BÀI tập HÌNH ON THI vào 10

BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10  Câu Cho đường tròn O; R  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG điểm M nằm ngồi đường trịn Từ M kẻ hai tiếp tuyến MA , MB ( A , B tiếp tuyến) N điểm di động đoạn AO Đường thẳng MN cắt  O  C D ( C nằm M N ), cắt đường thẳng OB P Gọi I trung điểm AB 1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp 2) Chứng minh : AC.BD  AD.BC 3) Khi OM  R CI MC b) Đường thẳng IN cắt AP E Tìm vị trí điểm N để diện tích tam giác AOE lớn a) Tính tỉ số Lời giải 1) Chứng minh tứ giác MAOB nội tiếp   90 AMO  tứ giác MAOB nội tiếp (đpcm)  ANO  90 Theo tính chất tiếp tuyến ta có  2) Chứng minh : AC.BD  AD.BC AC CM  1 AD AM BC CM BC CM    BCM  DBM (g – g)   2 BD BM BD AM Ta có ACM  DAM (g – g)    Từ suy AC BC   AC.BD  AD.BC (đpcm) AD BD TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 3) Khi OM  R 2 R 2 R R  AI  AO2  IO2  R   Ta có OM  R  OI      2     45  MAO vuông cân A  IA  OI  AO  OAI vuông cân I  AOI  Tứ giác MAOB hình vng có cạnh R Ta có MI.MO  R R  R 2 Lại có ACM ∽ DAM (g – g)   MI.MO  MC.MD  AM MC   MC.MD  MA  R DM MA MC MI  MO MD MCI ∽ MOD (c – g – c)  CI OD R     MC MO R 2 Kẻ NK  IO  NKO vuông cân K  NK  KO  Xét INK có : tan NIO NK OK ON ( NK //AI )   IK IK AN  Xét AOP có : tan OAP OP OP ON ( OP//AM )   OA AM AN 1   tan OAP   NIO   OAP   tứ giác AIOE nội tiếp  AEO   90 Từ ta có tan NIO   SAOE 1 R2 2  AE.OE  AE  OE  AO  4   R2  max SAOE  OE  AE  IE đường trung bình tam giác ABP  N trung điểm AO TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10  GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG    Câu Cho đường tròn O; R điểm S cố định nằm ngồi đường trịn O Kẻ hai tiếp tuyến SA SB đường tròn  O; R  ( A, B tiếp điểm) Đường thẳng qua S cắt đường tròn  O  C D ( SC  SD C, O, D không thẳng hàng) Gọi E trung điểm đoạn thẳng CD 1) Chứng minh bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn   2.SEB  2) Chứng minh AOB   3) Tia BE cắt đường tròn O F Chứng minh tứ giác ACDF hình thang cân xác định vị trí cát tuyến SCD để diện tích tam giác SDF đạt giá trị lớn Lời giải 1) Chứng minh bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn   90 nên S; A; O thuộc đường trịn đường kính SO Ta có: SAO   90 nên S; B; O thuộc đường trịn đường kính SO Ta có: SBO Vậy bốn điểm S, A, O, B thuộc đường tròn 2) Vì Gọi E trung điểm đoạn thẳng CD nên OE  CD (tính chất đường kính dây cung)   90 nên S; E; O thuộc đường trịn đường kính SO SEO   SEB  Vậy điểm S; E; O; B thuộc đường tròn đường kính SO  SOB TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   2.SOB  (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Mà AOB   2.SEB  Do AOB 1  3) Ta có: AF (Tính chất góc nội tiếp) B  AOB   AOB    2.SEB  (cmt)  SEB Mà AOB   AF  Nên SEB B mà góc vị trí đồng vị Nên AF / / CD (1)   SDA   sdAC  (2 góc nội tiếp chắn cung) Ta có: SAC   ABF   sdAF  (2 góc nội tiếp chắn cung) ADF   ABF   sdAE  (2 góc nội tiếp chắn cung) ASC   ASC   SDA   ADF   SAC   ASC   CDF   SAC   ASC   ACD  Mà SAC   CDF  (2) ACD Từ (1) (2) nên tứ giác ACDF hình thang cân Ta có SSAD  SSFD (cùng đáy SD chiều cao) Kẻ DH  SA tạ H Có SSAD  DH.SA Mà