BÀI tập HÌNH ON THI vào 10 PHẦN 3

BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 41 Cho hình vng ABCD có điểm E thuộc cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vng góc với DE , đường thẳng cắt đường thẳng DE DC theo thứ tự H K Chứng minh tứ giác HECK nội tiếp đường tròn Xác định tâm I đường tròn ngoại tiếp tứ giác Chứng minh KH.KB  KC.KD Gọi M giao điểm KE với BD Chứng minh E tâm đường tròn nội tiếp HCM Với vị trí E cạnh BC để HI // BC Lời giải: Ta có �  90�DE  BK EHK   �  90� ABCD ECK ( hình vng) � � Xét tứ giác EHCK có: EHK  ECK  90� 90� 180� Mà hai góc vị trí đối nên tứ giác EHCK nội tiếp đường tròn đường kính EK Suy trung điểm I EK tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác EHKC +) Xét KCB KHD , có : �  KHD �  900 � � KCB BKC  DKH � KCB ∽ KHD(g  g) � KH KD  � KB.KH  KC.KD KC KB TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 +) Xét BDK có: GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BC  DK ( ABCD hình chữ nhật) DH  BK BC cắt DH E � Suy KM  BD � KMB  90� � Mà BCK  90� Suy BMCK tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính BK (hai đỉnh liên tiếp M,C nhìn cạnh đối diện BK hai góc 90� ) �  MKB � � MCB (hai góc nội tiếp chắn cung BM ) � � +) Xét ( I ) ta có: ECH  EKH (hai góc nội tiếp chắn cung EH ) � � Suy MCE  ECH � CE tia phân giác góc MCH � � +) Tứ giác BMEH có BME  BHE  90� 90� 180� � Tứ giác BMEH nội tiếp đường trịn đường kính BE �  MHE � � MBE (hai góc nội tiếp chắn cung ME ) +) Xét đường tròn tâm I ta có: �  EKC � EHC (hai góc nội tiếp chắn cung EC ) � � +) Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác BMCK có: MBC  MKC (hai góc nội tiếp chắn cung MC ) � � Suy MHE  EHC � HE tia phân giác góc MHC � E giao điểm hai đường phân giác MHC � E tâm đường tròn nội tiếp MHC Để HI // BC H trung điểm BK (vì I trung điểm EK ) Khi DH vừa đường cao, đường trung tuyến DBK nên DBK cân D Do đó: DK  DB Như tia DC lấy điểm K cho DK  DB Điểm E giao điểm BC trung trực cạnh BK Do đó: DK  DB Ta có DB  2BC CK  DK  DC  DB  BC  2BC  BC     BC � +) Xét MEB vuông M có MBE  45�(tính chất hình vng) �  45�� CEK �  MEB �  45� � MEB vuông cân M � MEB (đối đỉnh) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 Suy CEK vuông cân C � CE  CK  Vậy điểm E nằm đoạn BC cho  CE   GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  BC    BC HI // BC Bài 42 Cho đường tròn tâm O điểm A nằm ngồi đường trịn Vẽ tiếp tuyến AB AC với đường tròn  O ( B , C tiếp điểm) Gọi H giao điểm OA BC Qua A vẽ cát tuyến AEF ( E nằm A F ; E B nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ AO ) Gọi D trung điểm dây EF a) Chứng minh tứ giác ABOC tứ giác ABOD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AC  AF.AE � � c) Chứng minh AH.AO  AF.AE , từ chứng minh EHF  2EBF d) Đường thẳng qua E vng góc với OC cắt BC CF thứ tự G J Chứng minh GE  GJ Lời giải � AB  OB �� O AC  OC � a)+) Vì AB AC tiếp tuyến A B   � � �ABO  90� �� � � �ACO  90� � � Tứ giác ABOC có ABO  ACO  180� Mà hai góc vị trí đối Suy ABOC tứ giác nội tiếp O +) Xét   có D trung điểm dây EF không qua tâm � OD  EF (quan hệ vng góc đường kính dây) �  90� � ADO � � +) Tứ giác ABOD có ABO  ADO  180� Mà hai góc vị trí đối � ABOD tứ giác nội