tại N (gt) �CN ON tại N 9 t/c của tiếp tuyến )
� 900
CNO
�
Tứ giác CNOHcó CNO CHO� � 900900 1800
Nên tứ giác CNOHnội tiếp (tổng 2 góc đối bằng 180o) Vậy bốn điểm C,H,O,N thuộc một đường tròn.
b) KNOvà có: K�chung, KNO KHC(� � 900)
Có: KNO� 900( kề bù với CNO� ); KHC CHO� � 900
Xét KNO và KHC, có: �
OKNchung, KNO KHC� � 900(cmt)
KNO
KN KO KN.KC KH.KO.
KH KC
� �
c) Htrung điểm ABnên D là điểm chính giữa cung AB Xét O;R ,
có: H là trung điểm của dây cung AB không đi qua tâm O, OH cắt (O) tại D �Dlà điểm chunhs giữa của cung nhỏ AB �sđAD� sđBD�
� �
DAB ANE
� (các góc nội tiếp chắn các cung bằng nhau)
Trên nửa mặt phẳng bờ AN chứaE, kẻ tia Axlà tiếp tuyến của đường tròn ngoài tiếp ANE.
Khi đó cóEAx ANE� � , đồng thời có Ax và AN thuộc 2 mặt phẳng đối nhau bờAE.
Từ đó suy ra Ax AD�
Vậy AD là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ANE.
d) Tiếp tuyến tại Avà Bcắt nhau ởI. Do A, B và (O) cố định nên suy ra I cố định. Ta chứng minh I, M, N thẳng hàng.
Ta có: OM2 OH.OI( OA 2)
Có AI là tiếp tuyến của (O) tại A (gt) �OAI� 900�OAIlà vuông tại A.
Xét OAIvuông tại A, đường cao AH, có:
2
OA OH.OI ( hệ thức lượng trong tam giác vuông ).
Mà 2 OM OH OA OM R OM OH.OI OI OM � � Xét OHMvà OMIcó: OH OM OM OI
(OM2 OH.OI) và MOI� chung OHM
� ∽ OMI (g.g)OHM �OMI OHM� � ( hai góc tương ứng )
Tứ giác MNOHnội tiếp đường tròn đường kính OC �MHI ONM� � (cùng bù với
�
MHO).
Mà ONM OMN� � (ON = OM) và MHI MHO� � 180o.
� � 1800
OMI OMN= .
� Suy ra I, M, Nthẳng hàng. Do đó MNluôn đi qua điểm Icố định.
Câu 79. Cho đường tròn O;R
, kẻ đường kínhAD. Lấy điểm Cthuộc O;R
sao cho
CD R . Qua Ckẻ đường thẳng vuông góc với ADcắt ADtại Hvà cắt đường tròn O
tạiB. 1. Chứng minh CH2 AH.DHvà CDA� 60�
2. Lấy điểm Mbất kì thuộc cạnh ABM A,B .�
Trên tia đối của tia CAlấy Nsao
3. MNcắt BCtại I. Chứng minh Ilà trung điểm của MN.
4. Tia DMcắt O
tại E và tia DI cắt O
tạiF. Chứng minh rằng khi Mdi chuyển trên AB M A và � B
thì EFluôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Lời giải
1. Xét ACDcó ADlà đường kính � �ACD90��ACDvuông tại C
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACDcó CH là đường cao ta có:
2
CH AH.HD
Xét OCDcó OD OC CD R �OCDđều �ODC� 60�
Do đó ODA� 60�
2.
� 90
ABD �(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
� 90
ACD �(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) �NCD� 90�
Ta có AD CB tại H�Hlà trung điểm của CB(theo mối liên hệ giữa đường kính
và dây cung)
CDB
có CHlà đường cao đồng thời là đường trung tuyến�CDBcân tại D
CD BD
Xét BMDvà CNDcó � � 90 BM CN gt ABD NCD BMD CND c.g.c CD BD cmt � � � �� � � � � ; � � BMD CND
� (2 góc tương ứng); MD ND (2 cạnh tương ứng)�MDNcân tại
D
Xét tứ giác AMDNcó BMD CND� � mà 2 góc này ở vị trí góc ngoài bằng góc trong của đỉnh đối diện của tứ giác nên tứ giác AMDNnội tiếp (theo dấu hiệu nhận biết)
3. Xét tứ giác nội tiếp AMDNcó
� � DAN NMD 1 (cùng nhìn cạnh ND) � � MAD MND 2 (cùng nhìn cạnh MD)
Ta có CABcó AH CB (giả thiết) �Hlà trung điểm của CB (theo mối liên hệ
giữa đường kính và dây cung) �CAB cân tại A(do AH vừa là đường cao đồng
thời là trung tuyến) �BAH HAC� � �DAN MAD� � 3 Mặt khác MAD HBD� � (cùng phụ với ABH� ) 4
Từ 1 , 2 , 3 , 4
ta có DAN NMD MAD MND HBD� � � � � �NMD HBD� � 5 Xét tứ giác IDBMcó NMD HBD� � mà 2 góc ở vị trí cùng nhìn cạnh ID �tứ giác
IDBMnội tiếp
Theo tính chất của tứ giác nội tiếp ta có MBD MID� � 180�mà MBD� 90�(góc nội
tiếp chắn nửa đường tròn) �MID� 90��ID MI �ID MN
Mặt khác MDNcân tại D �IDlà đường cao đồng thời là đường trung tuyến.
