Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học

Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học MỤC LỤC NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU THỜI GIAN NGHIÊN CỨU GIẢI PHÁP THỰC HIỆN KIẾN THỨC CẦN TRUYỀN ĐẠT CÁC YÊU CẦU KHI VẼ CÁC ĐƯỜNG PHỤ .5 CÁC CƠ SỞ ĐỂ XÁC ĐỊNH ĐƯỜNG PHỤ .6 MỘT SỐ BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tớ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ I- Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng, tính logic cao Để rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh, người giáo viên cần trang bị tốt cho học sinh hệ thống kiến thức bản, hình thành kĩ năng, tư thuật giải phát triển lực tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo Bên cạnh việc nâng cao chất lượng học sinh đại trà cần phải phát huy trí lực cho học sinh giỏi Bởi vì, nhà trường, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi quan tâm trở thành mũi nhọn mục tiêu phấn đấu chất lượng, bồi dưỡng học sinh giỏi tốn giữ vai trị thiết yếu Ngồi thuận lợi, tạo điều kiện tốt cho việc bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh, vấn đề cần lưu ý mặt phương pháp Ở muốn đề cập đến việc giảng dạy phân mơn hình học với yêu cầu nhằm phát huy khả nhận thức học sinh, yêu cầu vẽ yếu tố phụ trình giải tập hình học Việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải tốn Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ tốn có lời giải ngắn gọn vấn đề khiến cho phải đầu tư suy nghĩ Kinh nghiệm cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ mà sáng tạo giải toán, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn cách ngắn gọn khơng phải công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình Tuy nhiên, q trình giảng dạy, tơi nhận thấy học sinh cịn lúng túng đứng trước tốn chứng minh hình học, tốn cần phải kẻ thêm đường phụ Các em chưa định hướng vấn đề, đơi cịn chưa biết phải đâu, vẽ đường phụ nào? Có sở giúp em tìm hướng cho việc kẻ thêm hình chưa tìm lời giải toán Thiết nghĩ vấn đề trăn trở, đặc biệt công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán người giáo viên Không định hướng rèn luyện cho em, mà thực cách để rèn luyện phát triển tư cho học sinh, nâng cao khả suy luận logic, khả vận dụng tri thức vào thực tiễn 1/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tớ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Với mục đích vậy, viết áp dụng sáng kiến với đề tài: “Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học” II- Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng thời gian nghiên cứu Mục đích chọn đề tài: Đề tài nhằm giúp học sinh THCS, đặc biệt học sinh khá, giỏi có phương pháp phương hướng để giải toán chứng minh đẳng thức hình học Đồng thời qua đề tài giúp học sinh rèn luyện, củng cố cách vững kiến thức, kỹ vẽ hình, kỹ trình bày lời giải đặc biệt có tư vẽ thêm yếu tố phụ việc giải tốn hình học Đề tài nguồn tư liệu bổ ích phục vụ cho thầy cô giáo việc định hướng bồi dưỡng học sinh giỏi trường THCS, nguồn tư liệu cho em học sinh – giỏi