DH  AH  2R SSAD max  DH max  2R  A, O, D thẳng hàng Diện tích tam giác SDF lớn vẽ cát tuyến SCD cho A; O; D thẳng hàng TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu Cho  O ; R  điểm A cố định bên  O  Qua A , kẻ đường thẳng d cắt  O  M , N  AM  AN  Gọi I trung điểm MN Kẻ tiếp tuyến AB , AC tới  O  , ( B , C tiếp điểm B thuộc cung lớn MN )   BNC  a) Chứng minh: AOB b) Gọi H giao điểm OA BC Chứng minh AC  AM.AN tứ giác ONMH tứ giác nội tiếp c) Kẻ tiếp tuyến M , N cắt S Chứng minh HC phân giác góc MHN B , C ,S thẳng hàng Lời giải a) Xét  O  ta có:   BOC  (1)   BOA  (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)  BOA COA   BOC  (góc nội tiếp góc tâm chắn BC ) Lại có: BNC     BNC  Từ 1   suy ra: AOB b) * Xét AMC  ACN ta có:  chung A   ANC  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn MC ) ACM TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 Suy AMC ∽ ACN  g.g   GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG AC AM   AC  AM.AN (đpcm)  3 AN AC * Xét  O  ta có: AC  AB (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)   OB  OC (bán kính O ) Do đó: AO đường trung trực BC  AO  BC (tại H )  chung  A Xét AHC ACO ta có:     AHC  ACO  90 Suy AHC ∽ ACO  g.g   AH AC   AC2  AH.AO   AC AO Từ  3   suy ra: AM.AN  AH.AO  AM AH  AO AN  chung A  Xét AMH  AON ta có:  AM AH   cmt    AO AN   ANO  (hai góc tương ứng) Suy AMH ∽  AON  c.g.c   AHM  Tứ giác ONMH nội tiếp (góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối)  *   OMN  (góc nội tiếp chắn ON ) c) Ta có: OHN  Xét OMN ta có: OM  ON (bán kính  O  )    OMN cân O  OMN  ONM     ONA   AHM  Lại có: ONM 7   AHM  Từ  5 ,   ,   suy ra: OHN    NHC   90 AHM   MHC   90 Lại có: OHN    MHC   HC tia phân giác MHN  Từ  8 ,  9 suy ra: NHC   SNO   90 (tính chất tiếp tuyến cắt nhau) * Xét tứ giác SMON ta có: SMO   SNO   180  Tứ giác SMON nội tiếp **  SMO   Từ  * ,  ** ta có điểm S , M , H , O , N thuộc đường trịn đường kính SO    SH  OH 10 Lại có: BC  OH ( OA đường trung trực BC , H  OA )  CH  OH 11 Từ 10  ; 11 ta có: B , C , S thẳng hàng TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu Cho đường tròn  O  bán kính R , đường thẳng d khơng qua O cắt đường tròn hai điểm A, B Từ điểm C d ( A nằm B C ), vẽ tiếp tuyến CN với đường tròn ( N tiếp điểm; N thuộc cung AB lớn) Gọi E trung điểm đoạn AB a) Chứng minh bốn điểm C, E, O, N nằm đường tròn b) Chứng minh CN  CA.CB   CHA  Tia CO cắt đường c) Gọi H hình chiếu điểm N OC Chứng minh OAB tròn (O) hai điểm D I ( I nằm C, D ) Chứng minh IC.DH  DC.IH Lời giải a) Vì E TĐ AB nên OE  AB  OE  CE  E  đường tròn đường kính OC Vì CN tiếp tuyến đường trịn, N tiếp điểm nên CN  ON  N  đường trịn đường kính OC Do E, N thuộc đường trịn đường kính OC hay bốn điểm C, E, O, N nằm đường tròn đường kính OC (ĐPCM) , suy tứ giác OECN nội tiếp    CBN    AN   ( góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung); BCN b) Ta có ANC     chung nên NBC ∽ ANC  g  g   CA CN   CN  CA.CB CN CB c) +)  CNO vuông O , đường cao NH , áp dụng hệ thức lượng tam giác ta có CN  CH.CO Ta lại có CN  CA.CB ( cmt)   Do CA.CB  CH.CO  CN  CH CA  , CB CO   CBO  (1) Suy CAH ∽ COB  c.g.c   CHA   ABO  (2) Vì OA  OB ( bán