tiếp TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 b) Xét �  BFE �  O có ABE GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG (góc tạo tia tiếp tuyến dây góc nội tiếp � chắn cung BE ) Xét ABE AFB có : � Chung BAF �  BFE � ABE (cmt) � ABE ∽AFB (g-g) AB AE �  AF AB � AB2  AF.AE  1 O c)+) Vì AB AC hai tiếp tuyến A B   cắt A � AB  AC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) O Lại có OB  OC (cùng bán kính   ) � AO đường trung trực BC � AO  BC +) Xét ABO có BH  AO � AB2  AH.AO (hệ thức lượng tam giác vuông)   Từ     ta có AH.AO  AF.AE AH AE �  AF AO +) Xét AHE AFO có : � Chung OAF AH AE  AF AO (cmt) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � AHE ∽AFO (c-g-c) �  AFO � � AHE (hai góc tương ứng) � HEFO tứ giác nội tiếp (vì có góc ngồi góc đỉnh đối diện) �  EOF � � EHF (hai góc nội tiếp � chắn EF ) � � Mà EOF  2EBF (góc nội tiếp nửa góc tâm chắn cung) �  2EBF � � EHF d) +) Ta có EG//AC (vì vng góc với OC ) �  EGB � � ACB (hai góc đồng vị)   +) Do ABOC ABOD tứ giác nội tiếp Suy điểm A , B , O , C , D thuộc đường tròn �  EDB � � � ACB (hai góc nội tiếp chắn AB )   � � Từ     � EGB  EDB � � +) Xét tứ giác EGDB có EGB  EDB � EGDB tứ giác nội tiếp �  EBG � � � EDG (hai góc nội tiếp chắn EG ) � � � O Mà EBG  EFC (hai góc nội tiếp chắn EC   ) �  EFC � � EDG � DG//FJ +) Xét EJF có D trung điểm EF DG//FJ � G trung điểm EJ � GE  GJ Câu  O  O Bài 43 Cho đường tròn Từ điểm M cố định nằm , kẻ hai tiếp tuyến MA , MB với A , B tiếp điểm Một điểm N di động cung nhỏ AB ( N �A , N �B ) Nối M với N , đường thẳng MN cắt đường tròn  O giao điểm thứ hai P Gọi K trung điểm NP a) Chứng minh MAOB MBOK tứ giác nội tiếp b) Gọi H giao điểm AB OM Chứng minh MA  MH.MO  MN.MP c) Đường thẳng AB , OK cắt E Chứng minh EN , EP tiếp tuyến  O Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Chứng minh MAOB MBOK tứ giác nội tiếp O Ta có MA , MB tiếp tuyến với đường tròn   với A , B lả tiếp điểm � �  90� � MA  OA , MB  OB � MAO  MBO � � Xét tứ giác MAOB có: MAO  MBO  90� 90� 180� � tứ giác MAOB nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180�) O Xét đường trịn   có: K trung điểm NP � OK  NP ( quan hệ đường � kính dây cung) � OKM  90� � � Xét tứ giác MBOK có: MBO  MKO  90� 90� 180� � tứ giác MBOK nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối 180�) b) Gọi H giao điểm AB OM Chứng minh MA  MH.MO  MN.MP Có MA  MB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) OA  OB   R  � OM đường trung trực AB � OM  AB H Xét tam giác OAM vuông A có: AH  OM MA  MH.MO (hệ thức lượng tam giác vuông)  1 Xét MAN MPA có: � AMP chung � � � MAN  MPA (góc tạo tiếp tuyến dây cung góc nội tiếp chắn AN ) � MAN : MPA (g.g) MA MN   2 MP MA � MA  MP.MN ; 2 Từ     ta có: MA  MH.MO  MN.MP c) Đường thẳng AB , OK cắt E Chứng minh EN , EP tiếp tuyến � O   Xét OMK OEH có: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � MOE chung � � MKO  MHE   90� OM OK  � OMK : OEH (g.g) OE OH � OE.OK  OM.OH Xét tam giác OAM vuông M có: AH  OM có: OM.OH  OA (hệ thức lượng tam giác vuông) � � OE.OK  OA OA  OP   R  Mà � OE.OK  OP2 �  ONE �  90�� EN O � OPE , EP tiếp tuyến     O Bài 44 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ đường trịn tâm đường kính