Giải nhanh bài toán hay và khó đại số 10 chương mệnh đề tập hợp ths duy hiếu file word

CHƯƠNG 1: MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN A TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA Mệnh đề logic (gọi tắt mệnh đề) câu khẳng định sai Một câu khẳng định gọi mệnh đề đúng, câu khẳng định sai gọi mệnh đề sai Một mệnh đề vừa vừa sai Cho mệnh đề P Mệnh đề “không phải P” gọi mệnh đề phủ định mệnh đề P kí hiệu P Mệnh đề P mệnh đề phủ định P hai câu khẳng định trái ngược Nếu P P sai, P sai P Cho hai mệnh đề P Q a Mệnh đề “Nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q sai P đúng, Q sai trường hợp lại b Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q c Mệnh đề có dạng “P Q” gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P ⇔ Q Mệnh đề P ⇔ Q hai mệnh đề p Q hay sai Mệnh đề chứa biến P(x) câu chứa biến (không phải mệnh đề hay sai), với giá trị biến X tập xác định X ta mệnh đề a Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x ∈ Z Khi khẳng định “với x thuộc X, P(x) đúng” mệnh đề Mệnh đề sai tồn tạo x ∈ X cho P(x0) mệnh đề sai Mệnh đề kí hiệu " ∀x ∈ X , P ( x)" b Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x ∈ Z Khi khẳng định “tồn x thuộc X, P(x) đúng” mệnh đề Mệnh đề sai tồn tạo x ∈ X cho P(x0) mệnh đề Mệnh đề kí hiệu đ " ∃x ∈ X , P ( x)" c Mệnh đề phủ định " ∀x ∈ X , P ( x)" " ∃x ∈ X , P( x)" Mệnh đề phủ định " ∀x ∈ X , P ( x)" " ∃x ∈ X , P( x)" B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Xác định phát biểu có mệnh đề Tính sai mệnh đề Phương pháp:  Một phát biểu mà chắn hay chắn sai phát biểu mệnh đề  Khi mệnh đề có dạng phủ định, kéo theo, tương đương… ta vào đing nghĩa tính sai chúng đề xét Cần nhớ: • P, P khơng tính đúng, sai • P ⇒ Q sai P đúng, Q sai • P ⇔ Q hai mệnh đề P Q hay sai • ∀x ∈ X , P ( x) P(x0) với x0 ∈ X • ∃x ∈ X , P ( x) có x0 ∈ X cho P(x0) Ví dụ Ví dụ 1: Xét xem phát biểu sau có phải mệnh đề khơng? Nếu mệnh đề cho biết mệnh đề hay sai? a) A: số nguyên dương b) B: Ca-na-đa nước châu Âu phải không? c) C: Phương trình x + x − = vơ nghiệm d) D: Chứng minh phản chứng khó thật! e) E: -5x -6 số âm f) F: Nếu n số chẵn n chia hết cho http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word g) h) i) j) a) b) c) d) e) f) g) h) i) G: Nếu n chia hết cho n số chẵn H: n số chẵn n2 chia hết cho I: ∃n ∈ ¥ , n3 − n không bội ∀x ∈ ¡ , x − x + > Giải A mệnh đề sai B la câu hỏi, mệnh đề C mệnh đề sai phương trình có nghiệm x = D câu cảm thán, mệnh đề E mệnh đề Đây mệnh đề chưa biến F mệnh đề sai n số chẵn n chưa chia hết cho G mệnh đề H mệnh đề I mệnh đề sai ∀n ∈ ¥ , n3 − n = (n − 1)n(n + 1) M3 1  j) J mệnh đề ∀x ∈ ¡ , x − x + =  x − ÷ + > 2  Ví dụ 2:Xét tính đúng, sai mệnh đề sau: a) Nếu < < b) Nếu 45 tận 45 chia hết cho 25 c) Nếu khơng số vơ tỉ thì 2 không số vô tỉ d) Nếu Py-ta-go (Pythagore) người Thái Lan Việt Nam thuốc châu Á e) 2=3 ⇔ 2+1 =3+1 f) (-5)2=52 ⇔ -5=5 g) Tứ giác ABCD hình bình hành ⇔ Tứ giác ABCD có góc đối Giải a) Đặt P = “3 < 5” Q= “ < 7” Tac có mệnh đề cho có dạng “P ⇒ Q” Ta có P Q đúng, mệnh đề cho b) Đặt P = “45 tận 5” Q= “45 chia hết cho 25” Ta có mệnh đề cho có dạng “P ⇒ Q” Ta thấy P Q sai, mệnh đề cho sai c) Đặt P = “ không số vô tỉ” Q= “2 khơng số vơ tỉ” Ta có mệnh đề cho có dạng “P ⇒ Q” Ta thấy P sai Q sai, mệnh đề cho d) Đặt P = “Py-ta-go (Pythagore) người Thái Lan” Q= “Việt Nam thuốc châu Á” Ta có mệnh đề cho có dạng “P ⇒ Q” Ta thấy P sai Q đúng, mệnh đề cho e) Đặt P = “2=3” Q= “2+1=3+1” Ta có mệnh đề cho có dạng “P ⇔ Q” Ta thấy P sai Q sai, mệnh đề cho f) Đặt P = “(-5)2=52” Q= “-5=5” Tac có mệnh đề cho có dạng “P ⇔ Q” Ta thấy P Q sai, mệnh đề cho sai g) Đặt P = “Tứ giác ABCD hình bình hành” Q= “Tứ giác ABCD có góc đối nhau” Ta có mệnh đề cho có dạng “P ⇔ Q” Ta thấy P Q sai, mệnh đề cho Bài tập Bài 1: Tìm mệnh đề câu sau cho biết chúng hay sai? a) số chẵn b) Nếu AB2+AC2=BC2 tam giác ABC vng c) có phải số ngun tố không? d) Hôm trời không mưa, xem ca nhạc nhé! e) Nếu phương trình bậc có ∆≥0 có nghiệm f) Trái Đất quay quanh Mặt Trời g) Tháng hai (dương lịch) có 30 ngày http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word h) π > 10 i) Tổng ba góc tam giác 1800 j) Hình lập phương có đỉnh k) Boa lớp dã ngoại? l) Thủy ngân kim loại Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) Tất chất khí khơng dẫn điện b) Nhà tốn học Cô-si (Cauchy) người Ý c) 9801 số phương d) Giải thưởng cao tốn học giới giải Nobel e) Có vơ số số nguyên tố f) Một năm có tối đa 52 ngày chủ nhật Bài 3: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM Xét hai mệnh đề sau: P: “Tam giác ABC vuông A” Q: “Trung tuyến AM nửa cạnh BC” a) Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q cho biết mệnh đề hay sai b) Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q cho biết mệnh đề hay sai Bài 4: Xét hai mệnh đề sau: P: “120 chia hết cho chia hết cho 8” Q: “120 chia hết cho 6.8” ⇒ a) Phát biểu mệnh đề P Q cho biết mệnh đề hay sai b) Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q cho biết mệnh đề hay sai Vấn đề 2: Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề Phương pháp Mệnh đề phủ định P “không phải P” Mệnh đề phủ định ∀x ∈ X , P ( x) ∃x ∈ X , P ( x) Mệnh đề phủ định ∃x ∈ X , P ( x) ∀x ∈ X , P ( x) Mệnh đề Q ⇒ P mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Ví dụ Ví dụ 1: Tìm mệnh đề đảo mệnh đề sau cho biết mệnh đề đảo hay sai: “Nếu hai góc đối đỉnh chúng nhau” Giải Mệnh đề cho có dạng P ⇒ Q đó: P: “hai góc đối đỉnh” Q: “hai góc nhau” Vậy mệnh đề đảo là: “Nếu hai góc chúng đối đỉnh” Mệnh đề sai Ví dụ 2: Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau cho biết chúng hay sai: a) P= " ∀x ∈ ¡ , ( x − 3) ≥ 0" b) Q= “Có tam giác khơng có góc lớn 600” Giải a) Mệnh đề phủ định P " ∃x ∈ ¡ , ( x − 3) < 0" Đây mệnh đề sai b) Mệnh đề phủ định Q Q = “Mọi tam giác có góc lớn 600” Đây mệnh đề sai tam giác khơng có góc lớn 600 Bài tập Bài 1: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau cho biết mệnh đề phủ định hay sai? A= “Mọi số thực số nguyên” B= “Tồn số góc α cho sin α >1” C= “Mọi tam giác tam giác cân” Bài 2: Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau cho biết chúng hay sai? http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ≥ 2" x2 b) Q= “Có hình thoi khơng phải hình vng” Bài 3: Cho mệnh đề chứa biến P(x): “x=x4” Xác định tính sai mệnh đề sau: a) P (0) d) P(-1) b) P(1) e) ∃x ∈ ¢ , P ( x) c) P(2) f) ∀x ∈ ¢ , P ( x) Bài 4: Tìm mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) A= " ∀x ∈ ¡ , x − > x " b) B= " ∀n ∈ ¥ , n + 1" không chia hết cho c) C= " ∃r ∈ ¤ , 4r − = 0" d) D= “Có tứ giác khơng có đường tròn ngoại tiếp” Bài 5: Gọi X tập hợp tất học sinh lớp 10A Xét mệnh đề chứa biến P(x): “x tự học nhà ngày” Hãy phát biểu mệnh đề sau câu thông thường: a) ∃x ∈ X , P ( x) c) ∀x ∈ X , P ( x) b) ∃x ∈ X , P ( x) d) ∀x ∈ X , P ( x) Bài 6: Xét tính đúng- sai mệnh đề sau lập mệnh đề phủ định mệnh đề đó: a) ∃r Ô ,3 < r < c) n ¥ , 2n ≥ n + b) ∀x ∈ r , x − x + > d) ∃n ∈ ¥ , n + chia hết cho a) P = " ∀x ≠ 0, x + §2 ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TỐN HỌC A TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA Định lí chứng minh định lí: Trong Tốn học, định lí mệnh đề Thơng thường định lí phát biểu dạng: " ∀x ∈ X , P ( x) ⇒ Q( x)" (1) Trong P(x) Q(x) mệnh đề chứa biến, X tập hợp Chứng minh định lí (1) dùng suy luận kiến thức biết để khẳng định mệnh đề (1) Ta chứng minh định lí dạng (1) cách trực tiếp hay gián tiếp a Phép chứng minh trực tiếp gồm bước sau:  Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x)  Dùng suy luận kiến thức biết để khẳng định Q(x) Khi " P ( x) ⇒ Q( x )" Do định lí chứng minh b Phép chứng minh phản chứng (gián tiếp) gồm bước sau:  Giả sử tồn x thuộc X cho P(x) Q(x) sai, tức mệnh đề (1) sai;  Dùng suy luận kiến thức toán học biết để đến mâu thuấn (với giả thiết hay với kết biết) Điều kiện cần, điều kiện đủ Cho định lí có dạng " A ⇒ B " A gọi giả thiết, B gọi kết luận định lí Khi ta nói: “A điều kiện đủ để có B” hay “B điều kiện cần để có A” Định lí đảo, điều kiện cần đủ Cho định lí " A ⇒ B " (*) Nếu mệnh đề " B ⇒ A " gọi định lí đảo định lí (*) Khi (*) gọi định lí thuận http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Định lí thuận đảo gộp lại thành định lí " A ⇔ B " Lúc ta nói: “A điều kiện cần đủ để có B” hay “điều kiện cần đủ để có A B” B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Phương pháp chứng minh định lí Ta thường sử dụng hai phương pháp sau để chứng minh định lí: Phương pháp chứng minh phản chứng: Để chứng minh " P ( x) ⇒ Q( x )" phương pháp phản chứng ta làm sau:  Giả sử P(x) mà Q(x) sai,  Từ điều giả sử ta suy điều vơ lí Vậy phải có Q(x) Do " P( x) ⇒ Q( x)" Phép chứng minh trực tiếp gồm bước sau:  Lấy x tùy ý thuộc X mà P(x)  Dùng suy luận kiến thức biết để khẳng định Q(x) Khi " P ( x) ⇒ Q( x )" Do định lí chứng minh Ví dụ 1: Chứng minh định lí: “Nếu n số thự nhiên lẻ n2-1 chia hết cho 4” Giải Với số tự nhiên lẻ n, ta có n=2k+1 ( k ∈ ¥ ) Suy n2-1=(2k+1)2-1=4k2+4k=4(k2+1) Vì k + k ∈ ¥ nên n2-1 chia hết cho Vậy định lí chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh phản chứng: “Với số tự nhiên n, 5n+4 số lẻ n số lẻ” Giải Giả sử với số tự nhiên n mà 5n+4 số lẻ n khơng số lẻ Khi ta có n số chẳn ⇒ 5n số chẵn ⇒ 5n+4 số chẵn Điều mâu thuẫn với giải thiết 5n+4 số lẽ Vậy ta phải có: Với số tự nhiên n, 5n+4 số lẻ n số lẻ Do đó, định lí chứng minh Ví dụ 3: Chứng minh: Nếu nhốt n thỏ vào k chuồng (k0 có số a hay b dương Giải a) *Theo ngôn ngữ điều kiện cần: “Hai tam giác có diện tích điều kiện cần để hai tam giác nhau” *Theo ngôn ngữ điều kiện đủ: “Hai tam giác điều kiện đủ để hai tam giác có diện tích nhau” b) *Theo ngơn ngữ điều kiện cần: “Hai số a, b có số dương điều kiện cần để a +b >0” *Theo ngôn ngữ điều kiện đủ : “Hai số a, b thỏa mãn a + b >0 điều kiện đủ để hai số có số dương” C BÀI TẬP Bài 1: Cho mệnh đề chứa biến: P(n): “n số chẵn” Q(n): “7n + số chẵn” a) Phát biểu chứng minh định lí: “ ∀n ∈ ¥ , P (n) ⇒ Q(n) ” b) Phát biểu chứng minh định lí đảo định lí c) Phát biểu định lí thuận định lí đảo hai cách Bài 2: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ” để phát biểu định lí sau: a) Nếu hai tam giác đồng dạng chúng có góc tương ứng b) Nếu ABCD hình thoi ABCD có hai đường chéo vng góc c) Nếu a = b a2 = b2 Bài 3: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” để phát biểu định lí sau: a) Với n ∈ ¢ , n2 chia hết cho n chia hết cho b) Nếu tam giác ABC cân A đường trung tuyễn từ đỉnh A đường cao c) Nếu số nguyên dương lẻ biểu diễn thành tổng hai số phương hai số phải có dạng 4k + ( k ∈ ¥ ) Bài 4: Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” để phát biểu định lí sau: a) Tam giác ABC vuông A AB2 + AC2 = BC2 b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tổng hai góc đối 1800 Bài 5: Chứng minh định lí sau phản chứng: a) số vô tỉ b) Một tam giác tam giác có góc nhỏ 600 c) Cho a, b, c ∈ ¡ , có ba bất đẳng thức sau đúng: a2 + b2 ≥ 2bc; b2 + c2 ≥ 2ca; c2 + a2 ≥ 2ab Bài 6: Cho định lí: “Nếu m, n hai số nguyên dương số chia hết cho tổng m + n2 chia hết cho 3” Hãy phát biểu chứng minh định lí đảo định lí (nếu có) dùng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” để phát biểu gộp hai định lí thuận đảo” Bài 7: Xác định m để: a) f ( x) = (m − 2) x + (2 − 3m) x + m > với x ∈ [ 0;1] b) g ( x) = (m − 2) x + (3m − 2) x − + ≥ với x ∈ [ 1; 2] Bài 8: Xác định m để: a) Phương trình x − 4mx + m − = có nghiệm b) Phương trình − x + − x = m có nghiệm http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  3x + mxy = m − c) Hệ phương trình  có nghiệm 2 (m + 2) x + y = m − 2m −  x2 + − y = m d) Hệ phương trình  có nghiệm  x + + x = − y + m − Bài 9: Cho hai phương trình: x +ax+b=0 x +cx+d=0 Chứng minh ac ≥ 2(b+d) có hai phương trình có nghiệm Bài 10: Cho f(x) = x + ax + b Chứng minh với giá trị a, b số f (0) , f (1) , f (−1) có số lớn Bài 11: Chứng minh ba số a, b, c thỏa mãn ba điều kiện: A+b +c > 0; ab + bc +ca >0 abc > Thì ba số a, b, c dương §3 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TỐN TRÊN TẬP HỢP A TĨM TẮT SÁCH GIÁO KHOA I Tập hợp Tập hợp gì?  Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa mà mơ tả Ta hiểu: tập hợp tụ tập đối tượng, vật thể có chung hay vài tính chất Ví dụ 1: • Tập hợp số tự nhiên • Tập hợp tam giác vng cân • Tập hợp học sinh giỏi khối 10 Để cho gọn ta gọi tập hợp “tập”  Các đối tượng tạo nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Nếu x phần tử tập hợp X, ta viết x ∈ X (đọc : x thuộc X) Nếu y không phần tử tập hợp X, ta viết y ∉ X (đọc y không thuộc X) Cách xác định tập hợp  Phương pháp liệt kê: Các phần tử tập hợp viết dấu (…), cách dấu phẩy (hay dấu chấm phẩy), phần tử viết lần Ví dụ 2: • Tập A gồm số nguyên tố A = { 2;3;5;7;11} • Tập B gồm chữ số số 17454 B = { 1; 4;5;7}  Phương pháp nêu đặc trưng: Nếu tập X chứa chứa phần tử có tính chất P ta ghi: X={x ǀx có tính chất P} Ví dụ 3: • Tập A số thực lớn nhỏ A={x ǀ < x a} − Khoảng (−∞; a) = {� ∈ ℝ | � < a} Ghi chú: ∗ ∞ kí hiệu tốn học đại lượng có giá trị tuyệt đối lớn khơng có hạn định ∗ +∞ đọc dương vô cực; −∞ đọc âm vô cực http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word IV Các phép toán tập hợp 1 Phép hợp Hợp tập hợp A B, kí hiệu A ⋃ B, tập hợp tất phần tử thuộc A thuộc B A ⋃ B = {� | � ∈ A � ∈ B Ví dụ 7: Tìm hợp hai tập sau: a) A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 4, 6, 8} b) D = [−2; 1], E = (1; 3) Giải a) Ta có A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} b) Ta có D ⋃ E = {� | −2 ≤ � ≤ hay < � < 3} = {� | −2 ≤ � < 3} = [−2; 3) Phép giao Giao hai tập hợp A B, kí hiệu A ⋂ B, tập hợp tất phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B A ⋂ B = {� | � ∈ A � ∈ B} Ví dụ 8: Tìm giao hai tập sau: • A = {1, 3, 5}, B = {3, 5, 7, 9} • X = (0; 2], Y = [1; 4] • C = tập tất hình chữ nhật, T = tập tất hình thoi Giải ∗ ∗ A ⋂ B = {3, 5} X ⋂ Y = {� | � ∈ (0; 2] � ∈ [1; 4] = {� | < ≤ 1≤ ≤ 4} = {� | ≤ � ≤ 2} = [1; 2] Phép lấy hiệu Hiệu hai tập A B, kí hiệu A\B , tập hợp gồm tất phần tử thuộc A không thuộc B A\B = {� | � ∈ A � ∉ B} Ví dụ 9: a) Cho A = {1; 2; 3}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Tìm A\B, B\A b) Cho X = (1; 3], Y = [2; 4] Tìm X\Y, Y\X Giải a) Ta có A\B = Ø B\A = {4; 5} b) X\Y = {� | � ∈ (1;3] � ∉ [2; 4]} = {� | 1< � ≤ ( � < hay > 4)} = {� | 1< < 2} = (1; 2) Y\X = { | ∈ [2; 4] � ∉ (1; 3]} = {� | ≤ � ≤ ( � ≤ hay � > 3)} = {� | < � ≤ 4} = (3; 4] CAB B ∗ Đặc biệt, B ⊂ A A\B gọi phần bù B A, kí hiệu CAB A http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word • • Ví dụ 10: Phần bù tập số lẻ tập số nguyên tập hợp số nguyên chẵn B = (−∞; −2) ⟹ Cℝ B = [−2; +∞) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Xác định tập hợp phép toán tập hợp Phương pháp a) Để xác định tập hợp ta có thể: ∗ Liệt kê phần tử tập hợp tập hữu hạn ∗ Nêu tính chất đặc trưng phần tử tập hợp b) Để xác định tập hợp kết phép toán tập hợp cho trước ta áp dụng định nghĩa phép toán để xác định phần tử tập hợp Chú ý: Với tập hợp phép toán tập hợp số thực ta thường: ∗ Biểu diễn tập hợp lên trục số thực ∗ Dùng định nghĩa phép toán để xác định phần tử tập hợp Các ví dụ Ví dụ 1: Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}, B = {� ∈ ℤ | −3 ≤ � ≤ −4} C = {� ∈ ℝ | (� – 3)(�2 – 10� + 9) = 0} a) Dùng phương pháp liệt kê phần tử xác định tập hợp B C b) Xác định tập hợp sau: A⋂B, B⋂C, A⋂C c) Xác định tập hợp sau: A⋃B, B⋃C, A⋃C d) Xác định tập hợp sau: A\B, B\C, A\C Giải a) Ta có * B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4} x = x − = ⇔  x = * Ta có (� - 3)(�2 -10� + 9) = ⇔  x − 10 x + =  x = Do C = {1; 3; 9} b) * A⋂ B = {1; 2; 3; 4} * B⋂ C = {1; 3} * A⋂ C = {1; 3} c) * A⋃ B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} * B⋃ C = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; 9} * A⋃ C = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} d) * A\B = {5; 6; 7; 8} * B\C = {−3; −2; −1; 0; 2; 4} * A\C = {2; 4; 5; 6; 7; 8} Ví dụ 2: Cho A tập hợp hình thoi, B tập hợp hình chữ nhật, C tập hợp hình vng D tập hợp hình bình hành Hãy xác định tập hợp: A⋂ B, B⋂ C, B⋂ D, B⋃ C, A⋃ D Giải ∗ A⋂ B = {� | � hình thoi � hình chữ nhật} = {� | � hình vng} = C ∗ B⋂ C = {� | � hình chữ nhật � hình vng} = {� | � hình vng} = C http://dethithpt.com – Website chun đề thi – tài liệu file word ∗ B⋂ D = {� | � hình chữ nhật � hình bình hành} = {� | � hình chữ nhật} = B ∗ B⋃ C = {� | � hình chữ nhật � hình vng} = {� | � hình chữ nhật} = B ∗ A⋃ D = {� | � hình thoi � hình bình hành} = {� | � hình hành} = D Ví dụ 3: Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số: a) A = [−3; 1) ⋃ (0; 4] b) B = (−2; 15) ⋃ (3; +∞) c) C = (0; 2) ⋃ [−1; 1) d) D = (−∞; 1) ⋃ ( −1; +∞) Giải a) A = {� | −3 ≤ � < < � ≤ 4} = {� | −3 ≤ � ≤ 4} = [−3; 4] -3 b) B = {� | −2 < � < 15 � > 3} = { � |� ≥ −2} = [−2; +∞) -2 c) C = {� | < � < −1 ≤ � < 1} = {� | −1 ≤ � −1} = ℝ Ví dụ 4: Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số: a) M = [−12; 3) ⋂ (−1; 4] b) N = (4; 7) ⋂ (−7; −4) c) P = (2; 3) ⋂ [3; 5) d) Q = (−∞; 1) ⋂ (−1; +∞) Giải a) M = {� | −12 ≤ � < −1 < � ≤ 4} = {� | −1 < � < 3} = (−1; 3) -1 b) N = {� | < � < −7 < � < −4} = Ø c) P= {� | 2< � < ≤ � < 5} = Ø d) Q= {� | � < � > −1} = {� | −1 < � < 1} = (−1; 1) -1 Vấn đề 2: Giải toán biểu đồ Ven Phương pháp: ∗ Vẽ vòng tròn đại diện tập hợp (mỗi vòng tròn tập hợp) lưu ý vòng tròn có phần chung tập hợp khác rỗng ∗ Dùng biến để số phần tử phần không giao ∗ Từ giả thiết tốn, lập hệ phương trình giải tìm biến Các ví dụ Ví dụ 5: Trong kì thi học sinh giỏi cấp trường, lớp 10A có 17 bạn cơng nhận học sinh giỏi văn, 25 bạn học sinh giỏi tốn Tìm số học sinh đạt giải văn toán, biết lớp 10A có 45 bạn có 13 bạn khơng đạt học sinh giỏi Giải http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Biểu diễn tập hợp học sinh giỏi văn học sinh giỏi tốn đường cong kín tập hợp học sinh lớp 10A hình chữ nhật hình bên Gọi x số học sinh giỏi văn khơng giỏi tốn; y số học sinh giỏi văn toán; z số học sinh giỏi tốn mà khơng giỏi văn t số học sinh không đạt học sinh giỏi Theo biểu đồ giả thiết, ta