BAT DANG THUC ON THI CHUYEN TOAN

BDT BẤT ĐẲNG THỨC VÀO LỚP 10 CHUYÊN 2009-2019 BDT Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 20092019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10 Chuyên KHTN Hà Nội, 2019-2020] Cho x, y số thực dương thỏa mãn: 4x 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  17x  4y  17xy  5x  5y   17y 16xy Lời giải Ta có: 4x  4y  17xy  5x  5y   x  y 2  9xy  x  y   Đặt t  x  y, t  , theo bất đẳng thức AM-GM, ta có: xy   xy 2  t2 .Do đó:4t 9t 5t1t2 Ta có: P  17x  17y  17 x  y2  18  16xy  17 x  y x  y  Dấu “=” xảy x  y   hay x  y  x  y 2   5  4 2  2 18xy 1 2 2 2  64   Vậy giá trị nhỏ P  Câu 2: [TS10 Chuyên Sư Phạm Hà Nội, 2019-2020] Cho số thực x, y thay đổi, tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  xy x  y   13x  4y  26x  24y  46 Lời giải Ta có: P  xy x  2y  6 13x2  4y2  26x  24y  46  x     2x y       x  12        y  3    13     46 Đặt a  x  1, b  y  , đó: P a 1 b        13 a2   b2   46  a2 b2  9a2  b2   13a2  13  4b2  36  46   6y  13 x2  2x  y2  6y  46   x  12       y  32  BDT LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com  4a 6 6  3b a Dấu “=” xảy  2 b a x1  b  x  1, y 3 y   Vậy giá trị nhỏ P Câu 3: [TS10 Chuyên Tin Hà Nội, 2019-2020] Cho a, b, c dương thỏa mãn: ab  bc  ca  abc  Chứng minh 1  b  1 1) rằng: a 2 c 2 Tìm giá trị nhỏ nhất: P 2)  Lời giải  a2  b2     b2  c     c2  a2  4 1) Ta có:   1 a b 2 c 2   b  c  a  2c  2  b  2a c  2  2 a  b  c 12  abc ab  bc  ca a  b  c 2    a  2b   ab  bc  ca 4   ab  bc  ca 2 Đẳng thức cuối theo giả thiết, phép biến đổi l| tương đương, đẳng thức cho chứng minh 2) Với x, y dương ta có bất đẳng    x  y thức: x2  y2  (*)  1     (**) x x y  Thật vậy:  * y    x  y 2  (luôn đúng) xy xy xy x 4xy  y   4xy   (luôn đúng) Các bất đẳng thức (*), (**) xảy dấu “=” x = y Lần lượt áp dụng (*) (**) ta có: ** BDT  a2b2   ab 4     b  1      a2 a2 b 2 4  1   Tương tự:  b2c2   1   b2 c 4  4 Cộng theo vế ta được: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC  ;  c2a 4     ; 4c a   FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com 1 1 1 1 P      1 a b2 c 2 2 D}u “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu 4: [TS10 Chuyên Toán Hà Nội, 2019-2020] Cho K  ab  4ac  4bc với a,b,c  a + b + 2c = 1) Chứng minh rằng: K  2) Tìm giá trị lớn K Lời giải 1) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:  a  b  2c  b  2c  4bc 4bc              2 Mặt khác: a, b, c   K  ab  4ac  4bc 4bc Dấu “=” xảy a  0, b  Cách khác: Ta có: ,c  K  ab  4c a  b   ab  1  a  b a  b  ab  a  b  a  b  2  2b   a  b  2a  2a 2 Do đó: 2b   a  b  2a  2a  K  *  Để tồn K phương trình (*) Phải có nghiệm:     a  22  4.2.2a  2a  K 0  8K  20a  17a  Vì a,b,c  a  b  2c    a  Do đó: 2a  17a  a 20  17a Do 8K 4  K    a 20  17.1  3a  1 Dấu “=” xảy a  0, b  , c  2) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: ab2c a b  2c    LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com Mặt khác: a, b,c   K  ab  4ac  4bc  ab  4ac  2ab  4ac  2a b  2c  2c2  ab Dấu “=” xảy khi: 1 a  b  2c,a  b  2c  1, bc  0,ab   a  , b  0, c  