kính) nên OAB cân O  OAB TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   CHA  (đpcm) Từ (1) (2) ta suy OAB   CDB  (3) +) Chứng minh tương tự ta có CAI ∽ CDB  c.g.c   CAI   BOI  ( góc nội tiếp góc tâm chắn BI   CAH   ); IOB Mà BDI    CAH    BDI   BOI    AI tia phân giác CAH  CAI   2     , HAB  hai góc kề bù  AD tia phân giác BAH Mà AI  AD; CAH Xét AHC có AI, AD đường phân giác phân giác đỉnh A  IC DC  AC      IC.DH  IH.DC (đpcm) IH DH  AH  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Câu Cho đường trịn  O; R  , đường kính AB Lấy C đường trịn  O  cho AC  CB , kẻ dây cung CD vng góc với đường kính AB E Gọi M điểm cung nhỏ AC Tia AM cắt tia BC S 1) Chứng minh SM SA  SC.SB tam giác ABS cân 2) Qua A kẻ tiếp tuyến với đường tròn  O  cắt tia BM N Chứng minh tứ giác ANSB nội tiếp 3) Gọi K giao điểm AC BM Kẻ KH vuông góc với AB H Chứng minh điểm M , H , D thẳng hàng 4) Tính diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác AMH theo R biết AM  R Lời giải S N M C K A O H E B D   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) 1) Xét  O  có AMB  góc kề bù  SMC   90  SMC Mà AMB   90 Chướng minh tương tự SCA Xét SMB  SCA có: S chung   SCA   90 (cmt) SMB Suy SMB ∽  SCA (g – g)  SM SB   SM.SA  SC.SB (đpcm) SC SA   AM   MC  M điểm AC   SBM  (chắn hai cung nhau)   MC   ABM Xét (O) : AM TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   90  BM  AS  BM đường cao Xét  ABS có: AMB   SBM  (cmt)  BM phân giác ABS  ABM   ABS cân B   sdAM   góc tạo tia tiếp tuyến dây cung  MAN 2) Xét  O  có MAN   góc nội tiếp chắn MC   MBC   sd MC MBC   MC   MAN   MBC  hay SAN   SBC  Mà AM   SBC  ; M , N hai đỉnh kề nhìn SN Xét tứ giác ANSB có SAN  ANSB nội tiếp (dhnb)   AHK   90  AMK   AHK   90  90  180 3) Xét tứ giác AHKM có AMK   KAH   tứ giác AHKM nội tiếp  KMH      Chứng minh: CAE   DAE  CAE  DAE hay DAB  KAH   BMD    BMD  (2 góc nội tiếp chắn cung)  KHA Mà: DAB     BMD    BMD  hay BMH Từ 1 ,    KMH H , D thuộc nửa mặt phẳng bờ BM  Tia MH & MD trùng  M , H , D thẳng hàng 4) Ta có: tứ giác AHKM nội tiếp nên đường tròn ngoại tiếp AMH đường trịn ngoại tiếp tứ giác AHKM có đường kính AK  Xét AMB có sin ABM AM R   30  MAC   30    ABM AB 2R   AM  AK  AM  R  R  2R Xét MAK có cosMAK  cos30 AK 3 cosMAK  Bán kính đường trịn ngoại tiếp AMH r  AK 2R R  :2  3  R  R (đvdt)  Diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác AMH r          TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lời giải   90  IOA   90 a) Ta có AB  CD (giả thiết)  COA   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)  AMI   90 Xét đường tròn  O  : AMB   IOA   90  90  180 Xét tứ giác AMIO có : AMI  vị trí đối  IOA mà hai góc AMI Suy ra, tứ giác AMIO nội tiếp (dấu hiệu nhận biết) b) Ta có MK tiếp tuyến  O M (giả thiết)  OM  MK M   900  OMK Xét OMK vuông M   MOK   90  MKO   MOK   900 mà MOA   MOA   MKO     MBA  (góc tâm góc nội tiếp chắn cung AM Mặt khác MOA    O  ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 100 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   2MBA  hay MKD   2MBA  Từ 1    MKO c) Xét  O  , ta có:   sđ MC  (góc nội tiếp chắn cung MC ) MBC   MOC  (giả thiết)  sđ MC  góc tâm chắn cung MC  ( MOC ) CON 2   CON   MBC  O  (chứng minh trên) Xét tứ giác BCNO có B 1  Tứ giác BCNO nội tiếp (vì có hai đỉnh kề B O nhìn cạnh NC góc nhau)   COB  (hai góc nội tiếp chắn cung BC )  CNB   900 mà COB   900 hay CN  BM N (điều phải chứng minh)  CNB d) Gọi E tâm đường tròn nội tiếp AMC   BOC   90  45 (góc nội tiếp góc tâm chắn Xét  O  , ta có BMC 2  ) cung BC   AMB   BMC   90  45  135  AMC   AMC   ACM   1800 Xét AMC có MAC   ACM   1800  1350  450  MAC   MAC  ( AE tia phân giác MAC ) Ta có: EAC   ACM  ( CE tia phân giác ACM ) ACE   ACE   MAC   ACM   45  22, 5  EAC 2   EAC   ACE   180  AEC   180  EAC   ACE   157, 5 Xét ACE có AEC     Mà A , C cố định nên điểm E thuộc cung chứa góc 157, 5 dựng đoạn thẳng AC (phần nửa mặt phẳng chứa điểm M ) Để bán kính đường tròn nội tiếp AMC đạt giá trị lớn E phải điểm cung chứa góc 157, 5 dựng đoạn thẳng AC Do M điểm cung nhỏ AC Vậy M điểm cung nhỏ AC bán kính đường trịn nội tiếp AMC đạt giá trị lớn TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 101 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 54 Cho  O;R  điểm A cho OA  3R Qua A kẻ tiếp tuyến AB AC  O  ( B, C tiếp điểm) Lấy M   O  cho BM / / AC Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng AM  O  Tia BN cắt đường thẳng AC I a Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp b Chứng minh IA  IN.IB  c Kẻ đường kính CD  O  Chứng minh tia ND tia phân giác BNM d Gọi G giao điểm hai đường thẳng AO BI Tính độ dài đoạn thẳng AG theo R Lời giải D B H M N A K G O I C   90 (tính chất a Vì AB tiếp tuyến đường trịn  O  B (giả thiết)  ABO tiếp tuyến)   90 (tính chất tiếp AC tiếp tuyến đường tròn  O  C (giả thiết)  ACO tuyến)   ACO   180 , mà góc vị trí đối  ABO Vậy tứ giác ABOC nội tiếp (dấu hiệu nhận biết)   NMB  (cặp góc so le trong) b Vì BM / /AC  NAI   ABN  (góc nội tiếp góc tạo tiếp tuyến dây cung mà BMN chắn cung BN)   ABN   IAN Xét IAN IBA có  chung AIN   ABN  (chứng minh trên) IAN TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 102 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  IAN ∽ IBA (góc - góc)  IA IN  (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)  IA  IN.IB (điều phải chứng minh) IB IA AC  CD  cmt   BM  CD (từ vng góc đến song song) c Có  BM / / AC gt    Gọi H giao điểm CD BM Xét  O  có: BM dây cung CD đường kính CD  BM H (cách dựng)  H trung điểm BM (quan hệ vng góc đường kính dây cung) Và D điểm cung BM  BD   DM   DNM  (hệ góc nội tiếp) Khi BND   ND tia phân giác BNM d Xét hai tam giác ICN IBC có:  chung NIC   IBC  (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung ICN NC)  ICN ∽ IBC (góc - góc)  IC IN   IC2  IB.IN IB IC Mặt khác ta chứng minh IA  IB.IN suy IA  IC Mà I  AC  I trung điểm AC Gọi K giao điểm AO BC Vì AB AC tiếp tuyến  O  B C (giả thiết)  AB  AC (tính chất tiếp tuyến cắt nhau)  A thuộc trung trực BC (1) Lại có OB  OC  R (B, C tiếp điểm)  O trung trực BC   Từ (1) (2)  OA đường trung trực BC  K trung điểm BC Xét tam giác ABC có: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 103 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG BI trung tuyến ứng với cạnh AC (do I trung điểm AC) AK trung tuyến ứng với cạnh BC (do K trung điểm BC) BI giao với AK G  G trọng tâm ABC (tính chất đường đồng quy)  AG  AK (tính chất trọng tâm) + Xét tam giác ABO vng B có AO  BK (chứng minh trên)  AK.AO  AB2 (hệ thức lượng tam giác vuông)  AK  AB2 AO AB2  AO2  OB2  3R  R  8R 8R 8R   Mà   AK   R OA  R(gt)  8R 16R  AG   đơn vị độ dài) 3 Bài 55 Cho  O;R  cố định, dây AB cố định không qua tâm O Qua trung điểm I dây AB , kẻ đường kính PQ vng góc với AB ( P thuộc cung nhỏ AB ) E điểm cung nhỏ QB ( E không trùng với B Q ) QE cắt AB M ; PE cắt AB D 1) Chứng minh điểm P , I , M , E thuộc đường tròn   IMP  2) Chứng minh IQD 3) a) Kẻ tia Ax // PE , Ax cắt  O  điểm thứ hai F Chứng minh BE  QF b) Gọi H chân đường vng góc kẻ từ Q xuống AE Chứng minh chu vi tam giác EHB lớn độ dài đoạn thẳng AB điểm E thay đổi cung nhỏ QB Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 104 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1)   90 nên ba điểm P , I , M thuộc đường trịn đường kính PM Ta có PIM    90 Suy ba   90 (góc nội tiếp chắn đường trịn O ) Suy PEM Ta lại có PEQ    2 điểm P , E , M thuộc đường trịn đường kính PM Từ 1   suy điểm P , I , M , E thuộc đường trịn đường kính PM   QED   90  90  180 nên tứ giác IDEQ nội tiếp 2) Tứ giác IDEQ có QID đường trịn   IED  (hai góc nội tiếp chắn cung Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác IDEQ có IQD   IEP   IMP  (hai góc nội tiếp chắn cung IP đường tròn ID ) Mặt khác IED đường kính PM )   IMP  Suy IQD 3)a Gọi K giao điểm BE QF  ), PAF   ABE  (2 góc nội tiếp chắn AE   PQF  (2 góc nội tiếp Xét  O  có: APE  ) chắn BF   PAF   180 (do PE // AF ) Mà APE   PQF   180 hay IBE   IQK   180  Tứ giác QIBK nội tiếp  ABE   BKQ   180  BIQ   90 suy BKQ   90  BE  QF Mà BIQ b) P D A B M I H O E K Q TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN F 105 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Trên AE lấy điểm G cho AG  BE Xét AQG BQE có   BQ ) AQ  BQ ( Q điểm cung AB nên AQ   QBE  (hai góc nội tiếp chắn cung QE đường tròn O ) QAG   AG  BE (theo cách vẽ) Do AQG  BQE (c – g – c) Suy QG  QE (hai cạnh tương ứng) Suy EQG cân Q Mà QH đường cao nên đường trung tuyến Suy HG  HE Suy PBHE  BH  HE  BE  BH  HG  GA  BH  AH  AB (theo bất đẳng thức tam giác) Bài 56 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp  O; R  Các đường cao AK, BI tam giác ABC cắt H Các đường thẳng AK BI cắt đường tròn  O  điểm thứ hai D E Chứng minh rằng: 1) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp 2) Chứng minh IK // DE OC  IK 3) Cho đường tròn  O  dây AB cố định Chứng minh điểm C di chuyển cung lớn AB độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK không đổi Lời giải: A E I M N H O B K P C D TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 106 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 1) Chứng minh tứ giác ABKI nội tiếp Xét ABC có đường cao AK BI ( giả thiết )  AK  BC K BI  AC I   AKC   90o AIB   BIC   90o  AKB   AIB   90o ( Chứng minh ) Xét tứ giác ABKI có: AKB  K I hai đỉnh liền kề nhìn cạnh AB góc  Tứ giác ABKI nội tiếp ( Dấu hiệu nhận biết ) ( đpcm ) 2) Chứng minh IK // DE OC  IK   ABI  ( Hai góc nội tiếp Tứ giác ABKI nội tiếp ( Chứng minh )  AKI chắn cung nhỏ AI đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI )   ABE  ( Do I  BE ) hay AKI (1)   ABE  ( Hai góc nội tiếp chắn cung nhỏ AE đường trịn Ta có : ADE (2)  O )   ADE  Từ (1) (2) suy AKI  ADE  cặp góc đồng vị nên suy IK // DE ( đpcm ) Mà AKI   KBI  ( Hai góc nội tiếp Tứ giác ABKI nội tiếp ( Chứng minh )  KAI   CBE  ( Do chắn cung nhỏ KI đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI ) hay DAC I  AC ,K  AD ,I  BE, K  BC )   CBE  ( Chứng minh ) Mà DAC  CBE  hai Đường tròn  O  có: DAC góc nội tiếp chắn cung nhỏ DC cung nhỏ EC   cung nhỏ ) ( Hệ )  DC  EC ( Định lý (3)   CE  ( DC,CE  DC Ta có: OD  OE ( Bán kính  O  ) (4) Từ (3) (4) suy OC đường trung trực đoạn DE  OC  DE ( Tính chất ) Mà IK // DE ( Chứng minh )  OC  IK ( Quan hệ từ vng góc đến song song ) ( đpcm ) 3) Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK ln khơng đổi Gọi N trung điểm AB, P trung điểm HC, đường thẳng CH cắt AB M   90o ( Chứng minh ) Xét đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABKI có: AKB  AB đường kính  N tâm đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABKI ( Do N trung điểm AB )   AKC   90o ( Chứng minh ) Ta có: BIC TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 107 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   HKC   90o ( Do H  BI,H  AK ) hay HIC  HKC  vị trí đối   HKC   90o  90o  180o Mà HIC Xét tứ giác HKCI có: HIC nên tứ giác HKCI nội tiếp ( Dấu hiệu nhận biết )   90o ( Chứng minh )  HC đường kính đường trịn ngoại Mà HIC tiếp tứ giác HKCI  P tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác HKCI ( Do P trung điểm HC ) PC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK Tam giác ABC có : AK BI đường cao AK cắt BI H ( giả thiết ) nên suy CM đường cao ABC ( Tính chất )  CM  AB hay CP  AB ( Do P  CM )(5) Xét đường tròn  O  có dây AB N trung điểm AB nên suy ON  AB N ( Quan hệ đường kính dây cung ) (6) Từ (5) (6) suy CP // ON ( Quan hệ từ vng góc đến song song ) Đường trịn ngoại tiếp tứ giác ABKI đường tròn ngoại tiếp tứ giác HKCI cắt K I Mà N P tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABKI tứ giác HKCI ( Chứng minh )  NP  IK ( Tính chất đường nối tâm ) (7) Ta có: IK  OC ( Chứng minh ) (8) Từ (7) (8) suy NP // OC ( Quan hệ từ vng góc đến song song ) Xét tứ giác NOCP có: CP // ON ( Chứng minh ) NP // OC ( Chứng minh )  Tứ giác NOCP hình bình hành ( Dấu hiệu nhận biết )  ON  PC ( Tính chất ) Xét ONA vng N ( Do ON  AB N ), áp dụng đinh lý Pytago ta có: OA  AN  NO  NO  OA  AN Mặt khác: OA  R , AN   NO  R  AB ( Do N trung điểm AB ) AB AB2 AB2 ( Do R  )  ON  R  4 Mà ON  PC ( Chứng minh )  PC  R  AB2 Vì  O  cố định AB cố định nên R, AB không đổi  PC có giá trị khơng đổi Mặt khác PC bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK  Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CIK ln khơng đổi có giá trị AB2 ( đpcm ) R  TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 108 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 57.Cho nửa đường tròn (O) , đường kính AB Lấy M thuộc nửa đường trịn ( M khơng trùng với A , B ) C điểm cung AM Gọi D giao điểm AC BM ; H giao điểm AM BC a) Chứng minh: Tứ giác CDMH nội tiếp b) Chứng minh: DA.DC  DB.DM c) Gọi Q giao điểm DH AB Chứng minh điểm M di chuyển nửa đường trịn (O) đường trịn ngoại tiếp CMQ ln qua điểm cố định Lời giải   AMB   90 (các góc nội tiếp chắn nửa đường trịn) a) Ta có: ACB   AMD   90  BCD   AMD   90  90  180  Tứ giác CDMH nội tiếp  BCD   AMD   90  chung; BCD b) Xét DCB DMA có: ADB  DCB DMA (g.g)  DC DB   DA.DC  DB.DM DM DA   AMB   90  AM  DB;BC  DA  AM;BC hai đường cao c) ACB DAB   BQD   90  H trực tâm DAB  DH  AB Q  AQD   AQD   90  90  180  Tứ giác ACHQ nội tiếp  CQH   CAM  ACB   BQD   90  90  180  Tứ giác BMHQ nội tiếp  MQH   CBM  AMB   CBM  , hai góc   MQH   CAM   CBM   CQM   2CAM  (do CAM  CQH  ), mà COM   2CAM  (góc tâm góc nội tiếp chắn nội tiếp chắn CM cung) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 109 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   COM   Tứ giác CMOQ nội tiếp  O thuộc đường tròn ngoại tiếp CMQ  CQM Vậy điểm M di chuyển nửa đường trịn (O) đường trịn ngoại tiếp CMQ qua điểm O cố định  ( C khác A , M ) Chú ý: Kết toán C điểm nằm AM     Bài 58 Cho đường tròn O điểm A cố định  O Vẽ qua A cát tuyến ABC ( B nằm A C ), AM, AN tiếp tuyến với  O  ( M,N   O  M thuộc nửa mặt phẳng bờ AC có chứa O , gọi H trung điểm BC 1) Chứng minh: AM  AB.AC 2) Chứng minh điểm A ,  M ,  N ,  O ,  H thuộc đường tròn 3) Đường thẳng qua B song song với AM cắt MN E Chứng minh EH//MC 4) Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì trọng tâm G tam giác MBC chạy đường nào? Lời giải N C H B E A G O K D M 1) Xét Δ CMA Δ MBA  chung Có MAC   ACM   sñBM  BMA ⇒ Δ MBA ∽ Δ CMA  g.g ⇒ AM AC  ⇒ AM  AB.AC AB AM 2) Vì AM , AN tiếp tuyến M N đường tròn  O  (gt)   AMO   90 nên ANO TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 110 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Lại có H trung điểm dây BC đường tròn  O    90 ⇒ OH  BC ⇒ OHA ⇒ A ,  M ,  N ,  O ,  H thuộc đường tròn đường kính AO 3) A ,  M ,  N ,  O ,  H thuộc đường trịn đường kính AO )   MNH  (hai góc nội tiếp cung MH HAM   HAM  Vì BE//AM ⇒ HBE   ENH  ⇒ HBE ⇒ tứ giác BEHN nội tiếp   BNE  ⇒ BHE )   BCM  (hai góc nội tiếp chắn MB Mà (O) ta có BNE   BCM  ⇒ EH // MC Nên BHE 4) Gọi K trung điểm AO D trọng tâm tam giác MAO ⇒ K , D cố định Vì D G trọng tâm tam giác MAO tam giác MBC ⇒ MD MG   ⇒ GD//HK   MK MH ⇒ DG  2 1 HK  AO  AO không đổi 3 ⇒ Khi cát tuyến ABC quay quanh A thì trọng tâm G tam giác MBC chay AO đường đường trịn tâm D bán kính   Bài 59 Cho đường tròn O;R đường kính AB cố định Gọi H điểm thuộc đoạn thẳng OA (điểm H khác điểm O điểm A ) Vẽ dây CD vng góc với AB H Gọi   M điểm thuộc đoạn thẳng CH Nối AM cắt O điểm thứ hai E Tia BE cắt tia DC F a) Chứng minh bốn điểm H , M , E , B thuộc đường tròn   FEC  MC.FD  FC.MD b) Kẻ Ex tia đối tia ED Chứng minh FEx c) Tìm vị trí điểm H đoạn thẳng OA để diện tích OCH lớn Lời giải TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý N 111 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Xét (O):   90 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay MEB   90 AEB   90 CH  AB  MHB   Xét tứ giác BEMH : MEB  MHB  90  90  180  Tứ giác BEMH tứ giác nội tiếp hay bốn điểm H , M , E , B thuộc đường tròn b) AB  CD H  H trung điểm CD hay AB đường