Ngồi mục đích trên, đề tài coi giải pháp góp phần thực đổi phương pháp dạy học theo hướng tích cực hố hoạt động học tập học sinh Nhiệm vụ nghiên cứu Tiến hành nghiên cứu sáng kiến kinh nghiệm này, thực qua nhiệm vụ sau: - Nghiên cứu sở lí luận biện pháp rèn kỹ phân tích tìm lời giải hình học - Nghiên cứu phương pháp dạy học, nghiên cứu chương trình SGK, SBT, tài liệu tham khảo - Phân tích thực trạng kết giảng dạy mơn hình học - Đưa biện pháp rèn kỹ phân tích tìm lời giải khai thác tốn hình học - Vận dụng sáng kiến kinh nghiệm vào cơng tác giảng dạy mơn hình học đơn vị nhà trường - Rút kinh nghiệm đánh giá kết đạt chưa đạt trình vận dụng thực tế sáng kiến kinh nghiệm Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học - Giáo viên giảng dạy Toán cấp THCS học sinh THCS Thời gian nghiên cứu Thời điểm từ tháng năm 2017 đến tháng năm 2018 2/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học III- Phương pháp nghiên cứu - Khảo sát thực tiễn - Phân tích, tổng hợp khái qt hóa - Tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu - Vận dụng thực hành giảng dạy - So sánh, tổng kết 3/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học PHẦN B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I- Cơ sở lý luận Khi giải tốn hình học, việc vẽ thêm hình phụ tạo điều kiện thuận lợi cho ta tìm lời giải tốn, biết tạo hình phụ cách thích hợp khơng phải dễ Trong đề tài muốn đưa cách phân tích có chủ ý để tìm cách vẽ thêm hình phụ thích hợp giải số tốn chứng minh đẳng thức hình học dạng: x = a + b; xy = ab + cd; x = ab + cd; x2 = ab – cd; x2 = a2 + cd; x2 = a2 + b2 Ta xuất phát từ toán đơn giản: Để chứng minh đoạn thẳng tổng hai đoạn thẳng khác, chẳng hạn: AB = CD + EF, ta tìm cách phân chia đoạn thẳng AB thành hai đoạn điểm K cho AK = CD, cơng việc cịn lại chứng minh KB = EF Ý tưởng sử dụng để chứng minh đẳng thức: xy = ab + cd dạng: x2 = ab + cd, x2 = a2 + cd, x2 = a2 + c2 v.v… sau: Bước 1: Chia đoạn thẳng độ dài x thành hai đoạn điểm chia K để có x = x1 + x2 cho x1y = ab (1) Bước 2: Chứng minh hệ thức x2y = cd (2) Bước 3: Cộng vế theo vế (1) (2) để đẳng thức cần chứng minh: x1y + x2y = ab + cd  xy = ab + cd Hệ thống tập đưa phải từ dễ đến khó, vẽ thêm yếu tố phụ từ đơn giản đến phức tạp Trong giải pháp vẽ thêm yếu tố phụ, sau suy luận giáo viên đưa cách vẽ yếu tố phụ hợp lý đơn giản cần chọn lọc tập tương tự cho học sinh tập suy luận độc lập tư duy, tìm tịi sáng tạo để tìm lời giải hay II- Các giải pháp biện pháp thực Giải pháp thực - hình thành tình có vấn đề liên quan đến cách giải cho Bài toán - Hướng dẫn học sinh đưa cách giải cho Bài toán, từ hướng dẫn học sinh tìm lời giải ngắn phù hợp học sinh - Tăng cường hoạt động tìm tịi, dự đoán tiếp cận lời giải - Nắm vững kiến thức bản, huy động, vận dụng kiến thức vào giải vấn đề có liên quan 4/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Kiến thức cần truyền đạt Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện khả sáng tạo, rèn luyện cách khai thác phân tích tìm tịi lời giải tốn chứng minh đẳng thức hình học Trong đề tài khuôn khổ giới hạn đưa số tập điển hình xuất phát từ ý tưởng phân tích tìm tịi cách vẽ thêm yếu tố phụ chứng minh đẳng thức từ ví dụ đơn giản để học sinh ứng dụng xác định yếu tố phụ để giải toán chứng minh đẳng thức hình học Các yêu cầu vẽ đường phụ a Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh tốn Muốn phải kết phân tích tổng hợp, tương tự hố, mày mị dự đốn theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ kiến thức có với điều kiện cho toán kết luận phải tìm Do khơng vẽ đường phụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mò, dự đốn) đường phụ khơng giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vậy, vẽ đường phụ phải ln tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ có đạt mục đích muốn khơng?" Nếu "khơng" nên loại bỏ b Đường phụ phải đường có phép dựng hình phải xác định c Lựa chọn cách dựng đường phụ thích hợp Đường phụ thường thỏa mãn tính chất đó, việc lựa chọn đường phụ quan trọng Tuy đường phụ vẽ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác d Một số loại đường phụ thường sử dụng giải tốn hình chương trình THCS - Đường phụ điểm: Vẽ điểm chia hay chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số thích hợp Xác định giao điểm đường thẳng đường thẳng với đường tròn - Đường phụ đường thẳng, đoạn thẳng: - Kéo dài đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý - Nối hai điểm cho trước hai điểm xác định - Từ điểm cho trước dựng đường song song với đường thẳng xác định 5/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học - Từ điểm cho trước dựng đường vng góc với đường thẳng xác định - Dựng đường phân giác góc cho trước - Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước - Từ điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước - Hai đường trịn giao dựng dây cung chung - Hai đường trịn tiếp xúc ta kẻ tiếp tuyến chung đường nối tâm Vẽ tia đối tia Dựng đường đặc biệt tam giác (Trung tuyến, trung bình, phân giác, đường cao) - Đường phụ đường tròn: + Vẽ thêm đường trịn cung chứa góc dựa điểm có + Vẽ đường trịn tiếp xúc với đường trịn đường thẳng có + Vẽ đường tròn nội ngoại tiếp đa giác Trên sở, yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ, giáo viên cần phân dạng tốn Hình mà lời giải có sử dụng đường phụ Các sở để xác định đường phụ Ta dựa sở sau để xác định đường phụ vẽ đường gì? vẽ từ đâu? a Kẻ thêm đường phụ tạo nên Hình sử dụng định nghĩa tính chất Hình để giải Bài tốn b Kẻ thêm đường phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải Bài toán c Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải Bài toán d Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng e Kẻ thêm đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tương đương để giải Bài toán Một số toán phương pháp giải A Bài toán Cho ∆ ABC, M điểm tam giác Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối B' diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng C' M Q song song với BC cắt A’B’; A’C’ K H P K H Chứng minh rằng: MK= MH? B 6/28 