Vậy I là trung điểm của đoạn MN
4. Ta có AMDNnội tiếp �MDN MAN� � 180�
Mà DAC� 30��BAC� 60��MAN� 60�
Do đó MDN� 120�, mà DI là tia phân giác MDN� �EDF� 60��EF BC
�khoảng cách từ tâm O đến dây EF bằng khoảng cách từ tâm O đến dây BC và bằng
2
R
.
Do đó EF luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính 2
Câu 80. Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O
. Các đường cao AD, BE,
CF cắt nhau tại H.
1) Chứng minh tứ giác DCEH nội tiếp và AD.AH AE.AC . 2) Tia AD và BE cắt đường tròn O
lần lượt tại M và N. Chứng minh H và M
đối xứng với nhau qua BC và CMN cân.
3) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh bốn điểm D, E, F, K cùng thuộc một
đường tròn.
Lời giải
1) Chứng minh tứ giác DCEH nội tiếp và AD.AH AE.AC Xét ABC có AD BC �ADC� 90� hay HDC� 90�.
BE AC �BEC� 90� hay HEC� 90�. CF AB �CFA� 90� hay HFA� 90�.
Xét tứ giác DCEH có HDC HEC� � 90�90�180� DCEH
� là tứ giác nội tiếp.
Xét ADC vuông tại D và AHE vuông tại E có: � DAC chung ADC AEH � ∽ (g-g). AD AC AE AH � AD.AH AE.AC � 2) Tia AD và BE cắt đường tròn O
lần lượt tại M và N. Chứng minh H và M
đối xứng với nhau qua BC và CMN cân.
Xét O
có BAM BCM� � (2 góc nội tiếp cùng chắn BM� )�BAD BCM� � 1 . Xét ABD vuông tại D có BAD ABD� � 90� 2
. Xét CBF vuông tại F có BCF CBF� � 90� ��ABD BCH� 90� 3
. Từ 1 2 3 �BCM BCH� � �CB là phân giác của HCM� .
Xét HCM có CB là phân giác của HCM� HM BC tại D HCM � cân tại C CB
� đồng thời là trung trực của HM H
� đối xứng với M qua BC.
* Chứng minh tương tự có:
� �
ABN ACN (2 góc nội tiếp cùng chắn AN� )
� �
ABN ACF (cùng phụ BAE� )
� �
ACN ACF
� CA
� là phân giác của FCN�
Xét HCN có CA là phân giác của FCN� CA HN tại E HCN � cân tại C CH CN � Mà CH CM (HCM cân tại C) CM CN � CMN � cân tại C.
3) Gọi K là trung điểm BC. Chứng minh bốn điểm D, E, F, K cùng thuộc một
đường tròn.
Xét BEC vuông tại E có:
+) EK là trung tuyến ứng với cạnh BC
EK BK � KBE � cân tại K � � KBE KEB � . +) EKC�
là góc ngoài tam giác tại đỉnh K
� � �
EKC KBE KEB
�
� 2�
EKC KBE
� .
Xét tứ giác AEHF có:AEH AFH� � 90�90�180� AEHF
� là tứ giác nội tiếp
� �
EFH HAE
� (2 góc nội tiếp cùng chắn HE� ) 4 . . Xét tứ giác AEDB có: AEB ADB� � 90�
Mà 2 góc này có đỉnhD, E kề nhau cùng nhìn cạnh AB dưới một góc 90� AEDB
� là tứ giác nội tiếp
� �
DAE EBD
� (2 góc nội tiếp cùng chắn DE� )hayHAE HBD� � 5 . Xét tứ giác BDHF nội tiếp có: BFH BDH� � 90�90�180�
BDHF
� là tứ giác nội tiếp
� �
HBD DFH
� (2 góc nội tiếp cùng chắn HD� ) 6 . . Từ 4 5 6 �EFH DFH� �