trung trực CD   AD   AEC   AED   EM tia phân giác  AC  AD  AC   CE  MC CED ED MD   90  AEF   90  AEC   FEC   90 AED   FEx   90 Lại có: AEB   AED   FEx   FEC   EF tia phân giác góc ngồi E CED Mà AEC CE FC MC FC     MC.FD  FC.MD ED FD MD FD   FEC  MC.FD  FC.MD Vậy FEx  c) OCH vuông H  HC2  HO2  OC2  R 2 Với hai số a , b ta có:  a  b    a2  2ab  b2  a2  b2  a  b  2ab  ab  Dấu "  " xảy a  b 2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 112 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Áp dụng ta có: Diện tích OCH SOCH 1 HC2  HO R   HC  HO    2 Dấu "  " xảy HC  HO  R 2 R 2 Bài 60 Cho đường trịn (O;R) Từ điểm M ngồi đường tròn kẻ hai tiếp tuyến MA , Vậy diện tích OCH lớn OH  MB tới đường tròn ( A , B tiếp điểm) Qua A kẻ đường thẳng song song với MO cắt đường tròn E ( E khác A ), đường thẳng ME cắt đường tròn F ( F khác E ), đường thẳng AF cắt MO N , H giao điểm MO AB Gọi I trung điểm EF a) Chứng minh năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường tròn b) Chứng minh OIA đồng dạng với MAE c) Chứng minh N trung điểm MH MN  AN.NF d) Chứng minh HB2 EF   HF MF Lời giải a) Do MA , MB tiếp tuyến A , B đường tròn  O  nên MA  OA MB  OB   MBO   90  MAO   MBO   180  Tứ giác MAOB tứ giác nội  MAO tiếp 1   90  MAO   MIO   90 Do I trung điểm EF  OI  EF  MIO  Tứ giác MAIO nội tiếp   Từ 1    năm điểm M , A , I , O , B thuộc đường tròn   AME  OME   OAI  b) Tứ giác MAIO nội tiếp  AOI TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 113 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   MEA    OME   OAI Mà AE  MO  MEA   AME  ; OAI   MEA   OIA ~ MAE (góc-góc) Xét OIA MAE có: AOI c) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:   MAB cân M , có MO MA  MB MO tia phân giác AMB   90 phân giác  MO đường trung trực AB  MO  AB H  MHB   MEA   FBA   OME  hay FBH   FMH   Tứ giác BMFH nội tiếp Lại có: FBA   FAB   sđFB   FHM   MHB   90 , mà FBM   FAB   MFB   FNH   FAB   FNH   90 (do MO  AB H )  NFH   90  FHM   NFB   MFB   90 NFB   BFH   NFH   90  MFN   BFH  Ta có: MFN   FBH  ; FHM   FAB   MFH ~ BFA Xét MFH BFA có: FMH  MF MH  BF BA   BFH  ; FMH   FBH   MFH ~ BFH Xét MFN BFH có: MFN MF MN  BF BH MN MH MN BH     , mà H trung điểm BA (do MO trung trực BH BA MH BA AB ) BH MN      N trung điểm MH BA MH  AHN vng H có đường cao HF  NH  AN.NF N trung điểm MH  MN  NH  MN  AN.NF d) AHN vng H có đường cao HF  HA  AF.AN HF  AF.NF HB2 AN AF  NF AF Mà HB  HA  HB  AF.AN      NF NF HF NF AF EF AF EF HB2 EF HB2 EF AE / / MN    1  1       NF MF NF MF HF MF HF MF TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 114 PHONE: 0983.265.289 ... Diện tích hình trịn ngoại tiếp tam giác AMH r          TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Từ điêm... thẳng hàng (10) Từ (5) (10) suy điểm I, H, K thẳng hàng ( đpcm ) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 20 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 11 Cho nửa... nhau) Vậy HK trung trực BM TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 17 PHONE: 0983.265.289 BÀI TẬP HÌNH HỌC ƠN THI HK II + TS 10 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài 10 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp