhỏ biểu thức: P xy   2x  z  2y  z  yz   2y  x  2z  x  zx  2z  y  2x  y  Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski ta được:  2x  z  2y  z    x  x  z  y  z  y    xy  zx  yz  Do đó: xy   2x  z  2y  z  Tương tự: xy  2x  z  2y  z   xy  xy  yz  zx yz yz  ;  2y  x  2z  x  xy  zx  yz LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC   xy xy  yz  zx zx zx   2z  y  2x  y  xy  zx  yz FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 24 Website: Tailieumontoan.com Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: P  xy  zx  yz xy  zx  yz 1 Đẳng thức xảy x = y = z Vậy giá trị lớn P Câu 35: [TS10 Chuyên Bình Phước, 2019-2020] 1) Cho x, y số dương thỏa mãn xy  Chứng minh rằng: 1    x  y  xy 2) Cho x, y số thực dương thỏa mãn điều kiện:  x  y   4xy  12 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  1   2018xy 1 x 1 y Lời giải 1) Ta có:  1   1   0        x  xy    y  xy   x  y  xy       xy   x  1  x   xy      xy   y  1  y   xy   0  0 1  x 1  y  1  xy  x  y  x  1  y   y  x  y  1  x   0  x  y  xy       y  x   x  y x  y  x y    1  x 1  y  1  xy  y  x   x  y   xy  y  x      0  1  x 1  y  1  xy  y  x   y  x  xy  1     0  1  x 1  y  1  xy   y  x   xy  1  (đúng xy  ) (1)  1  x 1  y  1  xy   xy  x   y   xy  y   x  Dấu “=” xảy x = y = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 25 Website: Tailieumontoan.com Bất đẳng thưc (1) c{c phép biến đổi l| tương đương nên b|i to{n chứng minh 2) Sử dụng AM-GM ta có:  12   x  y   4xy  xy Đặt   4xy  8xy xy  4xy xy  t  t   , đó: 8t  4t  12   2t  t    2t  2t  3t      2t  t  1   t  1 t  1    t  1 2t  3t    t 1 Áp dụng bất đẳng thức ý ta có: P 1 2   2018xy   2018xy   2018t 1 x 1 y 1 t  xy Ta chứng minh:  2018t  2019  *  1 t Thật vậy:  *    2 t    2018  t  1    1 t   2018  t  1 t  1  1 t    1  t    2018  t  1   (đúng  t  )  1 t  Dấu “=” xảy x = y = Vậy giá trị lớn P 2019 Câu 36: [TS10 Chuyên Đắc Lắc, 2019-2020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b2  c2  Chứng minh rằng: a  b3 b3  c c  a   2 a  2b b  2c c  2a Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta được: ) a3 b3 c3 a4 b4 c4      a  2b b  2c c  2a a  2ab b  2bc c  2ca   a  b2  c  a  b2  c  2ab  2bc  2ca  a  b2  c   a  b2  c  a  b2  c  a  b2  c  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH SĐT:0967616583 ... = c [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019- 2020] Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: Cho K  ab  4ac  4bc với a, b,c  a + b + 2c = 1 2) Tìm giá trị lớn K 1) Chứng minh rằng: K  Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức... [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019- 2020] Vậy giá trị nhỏ P Với x, y số thực thỏa mãn  y  xy   2y Tìm giá trị nhỏ x2  biểu thức M  y 1 Lời giải Theo giải thiết ta có: 4xy   8y 2 Sử dụng bất. .. hoán vị Câu 14: [TS10 Chuyên Hịa Bình, 2019- 2020] Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: xy  yz  4zx  32 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  x  16y  16z Lời giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta