GIAI HE PHUONG TRINH BANG PHUONG PHAP HAM SO

SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" A ĐẶT VẤN ĐỀ Thông thường đứng trước tốn giải hệ phương trình học sinh nghĩ đến dạng học : phương pháp cộng, phương pháp thế, phương pháp đặt ẩn phụ để giải Nhưng thực tế qua đề thi đại học đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh năm vừa qua học sinh toàn gặp hệ phương trình phức tạp mà để giải cần phải có kỹ đặt biệt Một kỹ sử dụng tính đơn điệu hàm số vào giải hệ phương trình Với mong muốn học sinh làm tốt câu kỳ thi tuyển sinh đại học, mạnh dạn đưa sáng kinh nghiệm "Rèn luyện kỹ giải hệ phương trình phương pháp hàm số" Nội dung sáng kiến kinh nghiệm gồm phần: Phần I: Các kiến thức cần trang bị Phần II: Kỹ phân tích tìm hàm đặc trưng tự giải vấn đề Do khả hạn chế kinh nghiệm chưa nhiều nên SKKN tơi có phần chưa hồn chỉnh Rất mong đóng góp q báu q thầy Tơi xin chân thành cảm ơn! Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ 1/ Một học sinh khơng thể học hệ phương trình tốt kiến thức liên quan đến biến đổi đa thức không tốt 2/ Một học sinh giải hệ phương trình lạ khơng trang bị kỹ nhận dạng biến đổi đặc biết dạng II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 1/ Thực trạng chung : Hầu hết học sinh có cảm giác "sợ ngại" học hệ phương trình dạng khơng mẫu mực, phần ứng dụng đạo hàm đưa vào sau em tiếp cận hệ phương trình cách lâu 2/ Thực trạng giáo viên: Do phần kiến thức khó, thời lượng dành cho hệ phương trình chương trình q ít, số giáo viên không mặn mà dạy phần kiến thức 3/ Thực trạng học sinh: Hầu hết học sinh chưa có cách học tốt gặp phần kiến thức ln có cảm giác “sợ” Vì hầu hết em học chưa tốt phần kiến thức III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN Trang bị lại cho học sinh số kiến thức : Tính chất 1: Nếu hàm số y = f ( x) liên tục đồng biến (hoặc ln nghịch biến) tập D số nghiệm phương trình f ( x) = k ( k số không đổi) D không nhiều f ( x) = f ( y ) x = y với x, y thuộc D Tính chất 2: Nếu hàm số y = f ( x ) đồng biến (hoặc nghịch biến) hàm số y = g ( x) nghịch biến (hoặc đồng biến) liên tục tập D số nghiệm phương trình f ( x) = f ( y ) khơng nhiều Tính chất 3: Cho hàm số y = f ( x) liên tục (a; b) Nếu phương trình f '( x) = có n − (n ∈ N ) nghiệm thuộc ( a; b) phương trình f ( x) = có nhiều n nghiệm thuộc khoảng (a; b) Chú ý : Nếu hệ có hai phương trình ta dưa dạng : f ( x) = f ( y ) với x, y thuộc D ta khảo sát hàm số đặc trưng : y = f (t ) tập D Nếu y = f (t ) hàm số đơn điệu f ( x) = f ( y ) x = y Trong phương pháp khó phải xác định tập giá trị x y, tập giá trị Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" chúng khác em khơng dùng phương pháp mà phải chuyển chúng dạng tích : f ( x ) − f ( y ) = hay (x − y).A(x; y) = Khi ta xét trường hợp x − y = , trường hợp A(x; y) = Kỹ giải hệ phương trình sử dụng phương pháp hàm số :  x + x − = y + y + y (1)  (2) Ví dụ 1: Giải hệ phương trình :  x + y + = */ Cách thức mà thực tế thân làm: • • • • Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng f ( x) = f ( y ) Nhận xét tập giá trị x (y + 1) ? Hàm số có đơn điệu tập xét khơng ? Hướng dẫn giải: (1) ⇔ x3 + x = ( y + 1)3 + ( y + 1) (1') Xét hàm số f (t ) = t + t R Ta có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Suy hàm số f(t) đồng biến R Khi : (1') ⇔ f ( x) = f ( y + 1) ⇔ x = y + vào phương trình (2), ta được: x + (1 − x)3 + = ⇔ x( x + x − x + 3) = x = x = ⇔ ⇔   ⇔ x = ⇒ y = −1 3 x + x − x + = x + x − + = 0( VN )   ÷  2  x =  Vậy hệ phương trình có nghiệm  y = −1  x3 − 5x = y3 − 5y (1)  (2) Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :  x + y = Hướng dẫn giải: Từ phương trình (2) suy điều kiện có nghiệm hệ phương trình : x ≤ 1; y ≤ −1;1] Xét hàm số : f (t) = t − 5t tập [ f '(t) = 3t2 − 5< 0,∀t∈ [ −1;1] khoảng (−1;1) Suy hàm số nghịch biến Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Phương trình (1) tương đương với : f (x) = f (y) ⇔ x = y vào phương trình (2), ta : 5−1 5−1 5−1 ⇔ x= ±4 ⇒ x= y= ± 2   5−1 5−1 x = − x =       5−1 5−1 4 y= − y= 2 Vậy nghiệm hệ phương trình :   Nhận xét : Khi sử dụng phương pháp hàm số để giải hệ phương trình điều quan trọng hàm số xét tập 3   x − x + = y + y (1)  x − = y2 + y (2)   Ví dụ : Giải hệ phương trình : */ Cách thức mà thực tế thân làm: (x ) + x4 − 1= ⇔ x4 = Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng f ( x ) = f ( y ) y+3 ? • Nhận xét tập giá trị (x - 1) • Hàm số có đơn điệu tập xét khơng ? • Hướng dẫn giải: •  y3 + y2 ≥  x ≥ y + y ≥ ⇔ (*)   y ≥  x − ≥  Điều kiện : Ta có : (1) ⇔ x3 − x = y y + ⇔ ( x − 1)3 − 3( x − 1) = ( ) y +3 −3 ( y+3 ) (1') Xét hàm số f (t ) = t − 3t tập [1; +∞) f '(t ) = 3t − ≥ 0, ∀t ≥ ⇒ f(t) hàm số đồng biến khoảng (1; +∞) (1') ⇔ f ( x − 1) = f ( ) y + ⇔ x − = y + ⇔ ( x − 1) = y + Khi : với phương trình (2), ta :  x − x + = y + (1')  x − x − = y ⇔   2 9( x − 2) = y + y (2') 3 x − = y + y Thế (1') vào (2'), ta : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy kết hợp Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" x − 18 = ( x − x − ) + ( x − x − ) ⇔ x − x + x − 17 x + = ⇔ ( x − 3)( x3 − x + x − 2) = x − = x = ⇔ ⇔ ⇔ x = ⇒ y = 1(Tm)  2  x − x + 5x − =  x ( x − 1) + x + ( x − 2) = 0(VN) x =  Vậy hệ có nghiệm :  y = ( x − 3) x − − y − y = (1)  x − x + y + y − y + = (2)   Ví dụ : Giải hệ phương trình : Hướng dẫn giải: x≥ Điều kiện : (1) ⇔ [ 4(2 x − 1) + 1] x − = y + y ⇔ ( ) x − + x − = y + y (1') Xét hàm số : f (t ) = 4t + t tập [0; +∞ ) f '(t ) = 12t + > 0, ∀t ≥ ⇒ Hàm số f(t) đồng biến khoảng (0; +∞) (1') ⇔ f ( Khi : trình (2), ta : (y ) x − = f ( y) ⇔ x − = y ⇔ y + = x vào phương + 1) − ( y + 1) + y + y − y + = y =  y = −1 ⇔ y + y − y − y = ⇔ y ( y − 1)(y+ 1)(y+ 2) = ⇔   y = −2  y =1 y =0⇒ x = (thỏa mãn điều kiện) Khi Khi y = −1 ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện) Khi y = −2 ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện) Khi y = ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện)  1  5  ( x; y ) = (1; −1);(1; −1);  ;0 ÷;  ; −2 ÷ 2  2   Vậy tập nghiệm hệ phương trình : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" 3x + y + = ( y − x)( y + xy + x + 6) (1)  ( x + y − 13)( y − 14 − x + 1) = (2) Ví dụ : Giải hệ phương trình :  */ Cách thức mà thực tế thân làm: • • • • Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng f ( x) = f ( y ) Nhận xét tập giá trị (x + 1) (y - 1) ? Hàm số có đơn điệu tập xét không ? Hướng dẫn giải:  x ≥ −1 x +1 ≥  ⇔  14 (*) y − 14 ≥ y ≥   Điều kiện : 3 