có: x + y = 1(1)  y + z = 25(2) t  x  x + y + z + t = 45(3)  y t = 13(4) Cộng (1) với (2) trừ cho (3) ta được: (x + y) + (y + z) – (x + y + z + t) = 17+ 25 - 45 z ⟹ y- t = - ⟹ y = t – = 10 Vậy lớp 10A có 10 học sinh giỏi mơn văn toán C BÀI TẬP Bài 1: Viết phần tử sau phương pháp liệt kê: a) A = {� ∈ ℕ* | (4� − �2)(9�2 − 10� + 1) = 0} b) B = {n ∈ ℤ | < n2 < 36} Bài 2: Viết tập hợp sau phương pháp nêu tính chất đặc trưng: a) A = { 2; 3; 5; 7} b) B = { −5; 0; 5; 10; 15} Bài 3: Xét quan hệ “ ⊂ ” tập hợp sau: a) A = {� ∈ ℤ | (�2 − 2� − 3)(�2 − � – 12) = 0} B = {� ∈ ℝ | (�2 – 7� + 12) = 0} b) A = [0; 3] B = ( −1; 4) Bài 4: Cho X = {a, b, c, d} liệt kê tập hợp X có : a) phần tử b) phần tử c) Không phần tử Bài 5: Cho A = {1; 3; 5; 7} B = {1; 2; 3; 4} Hãy xác định hai tập hợp (A\B) ⋃ (B\A) (A⋃ B) \ (A⋂ B) Hai tập hợp nhận có khơng? Bài 6: Cho A = [−5; 2] B = (−3; 4) Tìm A⋃ B, A⋂ B, A\B, B\A Bài 7: Cho A = (0; 2] B = [1; 4) Tìm Cℝ (A⋃ B), Cℝ(A⋂ B) Bài 8: Cho hai tập hợp A = (a; a+2] B = (5; 6) Tìm tất giá trị a để: a) A ⊂ B b) B ⊂ A c) A⋂ B = Ø Bài 9: Biểu diễn tập sau thành hợp khoảng hay đoạn: a) A = {� ∈ ℝ | 2< ‫�׀‬4> ‫}׀‬ b) B = {� ∈ ℝ | ‫�׀‬3 ≤ ‫ ׀‬và ‫�׀‬5 ≥ ‫}׀‬ c) C = {� ∈ ℝ | Bài 10: Cho hai tâp hợp A = (2; – m] B = (m – 1, +∞) Xác định m để: a) A ⊂ B b) A⋂ B ≠ Ø c) A⋃ B = (1; +∞) §4 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ A TÓM TẮT SÁCH GIÁO KHOA http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Số gần Trong nhiều trường hợp, ta giá trị đại lượng mà ta quan tâm mà biết giá trị gần Ví dụ 1: Các số liệu sau số gần đúng: • Khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất 384400km • Số dân Việt Nam (theo số liệu năm 2005) 83 triệu người Sai số a) Sai số tuyệt đối độ xác d: Nếu a số gần số a ∆ ( a )= a − a gọi sai số tuyệt đối số gần a Thông thường ta số a nên khơng tính ∆(a ) mà ước lượng ∆(a ) không vượt số dương Khi ∆(a ) ≤ d ⇔ − d ≤ a − a ≤ d ⇔ a − d ≤ a ≤ a + d điều có nghĩa số a dao động từ a − d đến a + d ta nói a số gần a với độ xác d quy ước viết gọn a = a ± d Ví dụ 2: Kết đo chiều dài cầu ghi 152m ± 0,2m , điều có nghĩa gì? Giải Kết đo chiều dài cầu ghi 152m ± 0,2m có nghĩa chiều dài cầu số nằm khoảng từ 151,8m đến 152,2m Ví dụ 3: Khi tính diện tích hình tròn bán kính R = 3cm, lấy π = 3,14 độ xác bao nhiêu? Giải Ta có diện tích hình tròn S = 3,14 S = π 32 = 9π Ta có: 3,14 < π < 3,15 ⇒ 3,14.9 < 9π < 3,15.9 ⇒ 28,26 < S < 28,35 Do S − S = S − 28,26 < 28,35 − 28,26 = 0,09 ⇒ ∆( S ) = S − S < 0.09 Vậy ta lấy π = 3,14 diện tích hình tròn S = 28,26cm2 với độ xác d = 0,09 b) Sai số tương đối ∆( a) Sai số tương đối số gần a δ (a ) = a d Nếu a = a ± d ∆(a ) ≤ d Do δ ( a) ≤ a d nhỏ chất lượng phép đo đạc cao a Người ta thường viết sai số tương đối dạng phần trăm Ví dụ 4: Tìm sai số tương đối phép đo chiều dài cầu Ví dụ Giải Trong phép đo chiều dài cầu Ví dụ sai số tương đối khơng vượt q 0,2 = 0,1316% 152 Ví dụ 5: Bạn A đo chiều dài sân bóng ghi 250 ± 0,2m Bạn B đo chiều cao cột cờ 15 ± 0,1m Trong bạn A B, bạn có phép đo xác hơn? Giải 0,2 = 0,0008 = 0,08% Phép đo bạn A có sai số tương đối δ ≤ 250 Nếu http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word 0,1 = 0,0066 = 0,66% 15 Như phép đo bạn A có độ xác cao Số quy tròn a) Quy tắc làm tròn số Tùy theo mức độ cho phép, ta quy tròn số đếm đến hàng đơn vị, hang chục, hang trăm,… hay đến hàng phần chục, hàng phần trăm,… (gọi hàng quy tròn) theo nguyên tắc sau: ♦ Nếu chữ số sau hàng quy tròn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số ♦ Nếu chữ số sau hàng quy tròn lớn ta việc thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị chữ số hàng quy tròn Ví dụ 6: Các số quy tròn số x theo hàng cho bảng sau: Phép đo bạn B có sai số tương đối δ ≤ Quy tròn đến Hàng chục x = 549,2705 x = 397,4619 550 400 Hàng đơn vị 549 397 Hàng phần Hàng phần chục trăm 549,3 549,27 397,5 397,46 Hàng phần nghìn 549,271 397,462 Nhận xét: Khi thay số số quy tròn sai số tuyệt đối không vượt nửa đơn vị hang quy tròn Nếu a = a ± d ta quy tròn số a đến hàng lớn hàng d đơn vị Cách viết số quy tròn số gần vào độ xác cho trước Ví dụ 7: Cho số gần a = 2851275 với độ chinh xác d = 300 Giải Vì độ xác đến hàng trăm nên ta quy tròn a đến hàng nghìn, số quy tròn a 2851000 Ví dụ 8: Cho số gần a = 5,2463 với độ xác d = 0,001 Giải Vì độ xác đến hàng phần nghìn nên ta quy tròn a đến hàng phần trăm, số quy tròn a 5,25 B BÀI TẬP Bài 1: Chiều dài đường ghi 1745,25m ± 0,01m Hãy viết số quy tròn số gần 1745,25 Bài 2: Thực phép tính sau máy tính bỏ túi: a) 15.12 (lấy chữ số hàng thập phân) (3 42 + 37 ) : 14 (lấy chữ số phần thập phân) 17 99 ; dùng để xấp xỉ số , đánh giá sai số tuyệt đối số Bài 3: Trong số 12 70 gần chọn số gần tốt ,0 < x < Giả sử ta lấy số a = − x làm giá trị gần a Bài 4: Cho a = 1+ x Hãy tính sai số tương đối a theo x b) §5 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG Bài 1: Phát biểu sau mệnh đề: a) Phở ăn người Việt Nam b) Hôm qua, trời đẹp c) : = − http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word d) − = + e) ≥ Bài 2: Xác định tính sai mệnh đề sau: a) 2007 số nguyên tố b) Phương trình x − x + = vô nghiệm c) ∀n ∈ N , n − n chia hết cho d) ∀x ∈ ℝ , x − x + > Bài 3: Cho mệnh đề: “Nếu tam giác cân có hai đường trung tuyến nhau” a) Chứng minh mệnh đề b) Phát biểu mệnh đề dùng thuật ngữ “điều kiện cần” c) Phát biểu mệnh đề dùng thuật ngữ “điều kiện đủ” d) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề cho biết mệnh đề đảo hay sai Bài 4: Cho A = { n | n ∈ N , n ≤ }; B = {� ∈ ℝ , x( x − 1)( x − 2)( x − 3)( x − 4) = }; C = { 2n | n ∈ ℤ, − ≤ n ≤ } a) Liệt kê phần tử A, B, C b) Xác định tập hợp sau so sánh: i ( A ∪ B ) ∪ C ; A ∪ ( B ∪ C ) ii ( A ∩ B ) ∩ C ; A ∩ ( B ∩ C ) iii A ∪ ( B ∩ C ); ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) iiii A ∩ ( B ∪ C ); ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) Bài 5: Cho tập hợp: A = {� ∈ ℝ | − < x < }; B = {� ∈ ℝ | − ≤ x ≤ }; C = {� ∈ ℝ | x ≥ } Xác định tập hợp sau biểu diễn chúng trục số: ( A ∪ B) ∪ C; ( A ∩ B) ∩ C; ( A ∪ B) ∩ C; ( A ∩ C ) ∪ B HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP CHƯƠNG MỆNH ĐỀ - TẬP HỢP §1 MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN Vấn đề 1: Xác định phát biểu có mệnh đề, tính sai mệnh đề Bài a) Là mệnh đề sai b) Là mệnh đề c) Không mệnh đề câu hỏi d) Khơng mệnh đề câu cảm than e) Là mệnh đề f) Là mệnh đề g) Là mệnh đề sai h) Là mệnh đề i) Là mệnh đề j) Là mệnh đề k) Không mệnh đề l) Là mệnh đề sai Bài a) Tồn số chất khí có dẫn điện b) Nhà tốn học Cauchy khơng phải người Ý http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word c) 9801 khơng phải số phương d) Giải thưởng cao toán học giới giải Nobel e) Không phải có vơ số số ngun tố f) Nói năm có tối đa 52 ngày chủ nhật sai Bài a) ( P ⇒ Q) : “Nếu tam giác ABC vng A độ dài trung tuyến AM nửa cạnh BC” Ta thấy P ∆ ABC vng A Khi AM = BC nên Q Do ( P ⇒ Q) mệnh đề b) ( P ⇔ Q) : “Tam giác ABC vuông A độ dài trung tuyến AM nửa cạnh BC” Ta thấy nêu P Q P sai Q sai Do P Q sai Do ( P ⇔ Q) mệnh đề Bài a) ( P ⇒ Q) : “Nếu 120 chia hết cho chia hết cho 120 chia hết cho 6.8” Ta thấy P mệnh đề Q mệnh đề sai Vậy ( P ⇒ Q) sai b) ( P ⇔ Q) : “120 chia hết cho chia hết cho 120 chia hết cho 6.8” Ta thấy P mệnh đề Q mệnh đề sai Vậy ( P ⇔ Q) sai Vấn đề 2: Xác định mệnh đề ảo, mệnh đề phủ định mệnh đề Bài ∗ A = “Tồn số thực số nguyên” Ta có A mệnh đề ∗ B = “Mọi góc α ta ln có sin α ≤ Ta có B mệnh đề ∗ C = “Tồn tam giác tam giác cân” Ta có C mện đề sai Bài 2 a) P =" ∃x ≠ 0, x + < 2" Ta có P mệnh đề sai x b) Q = “Mọi hình thoi hình vng” Ta có Q mệnh đề sai Bài a) P(0) ="0 = " mệnh đề b) P(1) ="1 = 14 " mệnh đề c) P( 2) ="2 = " mệnh đề sai d) P( −1) ="−1 = (−1) " mệnh đề sai e) (∃x ∈ ℤ , P(x) ) = “ ∃x ∈ ℤ, x = x " mệnh đề (chẳng hạn với x = ) f) (∀x ∈ ℤ , P(x) ) = "∀x ∈ ℤ , x = x " mệnh đề sai (chẳng hạn lấy x = ) Bài a) A =" ∃x ∈ ℝ , x − ≤ x " b) B =" ∃n ∈ Ν, n + chia hết cho 3” c) C ="∀r ∈ ℚ , 4r − ≠ ” d) D = “Mọi tứ giác có đường tròn ngoại tiếp” Bài a) " ∃x ∈ Χ, P ( x )" = “Có số học sinh lớp 10A tự học nhà ngày” http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b) "∀x ∈ Χ, P ( x)" = “Mọi học sinh lớp 10A tự học nhà ngày” c) " ∃x ∈ Χ, P ( x )" = “Có số học sinh lớp 10A khơng tự học nhà ngày” d) "∀x ∈ Χ, P ( x)" = “Mọi học sinh lớp 10A không tự học nhà ngày” Bài a) A = “ ∃r ∈ ℚ , < r < π ” mệnh đề A ="∀r ∈ ℚ , r ≤ hay r ≥ π ” b) B ="∀x ∈ ℝ , x − x = > 0" mệnh đề B =" ∃x ∈ ℝ , x − x = ≤ 0" c) C ="∀n ∈ ℕ , n ≥ n + ” mệnh đề sai C =" ∃n ∈ ℕ , n < n + ” d) D =" ∃n ∈ ℕ, n + chia hết cho 8” mệnh đề sai D ="∀n ∈ ℕ, n + khơng chia hết cho 8” §2.ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC Bài a) Phát biểu: Với số tự nhiên n, n số chẵn 7n+4 số chẵn Chứng minh: Ta có: n số tự nhiên chẵn ⟹ 7n số tự nhiên chẵn ⟹ 7n+4 số chẵn b) Phát biểu định lí đảo: Với số tự nhiên n, 7n +4 số chẵn n chẵn Chứng minh định lí đảo: Ta có: ∀n ∈ ℕ , n + số chẵn ⟹ n số chẵn ⟹ n số chẵn c) Phát biểu định lí thuận cách: d) Cách 1: “n số tự nhiên chẵn điều kiện đủ để 7n+4 số chẵn” Cách 2:”Với số tự nhiên, 7n +4 số chẵn điều kiện cần để n số chẵn” Phát biểu định lí đảo cách: Cách 1: “n số tự nhiên chẵn điều kiện cần để 7n+4 số chẵn” Cách 2:”Với số tự nhiên, 7n +4 số chẵn điều kiện đủ để n số chẵn” Bài a) Hai ta giác đồng dạng điều kiện đủ để chúng có góc tương ứng b) Tứ giác ABCD hình thoi điều kiện đủ để tứ giác có đường chéo vng góc c) a = b điều kiện đủ để a = b Bài a) Với số tự nhiên n, n chia hết cho điều kiện cần để n2 chia hết cho b) Tam giác ABC có đường trung tuyến từ đỉnh A đường cao điều kiện cần để tam giác ABC cân A c) Một số nguyên dương lẻ biểu diễn dạng 4k+1 (k∈ℕ ) điều kiện cần để số ngun số phương Bài a) Tam giác ABC vuông A điều kiện cần đủ để AB2 + AC2 = BC2 http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word b) Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn điều kiện cần đủ để có tổng góc đối 1800 Bài a) Giả sử không số vô tỉ m ⇒ = (m, n ∈ ℕ*, (m, n) = 1) n ⇒ m = 2n ⇒ m số chẵn ⇒ m = 2k (k ∈ ℕ*) ⇒ n = 2k ⇒ n số chẵn ⇒ n số chẵn ⇒ (m, n) ≠ (trái giả thiết) Vậy số vô tỉ b) Giả sử ∆ABC tam giác mà khơng có góc nhỏ 600  A ≥ 60  ⇒  B ≥ 60 ⇒ A + B + C ≥ 180 C ≥ 60  ⇒ A = B = C = 60 (vì A + B + C = 180 ) ⇒ ∆ABC (trái giả thiết) Vậy tam giác khơng phải tam giác có góc nhỏ 600 c) Cho a, b, c ∈ ℝ Giả sử bất đẳng thức bất đẳng thức sau đúng, nghĩa a + b ≥ 2bc; b + c ≥ 2ca; c + a ≥ 2ab ⇒ a + b < 2bc; b + c < 2ca; c + a < 2ab ⇒ 2a + 2b + 2c < 2bc + 2ca + 2ab ⇒ (a − b) + (b − c ) + (c − a ) < (vơ lí) Vậy phải có nhât bất đẳng thức sau a + b ≥ 2bc; b + c ≥ 2ca; c + a ≥ 2ab Bài ♦ Phát biểu định lí đảo: “Nếu m,n hai số nguyên dương m + n2 chia hết cho m n chia hết cho 3” ♦ Chứng minh: Giả sử m,n nguyên dương, m + n2 chia hết cho Ta chứng minh m chia hết cho n chia hết cho Thật vậy, ta viết m = p ± k (k = 0;1) n = 3q ± h(h = 0;1) ⇒ m + n = p ± pk + k + 9q ± 6qh + h ⇒ m + n = 3 p + 3q ± pk ± 2qh + k + h ⇒ k + h chia hết cho ⇒k =h=0 ⇒ m = p n = 3q ⇒ m n chia hết cho ♦ Dùng thuật ngữ: “điều kiện cần đủ” ta phát biểu gộp định luật thuận đảo sau: “ Với m,n hai số nguyên dương, m n chia hết chia điều kiện cần đủ để m2 + n2 chia hết cho 3” Bài a) Điều kiện cần: [ ] http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word  f (0) ≥ m ≥ f ( x ) ≥ 0, ∀x[0;1] ⇒  ⇒ ⇒m=0  f (1) ≥ − m ≥ Điều kiện đủ: Với m = f ( x ) = −2 x + x = −2 x ( x − 1) ≥ 0, ∀x[1;2] (Vì với x ∈ [ 0;1] − x ≤ x − ≤ ) Vậy với f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ⇔ m = b) Điều kiện cần:  g (1) ≥ m ≥ g ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [1;2] ⇒  ⇒ ⇒m=0  g (2) ≥ − m ≤ Điều kiện đủ: Vì m=0 g ( x) = −2 x + x − + = −2( x − 1) + x − = −2 x − 1( x − − 1) ≥ 0, ∀x ∈ [1;2] (vì với x ∈ [1;2] − x − ≤ 0, x − − ≤ ) Vậy g ( x) ⇔ m = Bài a) Phương trình x − 4mx + m − = (1) Nhận xét: Nếu � nghiệm (1) −� nghiệm (1) Do đó: Nếu (1) có nghiệm x0 x0 = − x0 Suy , thay vào (1) ta m − ⇒ m ± Đảo lại: ♦ m = : (1) ⇔ x − x = ⇔ x = hay x = ±2 ⇒ m = (loại) ♦ m = −1 : (1) ⇔ x + x = ⇔ x = ⇒ m = −1 (nhận) Vậy (1) có nghiệm ⇔ m = −1 b) Phương trình − x + 23 − x = m (2) Nhận xét: Nếu � nghiệm (2) −� nghiệm (2) Do đó: Nếu (2) có nghiệm x0 x0 = − x0 Suy x0 =0, thay vào (2) ta m = Đảo lại: m = (2) ⇔ − x + 23 − x = Đặt − x = u , ta (2) ⇔ u + 2u − = ⇔ (u − 1)(u + 3u + 3) = ⇔ u = ⇔ − x = ⇔ x = Vậy m = (nhận) Vậy (2) có nghiệm ⇔ m = 3 x + mxy = m − ⇔ c) Hệ phương trình (I)  (m + 2) x + y = m − 2m − Nhận xét: Nếu (x;y) nghiệm (I) (−x;−y) nghiệm (I) Do đó: Nếu (I) có nghiệm ( x0 ; y0 ) x0 = − x0 y = − y Suy , thay vào (I) ta m − = m = ±1 ⇔ ⇔ m = −1  m − 2m − = m = −1haym = Đảo lại: m = −1 : x =  y = 3x x = 3 x − xy = ⇔ ⇔ (I) ⇔  hay  2  x + y = y = 4 y =  x + 4(3 x) = Vậy m = −1 (nhận) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word Vậy (I) có nghiệm ⇔ m = −1  x2 +1 − y = m  d) Hệ phương trình  (*)  x + + x = − y + m − Nhận xét: Nếu (x;y) nghiệm (*) (−x;−y) nghiệm (*) Do đó: Nếu (*) có nghiệm ( x0 ; y ) x0 = − x0 y = − y Suy x0 = y = , thay vào (*) ta có m=1 Đảo lại: m=1  x + − y = 1(1)  (I) ⇔   x + + x = − y ( 2) Ta có: Vế trái (2) ≥ Dấu “=” xảy x=0 Vế phải (2) ≤ Dấu “=” xảy y=0 VT (2) = ⇔ x= y=0 Do (2) ⇔  VP(2) = Thay vào (I) thấy x=y=0 thỏa (I) Vậy (*) có nghiệm (0;0) Vậy m=1 (nhận) Vậy (*) có nghiệm ⇔ m = Bài x + ax + b = (1) x + cx + d = (2) Ta có: ∆1 = a − 4b , ∆ = c − 4d ⇒ ∆1 + ∆ = a + c − 4(b + d ) ≥ 2ac − 4(b + d ) = 2[ac − 2(b + d )] ≥ Giả sử ngược lại hai phương trình vơ nghiệm ⇒ ∆1 < ∆ < ⇒ ∆1 + ∆ < (vô lí) Vậy phải có hai phương trình cho có nghiệm Bài 10 Giả sử khơng có số số f (0) , f (1) , f (−1) số lớn hay Khi ta có: 1    f (0) = b < − < b < (1)   1   ⇒ − < a + b < − (2)  f (1) = a + b + < 2   1    f ( −1) = − a + b + < − < − a + b < (3)   Cộng theo vế (2) (3) ta được: 1 − < 2b < −1 ⇒ b < − (vơ lí theo (1) b > − 2 Vậy số f (0) , f (1) , f (−1) có số lớn hay Bài 11 Đặt a + b + c > (1), ab + bc + ca > (2) abc > (3) Giả sử số a, b, c có số âm hay Giả sử số a Khi (1) ⇒ b + c > − a ≥ ⇒ a(b + c) ≤ Do (2) ⇒ bc + a (b + c) > ⇒ bc > − a(b + c) ≥ mà a < ⇒ abc < (vơ lí abc > (3)) Vậy số a, b, c số nhỏ hay http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ⟹ Cả số a, b, c dương §3 TẬP HỢP VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP Bài a) (4 x − x )(9 x − 10 x + 1) = x = x =  4 x − x = ⇔ ⇔ x = 9 x − 10 x + =  x =  Vì x ∈ ℕ* nên ta nhận giá trị x=1 x=4 Vậy A = {1;4} b) Ta có n ∈ ℤ 3< n2 2)} = {x | < x < 4} = (2; 4) Bài ∗ Ta có A ∪ B = (0;4) ⇒ Cℝ ( A ∪ B )= ℝ \ ( A ∪ B) = (−∞; 0] ∪ [4; +∞) http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ∗ Ta có A ∩ B = [1; 2] ⇒ Cℝ ( A ∩ B ) = ℝ \ ( A ∩ B ) = (−∞; 1) ∪ (2; +∞) Bài a) A ⊂ B ⇔ < a < a + < ⇔ a > a < ⇔ a ∈ Ø b) B ⊂ A ⇔ a ≤ < ≤ a + ⇔ a ≤ a ≥ ⇔ ≤ a ≤ a + ≤ a ≤ ⇔ c) A ∩ B = Ø ⇔  a ≥ a ≥ Bài a) A = {x ∈ ℝ | < x < hay −4 < x < −2} = (−4; −2) ∪ (2; 4) b) B = {x ∈ ℝ | (x ≤ −3 hay x ≥ 3) (−5 ≤ x ≤ 5)} = {x ∈ ℝ | (−5 ≤ x ≤ −3) (3 ≤ x ≤ 5)} = [−5; −3] ∪ [3; 5] Bài 10 a) A ⊂ B ⇔ m – ≤ ⇔ m ≤ b) A ∩ B ≠ Ø ⇔ m – < – m ⇔ 2m < ⇔ m < c) Vì A ⊂ (1; +∞) nên A ∪ B = (1; +∞) ⇔ m – = ⇔ m = §4 SỐ GẦN ĐÚNG VÀ SAI SỐ Bài Vì độ xác d = 0,01 (đến hàng phần trăm) nên ta quy tròn số a đến hàng phần chục Vậy số quy tròn 1745,25 1745,3 (m) Bài Thực phép tính sau máy tính bỏ túi: a) 51139,3736 b) 0,0001266 Bài 17 17 ⇒ ∆(a1 ) = − < 0,00245 = d1 12 12 99 99 a = ; a2 = ⇒ ∆( a2 ) = − < 0,00007 = d 70 70 99 17 Ta thấy d < d1 nên số gần tốt 70 12 x2 = Bài Ta có ∆( a ) = a − a = − x − 1+ x 1+ x Sai số tương đối số gần a là: ∆( a ) x2 1+ x δ ( a) = = = x2 a 1+ x Ta có a = ; a1 = §5 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG Bài a) Là mệnh đề b) Không mệnh đề c) Là mệnh đề d) Là mệnh đề e) Là mệnh đề Bài a) Là mệnh đề sai b) Là mệnh đề sai c) Là mệnh đề đúng, n − n = n(n − 1) hai số nguyên liên tiếp http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word d) Là mệnh đề đúng, x − x + = ( x − 1) + > , ∀x ∈ ℝ Bài a) Gọi P = “Tam giác ABC tam giác cân” Q = “Tam giác ABC có hai trung tuyến nhau” Khi mệnh đề cho có dạng “ P ⇒ Q " Ta thấy: P Q đúng, nên “ P ⇒ Q " mệnh đề b) “Tam giác có hai trung tuyến điều kiện cần để tam giác cân” c) “Tam giác cân điều kiện đủ đề tam giác có trung tuyến nhau” d) Mệnh đề đảo: “Nếu tam giác có hai trung tuyến tam giác cân” Mệnh đề đảo Bài a) A = {0; 1; 2; 3} B = {0; 1; 2; 3; 4} C = {−2; 0; 2; 4} b) Ta có i Ta có: A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4} ⇒ ( A ∪ B ) ∪ C = {−2; 0; 1; 2; 3; 4} B ∪ C = {−2; 0; 1; 2; 3; 4} ⇒ A ∪ ( B ∪ C ) = {−2; 0; 1; 2; 3; 4} Ta thấy: ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) ii Ta có: A ∩ B = {0; 1; 2; 3} ⇒ ( A ∩ B ) ∩ C = {0; 2} B ∩ C = {0; 2} ⇒ A ∩ ( B ∩ C ) = {0; 2} Ta thấy: ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) iii Ta có: B ∩ C = {0; 2} ⇒ A ∪ ( B ∩ C ) = {0; 1; 2; 3} A ∪ C = {−2; 0; 1; 2; 3} ⇒ ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) = {0; 1; 2; 3} Ta thấy: A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) iv Ta có: A ∩ ( B ∪ C ) = {0; 1; 2; 3} ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ={0; 1; 2; 3} Ta thấy: A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) Bài Ta có: A = (−3; 1), B = [−1; 5] C = (−∞; −2] ∪ [2; +∞) Do đó: ♦ A ∪ B = (−3; 5] ⇒ A ∪ B ∪ C =ℝ ♦ A ∩ B = [−1; 1) ⇒ A ∩ B ∩ C = Ø ♦ ( A ∪ B ) ∩ C = (−3; −2] ∪ [2; 5] ♦ A ∩ C = (−3; −2) ⇒ ( A ∩ C ) ∪ B = (−3; −2] ∪ [−1; 5] http://dethithpt.com – Website chuyên đề thi – tài liệu file word ... có mệnh đề, tính sai mệnh đề Bài a) Là mệnh đề sai b) Là mệnh đề c) Khơng mệnh đề câu hỏi d) Khơng mệnh đề câu cảm than e) Là mệnh đề f) Là mệnh đề g) Là mệnh đề sai h) Là mệnh đề i) Là mệnh đề. .. ⇒ a) Phát biểu mệnh đề P Q cho biết mệnh đề hay sai b) Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q cho biết mệnh đề hay sai Vấn đề 2: Xác định mệnh đề đảo, mệnh đề phủ định mệnh đề Phương pháp Mệnh đề phủ định P... chuyên đề thi – tài liệu file word • • Ví dụ 10: Phần bù tập số lẻ tập số nguyên tập hợp số nguyên chẵn B = (−∞; −2) ⟹ Cℝ B = [−2; +∞) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Vấn đề 1: Xác định tập hợp phép toán tập