PHUONG PHAP HAM SO VA CAC BAI TOAN CO THAM SO

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 CHUYÊN ĐỀ 10 PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ VỚI CÁC BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 I) Phương trình có tham số: Cơ sở phương pháp: - Khi gặp phương trình có chứa tham số dạng bậc nhất: VD: m x    2m  1 x  (phương trình bậc theo m) + Đặt điều kiện biến: Giả sử x �D + Đưa phương trình dạng: m  f ( x ) ( x �D)(*) Chú ý bước này: thực phép chia ta phải kiểm tra điều kiện mẫu số khác � điều kiện để (*) có nghiệm là: M inf( x) �m �Maxf ( x) với x �D Đôi hàm số không tồn Max, Min �min f ( x) � M � điều kiện N  m  M Mà � �max f ( x) � N - Nếu thực việc đổi biến số cần lưu ý tập giá trị biến VD: Đặt x    x  t với x � 2;3    Ta có: t 5 x 2  x  Theo bất đẳng thức côsi: t2  x  2   x  �x    x  � � t2 5 t 10 � Khi xét hàm số f(t) D  � � 5; 10 � II) Bất phương trình có chứa tham số: m �f ( x) � Đưa dạng � m �f ( x) � Chú ý: Khi chia nhân vế bất phương trình với số hạng thì: +) Bất phương trình khơng đổi dấu số hạng dương +) Bất phương trình đổi dấu số hạng âm 1) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) có nghiệm x �D m �min f ( x ) với x �D 2) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) với x �D m �max f ( x ) với x �D 3) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) có nghiệm x �D m �max f ( x ) với x �D 4) Điều kiện để bất phương trình m �f ( x) với x �D m �min f ( x) với x �D * Khi tìm min, max hàm số phương pháp hiệu dùng phương pháp hàm số (xét đạo hàm) Ngồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki… Ta xét ví dụ sau: VD1) Tìm m để phương trình:  x   x    x    x   m (*) có nghiệm Giải: ĐK: 1 �x �8   Đặt   t t t t 253 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 t 2 18 Có t     x    x  �9 �   x    x   ��� t � 3;3 � � � t2  t2  m �  2t   m 2 2 t t �� 3;3 � Xét f (t )   2t  � � 2 f� (t )  t   0t �� 3;3 � � �� f (t ) hàm đồng biến 96 � max f (t )  f (3 2)  f (t )  f (3)  (*) � t  � ĐK: �m �9  2 2;  � VD2) Tìm m để bất phương trình: x   x   m x  x   �0 có nghiệm x �� � � 2x  2  �0 Vì x �� 2;  � Giải: Đặt x  x   t � t   x    �1; t � � �nên x2  4x  t2  t � 1; 2 Bất phương trình tương đương với m � với t � 1; 2 t2 t2  t � 1; 2 Xét f (t )  t2 2t  t    t  t  4t  f� (t )    0t  1;  � f (t )  f (1)   2  t  2  t  2 � ĐK m �   VD3) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: log  mx  1 �2 log  x  3x  (*) mx   mx   � � �� Giải: ĐK: � 1 m   x  3x   � � �3 1 log x x mx  mx۳ (*) �log   x x với x � 1;   x  3x  ۳ m x  x  3x   2 x  3 x   x  3x   x  x � 1;  ; f � Xét f ( x)  ( x)   x x2 x2 f� ( x)  � x  �   3 6  32 Ta có: f (1)  1; f (2)   ; f ( 3)  � ĐK để bất phương trình có nghiệm m �1 VD4) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x  13 x  m  x   254 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Giải: Phương trình � x  13 x  m   x � �x �1 �x �1 � �4 � � x  x2  x   m � �x  13 x  m    x  Xét hàm số f ( x)  x  x  x với x �1 � x � 2 � � � Ta có: f ( x)  12 x  12 x  � f ( x)  12 x  12 x  � f ( x)  � � � x � Bảng biến thiên: x  � f’(x) + - f(x) -11 m 2 VD5) Tìm m để phương trình: m x   x  m có nghiệm phân biệt x Giải: Phương trình � m x    x � m  (do x    0x ) x2  1 x2 x2  1  x x2  Xét hàm số: f ( x )  � f� ( x)  x2  1 x2  1 m Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm: �1�۳    f� ( x)   x2  x 2   x  1 2  � f� ( x)  � x  � Bảng biến thiên: 255 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 � x  f’(x) - + + - f(x) - - Dựa vào bảng biến thiên �   m  VD6) Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình sau: m x2   x   m x2  f ( x ) (do x    0) Giải: Phương trình � m x    x  � m  x 1 1 Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hai hàm số y=m y=f(x) x  x  2 x2    x2   x  x2   Xét hàm số y=f(x), ta có: f � ( x)  2 x2   x2   x2         � �x � � f� ( x)  � x   x  � � �x �x   x  x  � Bảng biến thiên: x - f’(x) + + - f(x) -1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra: 256 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 � m Nếu: � � phương trình vơ nghiệm � m �1 � � m � phương trình có nghiệm Nếu: � � 1 �m �1 � Nếu: 1  m  � phương trình có nghiệm phân biệt *Chú ý: Khi đặt ẩn phụ ta phải tìm miền xác định ẩn phụ giải toán ẩn phụ miền xác vừa tìm Cụ thể: +Khi đặt t=u(x), x �D, ta tìm t �Y phương trình phương trình f(x,m)=0 (1) trở thành g(t,m)=0(2) Khi (1) có nghiệm x �D � (2) có nghiệm t �Y +Để tìm miền xác định t ta sử dụng phương trình tìm miền giá trị (vì miền xác định t miền giá trị hàm u(x)) * Nếu toán yêu cầu xác định số nghiệm ta phải tìm tương ứng x t, tức giá trị t �Y phương trình u(x)=t có nghiệm x �D VD7) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: m   x   x2   x   x2  Giải: Điều kiện: x �2 Ta thấy x=2 khơng nghiệm phương trình nên ta chia vế phương trình cho � x2 � x2 4  được: m � � � x2 � x   (*) � �  x  , ta  t4 1 x2  � t 1  � t  x  2  x  � x  2 � t 1 x2 t 1 � t  2t �  f (t ) (3) Khi (*) trở thành: m �  � t  � m  2t  �t � Phương trình cho có nghiệm � (3) có nghiệm t>1 2t  2t  � f ( t )   0t  � f (t )  f (1)  Xét hàm số f(t) với t>1, có:  2t  1 Vậy phương trình có nghiệm � m  * Trong toán sau đặt ẩn phụ ta thường gặp khó khăn xác định miền xác định t Ở làm quen với cách tìm miền xác định t Tuy nhiên cách ta có cách khác để tìm miền giá trị t ví dụ x2 4 *t4  1 �t 1 x2 x2 VD8*) Tìm m để phương trình sau có nghiệm (4m  3) x   (3m  4)  x  m   (1) Giải: Điều kiện 3 �x �1 Phương trình � m(4 x    x  1)  x   x   Đặt t  257 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 �m Vì  x   x 1 1 (2) (4 x    x  1) x3   1 x  2t � x3  � � 1 t2  nên ta đặt � �1 x  1 t � 1 t2 Khi (2) trở thành: m    16t    t   t 12t   t   t 2 1  Với t � 0;1 7t  12t   f (t ) (3) 5t  16t  (t )   (1) có nghiệm � (3) có nghiệm t � 0;1 có f �  52t  8t  60 5t  16t    0t � 0;1 9  f (1) �f (t ) �f (0)  � m 9 2t � x3  � � 1 t2 Tại ta đặt ? � xuất phát từ vấn đề lượng giác hoá: x  y  a ta đặt �1 x  1 t 1 t2 � 2t � xa � �x  asin  � 1 t2 t  tan � tiếp tục đặt � � 2 �y=acos �y  a  t 1 t2 � VD9) Chứng minh với m>0 phương trình sau ln có nghiệm � x  mx  � log � � x  x  mx   � x 1 � � � �x  mx   Giải: Vì x  mx  �0 nên ĐKXĐ: � (*) 2x 1  � Do m>0 nên (*) � x  � PT � log x  mx   x  mx   log  x  1  x  (1) Hàm số: f ( x)  log t  t đồng biến  0; � Nên (1) � x  mx   x  � x  mx   x  x  � m  3x    g ( x) x �1 � Lập BBT hàm g(x) � ; �� ta thấy m  phương trình g(x)=m ln có nghiệm x  �2 � III) Hệ phương trình, hệ bất phương trình 258 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 1) Điều kiện để hệ có nghiệm Khi gặp tốn tìm điều kiện để có nghiệm ta thường