PHUONG PHAP HAM SO VA CAC BAI TOAN CO THAM SO

a) Thành 2 nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ bằng nhau. b) Có bao nhiêu cách chọn 5 người trong đó không quá một nam. Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm đã lấy.. Hỏi [r]

PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN HỆ SỐ TRONG KHAI TRIỂN NHỊ THỨC NIU TƠN

Biên soạn: Gv Nguyễn Trung Kiên 0988844088 (Dành cho học sinh lớp 11 LTĐH) Trong khai triển nhị thức Niu tơn ta thường gặp hai cách khai triển sau

a+b¿n=∑

k=0 n

Cnkakbn − k=C n 0bn+C

n 1abn− 1

+ +Cnnan

¿

(1)

a+b¿n=∑

k=0 n

Cnkan − kbk=Cn0an+C1nan− 1b + +Cnnbn(2)

¿

Ngoài học sinh cần nắm hệ thức sau 1 1 1 1 1

k n k

n n

k k k

n n n

k k n n k k n n k k n n C C

C C C

n k C C k C C k n kC nC                                   

1 !( 1)! !( 1)! ! ! ! !

1

( 2)

( )! ( 2)( )! ( )! !

k m k

k m k m m m k m k

m k k

C  m k m m k m m k m k

                             

1 1

2 k k

m k m k

m

m C  C 

  

 



   

  

Các hệ cần nắm

1+x¿n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+ +Cnnxn

¿

1+x¿n=Cn0xn+Cn1xn− 1+ +Cnn

¿ ¿

1− x¿n=Cn

−Cn

x+Cn

x2−Cn

x3+ +Cn n

xn

¿

1− x¿n=Cn0xn− C1nxn −1+C2nxn −2 .+Cnn ¿

¿

Dạng 1: Tính tổng số hạng khai triển Ví dụ 1: Tính tổng sau

1 S1=Cn

+Cn

+ Cn n

2 S2=C2 n0 +C2 n2 + +C2n2n

1 Xét khai triển 1+x¿n=Cn

+Cn

x+Cn

x2+ +Cn n

xn

¿ cho x=1 ta có S1=2

n

2 Xét khai triển 1+x¿2 n=C2 n0 +C12nx+C2 n2 x2+ .+C2 n2 n ¿

Cho x=1 ta có 22 n=C2n0 +C2 n1 +C2 n2 + .+C2 n2 n

Xét khai triển 1− x¿2 n=C2 n0 −C12nx+C2 n2 x2− .+C2 n2 n

¿ (1)

Cho x= ta có 0= C2 n

−C2 n

+C2 n

− +C2 n 2 n

(2) Cộng vế (1) (2) ta có S2 = 22n-1

Hs tự tính câu S3 tương tự tính S2

Dạng 2: Tìm số hạng thứ k khai triển

Phương pháp: Viết khai triển dạng tổng quát Tách riêng phần số chữ khai triển Giải điều kiện tìm hệ số

Ví dụ: Tìm hệ số số hạng chứa x10 trong khai triển

a. (1+x2)8 c 1+x3+1 x¿

10 ¿

b. (1 x x4 6) d 1+2 x¿ 12

(3+2 x)¿ Giải:

a.Ta có 1+x2¿8=∑k=0

C8kx2 k

¿

X10 ứng với 2k=10 ⇔ k= hệ số C

8

b.Ta có (1 x x4 6) =

1+x¿6 − k ∑ k=0

C6kx4 k¿ =

1+x¿5+¿

1+x¿6+C61x4¿

C60¿

1+x¿4

C62x8¿ +… + C6

x24

Ta thấy x10 tồn khai triển 1+x¿

4

C62x8

¿ ứng với phần hệ số số hạng chứa x

2

trong khai triển (1+x)4 nhân với C

6

2 ⇒ hệ số chứa x10 khai triển C

6 2C

4 . c.Ta có 1+x3+1x¿10

¿

=

1+x+x4

¿10 ¿ ¿ ¿

số hạng chứa x10 khai triển ứng với số hạng chứa

x20 khai triển 1+x2+x4¿10 ¿

Cách tìm số hạng chứa x20 câu b

d 1+2 x¿12

(3+2 x)¿ =

1+2 x¿12

1+2 x¿12+2 x¿

3¿

Từ tìm số hạng chứa x10 khai triển cộng lại

1) Dùng khai triển để tính tổng

Ví dụ 1):Chứng minh hệ thức sau

a .Cm0Cnk+Cm1Cnk − 1+Cm2Cnk − 2+ .+CmmCnk −m=Cm+nk

b

Cnn¿2=C2 nn Cn2¿2+ .+¿

Cn1¿2+¿ Cn0

¿2+¿ ¿

Giải

Theo kt niu tơn ta có:

1+x¿n=Cn

+Cn

x+Cn

x2+ +Cn n

xn

¿

1+x¿m=Cm0+Cm1 x+Cm2 x2 .+Cmmxm

¿ ¿ Từ suy

1+ x¿m+n=¿

¿ ¿(Cn

+Cn

x +Cn

x2+ +Cnnxn)(Cm0+Cm1 x+Cm2 x2 .+Cmmxm) (1) Mặt khác theo khai triển nhị thức Niu tơn ta có

1+x¿m+n=Cm +n0 +Cm +n1 x +Cm+ n2 x2+ .+Cm +nk xk+ +Cm+nm+nxm+n

¿ (2)

Phần hệ số chứa xk (1) là .C

m

Cn k

+Cm

Cn k − 1

+Cm

Cn k − 2

+ .+Cm m

Cn k −m Phần hệ số chứa xk (2) Ck

m+k

Từ suy điều phải cm

Câu b kết câu a

Ví dụ 2:

Đặt S=

Cnn¿2

−1¿n¿

Cn3¿2+ .n +¿

Cn2¿2−¿

Cn

¿2+¿

Cn

¿2−¿ ¿

Chứng minh S=0 n lẻ S= −1¿

n

2(n+2)(n+4) (2 n)

2 .n

¿

n chẵn

0 2

(1 )n ( 1)n n n(1)

n n n n

x C C x C x C x

      

1+1 x¿

n

=Cn0+Cn11 x+Cn

2

x2+Cn

3

x3+ .+Cn

n

xn(2)