BC cắt hai cạnh AB , AC D E Gọi H giao điểm BE CD a) Chứng minh ADHE tứ giác nội tiếp b) Gọi F giao điểm AH BC Chứng minh DH tia phân giác � EDF Lời giải a) Chứng minh ADHE tứ giác nội tiếp � � O Ta có: BDC  BEC  90�(các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn   ) �  90�� ADH �  90� BDC �  90�� AEH �  900 BEC � � Khi đó: ADH  AEH  180� Vậy ADHE tứ giác nội tiếp � b) Chứng minh DH tia phân giác EDF TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Xét ABC có: BE  AC (gt) CD  AB (gt) Suy H trực tâm ABC Do AH đường cao ABC Nên AF  BC F Xét tứ giác BDHF có: �  90� BDH �  90� BFH ( AF  BC F ) Nên tứ giác BDHF nội tiếp � � � Suy HBF  FDH ( góc nội tiếp chắn cung HF )   Ta có ADHE tứ giác nội tiếp �  EDH � � � EAH (2 góc nội tiếp chắn cung EH ) Xét AEH BFH có: �  BHF � AHE (đối đỉnh) � $ E  F  90� � �  3 Suy EAH  FBH Từ   ,     ta � DH tia phân giác Bài 45 Cho Cho đường tròn   O;R    2 �  FDH � EDH � EDF O;R  đường kính AB Điểm M nằm  với   MA  MB M �A, M �B Tiếp tuyến M O;R cắt tiếp tuyến A B  O;R  C , D a) Chứng minh tứ giác ACDB hình thang vng O;R  b) Biết AD cắt  E khác A , OD cắt MB N Chứng minh DE.DA  DN.DO c) Đường thẳng vng góc với AB O cắt đường thẳng AM F Chứng minh OFDB hình chữ nhật Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG O;R  a) Vì AC,BD tiếp tuyến  nên AC  AB ; BD  AB (tính chất tiếp tuyến) � AC // BD ( tính chất từ vng góc đến song song) � Tứ giác ACDB hình thang � Mà CAB  90 ( AC  AB ) nên tứ giác ACBD hình thang vng b) Ta có DB,DM tiếp tuyến (O) � � OD phân giác MOB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) � OB  OM  R � ΔOBM cân O có OD phân giác MOB nên OD đường trung trực  BM � DO  BM N Xét BOD vng B có: BN  DO ( cmt) � BD2  DN.DO ( hệ thức lượng tam giác vng)  1 �  900 AEB ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay BE  AD Xét BAD vng B có: BE  AD ( cmt) � BD2  DE.DA ( hệ thức lượng tam giác vuông)   2 Từ     ta có DE.DA  DN.DO (cùng BD ) � c) AMB  90 ( góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) � BM  AF M Ta có BM  AF ; BM  OD ( cmt) � AF // OD (cùng vng góc với BM ) �  DOB � � FAO ( hai góc đồng vị)  AOF  OBD Xét có: �  DOB � FAO (cmt) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG OA  OB  R �  DBO �  900 FOA � AOF  OBD (g – c – g) � FO  BD ( hai cạnh tương ứng) Xét tứ giác OFBD có: FO // BD (  AB ) FO  BD ( cmt) Suy tứ giác OFBD hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành) � Mà FOB  90 (Vì FO  AB ) Suy tứ giác OFBD hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)  O  kẻ hai tiếp tuyến AB , AC với đường trịn ( Bài 46 Từ điểm A nằm ngồi đường tròn B , C tiếp điểm) Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng AO chứa điểm B vẽ cát tuyến AMN với đường tròn  O  ( AM  AN , MN không qua O ) Gọi I trung điểm MN Chứng minh tứ giác AIOC tứ giác nội tiếp Gọi H giao điểm AO BC Chứng minh AH.AO  AM.AN tứ giác MNOH tứ giác nội tiếp Qua M kẻ đường thẳng song song với BN , cắt AB BC theo thứ tự E F Chứng minh M trung điểm EF Lời giải � 1) Vì I trung điểm MN suy OI  MN hay góc AIO  90� �  O  ) Mặt khác ACO  90�(do AC tiếp tuyến đường tròn � � Xét tứ giác AIOC có ACO  AIO  180�nên tứ giác AIOC tứ giác nội tiếp � � � 2) Xét hai