Ta có : (1) ⇔ ( x + 1) + ( x + 1) = ( y − 1) + ( y − 1) (1') Xét hàm số f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R ⇒ Hàm số f(t) đồng biến R Khi : (1') ⇔ f ( x + 1) = f ( y − 1) ⇔ x + = y − ⇔ y = x + vào phương trình (2), ta : (2 x − 11)( x − − x + 1) = (3) 11 = (4) x= x − 11 không nghiệm (3) (Do  11   11  D =  ; ÷∪  ; +∞ ÷ g ( x) =⇔ x − − x + − 3    x − 11 Xét hàm số 10 g '( x) = − + 2 3x − x + ( x − 11) ⇔ 3x − − x + − = x + 17 10  11   11  + > 0, ∀ x ∈  ; ÷∪  ; +∞ ÷ 2 (3 x − 8)( x + 1)(3 x + + x − 8) ( x − 11) 3     11   11   ; ÷  ; +∞ ÷  ⇒ Hàm số g(x) đồng biến     11  x ∈ ; ÷   : (4) ⇔ g ( x) = g (3) ⇔ x = ⇒ y = (thỏa mãn điều kiện (*)) - Khi  11  x ∈  ; +∞ ÷ 2  : (4) ⇔ g ( x ) = g (8) ⇔ x = ⇒ y = 10 (thỏa mãn điều kiện (*)) -Khi x = x = ;  y =   y = 10 Vậy hệ phương trình có hai nghiệm : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" )( ( )  x + 1+ x2 y + 1+ y2 = (1)    x 6x − 2xy + = 4xy + 6x + (2) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình :  */ Cách thức mà thực tế thân làm: • • • • Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng f ( x ) = f ( y ) Nhận xét tập giá trị x (-y) ? Hàm số có đơn điệu tập xét không ? Hướng dẫn giải: Xét hàm số : f (t) = t + 1+ t R f '(t) = 1+ t = 1+ t2 + t > t −t ≥ 0,∀t∈ R 1+ t2 1+ t2 1+ t2 Suy hàm số đồng biến R 2 Ta có : (1) ⇔ x + 1+ x = − y + 1+ (− y) ⇔ f (x) = f (− y) ⇔ x = − y vào phương trình (2), ta : x  25x2  2 x 6x + 2x + = −4x + 6x + 1⇔  6x + 2x + − ÷ = 2   6x + 2x2 + = 3x ⇔  6x + 2x2 + = −2x Khi 6x + 2x + = 3x , ta có : x = −y x= −y x =   ⇔ x≥ ⇔ x≥ 2x2 + 6x + 1= 9x2 −7x2 + 6x + 1=  y = −1   Khi 6x + 2x2 + = −2x , ta có :  3− 11 x = −y x = −y x =    ⇔ x ≤ ⇔ x ≤ 2x2 + 6x + 1= 4x2 −2x2 + 6x + 1=  y = −3+ 11     3− 11 x =   x =  y = −3+ 11   y = −1 Vậy nghiệm hệ phương trình :   Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số"  x3 − 3x2 − 9x + 22 = y3 + 3y2 − 9y   2 x + y − x+ y= Ví dụ 7: Giải hệ phương trình :  (A 2012) Hướng dẫn giải: Hệ phương trình cho tương đương với : ( x − 1) − 12( x − 1) = ( y + 1) − 12( y + 1) (1)  2  1  1 (2)  x − ÷ +  y + ÷ = 2  2  Từ phương trình (2) suy : 1 x − ≤ 1⇔ − ≤ x − 1≤ ; y + ≤ 1⇔ − ≤ y + 1≤ 2 2 2  3 K =  − 2; 2 f ( t ) = t − 12 t   Xét hàm số : đoạn f '(t) = 3t2 − 12 = 3(t2 − 4) < 0,∀t∈ K  3 − ; ÷ ⇒ Hàm số f(t) nghịch biến  2  Khi : (1) ⇔ f (x − 1) = f (y + 1) ⇔ x − 1= y + 1⇔ y = x − vào phương trình (2), ta :  x = 2  1  3  2 x − + x − = ⇔ x − x + = ⇔   ÷  ÷ 2  2  x =  x= y= − , ta có : - Với x= y= − , ta có : - Với      (x; y) =  ;− ÷; ;− ÷  2   2   Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Phương trình (1) hệ có yếu tố ta đáng lưu tâm x − 3x y3 + 3y2 phần đẳng thức  x4 − 16 y4 − =  x y   2 Ví dụ 8: Giải hệ phương trình :  x − 2xy + y = */ Cách thức mà thực tế thân làm: Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng f ( x ) = f ( y ) x • Nhận xét tập giá trị y ? • Hàm số có đơn điệu tập xét khơng ? • Hướng dẫn giải: • Điều kiện : x ≠ y≠  x −1 4 x − 16 y −  ÷ y −1  = ⇔ = x 8x y y Ta có : (1) t −1 f (t) = t D = R \ {0} Xét hàm số : f '(t) = 3t2 + > 0,∀t∈ D t Suy : Hàm số f(t) đồng biến D x  x (0;+∞):(1) ⇔ ff ÷ = (y) ⇔ = y  2 + Trên vào phương trình lại hệ ta : y = 8⇒ y = 2 ⇒ x = (thỏa mãn) x  x (−∞;0):(1) ⇔ ff ÷ = (y) ⇔ = y  2 + Trên vào phương trình lại hệ ta : y = 8⇒ y = −2 ⇒ x = −4 (thỏa mãn) {( )( )} (x; y) = −4 2;−2 ; 2;2 Vậy nghiệm hệ phương trình : Nhận xét : Có nhiều tốn cho ta thấy hàm số cần xét có cần có số bước biến đổi có ta cần 3x +  (1) x + 3y +1 = y − y + x +1   y − + x + y + = y + (2) Ví dụ 9: Giải hệ phương trình :  Hướng dẫn giải:  x > −1 x +1 >  ⇔  (*) 9 y − ≥  y ≥ Điều kiện : 1 (1) ⇔ y − − y = ( x + 1) − − x + (1') y x + Ta có : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" f (t ) = t − − 3t t Xét hàm số khoảng (0; +∞) 2t + 1) ( t − 1) ( f '(t ) = 2t + − = ≥ 0, ∀t ∈ (0; +∞) t t2 ⇒ Hàm số f(t) đồng biến (0; +∞) (1') ⇔ f ( y ) = f x + ⇔ y = x + ⇔ x + = y Khi : vào phương trình (2), ta : y − + y2 + y − = y + ( ) ⇔  y − − ( y + 2)  +  y + y − − ( y + 1)  =   y2 − y + ( y + 1)( y − y + 6) ⇔ + =0 y − + ( y + 2) ( y + 1) + ( y + 1) y + y − + ( y + y − 5) ⇔ ( y − y + 6).h( x) = Vì   y +1 h(x) =  + >0 2 2 3 y − + ( y + 2) ( y + 1) + ( y + 1) y + y − + ( y + y − 5)   y = 2 y2 − y + = ⇔  ∀y ≥ y = nên với -Khi y = ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện (*)) -Khi y = ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện (*)) x = x = ;   y = y = Vậy nghiệm hệ phương trình :  x   x + x + = ( y + 2) ( x + 1)( y + 1)  3x − x − = ( x + 1) y + Ví dụ 10: Giải hệ phương trình :  */ Cách thức mà thực tế thân làm: (1) (2) Hãy lựa chọn biến đổi phương trình hệ dạng f ( x ) = f ( y ) x y +1 ? • Nhận xét tập giá trị x + • Hàm số có đơn điệu tập xét khơng ? • Hướng dẫn giải: • Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 10 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số"  x > −1 (*)  y ≥ − Điều kiện :  Ta có : x3 + x + x (1) ⇔ = ( y + 2) ( x + 1)( y + 1) x +1 x3 + x( x + 1)  x   x  ⇔ = ( y + 2) y + ⇔  ÷ + ÷= ( x + 1) x +  x +1   x +1  Xét hàm số f (t ) = t + t D = [ 0; +∞ ) ( ) ( y +1 + ) y + (1') f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ≥ ⇒ Hàm số f(t) đồng biến (0; +∞) x  x  (1') ⇔ f  = y +1 ÷= f y + ⇔ x + x +   Khi : vào phương trình ( ) ( 3x − x − = x x + ⇔ ( x − 1) = x + x + (2), ta : )  x + = x − (3) ⇔  x + = − 3x (4) x −1 ≥ x ≥ (3) ⇔  ⇔ ⇔ x = 3+  2 4( x + 1) = ( x − 1) x − 6x − = 3+ 4+3 y +1 = ⇔ y= 4+2 Suy : (thỏa mãn điều kiện)  1 − x ≥ − 13 x ≤ (4) ⇔  ⇔ ⇔ x =  4( x + 1) = (1 − x) 9 x − 10 x − =  − 13 41 + 13 y +1 = ⇔ y=− 72 − 13 +1 Suy : (thỏa mãn điều kiện)  − 13 x = +  x =  ;   4+3  y = − 41 + 13  y =   72 Vậy nghiệm hệ phương trình :  5 + 16.4 x2 −2 y = + 16 x2 −2 y y − x + (1)    x + 17 x + 10 y + 17 = ( x + ) y + 11 (2) Ví dụ 11: Giải hệ phương trình : ( ) Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 11 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Hướng dẫn giải: t = x − y phương trình (1) có dạng Đặt + 2+ t + 2t (3) + 16.4 = ( + 16 ) ⇔ 2+t = 2t x x 1  4 f ( x ) = 5. ÷ +  ÷     ⇒ f ( x) hàm số nghịch biến R Xét hàm số t −t t Phương trình (3) có dạng f (t + 2) = f (2t ) ⇔ t + = 2t ⇔ t = ⇔ x − y = Khi phương trình (2) có dạng x + x + 17 x + = ( x + ) x + ⇔ ( x + ) + ( x + ) + ( x + ) = ( x + ) x + + ( x2 + ) + x2 + 3 Xét hàm số f (t ) = t + t + t khoảng ( 0;+∞ ) f '(t ) = 3t + 2t + > 0, ∀t > ⇒ f(t) hàm số đồng biến khoảng ( 0;+∞ ) Phương trình có dạng x =1 ⇔ x + = x + ⇔ x = f ( x + 2) = f x +   −1    1; ÷,  3; ÷ Suy : Hệ phương trình có cặp nghiệm (x;y) là:     ( ) 2  4 1+ 2x y − 1= 3x + 1− 2x y + 1− x  2x y − x2 = x4 + x2 − 2x3y 4y2 + Ví dụ 12: Giải hệ phương trình :  Hướng dẫn giải: Điều kiện : −1≤ x ≤ Ta thấy (x; y) = (0;a), a∈ R nghiệm hệ phương trình cho Khi x ≠ , ta có : 1 2x3y − x2 = x4 + x2 − 2x3y 4y2 + ⇔ 2y + 2y 4y2 + = + +1 x x x2 (*) Xét hàm số : f (t) = t + t t + f '(t) = 1+ t + + t2 > 0,∀t t2 + ⇒ Hàm số f(t) đồng biến  1 (*) ⇔ f ( 2y) = f  ÷ ⇔ 2y = x vào phương trình lại hệ ta  x Do : có : 1+ x − 1= 3x + 1− x + 1− x Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 12 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" a = 1+ x ≥  2 b = 1− x ≥ Đặt  ta có : 3x = x − 1+ 2(x + 1) − 1= 2a + b − Phương trình trở thành : 2a = b 2a2 + b2 + ab − 4a + 2b = ⇔ ( 2a − b) ( a + b − 2) = ⇔  a + b = 1+ x = 1− x ⇔ x = − ⇒ y = − Với 2a = b, ta có : Với a + b = , ta có : 1+ x + 1− x = ⇔ x = (loại)  5  (x; y) =  − ;− ÷;( 0;a) | a∈ R    Vậy nghiệm hệ phương trình :  x + + x − − y + = y (1)  2 Ví dụ 13: Giải hệ phương trình :  x + x( y − 2) + y − y + = (2) Hướng dẫn giải: Điều kiện : x ≥ 4 Ta có : (1) ⇔ ( x − 2) + + x − = y + + y (1') Xét hàm số f (t ) = t + t + [ 0;+∞ ) f '(t ) = + Khi : f ( 2t t4 + ) > 0, ∀t ≥ ⇒ Hàm số f(t) đồng biến (0; +∞) x − = f ( y) ⇔ x − = y ⇔ x = y + y = ( y4 + y ) vào phương trình (2), y = ⇔ y ( y + y + y − 4) = ⇔   y + y + y − = (3) ta : Với y = ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện) g ( y ) = y + y + y − [ 0;+∞ ) Giải (3): Xét hàm số g '( y ) = y + y + > 0, ∀y ≥ ⇒ Hàm số g(y) đồng biến (0; +∞) Lại có : (3) ⇔ g ( y ) = g (1) ⇔ y = ⇒ x = (thỏa mãn điều kiện) x = x = ;   y = y =1 Vậy nghiệm hệ phương trình :  Ví dụ 14: Giải hệ phương trình : Giáo viên : Hồng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 13 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số"  20 − x − 17 − y − x − x + y − y = (1)  (2)  2 x + y + + 3 x + y + 11 = x + x + 13 Hướng dẫn giải: x ≤ y ≤  (*)  x + y + ≥   Điều kiện : 3 x + y + 11 ≥ (1) ⇔ ( 20 − x ) − x = ( 17 − y ) − y ⇔ ( 3( − x ) + ) − x = ( 3( − y ) + ) − y ( 3) Xét hàm số f ( t ) = ( 3t + ) t tập [ 0;+∞ ) 3t + f '( t ) = t + > 0, ∀t > t ⇒ Hàm số f(t) đồng biến ( 0;+∞ ) Khi : (3) ⇔ f ( − x ) = f ( − y ) ⇔ − x = − y ⇔ y = x − vào phương x≥− 3) trình (2), ta : x + + x + = x + x + 13 (Điều kiện : ⇔2 ⇔ ( ) ( 3x + − ( x + ) + −2 x ( x + 1) 3x + + ( x + ) + ) x + − ( x + 3) = x + x −3 x ( x + 1) x + + ( x + 3) = x2 + x   ⇔ x ( x + 1)  + + 1÷ =  3x + + ( x + ) ÷ x + + ( x + 3)    x = −1 + +1>1 ⇔ x + + x + x + + x + ( ) ( ) x =  (vì với x thuộc TXĐ) Với x = ⇒ y = −1 (thỏa mãn hệ phương trình) Với x = −1 ⇒ y = −2 (thỏa mãn hệ phương trình) ( x; y ) ∈{ ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) } Vậy nghiệm hệ phương trình :  x + x + = y (1)  x  y + y + = (2) Ví dụ 15 : Giải hệ phương trình :  Hướng dẫn giải: Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 14 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" ( x+ ) ( ) x + − y + y + = y − 3x ⇔ x + x + + 3x = y + y + + y (3) t Xét hàm số f (t ) = t + t + + R t f '(t ) = + + 3t ln > 0, ∀t ∈ R t +1 ⇒ Hàm số f(t) đồng biến R Khi : (3) ⇔ f ( x) = f ( y ) ⇔ x = y vào phương trình (2), ta : x + x + = 3x ⇔ = 3x Xét hàm số g ( x ) = 3x ( ( ( x2 + − x x2 + − x ) ) (4) ) R   x + − x  ln − ÷> x +   , ⇒ Hàm số g(x) đồng biến R Khi : (4) ⇔ g ( x) = g (0) ⇔ x = ⇒ y = g '( x ) = 3x x + − x > x2 + ≥ x =  Vậy hệ phương trình có nghiệm :  y = Ví dụ 16 : Giải hệ phương trình : ( xy − 3) y + + x = x5 + ( y − x ) y + (1)  (2)  x + 16 − 2 y + = − x Hướng dẫn giải: 0 ≤ x ≤ (*)  y ≥ − Điều kiện :  Ta có : (1) ⇔ ( x − 1) ( y + 3) y + − ( x + 1) x  = x =1 ⇔ ( y + 3) y + − ( x + 1) x = (3) Với x = : Từ phương trình (2), ta Ta có : (3) ⇔ ( y + + 1) y + = ( x + 1) x ⇔ ( 2y + =1⇔ y = − ) ( y+2 + 31 (loại) ) ( ) + ( x ) (3') y+2 = x 3 Xét hàm số Xét hàm số f (t ) = t + t R Ta có f '(t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R Suy hàm số f(t) đồng biến R Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 15 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Khi : (3) ⇔ f ( y + 2) = f ( x ) ⇔ trình (2), ta : y+2 = x ⇔ y = x−2 vào phương x + 16 = − x + 2 x + ⇔ x = 32 − x + 16 ( − x ) ⇔ ( − x ) + 16 ( − x ) x  2 − x = (4) ( )  2 − ( x + 8x ) = ⇔   ( − x ) = − x − (VN )  0 ≤ x ≤ 4 −6  (4) ⇔  32 ⇔ x = ⇒y= 3  x = (thỏa mãn điều kiện)  4 −6 ; ( x; y ) =  ÷ 3   Vậy hệ phương trình có nghiệm : Ví dụ 17: Giải hệ phương trình: (x − y)(x2 + xy + y2 − 2) = ln y + y2 + x2 + − x  − 12 ln3      2x − y + 34 − 2y − x − =  )( ( Hướng dẫn giải: Điều kiện: x,y ∈ ¡ y+ ( ⇔ x − y − 2x + 2y = ln 3 PT(1) ( )( y2 + x2 + − x2 x + x2 + ) ( ) ) − ln9 ⇔ x3 − y3 − 2x + 2y = ln y + y2 + − ln x + x2 + ( ) ( ) ⇔ x3 − 2x + ln x + x2 + = y3 − 2y + ln y + y2 + Xét hàm số: ( f(t) = t3 − 2t + ln t + t2 + ) với t∈ ¡ )  2 = 3 t2 + − ÷ ÷ t2 + t2 +   2 g(u) = u + − u + với u ≥ Xét hàm số: 1 ⇒ g'(u) = − ≥ 1− >0 3 (u + 9) ⇒ Hàm số g(u) đồng biến [0; +∞) ⇒ g(u) ≥ g(0) = ⇒ f '(t) = 3t2 − + Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 16 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Suy ra: f '(t) = 3g(t ) ≥ ⇒ Hàm số f(t) đồng biến ¡ Mà (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y vào phương trình (2), ta : x + 34 − x − = ⇔ x + 34 + 3 − x = ⇔ x + 34 + − x + 3 (x + 34)(3 − x) ( ) x + 34 + 3 − x = ⇒ 37 + 3 (x + 34)(3 − x) = ⇔ x2 + 31x − 102 = 12  x = −61 ⇔ x2 + 31x − 102 = 1728 ⇔ x2 + 31x − 1830 = ⇔   x = 30 Thử lại ta thấy x = −61;x = 30 nghiệm phương trình ( x;y) = { (30;30);(−61;−61)} Vậy hệ phương trình cho có nghiệm là: (1 + 42 x − y )51− x + y = + 22 x− y +1 (1)  x− y = ln ( x + 3) − ln ( y + 3) (2)   Ví dụ 18: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải:  x > −3  Điều kiện :  y > −3 Đặt t = x − y , phương trình (1) trở thành: t t + 4t + t +     t (1+ ).5 =1+ ⇔ t = ⇔  ÷ +  ÷ = + (3) 5 5 5 5 t t 1 4 f (t ) =  ÷ +  ÷ g (t ) = + 2t     nghịch biến hàm số 5 Ta có hàm số đồng biến ¡ , mà t = thỏa mãn (3), nên t = nghiệm phương trình (3) ⇒ 2x − y = (*) Ta có (2) ⇔ x − 4ln( x + 3) = y − 4ln( y + 3) t 1− t t +1 Xét hàm số: y = f (t ) = t − 4ln(t + 3) với t > −3 ( (*) ⇔ f ( x ) = f ( y ) ) t −1 f '(t ) = − = , f '(t ) = ⇒ t = t +3 t +3 Ta có: BBT: -3 t - + Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy +∞ Trang | 17 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" f’(t ) f(t) Với x = ⇒ y = ta có x = y = thỏa mãn hệ phương trình cho Từ x − y = ⇔ y − x = x − Với x ≠ , ta có: Khi x > ⇒ y > x > ⇒ f ( y ) > f ( x ) Khi x < ⇒ y < x < ⇒ f ( y ) > f ( x ) ∀x ∈ (−3; +∞) \ { 1}  x − y = 1, Suy với  ta ln có f ( y) > f ( x) x =  Vậy hệ cho có nghiệm  y =  y ( y + 3x ) = x ( x + 3) (1)   x y − x + − x + = 4024 (2) 2012 Ví dụ 19: Giải hệ phương trình: Hướng dẫn giải: Điều kiện : y − x + ≥ ( ) Nếu x = ⇒ y = lại không thỏa mãn (2) x khác Từ (1) chia hai vế cho x ≠ Ta : ( 1) ⇔ y ( y + 3x2 ) x3 = x ( x + 3) x3   y   y   2y   2y  3 ⇔ ÷ ÷ + 3 = x + x ⇔  ÷ + 3 ÷ = x + 3x (3)  x   x   x   x   Xét hàm số : f (t ) = t + 3t ⇒ f '(t ) = 3t + > với t thuộc R Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến R 2y 2y (3) ⇔ f ( ) = f ( x) ⇔ = x ⇔ y = x2 x x Khi : vào phương trình (2), ta : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 18 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" ( ) ⇔ 2012 x ( ) x − x + − x + = 4024 ⇔ 2012.2012 x−1 ( ( x − 1) Lại đặt t = x − suy : 2012.2012t Xét hàm số : g (t ) = 2012t ( ) t + − t = 4024 ⇔ g (t ) = 2012t ) t + − t ⇒ g '(t ) = 2012t ln 2012 g '(t ) = 2012t Có : ( ) + − ( x − 1) = 4024 t2 + − t = ) (  t  t + − t + 2012t  − 1÷  t +4  ) ( ) (   t + − t ln 2012 −  >0 t2 +   t + − t > (Vì t +4 < < ln 2012 ) t = x − = ⇒ x = 1; y = mà g (2) = nên t = nghiệm : ( x; y ) = 1; ÷  2 Vậy nghiệm hệ phương trình : ( x + 1) x + ( y − 3) − y = (1)  2 (2) Ví dụ 20: Giải hệ phương trình: 4 x + y + − x = Hướng dẫn giải:   x ≤ (*)  y ≤ Điều kiện :  Ta có : (1) ⇔ x + x = − ( y − 3) − y ⇔ (2 x)3 + (2 x) = ( − 2y ) +( 5− 2y ) (3) Xét hàm số : f (u ) = u + u ⇒ f '(u ) = 3u + > 0, ∀u Suy f(u) đồng biến f (2 x) = f ( ) − y ⇔ x = − y ⇔ x2 = − y ⇔ y = − x2 Thế vào  − 4x2   3 g ( x) = x +  x ∈  0;  ÷ + − 4x − =     Ta thấy (2), ta : với x= x = không nghiệm Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 19 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" 4 5   3 g '( x) = x − x  − x ÷− = x ( x − 3) − < 0, ∀x ∈  0; ÷ − 4x − 4x 2   4 1 g  ÷= ⇒ x = nghiệm Mặt khác :   ( x; y ) =  ;2 ÷ 2  Vậy hệ phương trình có nghiệm : Bài tập tự luyện  x + x( x − 3x + 3) = y + + y + +  3 x − − x − x + = y + + Bài Giải hệ phương trình :   x + 96 + 95 y = y x + 96 − x y   ( y − 3x − 94 ) x = xy − 96 +  y y y Bài Giải hệ phương trình :   x2 +1 y + 12 =3 y − x 2 −   2( x + y ) + x + y = 2 Bài Giải hệ phương trình :  ( ) (53 − x) 10 − x + (5 y − 48) − y =  x − y + + x − x − 66 = −2 x + y + 11 Bài Giải hệ phương trình :   x − 12 xy + 20 y =  ln ( + x ) − ln ( + y ) = x − y Bài Giải hệ phương trình :  ( )  3xy + y + = x +1 − x   x3 (9 y + 1) + 4( x + 1) x = 10 Bài Giải hệ phương trình :  Với chuyên đề giảng dạy lớp 12A1 12A2 Tôi thấy, với cách hướng dẫn học sinh cách suy nghĩ, cách tự đặt câu hỏi, tự trả lời câu hỏi q trình làm tốn nói chung cách biến đổi hàm đặc trưng điều kiện sử dụng phương pháp Với cách làm Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 20 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" Tơi thấy phần lớn học sinh lớp học hứng thú, tự tin biến đổi không thấy e ngại với hệ phương trình dạng Cụ thể sau: Qua hai lần kiểm tra đối chứng, thu kết sau: Giỏi Khá Trung bình Yếu Kém 22 19 Lần kiểm tra 15 25 0 Lần kiểm tra 12 30 21 15 Lớp Sĩ số Lần kiểm tra 12A1 48 12A2 47 Lần kiểm tra C KẾT LUẬN I Kết nghiên cứu : Thơng qua q trình giảng dạy lớp 12A1, 12A2 ôn thi đội tuyển cho đối tượng học sinh giỏi, áp dụng đề tài kết cho thấy: - Học sinh có khả nhìn nhận biến đổi xác cách giải hệ phương trình sử dụng tính đơn điệu hàm số - Hình thành tư logic, kỹ giải hệ phương trình phương pháp hàm số Đồng thời tạo hứng thú học tập cho học sinh Tôi thống kê kết thấy hiệu rõ rệt sáng kiến kinh nghiệm Kiến nghị đề xuất Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 21 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" - Trong trình dạy học phương trình, hệ phương trình bất phương trình nói chung, tơi thấy phương pháp giải hệ phương trình chưa trình bày cách đầy đủ, đặc biệt phương pháp hàm số Rất mong có thêm nhiều tài liệu viết đề tài để góp phần cho việc dạy học đạt hiệu cao - Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy tài liệu hữu ích tơi mang lại kết khả quan dạy học sinh Hy vọng trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh người quan tâm đến vấn đề hệ phương trình Do thời gian có hạn nên việc nghiên cứu khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý bạn đọc để đề tài hoàn thiện Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm ! D TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách Đại số 10 chương trình nâng cao - NXB Giáo dục - Sách Đại số 12 chương trình nâng cao - NXB Giáo dục - Tạp chí tốn học tuổi trẻ - Đại số sơ cấp- Trần Phương - Lê Hồng Đức NXB Hà Nội - Đề thi Đại học Cao đẳng từ 2002 đến 2015 Bộ GD & ĐT -Đề thi HSG cấp tỉnh Tỉnh Thanh Hóa -Lời giải đề thi Học sinh giỏi toán 12 - Trần Tiến tự NXB ĐHQG Hà Nội -Chuyên đề nâng cao đại số trung học phổ thông - Phạm Quốc Phong NXB GD - Từ internet : www.math.vn; www.vnmath.com; www.laisac.page.tl; … Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 22 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" MỤC LỤC Trang A Đặt vấn đề …………………………………………………… B Giải vấn đề …………………………………………… I Cơ sở lý luận vấn đề …………………………………… II Thực trạng vấn đề …………… III Giải pháp tổ chức thực Trang bị lại cho học sinh số kiến thức 2 Kỹ giải hệ phương trình phương pháp hàm số …… C Kết luận ……………………………………………………… 20 D Tài liệu tham khảo …………………………………………… 21 Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 23 SKKN :" Rèn luyện kỹ giải hệ phương pháp hàm số" E Mục lục ………………………………………………… XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ 22 Thanh Hóa, ngày19 tháng năm2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Hoàng Minh Thành Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm Thủy Trang | 24 ...  x + x + = y (1)  x  y + y + = (2) Ví dụ 15 : Giải hệ phương trình :  Hướng dẫn giải: Trừ theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta : Giáo viên : Hoàng Minh Thành - Trường THPT Cẩm... tơi nhận thấy tài liệu hữu ích tơi mang lại kết khả quan dạy học sinh Hy vọng trở thành tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh người quan tâm đến vấn đề hệ phương trình Do thời gian có hạn... xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến kinh nghiệm ! D TÀI LIỆU THAM KHẢO - Sách Đại số 10 chương trình nâng cao - NXB Giáo dục - Sách Đại số 12 chương trình nâng