1− x2¿n ¿

Cn0−Cn1x+Cn2x2− +(− 1¿nCnnxn)(Cn0+Cn1

1 x+Cn2

1

x2+ .+Cn

n

xn)

¿ ¿

Số hạng không chứa x vế phải đẳng thức

Cnn¿2

−1¿n¿

Cn3¿2+ .n +¿

Cn2¿2−¿

Cn

¿2+¿

Cn

¿2−¿ ¿

Khi n lẻ số hạng khai triển chứa lũy thừa bậc chẳn x từ suy số hạng khơng chứa x

Khi n chẳn dễ thấy số hạng không chứa x vế trái ứng với số hạng chứa xn khai triển (1 –

x2) n số hạng −1¿

n 2C

n n ¿

điều phải cm

2) Dùng đạo hàm để tính tổng

Trong q trình tính tổng trước hệ số Ck

n mà có chứa số tích số

thơng thường ta phải dùng khai triển sau xét đạo hàm để suy rs tổng cần tính Ví dụ 1) Tính tổng sau

a) S C n02Cn13Cn2 (n1)Cnn

b) S2Cn0  3C1n4Cn2 n2Cnn Với n số tự nhiên chẵn

GIẢI:

a) Xét khai triển  

0

1 n n k k n n

n n n n

k

x C x C C x C x



     

Nhân hai vế đẳng thức với x ta có  

0

0

1 n n k k n n

n n n n

k

x x C x C x C x C x 



     

Lấy đạo hàm hai vế ta có    

1 0 1 2

1 n n ( 1) n

n n n n

x nx x  C C C n C

       

Cho x=1 ta có S=2n+n.2n-1

b) Xét khai triển  

0

1 n n k k n n

n n n n

k

x C x C C x C x



     

nhân hai vế đẳng thức với x2 ta có

 

2

0

1 n n k k n n

n n n n

k

x x C x C x C x C x 



     

lấy đạo hàm hai vế ta có

  2  1 2

2 n n ( 2) n n

n n n n

x x nx x  C x C x C x n C x 

        

Cho x=-1 ta có S=0

Trong q trình tính tổng trước hệ số tổ hợp có chứa phân số tích phân số ta phải xét tổng thích hợp sau dùng phép tính tích phân để tính tổng Việc lấy cận tính tích phân tuỳ thuộc vào tổng cần tính

Ví dụ) Tính tổng sau a)

0 1

2

n

n n n n

S C C C C

n

    



b)

0

1 1

2 2

n

n n n n

S C C C C

n

    



c)

2 2

0

2 2

2 2

n

n

n n n

S C C C

n          Giải

a) Ta có  

0

1 n n k k n n

n n n n

k

x C x C C x C x



     

Lấy tích phân 0;1 vế ta có

   

 

1 0 1 1 0 1 2 1 1

0

0

1 1

1 ( )

1

n

n n n n n

n n n n n n

x

x dx C C x C x dx C x C x C x

n n                  1 n S n     

b) Xét  

2 2

0

1 n n k k n n

n n n n n

k

x C x C C x C x C x



      

Nhân x vào vế ta có

1 2n  n 2n 1

n n n n

x x C x C x C x C x 

     

Lấy tích phân 0;1 hai vế ta có

   

 

  

 

1 2 0 1 3 2 5 2 1

0

1 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 1

0

1

2 1

0

1

1 1 1

1 ( 1)

2 2

1 1 1

1

2 2

1

2

n n n

n n n n

n

n n

n n n n

n n

n n n n

n

x x dx C x C x C x C x dx

x d x C x C x C x C x

n

x C C C C

n n S n                                       

c) Xét  

2 2

0

1 n n k k n n

n n n n n

k

x C x C C x C x C x



      

Nhân x vào vế ta có

1 2n  n 2n 1

n n n n

x x C x C x C x C x 

     

   

 

  

2 2 0 1 3 2 5 2 1

1

2 2 2 0 2 1 4 2 6 2 1 2

1

2 2

1

2 2

1

1

1 1 1

1 ( 1)

2 2

1 2 2

1

2 2

n n n

n n n n

n

n n

n n n n

n n

n n n

x x dx C x C x C x C x dx

x d x C x C x C x C x

n

x C C C C

n n                                           1 2 n n n n S n      

4) Ứng dụng số phức để tính tổng

Để giải toán dạng học sinh cần nắm dạng đại số dạng lượng giác số phức từ áp dụng nhị thức Niu tơn

Chú ý: Nếu số phức có dạng lượng giác z r c ( osisin )  zn r cn( osn isinn )

Ta xét ví dụ sau:

Tính tổng sau:

a) S1  1 Cn2Cn4 Cn6 b) S2 C1n Cn3Cn5 Cn7

Ta có 1  1 2 (1 ) ( )

n n n

n n n n n n n n n n

i C i C i C i C C C i C C C C

               

Mặt khác ta có

  n n

1 2( os isin ) ( os isin )

4 4

n n

i c   i c  

      

Từ dó suy n os n sin n n S c S    

Ta có kết sau (1 Cn2Cn4 Cn6 )2 +(

1

n n n n

C  C C  C  )2=2n

Các em học sinh vận dụng để tính giá trị biểu thức sau:

0 2010

1 2010 2010 2010 2010

1 2009

2 2010 2010 2010 2010

S C C C C

S C C C C

    

    

5) Một số tập khác Ví dụ 1) Tính tổng sau

2 2

0

1

n

n n n

C C C

Giải:

Ta có

1

1 ! ( 1)!

1 !( )! ( 1)!( )!

k k

n n

C n n C

k k k n k n k n k n

 



  

      

Từ suy  

  2 2  12

1 1

2

1

n

n n n

S C C C

n              

Phần Hs tự tính

Ví dụ 2) Chứng minh 20021

1

2000

n k k C  k

  Ta có                

1 !( 1)! !( 1)! ! ! ! !