dùng phương pháp điều kiện cần đủ để giá trị tham số thoả mãn sau thử lại( Kiểm tra điều kiện đủ) để kết luận Điểm mấu chốt tốn kiểm tra tính đối xứng nghiệm để suy điều kiện cần Ta xét ví dụ sau: � x 1  y 1  a � Ví dụ 1) Cho hệ phương trình � Tìm a để hệ có nghiệm �x  y  2a  Giải: Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x,y) suy (y-2;x+2) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm điều kiện cần x=y-2 hệ có dạng � � y 1  a � y 1  y 1  a � �� � 2(2a  3)  a � y  2a  �y   y  2a  � a �0 � � �2 � a  2 a  a   � Vậy a   điều kiện cần để hệ có nghiệm � � x 1  y 1   Điều kiện đủ: Với a   hệ có dạng � �x  y   � 64 �x  � � u  x 1 u v  2 2 � � � �� �� Đặt � Giải hệ ta có u  v  2 v  y 1 u v  52 �y  14  � � � � Là nghiệm hệ Kết luận a   Ví dụ 2) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm � �x  y  xy  m �1 � �x  y �1 Giải Điều kiện cần: Giả sử hệ có nghiệm (x;y) suy (y;x) nghiệm Để hệ có ngiệm điều kiện cần x=y � m �2( x  1)  � m �2( x  1)  �2 x �1 � � � m Khi hệ có dạng � �� � 1 2 ( x  1) � �2( x  1) �m  �x  � � � � Điều kiện đủ: Ta xét hai trường hợp: 259 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 �x  y �1 � � hệ có nghiệm x=y=1/2.Vì đường ( x  1)  ( y  1) � � � 2 thẳng (d) x+y-1=0 tiếp xúc với đường tròn ( x  1)  ( y  1)  điểm x=y=1/2 *) Với m  Hệ có vô số nghiệm � y� � � �  m  �m � Rõ ràng có vơ số giá trị y thoả Thật chọn x  � � � ( y  1) �m  � mãn Kết luận m   Ví dụ 3) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực nhất: � �   x    y   x  y (1) �2 �x  y  m(2) Giải: Do hệ đối xứng nên (x;y) nghiệm hệ (y;x) nghiệm hệ Do để hệ phương trình có nghiệm y=x Thay vào phương trình (1) hệ ta có: 1 x  2x � x  Thay x=y=1 vào phương trình (2) � m  � �  1 x  1 y  x  y Khi m=2 hệ trở thành � �x  y  �x  y �0 � �x  y  �x  y  2 � ��   x  y   xy   x  y  � � � �xy  �xy  �  x  y   xy  � Dễ thấy hệ có nghiệm (1;-1); (-1;1) (1;1) Vậy hệ không tồn giá trị m thoả mãn 2) Điều kiện để hệ có k nghiệm Khi gặp tốn dạng ta thường làm theo cách: - Đặt điều kiện ẩn (nếu có) - Biểu diển ẩn theo ẩn lại - Đưa hệ phương trình dạng phương trình tương đương sau tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm Ta xét ví dụ sau: �  x  1  y  m  � VD1 ) Tìm m để hệ phương trình: � có cặp nghiệm phân biệt x  xy  � � *) Với m   hệ có dạng 260 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 �x �1 � Giải: Ta có: x  xy  � xy   x � � x  x  (do x=0 không nghiệm phương �y  x � trình) x2  2x  Thay vào phương trình thứ ta được: x  x   m  (a) x Hệ có cặp nghiệm � (a) có nghiệm phân biệt thoả mãn x �1 x2  x  1 Xét hàm số f ( x)  x  x   3x  x   với x x 6x  x 1 1 � f� ( x)  x    � f� ( x)  � x  1; x   ; x  x x Bảng biến thiên: x - f’(x) - -1 - + - - + - + f(x) + 11 -7 - Dựa vào bảng biến thiên ta thấy (a) có nghiệm phân biệt 11 20 � � �3  m  �9 �3  m �12 �� �� 27 15 � � 7  m    4  m   � � 4 20 15  m �12 4  m   Vậy giá trị cần tìm VD 2) Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm x �4 � (1) �x y 3 � � x   y  �a (2) Điều kiện x, y �0 �x �4 x � y t ; � t Đặt t � �y �0 261 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Khi (2) trở thành a � t   t  6t  12  f (t ) (3) Xét hàm số f(t) với t � 2;3 ta có f '(t )  t t 3  t 5 t  6t  12 � 2t  30t  45  PTVN Ta có bảng biến thiên sau t t 2 ; f '(t )  � t t  6t  12  (t  3) t  