Vậy giá trị lớn K Câu 5: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2019-2020]   a, b, c Tìm giá trị nhỏ 0  Cho số thực a, b, c thỏa mãn  biểu   3b  4c  2a a 3b  4c  2 thức P  Lời giải Ta có: P 2 a 3  2a   2  a 1    2b 2a a 1  3  c 2a  3b  b 4a  8c  3 b 6  6b  c 3  4c b 1  2a b 4a  8c   a 3b  4c  2 3b2 3  1  c 2a  3b 1 1 c 1  2c  4c b 1  c2 1  2a   2b  2c Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có: a a 2a  a 1  2a         27 1  2b  27 ; c 1  2c  27 Suy ra: P  27 2a  3b  4c   81 Tương tự: b Dấu “=” xảy a  b  c  1 Vậy giá trị nhỏ P 81 Câu 6: [TS10 Chun Hịa Bình, 2019-2020] Cho hai số dương a, b thỏa mãn: a + b = 4ab Chứng minh rằng: BDT a  b 1 4b  4a  1 Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com Ta có:     a  b  ab   a  b  4ab a  ab  b  b  10 a 1 Lại có: 4ab  a 4ab 2 a  a  a  ab 4b  4b2 1 4b 4a2  b 4a b b   b  b  a  ab 4a  4a2 1 4a a a b b 1   a  b  2ab   a  b 2 a  b 4b  4a  Do  1   2 đó: Dấu “=” xảy a  b  Câu 7: [TS10 Chuyên Hưng Yên, 2019-2020] Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x y z  3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x y z P  1   2   3 Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có:  2 1 11    2  (*) a  b a 2 a b  b Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được: x P     y   8 z 2   1      y 2    2  x  Mặt khác: xz P x z    3y  y2 3y  y   64 1 64 z 2 y 2   z  5  x   BDT   2y1  y   2    8   y   2 2  Dấu “=” xẩy x, y, z    1, 2,1 Vậy giá trị nhỏ P Câu 8: [TS10 Chuyên Hà Nam, 20192020] Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn: a3 biểu thức: P 1    Tìm giá trị nhỏ a1 b1 c1 b3 c3 a2  ab  b2  bc  c c2  ca    b2 a2 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 170 Website: Tailieumontoan.com Hay P   1x   2x   Do ta P  Vậy bất đẳng thức ad  bc   chứng minh Đẳng thức xẩy 2a  3d  c  2b  3c  d Câu 272: [TS10 Chuyên Nghệ An, 2009-2010] Cho a, b, c số thực dương thay đổi thỏa mãn a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: ab Pa2b2c2 a  bb bc  ca c  c 2a Lời giải Dự đo{n dấu đẳng thức xẩy a  b  c  giá trị nhỏ P Ta quy toán chứng minh bất đẳng thức a  b  c ab  bc  ca   2 a bb cc a Thật vậy, kết hợp với giả thiết ta có  a2  b  c    a  b  c a a  b3  c  b  c2   a2 b  b2 c  c 2 a  ab2  bc2  ca2 Áp dụng bất đăngr thức Cauchy ta có a3  ab2  2a2 b; b3  bc2  2b2 c; c3  ca2  2c2a  Suy Do ta a2  b2  c  a  b  b2 c  c 2a  a2b2c2  a  b  c 2ab  bc  ab  bc  ca ca   2 a bb cc a2b2 a c2 Phép chứng minh hoàn tất ta a2b2c2 a ab bc ca    b  c2  9 a2b2 Hay  a b c2  c   a  b  c2    4 Đặt t  a2  b2  c2 Từ giả thiết a  b  c   a LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC  b2  c  , ta t  FB TRỊNH BÌNH 171 Website: Tailieumontoan.com Bất đẳng thức trở thành t 9t   2t   2t   t  8t   t  2t Bất đẳng thức cuối t  Vậy b|i to{n chứng minh xong Câu 273: [TS10 Chuyên Lam Sơn, 2009-2010] Gọi a, b, c l| độ dài ba cạnh tam giác có ba góc nhọn Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có: x y 2 2 z2 a b c  2x  2y  2z2 a  b  c2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với x a2  b2  c2 a   a   y2  2x2  b 2y2 a2  b2  c2   a  c2   a  a2  b2  c2 x2 b2  c2  y a2  c  z a  b2  a2 b2 c2 a2  c2  b2  b2  c2  b2  c2  c2  2z2 z   b2  0 Do a, b, c l| độ dài cạnh tam giác nhọn nên Nên ta b a b c a 2 c  0; a ;b c 2 c b a  0; a ;c 2 b a c  b2 0 Do bất đẳng thức B|i to{n chứng minh xong Câu 274: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Với a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: a 2 b  3a  8b  14ab c  ab c  2 3c  8a2  14ca 3b  8c  14bc Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta 3a  8b  14ab  3a  8b  12ab  2ab  4a  9b  12ab   2a  3b Suy a2  a2  a2 3a2  8b2  14ab 2a  3b2 2a  3b Áp dụng tương tự ta thu LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 172 Website: Tailieumontoan.com a 3a  8b  14ab b  c2  3b  8c  14bc 3c  8a  14ca a   b2  c2 2b  3c 2c  3a a  3b Mặt khác theo bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta ab a  b  c2 c a2 b2 c2 2a  2b  3b  3c Do ta được: a2 a  b  2c   3a  c  b2  3a  8b  14ab c2  3c2  8a2  14ca 3b  8c  14bc ab c  Vậy b|i to{n chứng minh xong Đẳng thức xẩy a  bc Câu 275: [TS10 Chuyên KHTN, 2009-2010] Giả sử x, y, z số thực thoả mãn điều kiện  x, y, z  x  y  z3 Tìm giá trị nhỏ lớn biểu thức: M  x4  y4  z4  12 1  x1  y1  z Lời giải Đặt a  x  1; b  y  1; c  z 1, ta 1  a; b; c  a  b  c  Biểu thức M viết lại thành Ma b c  4 a b c Để ý a  b  c  a thành Ma b 3  a b c c  6 a b c  a  b  c  12abc  3abc  nên biểu thức thử b c  Theo đ{nh gi{ quen thuộc a b c  abc a  b  c a2b2c21 ab  c  0 0  Do suy M  hay giá trị nhỏ M Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  y  z  Mặt khác 1  a; b; c  nên ta có a ; b ; c  Từ ta có 4 a a ;b b2 ;c4c2   a b c   Suy M  a  b  c  a  b  c  37  LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC  a b c  FB TRỊNH BÌNH 173 Website: Tailieumontoan.com Mà ta lại có a  b  c  nên ba số a, b, c có hai số âm, tức tồn hai số dấu Khơng tính tổng qt ta giả sử hai số l| b v| c Khi ta bcbca Đến đ}y ta có M  14 a   17 hay giá trị lớn M l| 17 Đẳng thức xẩy a  1; b 1; c  hoán vị hay x  2; y  0; z  hoán vị Câu 276: [TS10 Chuyên Thái Bình, 2009-2010] a) Cho k số nguyên dương Chứng minh bất đẳng thức sau:  b) Chứng minh rằng: k k   1   1  k   k       200 2010 45 Lời giải a) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với  k   k  k  2k   21  k  k  1  0 k1  k 0 k k  k Bất đẳng thức cuối với k nguyên dương Vậy bất đẳng thức chứng minh b) Áp dụng kết câu a ta có VT     21  1     2   2      21    2010 1  3  1 8  5  2  1 201 0   Vậy bất đẳng thức chứng minh xong 200  2   VP 200    201 0 Câu 277: [TS10 Chuyên TP Hồ Chí Minh, 2009-2010] a) Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: a2  b2  c  ab  bc  ca  a b2  bc 2 26 b) Cho a  0; b  Chứng minh 1 2 a LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC b  c a2 2009 2a  b FB TRỊNH BÌNH 174 Website: Tailieumontoan.com Lời giải a)Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a  b2 bc  c  a 12 a  Hay b2 13 a  b  26 bc 2  bc 2 2007 c  a2  c a2 2009  Bất đẳng thức cuối Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c b) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 1  2a  b a b Đặt c b , b  nên ta c  , bất đẳng thức viết lại thành 12 a c 2a  c Theo đ{nh gi{ quen thuộc ta 12 2 a c 2a c 2.4  2a  c 2a  c Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy 2a b Câu 278: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho x, y, z số thực dương cho xyz  x  y  z  Chứng minh rằng:   3 z xy yz x Lời giải Giả thiết b|i to{n viết lại thành   1 z x1 y1 Đặt a ;c Khi ta a  b  c  Từ 1  ;b  suy z x1 y1 1 b 1 c 1 a x a c ; y  b  a ; z c  b a a a b b c Bất đẳng thức cần chứng minh viết lại thành: LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 175 Website: Tailieumontoan.com ab bc ca b  c c  a c  a a  b a  b b    c   2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: ab  b  c c  a bc c  a a  b ca a  b b   c  b a     2bc c a b    c    2ca a b c    a    2ab b c Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: ab bc ca b  c c  a c  aa  b a  bb  c   2 Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b c2 Câu 279: [TS10 Chuyên Phú Thọ 2009-2010] Cho số thực không âm a, b, c cho ab  bc  ca  Chứng minh rằng:  a 2 b2  2 c  2 Lời giải Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với c2    2 a 2 b 2 c 2 a2 b2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta a2 b2 c2 a  b  c 2 a  b  c2 a  b  c  ab  bc  a2 b2 c2 a2b2c2  ca     6  Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  Câu 280: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho x, y, z số dương thỏa mãn x  2y  3z  18 Chứng minh rằng: 2y  3z  3z  x  x  2y  5 5    1  3z 1x  2y Lời giải LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TỐN HỌC FB TRỊNH BÌNH 176 Website: Tailieumontoan.com Đặt a  x; b  2y; c  3x, giả thiết trở thành a  b  c  18 bất đẳng thức viết lại thành bc ca ab 5    1 1a b 1c Bất đẳng thức tương đương với b  c   c  a   1a  b    5   1 1 1a 1b c 7  1  Hay a  b  c      1a c 1 b  Phép chứng minh hoàn tất ta   3 1  1a b 1c Thật theo bất đẳng thức Cauchy ta có 1    93 1a  c  a  b  c 21  b 17 Vậy b|i to{n chứng minh Đẳng thức xẩy a  b  c  hay x  6; y  3; z  Câu 281: [TS10 Chuyên Đại học Vinh 2009-2010] Cho số thực x, y thỏa mãn: x  y  Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: Px y( x 8 y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P  ( x  y)  y  y( x 8 y)  Đẳng thức xảy   x8y8y  8 y   y ( x 8 y)  x 16 y   y   64 x4   y   Vậy minP = x = y = LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH 177 LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC Website: Tailieumontoan.com FB TRỊNH BÌNH ...BDT Website: Tailieumontoan.com ĐÁP ÁN CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC, CỰC TRỊ TRONG ĐỀ CHUN MƠN TỐN GIAI ĐOẠN 20092019 NĂM HỌC 2019-2020 Câu 1: [TS10...   y  32  BDT LIÊN HỆ FLIE WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com  4a 6 6  3b a Dấu “=” xảy  2 b a x1  b  x  1, y 3 y   Vậy giá... WORD PAGE:TÀI LIỆU TOÁN HỌC  ;  c2a 4     ; 4c a   FB TRỊNH BÌNH BDT Website: Tailieumontoan.com 1 1 1 1 P      1 a b2 c 2 2 D}u “=” xảy a = b = c Vậy giá trị nhỏ P Câu