1

( 2)

( )! ( 2)( )! ( )! !

k m k

k m k m m m k m k

m k k

C  m k m m k m m k m k

                             

1 1

2 k k

m k m k

m

m C  C 

  

 



   

  

Từ ta có 1 1

1 1 1 1

2 2

n

k n

k m k m m n m

m m

C  m C C  m C m

                   

Thay m=2002 ta có kết cần tìm

Thay m=2010 ta có kết sau

1

2010 2010 2010 2010

1 1 1

2008

n n

C C C C 

  

    

Ví dụ 3) Tính tổng sau

0

1 1

1.2 2.3 3.4 ( 1)( 2)

n

n n n n

S C C C C

n n        Ta có 1

1 ! 1 ( 1)! 1

( 1)( 2) ( 1)( 2) !( )! ( 1) ( 2) ( 1)!( )! ( 1) ( 2)

k k

n n

n n

C C

k k k k k n k n k k n k n k

                 2

( 1)( 2)

k n C n n   

 

 

2

2 2

0

2 2 2 2

2

2

2

1

( 1)( 2)

1

( 1)( 2)

1

2

( 1)( 2) ( 1)( 2)

n

n n n

n

n n n n n n n

n n

n n

S C C C

n n

C C C C C C C

n n

n

C C

n n n n



  



      

 

 

 

      

 

         

 

 

 

    

 

   

Dạng 4) Tìm hệ số lớn khai triển Phương pháp

Viết khai triển niutơn dạng tổng quát

Tách riêng phần hệ số phần biển khai triển Kí hiệu hệ số tương ứng A0 , A1, …Ak, …An

Ak hệ số lớn thỏa mản điều kiện

Ak ≥ Ak-1 và Ak ≥ Ak+1 giải hệ hai bpt ta suy giá trị k

Ví dụ: Xét khai triển 1+2 x¿12=A0+A1x +A2x2+ + A12x12 ¿

Tìm max { A1, A2,……An}

Giải

Ta có 1+2 x¿12=∑k=0 12

C12k 2kxk ¿

từ suy Ak= C12k 2k giả sử Ak hệ số max

Ta có Ak≥ Ak-1 Ak ≥ Ak+1

⇔ C12k 2k ≥ C12k+12k+1 ⇔ 12! 2k/(12-k)! k! ≥12! 2k+1/(12-k-1)! (k+1)! C12k 2k ≥ C12k− 12k − 1 12! 2k/(12-k)! k! ≥ 12! 2k-1/ (12- k +1)! (k -1)!

⇔

1

12− k ≥

2 k +1

k≥ 12− k +1

⇔ 3 k ≥23

3 k ≤25 ⇔ 7,6 ≤ k ≤ 8,3 k số nguyên nên k=8

Hệ số max A8= C12

28

CHUYÊN ĐỀ HOÁN VỊ - TỔ HỢP – CHỈNH HƠP Thi chung năm 2008

Khối A: Cho khai triển 1  2

n n

n

x a a x a x a x

     

Biết

1

0 2 4 2nn 4096

a

a a

a     

Tìm hệ số lớn hệ số a a0; ; ;1 an

Khối B: Chứng minh

11

1 1

2 k k k

n n n

n

n C C  C

 

 



 

 

Khối D: Tìm số nguyên dương n thoả mãn

C21nC23nC25n C22nn12048

Thi chung năm 2007 Khối A

Chứng minh rằng:

2C2 n

1

+1 4C2 n

3

+1 6C2 n

5

+ + 2 nC2 n

2 n −1

=2

2 n

− 1 2 n+1

Khối B Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức newton

của (2+ x )n biết 3nCn

0

−3n− 1Cn

+3n −2Cn2−3n− 3Cn3+ +(−1 )nCnn=2048

Khối D

Tìm hệ số x5 khai triển đa thức x(1 −2 x)5+x2(1+ x)10

Thi chung năm 2006 Khối A

Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức newton

(x14+x

7

)n Biết C2 n +11 +C2 n+12 + +C2 n+1n =220−1

Khối B

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥4) Biết số tập gồm

phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k∈{1,2,3, n} cho số tập gồm k phần tử A lớn

Khối D

Đội niên xung kích trường phổ thơng có 12 học sinh,

gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn

Thi chung năm 2005 Khối A

Tìm số nguyên dương n cho

C2 n +11 − 2C2 n+12 +3 22C2n +13 − 23C2 n+14 + +(2 n+1)C2 n +12 n +1=2005

Khối B

Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam nữ

Khối D

Tính giá trị biểu thức M=An+1

4 +3 A n

(n+1) ! Biết

Cn +12 +2Cn+22 +2 Cn+32 +Cn+42 =149

Thi chung năm 2004 Khối A

Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1+x2

Khối B

Một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi dó lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề nhât thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi khơng

Khối D

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức newton

(3 √x+41

√x)

7

với x >

Thi chung năm 2003 Khối A

Tìm hệ số chứa x8 khai triển nhị thức newton (1

x3+√x

5

)n

biết Cn +4 n +1

−Cn+3 n

=7 (n+3)

Khối B

Cho n số nguyên dương Tính tổng

Cn0+2 2− 1

2 Cn

1

+2

3−1

3 Cn

2

+ +2

n+1− 1

n+1 Cn

n

Khối D

Với n số nguyên dương, gọi a3 n − 3 hệ số x3 n− 3 khai

triển đa thức (x2+1)n( x +2)n Tìm n để a3 n − 3=26

Thi chung năm 2002 Khối A

Cho khai triển nhị thức

(2

x− 1

+2

− x )

n

=Cn0(2

x− 1 )

n− 1

(2

− x )

+ +Cnn −1(2

x −1 )(2

− x )

n− 1

+Cnn(2

− x )

n

Biết khai triển Cn3=5 Cn1 số hạng thứ tư 20n, tìm x n

Khối B

Cho đa giác A1 A2 A2 n ; (n ≥2) n nguyên nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam

giác có đỉnh 2n điểm A1 A2 A2 n , nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 A2 A2 n , tìm n

Khối D

Tìm số dương n cho C0n+2 Cn1+4 Cn2+ +2nCnn=243

QUY TẮC CỘNG – QUY TẮC NHÂN A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 1: Có tuyến xe buýt A B Có tuyến xe buýt B C Hỏi

a) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B?

b) Có cách xe buýt từ A đến C, qua B?

Bài 2: Một văn phòng cần chọn mua tờ nhật báo ngày Có loại nhật báo Hỏi có cách chọn mua báo cho tuần gồm ngày làm việc

Bài 3: Trong tuần, Bảo định tối thăm người bạn 12 người bạn

Hỏi Bảo lập kế hoạch thăm bạn nếu:

a) Có thể thăm bạn nhiều lần?

b) Không đến thăm bạn lần

Bài 4: Một tuyến đường xe lửa có 10 nhà ga Hỏi cso cách chọn hành trình

bắt đầu nhà ga chấm dứt nhà ga khác, biết từ ga tới nhà ga khác

Bài 5: Có nam nữ cần xếp ngồi vào bàn ghế Hỏi có cách xếp cho

a) Nam, nữ ngồi xen kẽ

b) Nam, nữ ngồi xen kẽ có người nam A, người nữ B phải ngồi cạnh

Bài 6: (Đại học Quốc Gia TPHCM 99)

Một bàn dài có dãy ghế đối diện nhau, dãy gồm ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho học sinh trường A học sinh trường B vào bàn nói Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho trường hợp sau?

a) Bất kỳ học sinh ngồi cạnh huặc đối diện khác trường

b) Bất kỳ học sinh ngồi đối diện khác trường

Bài 7:

Cho chữ số 2, 3, 5, 6, 7, Hỏi từ chữ số cho, lập số đôi khác

a) Gồm chữ số?

b) Gồm chữ số nhỏ 400

c) Gồ chữ số chẵn?

d) Gồm chữ số chia hết cho 5?

Bài 8: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1997G)

Có 10.000 vé đánh số 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác

Bài 9: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997)

Xé dãy số gồm chữ số (mỗi chữ số chọn dãy số tự nhiên) thoả mãn chữ số vị trí thứ số chẵn, chữ số cuối không chia hết cho 5, cá chữ số 4,5,6 đơi khác hỏi có cách?

Bài 10: (Đại học Y Hà Nội 1997)

Cho chữ số 0, 1, 2, 3, …., Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600 000 xây dựng từ chữ số

Bài 11 Cho X ={0,1,2,3,4,5,} Có thể lập số có chữ số từ X mà chữ số có

mặt lần cịn chữ số khác có mặt lần

Bài 12: (Đại học Huế 1999)

Người ta viết ngẫu nhiên chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lên phiếu, sau xếp ngẫu nhiên thành hàng

a) Có số lẻ gồm chữ số tạo thành

b) Có số chẵn gồm chữ số tạo thành

Bài 13: (Đại học Y Hà Nội 1999)

Có thể lập số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6,

Bài 14:

Bài 15:

Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho

Bài 16:

Cho X ={0,1,2,3,4,5}

a) Có số chẵn có chữ số khác đơi

b) Có số có chữ số khác chia hết cho

c) Có số có chữ số khác chia hết cho

Bài 17: (Đại học Nông Lâm 1999)

Cho X ={0,1,2,3,4,5} Hỏi lập số có chữ số khác mà số khơng chia hết cho

HOÁN VỊ -A.Lý thuyết B.Cách giải

Bài 18:

Giải phương trình x !−( x − 1)!

( x+1 )! =

1

Bài 19:

Giải bất phương trình Pn+ 4

Pn Pn+2

<15 Pn − 1

Bài 20:

Gọi Pn số hoán vị n phần tử Chứng minh: a) Pn− Pn −1=( n− 1) Pn − 1

b) 1+P1+2 P2+3 P3+ +(n −1) Pn −1=Pn

Bài 21: Chứng minh với n∈ N :n !≤(n+1

2 )

n

Bài 22:

Một tạp chí thể thao định cho 22 kỳ báo chuyên đề 22 đội bóng, kỳ có đội Hỏi có cách cho

a) Kì báo nói đội bóng A?

b) Hai kì báo liên tiếp nói hai đội bóng A B?

Bài 23:

Tên 12 tháng năm liệt kê theo thứ tự tùy ý cho tháng tháng không đứng kề Hỏi có cách?

Bài 24: Người ta cần soạn đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi, có chia thành chủ đề,

chủ đề gồm 10 câu Cần thứ tự 50 câu hỏi cho câu có chủ đề đứng gần nhau, chủ đề đứng đầu chru đề 2, 3, khơng đứng kề Hỏi có cách xếp

Bài 25: Một công ty cần thực điều tra thăm dò thị hiếu người tiêu dùng sản

phẩm Cơng ty đưa 10 tính chất sản phẩm yêu cầu khách hàng xếp thứ theo mức độ quan trọng giảm dần Giả sử tính chất tính chất 10 xếp hạng Hỏi có cách xắp xếp?

Bài 26:

Có bi đỏ bi trắng có kích thước khác đơi Có cách xếp bi thành hàng dài cho hai bi màu không nằm kề

Có xếp học sinh A, B , C, D, E vào ghế dài cho

a) C ngồi

b) A, E ngồi hai đầu ghế

Bài 28: (Đại học Cần Thơ 1999)

Trong phịng có bàn dài, bàn có ghế Người ta muốn xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh gồm nam nữ Hỏi có cách xếp chỗ ngồi

a) Các học sinh ngồi tuỳ ý

b) Các học sinh nam ngồi bàn, học sinh nữ ngồi bàn

Bài 29: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1999D)

Một học sinh có 12 sách đơi khác có sách văn, sách tốn, sách Anh Văn Hỏi có cách xếp sách lên kệ dài sách môn xếp kề nhau?

Bài 30: (Đại học Ngoại Thương 2001A)

Từ X ={1,2,3,4,5,6} thiết lập số có chữ số khác Hỏi số lập có số mà hai chữ số không đứng cạnh

Bài 31: (Học viện Ngân Hàng 1999D)

Xét số gồm chữ số có số chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số mà?

a) Năm chữ số xếp kề nhau?

b) Các chữ số xếp tuỳ ý

Bài 32: (Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2000)

Có số gồm chữ số đôi khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 7, cho chữ số chẵn không đứng kề nhau?

Bài 33: (Đại học Huế 1997D)

Có số tự nhiên gồm chữ số lớn đơi khác Tính tổng số

Bài 34: (Đại học An Ninh 2000D)

Trong chữ số 0, 1, 2, 3, lập số có chữ số chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần?

CHỈNH HỢP - A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 35:

Chứng minh với n, k thuộc số tự nhiên 2≤ k <n a) Ank=An −1k +An − 1k − 1

b) An +k n +2

+An+ kn+1=k2 An+kn

Bài 36: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2001D)

Giải phương trình Px Ax

+72=6(Ax

+2 Px)

Bài 37: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1998B)

Giải bất phương trình A3x+5 A2x≤ 21 x

Bài 38: (Đại học An Ninh 2001G)

Tìm số âm dãy x1, x2, x3 xn với xn=An+ 4

4

Pn+2− 143

Bài 39: (Đại học An Ninh 2001A)

Chứng minh với n∈ Nn≥ 2

A22

+

A32

+ .+ A2n

=n −1 n

Bài 40:

Có số điện thoại bắt đầu chữ khác lấy từ 26 chữ A, B ,…Z chữ khác khơng có số

Bài 41:

Một đội bóng đá có 18 cầu thủ Cần chọn 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí sân để thi đấu thức Hỏi có cách chọn nếu?

a) Ai chơi vị trí nào?

b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, cầu thủ khác chơi vị trí

c) Có cầu thủ làm thủ mơn được, cịn cầu thủ khác chơi vị trí được?

Bài 42:

Có 10 sách khác bút máy khác Cần chọn sách bút máy để tặng cho học sinh, em có sách bút máy Hỏi có cách?

Bài 43:

Một chương trình văn nghệ, cần chọn hát 10 hát tiết mục múa tiết mục múa xếp thứ tự biểu diễn Hỏi có cách khác hát xếp kề tiết mục múa xếp kề nhau?

Bài 44:

Trong đua ngựa gồm 10 Hỏi có cách để 10 ngựa đích nhất, nhì, ba

Bài 45: (Học viện Ngân Hàng TPHCM 2000)

Xét bảng số xe dãy gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C…Z Các chữ số lấy từ 0, 1, …9

a) Có biển số có chữ số khác chữ số O chữ số đôi khác

b) Có biẻn số có chữ khác đồng thời có chữ số lẻ chữ số lẻ giống

Bài 46

Có 30 học sinh dự thi học sinh tốn tồn quốc Có giải thường xếp hạng từ đến không nhiều giải Hỏi?

a) Có danh sách học sinh đoạt giải có?

b) Nếu biết học sinh A chắn đoạt giải, có danh sách học sinh đoạt giải có?

Bài 47:

Một lớp có 40 học sinh Giáo viên chủ nhiệm lớp muốn chọn lớp trưởng, lớp phó học tập lớp phó lao động Hỏi có cách chọn?

Bài 48:

Có người vào thang máy nhà trung cư 10 tầng Hỏi có cách để

a) Mỗi người vào tầng khác

b) người này, người vào tầng đó?

Có 100000 vé số đánh từ 00000 đến 99999 Hỏi số vé gồm chữ số khác

Bài 50: (Đại học Cảnh Sát 1999)

Với 10 chữ số 0,1, ,9 Có thể lập số gồm chữ số khác

Bài 51: (Có số nguyên dương bé 1000 mà số có chữ số đơi khác

nhau

Bài 52: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2001)

Từ 0, 1, 3, 5, Có thể thiết lập số, số gồm chữ số khác không chia hết cho

Bài 53: (Đại học Kinh Tế Quốc Dân 2001)

Từ X ={0,1,2,3,4,5,6} lập số tự nhiên khác thiết phải có mặt chữ số

Bài 54: (Đại học An Ninh 1997)

Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, Có thể lập số chẵn, số gồm chữ số khác

Bài 55: (Đại học Quốc Gia TPHMC 1999)

Cho X ={0,1,2,3,4,5,6,7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi từ X mà

a) n chẵn

b) Một chữ số phải có mặt chữ số

Bài 56: (Đại học dân lập Thăng Long 1998)

Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6, có số có chữ số khác lập số có chữ số phân biệt mà tron có chữ số 1,

Bài 57: (Học viện Công Nghệ Bưu Chính Viễn Thơng 1999)

Từ 10 chữ số 0,1,2 ,9 lập số có chữ số khác cho số phải có mặt 0,

Bài 58: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2001)

Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số khác 0) Trong có chữ số khơng có mặt chữ số

Bài 59: (Đại học Sư Phạm Hà Nội - 2001)

Tính tổng số tự nhiên gồm chữ số khác thành lập từ 1, 3, 4, 5, 7,

TỔ HỢP - A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 60:

Giải phương trình

C4x

−

C5x

=

C6x

Bài 61: (Đại học Hàng Hải 1999)

Tìm n cho Cn −1

n −3

An +14 < 14 P3

Bài 62: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 2000)

Tìm x thoả mãn:

2 A2 x

− Ax

≤6 xCx

3

Bài 63: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 2001)

Tìm x, y thoả

¿

2 Axy+5C x y=90

5 Axy−2 c x y=80 ¿{

¿

Bài 64: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 1999)

Cho k, n thỏa n ≥ k ≥ 2

Chứng minh k(k −1)Cn k

=n(n −1)Cn − 2 k − 2

Bài 65: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997)

Cho 4 ≤ k ≤ n Chứng minh Cnk+4 Cnk −1+6 Cnk− 2+4 Cnk −3+Cnk − 4=Cn+4k

Bài 66: (Cao Đẳng Sư Phạm TPHCM 1998)

Tìm k∈ N cho C14k +C14k+ 2=2C14k+ 1

Bài 67: (Đại học Quốc Gia Hà Nội 2000A)

Chứng minh k∈ N 0 ≤ k ≤ 2000 C2001

k

+C2001 k +1

≤ C2001 1000

+C2001 1001

Bài 68: (Đại học Y - Dược 1998)

Với n, k thuộc số nguyên 0 ≤ k ≤ n Chứng minh

C2 n +kn C2n − kb ≤(C2 nn )2

Bài 69: (Đại học Sư Phạm Vinh 2001)

Cho n nguyên dương, cố định k∈ N Chứng minh Cn

k

lớn k không vượt n+12

Bài 70: (Trung tâm bồi dưỡng cán Y tế 1998)

Cho m ,n∈ N Chứng minh rằng: a) mCnm=nCn −1m −1

b) Cnm=Cn− 1m −1+Cn − 2m − 1+ +Cmm − 1+Cm − 1m − 1

Bài 71: (Trung tâm bồi dưỡng cán Y tế 2001)

Chứng minh C20010 C20022001+C20021 C20022001+ +C2001k .C2002− k2001− k+ +C20022001.C10=1001 22002

Bài 72:

Một đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, học sinh cần chọn câu trả lời câu

a) Hỏi có cách chọn tuỳ ý?

b) Hỏi có cách chọn câu đầu bắt buộc?

c) Hỏi có cách chọn câu đầu câu sau?

Bài 73:

Có 12 học sinh ưu tú Cần chọn học sinh để dự đại hội học sinh ưu tú tồn quốc Có cách chọn

a) Tuỳ ý?

b) Sao cho học sinh A B không đi?

c) Sao cho học sinh A B huặc không đi?

Bài 74:

Một người phụ nữ có 11 người bạn thân có nữ Cơ ta định mời người 11 người đến dự tiệc Hỏi?

b) Có cách mời để buổi tiệc gồm cô ta khách mời, số nam nữ

Bài 75:

Một tổ có 12 học sinh Thầy giáo có đề kiểm tra khác Cần chọn học sinh cho đề kiểm tra Hỏi có cách chọn

Bài 76: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1997)

Có 12 học sinh ưu tú củ môộ trường trung học Muốn chon đoàn đại biểu gồm người (một trưởng đoàn, thư ký thành viên ) dự trại quốc tế Hỏi có cách chọn? (hãy giải thích)

Bài 77: (Đại học Luật 1999)

Một đồn tàu có toa chở khách, toa I, II, III Trên sân ga có hành khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi?

a) Có cách xếp hành khách lên toa?

b) Có cách xếp hành khách lên tàu để có toa có vị khách

Bài 78: (Thi Đại học 2004B)

Có 30 câu hỏi khác gồm câu khó, 10 câu trung bình 15 câu dễ Từ 30 câu lập đề kiểm tra, đề gồm câu khác nhau, cho đề phải có loại (Khó, trung bình, dễ) số câu dễ khơng 2?

Bài 79: (Đại học Y Hà Nội 1998)

Một chi đoàn có 200 đồn viên có 10 nữ Muốn chọn tổ cơng tác có người Có cách chọn tổ cần nữ

Bài 80: (Đại học Kiến Trúc 1998)

Một đội xây dựng gồm 10 công nhân, kỹ sư Để lập tổ công tác cần chọn kỹ sư tổ trưởng, cơng nhân làm tổ phó cơng nhân làm tổ viên Hỏi có cách lập tổ công tác?

Bài 81: (Cao đẳng Sư Phạm Hà Nội 1999)

Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cô giáo muốn chon tốp ca gồm em có em nam em nữ Hỏi có cách chọn?

Bài 82: (Học viện Kỹ Thuật Quân Sự)

Một đội cảnh sát gồm có người Trong ngày cần người làm nhiệm vụ địa điểm A, người làm B lại người trục đồn Hỏi có cách phân cơng?

Bài 83: (Đại học Y Hà Nội 2000)

Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lý nam Muốn lập đoàn cơng tác có người gồm nam lẫn nữ, cần có nhà tốn học lẫn vật lý Hỏi có cách chọn

Bài 84: (Học viện Chính Trị 2001)

Một đội văn nghệ có 10 người có nữ nam Có cách chia đội văn nghệ:

a) Thành nhóm có số người nhóm có số nữ

b) Có cách chọn người khơng q nam

Bài 86:

Một 52 lá, có loại , rơ, chuồn, bích loại có 13 Muốn lấy phải có có, rơ khơng q bích Hỏi có cách?

Bài 87:

Có đường thẳng song song (d1) (d2) Trên (d1) lấy 15 điểm phân biệt Trên (d2) lấy

Bài 88: (Đại học Giao Thông Vận Tải 2000)

Một lớp có 20 học sinh có cán lớp Hỏi có cách chọn người dự đại hội trường cho có cán lớp

Bài 89: (Học viện Quân Sự 2001)

Có 16 học sinh gồm học sinh giỏi, trung bình Có cách chia số học sinh thành tổ, tổ có người , có học sinh giỏi học sinh

Bài 90: (Trường Hàng Khơng 2000)

Một người có 12 giống có xồi, mít ổi Người ta muốn chọn giống để trồng Hỏi có cách chọn cho

a) Mỗi loại có cây?

b) Mỗi loại có cây?

Bài 91: (Đại học Huế 2000)

Một lớp có 30 học sinh nam 15 học sinh nữ Có học sinh chọn để lập tốp ca Hỏi có bao nhêiu cách chọn khác phải có nữ

Bài 92: (Đại học Nông Nghiệp 2000B)

Cho tập gồm 10 phần tử khác Tìm số tập khác rỗng chứa số chẵn phần tử

Bài 93: (Đại học Sư Phạm Vinh 1999)

Một tổ sinh viên có 20 em Trong có em biết nói tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Cần chọn nhóm thực tế gồm em biết tiếng Anh, em biết tiếng Pháp em biết tiếng Đức Hỏi cso cách lập nhóm

Bài 94: (Đại học Nơng Lâm 2001D)

Trong hộp có cầu xanh cầu đỏ cầu vàng, cầu đen khác Chọn ngẫu nhiên cầu hộp Hỏi có cách chọn cho cầu chọn có đủ màu

Bài 95:

Một hộp chứa bi trắng bi đen Hỏi có cách chọn bi

a) Màu tuỳ ý?

b) Gồm bi trắng bi đen?

Bài 96: (Đại học Dân Lập Thăng Long 1999)

Một hộp có cầu xanh đánh số từ tới cầu đỏ đánh số từ đến cầu vàng đánh số từ đến

a) Có cách lấy cầu màu, cầu số

b) Có cách lấy cầu khác màu? cầu khác màu khác số?

Bài 97: (Đại học Cần Thơ 2000)

Có viên bi xanh, đỏ, vàng có kích thước đơi khác Có cách chọn ra:

a) viên bi có viên bi đỏ?

b) viên bi số bi xanh số bi đỏ?

Bài 98: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2000)

Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn bó hoa gồm bơng Có cách chọn bó hoa

a) Có hồng đỏ?