f’(t) + 14  f(t) Hệ có nghiệm (3) có nghiệm ۳ a Chú ý: Nếu câu hỏi hệ nghiệm với x �4 điều kiện a � 14  BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ THAM SỐ Biên soạn Gv Nguyễn Trung Kiên 09889844088 log(mx )  có nghiệm log( x  1)  x2  3x  f ( x)   0x cos2 x Câu 2) Tìm m để : �1 � (m  1) � �  21sin x  2m �2 � � �x  y  m Câu 3) Tìm m để hệ: � Có nhiều hai nghiệm  x  1 y  xy  m  y   � Câu 4) Tìm m để bất phương trình: Câu 1) Tìm m để phương trình: x    m �x x   với x � 0;1 Câu 5) Tìm m để phương trình: x2  x 3 �1 � �� �5 � Câu 6) Tìm m để:  m  m2  có nghiệm phân biệt 262 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088  x   x  m có nghiệm Câu 7) Tim m để bất phương trình sau có nghiệm: a 2x2   x  a Câu 8) Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x x  x  12  m  x   x   Câu 9) Tìm m để phương trình:  x   x  m có nghiệm Câu 10) Tìm x thoả mãn x>1 để bất phương trình: log x2  x  x  m  1    với 0 �m �4 m Câu 11) Tìm m để phương trình có nghiệm nhất: x   x  2m x   x   x   x   m Câu 12) Tìm m để:   log 2 x  log x   m log x  có nghiệm � 32; � Câu 13) Tìm m để bất phương trình có nghiệm: x x  x  �m log 2   x  Câu 14) Tìm m để với x � 0; 2 thoả mãn:    log x  x  m  log x  x  m �5 Câu 15) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: log x m x   log x  m x  x      Câu 16) Tìm m để bất phương trình: x   x  m   x  x   �0 có nghiệm với x � 2;  � � � Câu 17) Tìm m để phương trình sau có nghiệm nhất: log  mx  28    log5 12  x  x  25  Câu 18) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1 x   x   x  m  x  8 �3m 8 x Câu 19) Tìm m để bất phương trình với x  0; 4 :   x  1 � x  m   x   Câu 20) Tìm m để bất phương trình có nghiệm � 0;1 : x    m �x x   13 � Câu 21) Tìm m để bất phương trình có nghiệm với x � � 2; 10 � 263 CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 x x �m x2 1 Câu 22) Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: x  3x   m x  x  �0 Câu 23) Tìm a để bất phương trình sau với x :  log    x  ·+5  log x  ax +6 �1 Câu 24) Tìm m để moi nghiệm bất phương trình : log x  x   thoả mãn bất phương trình: log  x      log 3x  x  m  Câu 25) Tìm m để bất phương trình sau với x � 1; 2 :  m   log  x  1  2m log  x  1  �0 2 Câu 26) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x4  x  m  x4  4x  m  Câu 27) Tìm m để bất phương trình ln(1  x ) �x  mx nghiệm với x �0 Câu 28) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt x3  x  x  m3  3m   x  Câu 29) Chứng minh với m>0 phương trình sau ln có nghiệm x  mx  log ( )  x  x  mx   2x 1 � � 2x  1 � 2x 1 Câu 30) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm � �8 x   x  x   2m �0 Câu 31) Tìm a để bất phương trình sau có nghiệm x  x  �a  x  x 1  264 ... TRÌNH HỆ PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CĨ THAM SỐ Biên so n Gv Nguyễn Trung Kiên 09889844088 log(mx )  có nghiệm log( x  1)  x2  3x  f ( x)   0x cos2 x Câu 2) Tìm m để : �1 � (m  1) �... nghiệm Khi gặp tốn tìm điều kiện để có nghiệm ta thường dùng phương pháp điều kiện cần đủ để giá trị tham số thoả mãn sau thử lại( Kiểm tra điều kiện đủ) để kết luận Điểm mấu chốt toán kiểm tra tính... vơ số giá trị y thoả Thật chọn x  � � � ( y  1) �m  � mãn Kết luận m   Ví dụ 3) Tìm giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm thực nhất: � �   x    y   x  y (1) �2 �x  y