tam giác ABM ANB có góc A chung, mặt khác ANB  ABM � � (góc nội tiếp chắn cung BM góc tạo tiếp tuyến dây cung BM ) Suy hai tam giác ABM ANB đồng dạng AB AM  Ta có tỉ số đồng dạng AN AB � AB  AM.AN   TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 10 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG O;R  Bài 54 Cho  điểm A cho OA  3R Qua A kẻ tiếp tuyến AB AC O M � O   ( B, C tiếp điểm) Lấy cho BM / /AC Gọi N giao điểm thứ O hai đường thẳng AM   Tia BN cắt đường thẳng AC I a Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b Chứng minh IA  IN.IB � O c Kẻ đường kính CD   Chứng minh tia ND tia phân giác BNM d Gọi G giao điểm hai đường thẳng AO BI Tính độ dài đoạn thẳng AG theo R Lời giải � O a Vì AB tiếp tuyến đường tròn   B (giả thiết) � ABO  90�(tính chất tiếp tuyến) �  90� AC tiếp tuyến đường tròn  O C (giả thiết) � ACO (tính chất tiếp tuyến) �  ACO �  180� � ABO , mà góc vị trí đối Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) � � b Vì BM / /AC � NAI  NMB (cặp góc so le trong) � � mà BMN  ABN (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung BN) �  ABN � � IAN Xét IAN IBA có TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 27 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � AIN chung �  ABN � IAN (chứng minh trên) � IAN ∽ IBA (góc - góc) � IA IN  IB IA (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) � IA  IN.IB (điều phải chứng minh) � AC  CD  cmt � � BM / /AC  gt � BM  CD � c Có � (từ vng góc đến song song) Gọi H giao điểm CD BM Xét  O có: BM dây cung CD đường kính CD  BM H (cách dựng) � H trung điểm BM (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Và D điểm cung BM �� BD  � DM � � Khi BND  DNM (hệ góc nội tiếp) � � ND tia phân giác BNM d Xét hai tam giác ICN IBC có: � NIC chung �  IBC � ICN (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung NC) � ICN ∽ IBC (góc - góc) � IC IN  � IC2  IB.IN IB IC Mặt khác ta chứng minh IA  IB.IN suy IA  IC Mà I �AC � I trung điểm AC Gọi K giao điểm AO BC Vì AB AC tiếp tuyến  O B C (giả thiết) � AB  AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) � A thuộc trung trực BC (1) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 28 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 Lại có OB  OC  R (B, C tiếp điểm) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � O trung trực BC   Từ (1) (2) � OA đường trung trực BC � K trung điểm BC Xét tam giác ABC có: BI trung tuyến ứng với cạnh AC (do I trung điểm AC) AK trung tuyến ứng với cạnh BC (do K trung điểm BC) BI giao với AK G � G trọng tâm ABC (tính chất đường đồng quy) � AG  AK (tính chất trọng tâm) + Xét tam giác ABO vuông B có AO  BK (chứng minh trên) AB2 � AK  � AK.AO  AB2 (hệ thức lượng tam giác vuông) AO � AB2  AO2  OB2   3R   R  8R � 8R R � � AK   OA  3R(gt) � 3R Mà � 8R 16R � AG   3 đơn vị độ dài)  O;R  cố định, dây AB cố định không qua tâm O Qua trung điểm I Bài 55 Cho dây AB , kẻ đường kính PQ vng góc với AB ( P thuộc cung nhỏ AB ) E điểm cung nhỏ QB ( E không trùng với B Q ) QE cắt AB M ; PE cắt AB D 1) Chứng minh điểm P , I , M , E thuộc đường tròn � � 2) Chứng minh IQD  IMP O 3) a) Kẻ tia Ax// PE , Ax cắt   điểm thứ hai F Chứng minh BE  QF b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ Q xuống AE Chứng minh chu vi tam giác EHB lớn độ dài đoạn thẳng AB điểm E thay đổi cung nhỏ QB Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 29 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1) � Ta có PIM  90�nên ba điểm P , I , M thuộc đường tròn đường kính PM   � � O Ta lại có PEQ  90�(góc nội tiếp chắn đường tròn   ) Suy PEM  90� Suy ba điểm P , E , M thuộc đường trịn đường kính PM Từ  1  2  2 suy điểm P , I , M , E thuộc đường tròn đường kính PM � � 2) Tứ giác IDEQ có QID  QED  90� 90� 180�nên tứ giác IDEQ nội tiếp đường tròn � � Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác IDEQ có IQD  IED (hai góc nội tiếp chắn cung �  IEP �  IMP � ID ) Mặt khác IED (hai góc nội tiếp chắn cung IP đường trịn đường kính PM ) � � Suy IQD  IMP 3)a Gọi K giao điểm BE QF Xét  O � � � � � có: APE  ABE (2 góc nội tiếp chắn AE ), PAF  PQF (2 góc nội tiếp � chắn BF ) � � Mà APE  PAF  180�(do PE // AF ) � � � � � ABE  PQF  180�hay IBE  IQK  180�� Tứ giác QIBK nội tiếp TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 30 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � � � BIQ  BKQ  180� � � Mà BIQ  90�suy BKQ  90�� BE  QF b) Trên AE lấy điểm G cho AG  BE Xét AQG BQE có �  BQ � AQ  BQ ( Q điểm cung AB nên AQ ) �  QBE � O QAG (hai góc nội tiếp chắn cung QE đường tròn ) AG  BE (theo cách vẽ) Do AQG  BQE (c – g – c)   Suy QG  QE (hai cạnh tương ứng) Suy EQG cân Q Mà QH đường cao nên đường trung tuyến Suy HG  HE P  BH  HE  BE  BH  HG  GA  BH  AH  AB Suy BHE (theo bất đẳng thức tam giác)  O; R  Các đường cao AK, BI tam O giác ABC cắt H Các đường thẳng AK BI cắt đường tròn   Bài 56 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp điểm thứ hai D E Chứng minh rằng: 1) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp 2) Chứng minh IK // DE OC  IK 3) Cho đường tròn   dây AB cố định Chứng minh điểm C di chuyển cung lớn AB độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK ln khơng đổi Lời giải: O TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 31 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp Xét ABC có đường cao AK BI ( giả thiết ) � AK  BC K BI  AC I o �  AKC �  90o � � � AKB AIB  BIC  90 o � � Xét tứ giác ABKI có: AKB  AIB  90 ( Chứng minh ) � K I hai đỉnh liền kề nhìn cạnh AB góc � Tứ giác ABKI nội tiếp ( Dấu hiệu nhận biết ) ( đpcm ) 2) Chứng minh IK // DE OC  IK � � Tứ giác ABKI nội tiếp ( Chứng minh ) � AKI  ABI ( Hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ AI đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI ) � � hay AKI  ABE ( Do I �BE ) (1) � � Ta có : ADE  ABE ( Hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ AE đường tròn  O ) (2) � � Từ (1) (2) suy AKI  ADE � � Mà AKI ADE cặp góc đồng vị nên suy IK // DE ( đpcm ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 32 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � � Tứ giác ABKI nội tiếp ( Chứng minh ) � KAI  KBI ( Hai góc nội tiếp � � chắn cung nhỏ KI đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI ) hay DAC  CBE ( Do I �AC,K �AD, I �BE,K �BC ) � � � � O Đường tròn   có: DAC  CBE ( Chứng minh ) Mà DAC CBE hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ DC cung nhỏ EC � � �  CE � � DC ( DC,CE cung nhỏ ) ( Hệ ) � DC  EC ( Định lý (3) O Ta có: OD  OE ( Bán kính   ) (4) Từ (3) (4) suy OC đường trung trực đoạn DE � OC  DE ( Tính chất ) Mà IK // DE ( Chứng minh ) � OC  IK ( Quan hệ từ vng góc đến song song ) ( đpcm ) 3) Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK không đổi Gọi N trung điểm AB, P trung điểm HC, đường thẳng CH cắt AB M o � Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI có: AKB  90 ( Chứng minh ) � AB đường kính � N tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI ( Do N trung điểm AB ) o � � Ta có: BIC  AKC  90 ( Chứng minh ) o � � hay HIC  HKC  90 ( Do H �BI, H �AK ) o o o � � � � Xét tứ giác HKCI có: HIC  HKC  90  90  180 Mà HIC HKC vị trí đối nên tứ giác HKCI nội tiếp ( Dấu hiệu nhận biết ) o � Mà HIC  90 ( Chứng minh ) � HC đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác HKCI � P tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác HKCI ( Do P trung điểm HC ) PC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK Tam giác ABC có : AK BI đường cao AK cắt BI H ( giả thiết ) nên suy CM đường cao ABC ( Tính chất ) � CM  AB hay CP  AB ( Do P �CM )(5) O Xét đường tròn   có dây AB N trung điểm AB nên suy ON  AB N ( Quan hệ đường kính dây cung ) (6) Từ (5) (6) suy CP // ON ( Quan hệ từ vng góc đến song song ) Đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI đường tròn ngoại tiếp tứ giác HKCI cắt K I Mà N P tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI tứ giác HKCI ( Chứng minh ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 33 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 � NP  IK ( Tính chất đường nối tâm ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG (7) Ta có: IK  OC ( Chứng minh ) (8) Từ (7) (8) suy NP // OC ( Quan hệ từ vng góc đến song song ) Xét tứ giác NOCP có: CP // ON ( Chứng minh ) NP // OC ( Chứng minh ) � Tứ giác NOCP hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết ) � ON  PC ( Tính chất ) Xét ONA vng N ( Do ON  AB N ), áp dụng đinh lý Pytago ta có: OA  AN  NO � NO  OA  AN Mặt khác: OA  R , AN  � NO  R  AB ( Do N trung điểm AB ) AB2 AB2 AB � ON  R  R 4 ( Do ) Mà ON  PC ( Chứng minh ) Vì � PC  R  AB2  O  cố định AB cố định nên R, AB khơng đổi � PC có giá trị khơng đổi Mặt khác PC bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác CIK � Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK ln khơng đổi có giá trị R2  AB2 ( đpcm ) Bài 57.Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB Lấy M thuộc nửa đường trịn ( M khơng trùng với A , B ) C điểm cung AM Gọi D giao điểm AC BM ; H giao điểm AM BC a) Chứng minh: Tứ giác CDMH nội tiếp b) Chứng minh: DA DC  DB.DM c) Gọi Q giao điểm DH AB Chứng minh điểm M di chuyển nửa đường trịn (O) đường trịn ngoại tiếp CMQ ln qua điểm cố định Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 34 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � � a) Ta có: ACB  AMB  90�(các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) �  AMD � � BCD  90� �  AMD � � BCD  90� 90� 180�� Tứ giác CDMH nội tiếp � � � b) Xét DCB DMA có: ADB chung; BCD  AMD  90� � DCB �DMA (g.g) � DC DB  � DA DC  DB.DM DM DA � � c) ACB  AMB  90�� AM  DB;BC  DA � AM;BC hai đường cao DAB � � � H trực tâm DAB � DH  AB Q � AQD  BQD  90� �  AQD �  90� 90� 180�� � � ACB Tứ giác ACHQ nội tiếp � CQH  CAM �  BQD �  90� 90� 180�� � � AMB Tứ giác BMHQ nội tiếp � MQH  CBM �  MQH � �  CBM � � CQM � � � � � CQH  CAM  2CAM (do CAM  CBM , hai góc � � � nội tiếp chắn CM ), mà COM  2CAM (góc tâm góc nội tiếp chắn cung) � � � CQM  COM � Tứ giác CMOQ nội tiếp � O thuộc đường tròn ngoại tiếp CMQ Vậy điểm M di chuyển nửa đường trịn (O) đường trịn ngoại tiếp CMQ qua điểm O cố định � Chú ý: Kết toán C điểm nằm AM ( C khác A , M ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 35 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 Bài 58 Cho đường tròn  O GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  O điểm A cố định   Vẽ qua A cát tuyến ABC ( B O   M,N � O nằm A C ), AM, AN tiếp tuyến với   ( M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC có chứa O , gọi H trung điểm BC 1) Chứng minh: AM  AB.AC 2) Chứng minh điểm A ,  M ,  N ,  O ,  H thuộc đường tròn 3) Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN E Chứng minh EH//MC 4) Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì trọng tâm G tam giác MBC chạy đường nào? Lời giải 1) Xét Δ CMA Δ MBA � Có MAC chung � �  sñBM � BMA  ACM ⇒ Δ MBA ∽Δ CMA  g.g AM AC  ⇒ AB AM ⇒ AM  AB.AC O 2) Vì AM , AN tiếp tuyến M N đường tròn   (gt) � � nên ANO  AMO  90� O Lại có H trung điểm dây BC đường trịn   � ⇒ OH  BC ⇒ OHA  90� TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 36 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   M   N   O   H ⇒ A, , , , thuộc đường trịn đường kính AO 3) A ,  M ,  N ,  O ,  H thuộc đường trịn đường kính AO � � � HAM  MNH (hai góc nội tiếp cung MH ) � � Vì BE//AM ⇒ HBE  HAM � � ⇒ HBE  ENH ⇒ tứ giác BEHN nội tiếp � � ⇒ BHE  BNE � � � Mà (O) ta có BNE  BCM (hai góc nội tiếp chắn MB ) � � Nên BHE  BCM ⇒ EH // MC 4) Gọi K trung điểm AO D trọng tâm tam giác MAO ⇒ K , D cố định Vì D G trọng tâm tam giác MAO tam giác MBC MD MG   ⇒ MK MH ⇒ GD//HK     2 1 DG  HK  AO  AO 3 ⇒ không đổi ⇒ Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì trọng tâm G tam giác MBC chay AO đường đường trịn tâm D bán kính   O;R Bài 59 Cho đường tròn đường kính AB cố định Gọi H điểm thuộc đoạn thẳng OA (điểm H khác điểm O điểm A ) Vẽ dây CD vng góc với AB H Gọi   M điểm thuộc đoạn thẳng CH Nối AM cắt O điểm thứ hai E Tia BE cắt tia DC F a) Chứng minh bốn điểm H , M , E , B thuộc đường tròn � � b) Kẻ Ex tia đối tia ED Chứng minh FEx  FEC MC.FD  FC.MD c) Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng OA để diện tích OCH lớn Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 37 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Xét (O): �  90� � AEB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay MEB  90� �  90� CH  AB � MHB � � Xét tứ giác BEMH : MEB  MHB  90� 90� 180� � Tứ giác BEMH tứ giác nội tiếp hay bốn điểm H , M , E , B thuộc đường tròn b) AB  CD H � H trung điểm CD hay AB đường trung trực CD �  AD � � AEC �  AED � � EM � AC  AD � AC tia phân giác � � CE  MC CED ED MD � � � � � � Lại có: AEB  90�� AEF  90�� AEC  FEC  90�và AED  FEx  90� � � � � Mà AEC  AED � FEx  FEC � EF tia phân giác góc E CED CE FC MC FC �  �  � MC.FD  FC.MD MD FD ED FD � � Vậy FEx  FEC MC.FD  FC.MD 2 2 c) OCH vuông H � HC  HO  OC  R a  b Với hai số a , b ta có:  �0 � a2  2ab  b2 �0 a2  b2 Dấu "  " xảy a  b � a� b2 2ab ab TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 38 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG SOCH �‫�ף‬ HC HO  OCH Áp dụng ta có: Diện tích Dấu "  " xảy Vậy diện tích HC  HO  OCH lớn OH  HC2  HO2 2 R2 R 2 R 2 Bài 60 Cho đường tròn (O;R) Từ điểm M ngồi đường trịn kẻ hai tiếp tuyến MA , MB tới đường tròn ( A , B tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn E ( E khác A ), đường thẳng ME cắt đường tròn F ( F khác E ), đường thẳng AF cắt MO N , H giao điểm MO AB Gọi I trung điểm EF a) Chứng minh năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường tròn b) Chứng minh OIA đồng dạng với MAE c) Chứng minh N trung điểm MH MN  AN.NF HB2 EF  1 MF HF d) Chứng minh Lời giải O a) Do MA , MB tiếp tuyến A , B đường tròn   nên MA  OA MB  OB � �  90�� MAO �  MBO �  180�� � MAO  MBO Tứ giác MAOB tứ giác nội tiếp  1 � � � Do I trung điểm EF � OI  EF � MIO  90�� MAO  MIO  90� � Tứ giác MAIO nội tiếp   Từ     � năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường tròn � � � � b) Tứ giác MAIO nội tiếp � AOI  AME OME  OAI TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 39 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG � � � � Mà AE P MO � MEA  OME � OAI  MEA � � � � Xét OIA MAE có: AOI  AME ; OAI  MEA � OIA ~MAE (gócgóc) c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: � � MAB cân M , có MO MA  MB MO tia phân giác AMB phân giác � MO đường trung trực AB � MO  AB H � �  90� MHB � � � � � � Lại có: FBA  MEA � FBA  OME hay FBH  FMH � Tứ giác BMFH nội tiếp �  FAB �  sđ � FBM FB � � �  FAB � � MFB  MHB  90�và , mà � FHM �  FNH �  FAB �  FNH �  90� MO  AB � � FHM (do H ) � NFH  90� � � � � � � � � Ta có: MFN  NFB  MFB  90�và NFB  BFH  NFH  90�� MFN  BFH � � � � Xét MFH BFA có: FMH  FBH ; FHM  FAB � MFH ~BFA � MF MH  BF BA � � � � Xét MFN BFH có: MFN  BFH ; FMH  FBH � MFH ~BFH MF MN  BF BH MN MH MN BH �  �  BH BA MH BA , mà H trung điểm BA (do MO trung trực AB ) BH MN �  �  � N trung điểm MH BA MH � AHN vng H có đường cao HF � NH  AN.NF N trung điểm MH � MN  NH � MN  AN.NF 2 d) AHN vng H có đường cao HF � HA  AF.AN HF  AF.NF HB2 AN AF  NF AF �    1 NF NF HF NF Mà HB  HA � HB  AF.AN AE / / MN � AF EF AF EF HB2 EF HB2 EF  � 1  1 �   �  1 NF MF NF MF HF MF HF MF TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 40 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 41 PHONE: 0983.265.289 ... qua H song song với AC cắt BI P Chứng minh NP  AC TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 23 PHONE: 09 83. 265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Áp dụng định lý Talet vào. .. HF MF TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 40 PHONE: 09 83. 265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 41 PHONE: 09 83. 265.289 ... IN// AB d) Đường thẳng qua H song song với AC cắt BI P Chứng minh NP  AC TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 21 PHONE: 09 83. 265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ÔN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lời