Bài 99: (Học viện Quân Y 2000)

Xếp bi đỏ có bán kính khác bi xanh có bán kính giống vào hộc có trống

a) Hỏi có cách xếp khác nhau?

b) Có cách xếp khác so cho bi đỏ xếp cạnh bi xanh xếp cạnh nhau?

Bài 100: (Đại học Huế 1999)

Một hộp đựng bi đỏ, bi trắng bi vàng Người ta chọn từ hộp Hỏi có cách chọn để số bi lấy không đủ màu?

Bài 101: (Đại học Quốc Gia TPHCM 1998)

a) Cho k , n va k <n chứng minh Cn k

+Cn k +1

=Cn+1 k+1 b) Một đa giác lồi n cạnh có đường chéo

Bài 102: (Học viện Ngân Hàng 2000A)

Cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có đỉnh lấy từ đỉnh H

a) Có đa giác vậy? Có tam giác có hai cạnh hai cạnh H

b) Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H?

Bài 103: (Đại học Ngoại Thương 2001A)

Trên mặt phẳng toạ độ co thập giác lồi Xét tam giác mà đỉnh đỉnh thập giác Hỏi số cạnh tam giác có tam giác mà cạnh khơng phải cạnh thập giác?

Bài 104: (Tuyển sinh đại học khối B 2002)

Co đa giác A1A2…An (n Є N n ≥2 ) nội tiếp đường tròn (O) Biết số

tam giác có đỉnh 2n đỉnh A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh

trong 2n đỉnh A1A2…An Tìm n

Bài 105: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 1999)

Trong trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ có cặp anh em sinh đơi Cần chọn nhóm gồm số 50 học sinh dự đại hội cháu ngoan Bác Hồ, cho nhóm khơng có cặp anh em sinh đơi Hỏi có cách chọn?

Bài 106:

Lớp học có nữ, 10 nam Cần chia hai tổ, tổ có nữ, nam Hỏi có cách?

Bài 107:

A, B, C đến nhà D mượn sách D có tiểu thuyết sách giáo khoa khác A mượn có tiểu thuyết B mượn giáo khoa C mượn giáo khoa Hỏi có cách khác để D cho mượn sách?

Bài 108:

Có tờ bạc 5000 đ, tờ bạc 20 000đ tờ bạc 50 000đ Từ tờ bạc tạo tổng số tiền khác nhau?

Bài 109: (Đại học Kinh Tế TPHCM 2001)

Một tập thể có 14 người gồm nam nữ có An Bình Người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm người Tìm số cách chọn trường hợp sau?

a) Trong tổ phải có mặt nam nữ?

b) Trong tổ phải có tổ trưởng, tổ viên, An Bình khơng đồng thời có mặt tổ?

Số 210 có ước

CÁC BÀI TOÁN HỖN HỢP A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 111:

Một khiêu vũ có 10 nam, nữ Cần chọn nam, nữ lập thành cặp Hỏi có cách chọn?

Bài 112:

Có bưu thiếp khác nhau, bì thư khác Cần chọn bưu thiếp, bỏ vào bì thư, bì bưu thiếp gửi cho người bạn bạn bưu thiếp Hỏi có cách?

Bài 113:

Có người Việt, người Nhật người Trung Quốc người Triều Tiên Cần chọn người dự hội nghị Hỏi có cách chọn cho?

a) Mỗi nước có đại biểu?

b) Khơng có nước có đại biểu?

Bài 114

a) Có 10 bánh khác hộp khác Hỏi có cách xếp hộp hai bánh?

b) Nếu có 10 bánh khác hộp giống có cách?

Bài 115: (Đại học Quốc Gia 2000)

Một thầy giáo có 12 sách đơi khác có sách Văn, sách Anh văn sách Hố Ơng lấy tặng học sinh A, B, C, D, E, F em

a) Giả sử thầy giáo muốn tặng học sinh sách thuộc loại A văn Văn Hỏi có cách tặng

b) Giả sử thầy giáo muốn rằng, sau tặng xong loại Văn, Anh văn, Hố cịn Hỏi có cách tặng?

Bài 116: (Đại học Quốc Gia 1999)

Cho A={1,2,3,4,5,6,7,8}

a) Có tập A chứa mà khơng chứa

b) Có số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác mà không bắt đầu 123

Bài 117: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2000)

Có thể lập số có chữ số số 1, 2, 3, 4, 5, có mặt lần cịn chữ số khác xuất lần

Bài upload.123doc.net: (Đại học Quốc Gia TPHCM 2000)

a) Có số chẵn gồm chữ số khác đơi chữ số số lẻ?

b) Có số gồm chữ số khác đơi có chữ số lẻ chữ số chẵn

Bài 119: (Đại học Quốc Gia 2001D)

Có số tự nhiên gồm chữ số biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt không lần?

NHỊ THỨC NEWTON

B.Cách giải

Bài 120: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1998)

Khai triển (3 x −1)16

Suy 316C 16 − 315C

16

+314C162 + +C1616=216

Bài 121:

Chứng minh

a) 2nCn0+2n −1Cn1+2n − 2Cn2+ +Cnn=3n

b) 3nCn0−3n− 1Cn1+3n −2Cn2+ +(−1)nCnn=2n

Bài 122:

Chứng minh ∑

k=1 n −1

Cn k

=2(2n − 1−1) ; ∑

k=0 n

Cn k

(−1)k=0

Bài 123: (Đại học Hàng Hải 2001)

Chứng minh C2 n0 +C2 n2 32+C2 n4 34+ +C2 n2 n32 n=22 n −1(22n+1)

Bài 124: (Đại học Kiến Trúc Hà Nội 1998)

Tìm hệ số đứng trước x5 khai triển nhị thức sau thành đa thức f(x)=(2 x+1)4+(2 x+1)5+(2 x+1)6+(2 x +1)7

Bài 125: (Tuyển sinh Đại Học khối A 2003)

Tìm số hạng chứa x8 khai triển nhị thức (1

x3+√x

)n biết

Cn +4n +1−Cn+3n =(n+3)

Bài 125 b: (Tuyển sinh Đại học 2006)

Tìm số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton biết (

x4+x

)n biết C2 n +11 +C2 n+12 + +C2n +1n =220− 1

Bài 126: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2000)

Biết tổng hệ số khai triển (x2

+1)n 1024 Hãy tìm hệ số a số

hạng ax12 khai triển

Bài 127:

Tìm hệ số đứng trước x4 khai triển

(1+x+3 x2 )10

Bài 128: (Tuyển sinh Đại học khối A 2004)

Tìm hệ số x8 khai triển [1+x2(1 − x )]8

Bài 129: (Tuyển sinh đại học khối A 2002)

Cho (2x− 12

+2

− x )

n

=Cn0(2

x− 1 )

n

+Cn1(2

x −1 )

n − 1

(2

− x

3 )+ +C n n− 1(

2

x −1 )(2− x3 )

n − 1

+Cnn(2

− x )

n

Biết Cn

3 =5 Cn

1

số hạng thứ tư 20n Tìm n x

Bài 130: (Đaị học Kinh Tế Quốc Dân 1997)

Tìm số hạng khơng chứa x khai triển (x +1 x)

12

Tìm số hạng khơng chứa x (với x > 0) khai triển (√3 x+41

√x)

Bài 132: (Đại học Sư Phạm Hà Nội năm 2000)

Trong khai triển (x3 √x +x

28 15)

n

Hãy tìm hệ số khơng phụ thuộc vào x biết

Cnn+Cnn −1+Cnn −2=79

Bài 133:

Trong khai triển sau có số hạng hữu tỷ

(√3 −√45)124

Bài 134: (Tuyển sinh Đại Học 2004D)

Gọi a3 a − 3 hệ số x3 n− 3 khai triển thành đa thức (x2

+1)n ( x+2)n

Tìm n để a3 n − 3=26 n

Bài 135: (Đại học Sư Phạm Hà Nội 2001)

Trong khai triển (1

3+ 3x)

10

thành đa thức a0+a1x + +a10x 10

; (ak∈ R)

Hãy tìm số hạng ak lớn

ĐẠO HÀM VẾ CỦA KHAI TRIỂN NHỊ THỨC A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 136:

Chứng minh:

a) Cn1+2 Cn2+3Cn3+ +nCnn=n 2n −1

b) Cn1−2 C n

+3Cn3− +(−1)n −1nCnn=0

c) 2n −1C n

1−2n −1C n

2+3 2n −3C n

3− +(− 1)n −1nC n n=n

Bài 137: (Đại học Hàng Hải 1998)

Cho ( x − 2)100=a0+a1x+a2x2+ +a100x100 Tính

a) a97

b) S=a0+a1+ +a100

c) M =a1+2 a2+ +100 a100

Bài 138: (Đại học An Ninh 1998)

Cho f ( x )=(1+x )nn ≥2

a) Tính f' '(1 )

b) Chứng minh 2 Cn

+3 Cn

+4 Cn

+ +n (n −1) Cnn=n (n− 1)2n − 2

Bài 139: (Đại học Kinh Tế Quốc Dân 2000)

Chứng minh 2n −1Cn

+2n − 1Cn2+3 2n −3.C3n+4 2n − 4Cn4+ +nCnn=n 3n − 1

Bài 140: (Đại học Luật 2001)

Chứng minh Cn13n − 1+2 Cn2 3n −2+3 Cn3 3n −3+ +nCnn=n 4n −1

Bài 141: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1999)

Tính A=Cn1−2 C n 2+3 C

n 3− C

n

4+ +(−1)n − 1nC n n

Chứng minh với n∈ N van>2

1 n(Cn

1

+2Cn

+ +nCn n

)<n !

Bài 143:

Chứng minh

a) 1 Cn2+2 Cn3+ +(n −1) nCnn=n (n −1 )2n −2

b) 1 Cn2−2 Cn3+ +(− 1)n −2(n −1) nCnn=0

c) 2n −1Cn2+3 2n −2Cn3+ +(n −1)nCnn=n(n −1)3n −2

d) 2n −1Cn2−3 2n −2Cn3+3 2n −2Cn4− .+(− 1)n −2(n −1) nCnn=n (n −1)

Bài 144:

Chứng minh a) 3 Cn

0

+4 Cn

+ +(n+3) Cn n

=2n −1(6+n )

b) 3 Cn0− C n

1+ .+(−1)n

(n+3) Cnn=0

TÍCH PHÂN VẾ A.Lý thuyết

B.Cách giải

Bài 145: (Đại học Mở 1999)

Cho n∈ N va n ≥ 2 a) Tính I=

0

x2(1+x3)dx b) Chứng minh

3Cn

0

+1 6Cn

1

+1 9Cn

2

+ + 3 (n+1)Cn

n

=2

n +1

−1 3 (n+1)

Bài 146: (Đại học Giao Thông Vận Tải 2000)

Chứng minh ∑

k=0 n C

n k k +1=

2n+1−1 n+1

Bài 147: (Tuyển sinh Đại học khối B 2003)

Tính S=Cn

+2

2

−1

2 Cn

1

+2

3

− 1

3 Cn

2

+ +2

n+ 1

−1

n+1 Cn

n

Bài 148: (Đại học Giao Thông Vận Tải 1996)

Chứng minh 2Cn0−1 22

2

Cn1+1 32

3

Cn2+ +(−1)

n+12

n +1

Cnn=1+(−1)

n

n+1

Bài 149:

Chứng minh

a) (−1)nCn0+(− 1)n −11 2Cn

1

+ + n+1Cn

n

=(−1)

n

n+1

b) Cn0−1

2Cn

1+ +(− 1)

n+1Cn n

=

n+1

Bài 150: (Đại học Nơng Nghiệp Hà Nội 1999)

Tính 

0

Rút gọn S=1 2C19

0

−1 3C19

1

+1 4C19

2

− + 20 C19

18

−

21C19 19

Bài 151: (Đại học Bách Khoa Hà Nội 1997)

a) Tính 

0

x(1− x2)ndx

b) Chứng minh

2Cn 0−1

4Cn

+1 6Cn

2−1

8Cn

3+ +(−1 )b

2 n+2Cn n

=

2 (n+1)

Bài 152:

Chứng minh

3Cn

+1 4Cn

1+ +

n+3Cn n

=2

n +1(