A' C Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tớ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Sau tìm nhiều cách chứng minh khơng có kết Ta ý đến giả thiết toán cho ta yếu tố đồng quy song song Giả thiết định lý gần với nhất? Câu trả lời mong đợi định lý Talet - Ở KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành đoạn nhỏ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA’ CA’, BC - Cần phải xác định thêm điểm nào? - Điểm P Q giao KH với AB AC Ta có lời giải sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Ta có: Theo Hệ định lý Talét ta dễ chứng minh được: MH CA' MQ BC MP BA' = ; = ; = MP CB MK BA' MQ CA' MH MQ MP CA' CB BA' => = MP MK MQ CB BA' CA' MH => =1=>MH=MK MK Bài toán Cho tam giác ABC, góc B C nhọn Hai đường cao BE CF cắt H Chứng minh BH BE + CH CF = BC *Phân tích: Để chứng minh đẳng thức ta vẽ A thêm điểm K thỏa mãn điều kiện: E BC=BK+KC BH.BE=BC.BK;CH.CF=BC.CK F Muốn có đẳng thức BH.BE=BC.BK H ⇑ BH BK = BC BE ⇑ ∆BHK · ∆BCE mà BEC = 900 B K ⇑ · BKH = 900 Do K chân đường vng góc kẻ từ H xuống BC *Lời giải: + Từ H vẽ HK ⊥ BC H Vì H thuộc BC nên BC=BK+KC ⇒ BC2 =BC(BK+KC)=BC.BK+BC.KC 7/28 C Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học + ∆BHK ∆BCE có: · chung; HBK · · BKH = BEC = 900 Do ∆BHK ⇒ ∆BCE (g.g) BH BK = ⇒ BH.BE=BC.BK BC BE (1) + ∆CHK ∆CBF có: · chung; HCK · · CKH = CFB = 90 Do ∆CHK ⇒ ∆CBF (g.g) CH CK = ⇒ CH.CF=BC.CK BC CF (2) + Cộng vế theo vế (1) (2), ta : BH BE + CH CF = BC BK + BC.CK ⇒ BH.BE+CH.CF=BC(BK+CK) ⇒ BH.BE+CH.CF=BC (đpcm) Bài toán Cho Hình bình hành ABCD có góc BAD nhọn Gọi E F chân đường vuông góc kẻ từ C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh rằng: AC2 = AB.AE + AD.AF *Phân tích: Để chứng minh đẳng thức AC2 = AB.AE + AD.AF ta vẽ thêm điểm K thỏa mãn điều kiện: AC=AK+KC AK.AC=AB.AE CK.AC=AB.AE E ⇑ AK AE = AB AC C B ⇑ ∆ABK · ∆ACE mà ACE =900 K A ⇑ D F · AKB = 900 Do K chân đường vng góc kẻ từ B xuống AC *Lời giải: · · Gọi K chân đường vng góc kẻ từ B xuống AC (vì BAC,BCA < 90o nên K ∈ AC) 8/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học ⇒ AC = AK + KC - Ta có: ∆ABK AK AE ⇒ AK.AC = AB.AE = AB AC AC AF ⇒ CK.AC = BC.AF = ∆CBK ⇒ CB CK ∆ACE (g.g) ⇒ - Tương tự ta có: ∆ACF Mà BC = AD ⇒ CK.AC = AD.AF ⇒ AB.AE + AD.AF = AK.AC + CK.AC = (AK + CK).AC = AC.AC = AC2 Vậy: AC2 = AB.AE + AD.AF (đpcm) Bài toán Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc cạnh BC Kẻ MD ⊥ AB( D∈AB), kẻ ME ⊥ AC ( E∈AC), kẻ BH ⊥ AC ( H∈AC) CMR: MD + ME = BH *Phân tích: Lấy điểm K∈BH cho BK = MD Vì A cạnh MD cạnh góc vng ∆MDB vng D nên đoạn thẳng BK phải cạnh góc vng ∆BKM Từ K phải chân đường vng góc kẻ từ M đến BH *Lời giải: Qua M, kẻ MK ⊥ BH (K∈BH) H + Vì MK ⊥ BH; AC⊥ BH => MK // AC K E D µ · => C=BMK ( vị trí đồng vị) B M 0; µ µ µ · + ∆MDB ∆BKM có: D=K=90 B=BMK ( Cµ ); cạnh BM chung => ∆MDB = ∆BKM (g.c.g) => MD = BK ( cạnh tương ứng) µ µ µ + Tứ giác MKHE có: K=H=E=90 nên hình chữ nhật => ME = KH C (1) (2) + Cộng (1) (2) vế theo vế ta : MD + ME = BK + KH = BH ( đpcm) *Nhận xét: 1) Vì MD cạnh góc vng ∆MDB, để có BK = MD điểm phụ K xác định chân đường vng góc M đến BH 2) Từ đẳng thức: MD + ME = BH, ta thấy khoảng cách từ điểm M đến cạnh AB, AC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M Ta phát biểu lại tốn dạng: Cho tam giác ABC cân A, điểm M thuộc cạnh BC Chứng minh rằng: Tổng khoảng cách từ M đến hai cạnh AB, AC không phụ thuộc vào vị trí 9/28 Một sớ kinh nghiệm vẽ thêm yếu tớ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Cho ∆ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = cm, IB = 3cm Tính độ dài AB *Hướng dẫn giải: + Kẻ đường vng góc với AB A cắt BI K + Kẻ AH BK (H ∈BK) /+ Chứng minh ∆AIK cân A (AKI = AIK ) Nên AK = + Đặt HK = x ⇒ HI = x BK = 2x + /ABK vuông A nên: AK2 = HK.BK ⇔ ( )2 = x(2x + 3) ⇔ 2x2 + 3x – 20 = ⇔ x1 = 2,5; x2 = - /ABK vuông A nên: AB2 = BH.BK = 5,5(5 + 3) = 44 ⇒ AB = 11 (cm) * Nhận xét: Nhờ tạo tam giác vuông đưa đoạn thẳng cần tính (AB) trở thành cạnh tam giác vng để tính độ dài cạnh Từ tính độ dài AB Thơng qua hệ thức lượng tam giác, lập mối liên hệ độ dài biết với độ dài cần tính giúp ta giải Bài toán Chú ý: Cần biết kết hợp sử dụng kiến thức đại số vào giải tốn hình học Bài tốn 16 (Chứng minh định lí Pitago) Cho tam giác ABC vng A Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 *Phân tích: Lấy điểm K∈BC cho BK.BC = AB2 ⇔ BK AB = ⇔ AB BC A Từ đó, K · ∆KBA đồng dạng với ∆ABC nên BKA=90 chân đường vng góc kẻ từ A xuống cạnh BC *Lời giải: Kẻ AK ⊥ BC Vì góc B, C nhọn nên K∈ BC B C K · · µ chung + ∆KBA ∆ABC có: BKA=BAC=90 ;B ⇒ ∆KBA đồng dạng với ∆ABC (g.g) ⇒ BK AB = ⇒ AB2 =BK.BC AB BC (1) 16/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học · · + ∆KAC ∆ABC có: AKC=BAC=90 ; Cµ chung ⇒ ∆KAC đồng dạng với ∆ABC (g.g) ⇒ CK AC = ⇒ AC2 =CK.BC AC BC (2) + Cộng vế theo vế (1) (2), ta được: AB2 +AC =BK.BC+CK.BC=BC2 (đpcm) *Nhận xét: Vì ∆ABC vng A Do đó, để ∆KBA đồng dạng với ∆ABC điểm K cần xác định chân đường vng góc kẻ từ A xuống cạnh BC Bài toán 17 Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc A Chứng minh rằng: AD2 = AB.AC – BD.CD *Phân tích: Lấy K∈AD cho: AK.AD = AB.AC AK AC = ⇒ ∆ABK đồng dạng với ∆ADC AB AD · · Do đó: ABK=ADC Như ta xác định ⇒ điểm K *Lời giải: Trên AD lấy điểm K cho: · · Dễ thấy AD = AK – DK ABK=ADC · · · · + ∆ABK ∆ADC có: ABK=ADC ; BAK=CAK (AD phân giác góc A) ⇒ ∆ABK đồng dạng với ∆ADC (g.g) ⇒ A B C D K AK AC = ⇒ AK.AD=AB.AC AB AD (1) · · · · + ∆BDK ∆ADC có: BDK=ADC (đối đỉnh); BKD=ACD (∆ABK đồng dạng ∆ADC) ⇒ ∆BDK đồng dạng với ∆ADC (g.g) ⇒ BD DK = ⇒ DK.AD=BD.DC AD DC (2) + Trừ vế theo vế (1) (2), ta được: AK.AD-DK.AD=AB.AC-BD.DC Hay: AD2 = AB.AC - BD.DC (đpcm) *Nhận xét: · · 1) ∆ABK ∆ADC có BAD=CAD ( AD phân giác góc A), để hai tam giác đồng dạng với ta cần tìm thêm cặp góc · · · · ( ABK=ADC ) Do đó, điểm phụ K thuộc AD cho ABK=ADC 17/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tớ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học 2) Nếu AD đường phân giác ngồi góc A ( D ∈ BC) ta có hệ thức: AD2 = DB.DC – AB.AC 3) tốn tổng qt: Cho tam giác ABC có AD đường phân giác góc A Chứng minh rằng: AD2 = AB.AC-DB.DC Bài tốn 18 Cho hình thang cân ABCD (AD // BC) Chứng minh rằng: AC2 = AB2 + AD.BC *Phân tích: Giả sử điểm K ∈ AC cho: AK.AC = AB2 ⇒ AK AB = ⇒ ∆ABK đồng dạng AB AC · · với ∆ACB => ABK=ACB Vậy ta xác định điểm K · · *Lời giải: Lấy K ∈ AC cho ABK=ACB · · µ chung + ∆ABK ∆ACB có: ABK=ACB ; A C B K D A ⇒ ∆ABK đồng dạng ∆ACB (g.g) ⇒ AK AB = ⇒ AK.AC=AB2 AB AC (1) µ µ mà: ABK=ACB · · · · + ABCD hình thang cân nên: B=C => CBK=ACD · · · · + ∆CBK ∆ACD có: KCB=CAD (so le trong); CBK=ACD => ∆CBK đồng dạng với ∆ACD (g.g) BC AC ⇒ = ⇒ CK.AC=BC.AD CK AD + Cộng vế theo vế (1) (2), ta được: AK.AC+CK.AC=AB2 +BC.AD Hay: AC2 = AB2 + BC.AD (đpcm) (2) *Nhận xét: ∆ABK ∆ACB có chung góc A, để hai tam giác đồng dạng · · với ta cần tìm thêm cặp góc ( ABK=ACB ) Do đó, điểm phụ · · K thuộc AC cho ABK=ADC B Bài toán 19 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Chứng minh rằng: AC.BD = AB.CD + AD.BC *Phân tích: Giả sử K thuộc đoạn AC cho: 18/28 O A C K D Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học AK.BD = AB.CD ⇒ AK AB = ⇒ ∆ABK đồng dạng với ∆DBC CD BD · · => ABK=DBC Như vậy, điểm phụ K xác định *Lời giải: · · · · Vì ABC>DBC nên đoạn AC lấy điểm K cho ABK=DBC · · · · +∆ABK ∆DBC có: ABK=DBC ; BAK=BDC (góc nội tiếp chắn cung BC) => ∆ABK đồng dạng với ∆DBC (g.g) AK AB = ⇒ AK.BD=AB.CD (1) CD BD · · · · · · · · + Vì ABK=DBC => ABK+KBD=KBD+DBC hay ABD=CBK · · · · + ∆BCK ∆BDA có: BCK=BDA (góc nội tiếp chắn cung AB); CBK=ABD ⇒ => ∆BCK đồng dạng với ∆BDA(g.g) ⇒ BC CK = ⇒ CK.BD=BC.AD BD AD (2) + Cộng vế theo vế (1) (2), ta được: AK.BD+CK.BD=AB.CD+BC.AD Hay: AC.BD = AB.CD + BC.AD (đpcm) *Nhận xét: · · 1) ∆ABK ∆DBC có BAK=BDC (góc nội tiếp chắn cung BC), để hai tam giác đồng dạng với ta cần tìm thêm cặp góc ( · · · · ) Do đó, điểm phụ K thuộc AC cho ABK=DBC ABK=DBC 2) Từ lời giải kết tốn, ta giải tốn hay khó sau: Bài 1: Trong tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn (O;R), tìm tứ giác có tổng: AB.CD + AD.BC lớn Bài 2: Cho tứ giác ABCD Chứng minh rằng: AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD Dấu đẳng thức xảy ? Bài 3: Qua đỉnh B C tam giác ABC, vẽ tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác, chúng cắt M Gọi N trung điểm cạnh BC Chứng · · minh rằng: BAM=CAN Bài toán 20 µ µ Cho tam giác ABC có: 3.A+2.B=180 Chứng minh rằng: AB2 = BC2 + AB.AC *Phân tích: Giả sử điểm K thuộc cạnh AB cho: 19/28 A C K B Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học BK.AB = BC2 ⇒ BK BC = BC AB => ∆BKC đồng dạng với ∆BCA · · => BCK=BAC µ µ · µ µ Mặt khác, ta có: 3.A+2.B=180 => ACB=2.A+B · · · µ ⇒ ACK=BCK+B · · µ hay BCK+ACK=2.BCK+B · · · µ (tính chất góc ngồi) Mà: AKC góc ngồi ∆BCK Do đó, AKC=BCK+B · · => ACK=AKC hay tam giác ACK cân A Vậy điểm phụ K xác định *Lời giải: µ µ Vì: 3.A+2.B=180 => AB > AC Trên cạnh AB lấy điểm K AK = AC => tam giác ACK cân A 0 µ µ µ µ µ · µ µ hay BCK+ACK=2.A+B · · µ µ Ta có: 3.A+2.B=180 , A+B+C=180 => ACB=2.A+B · · · · µ ( tính chất góc ngồi) Mà: ∆ACK cân A => ACK=AKC AKC=BCK+B · · Từ ta được: BCK=BAC · · + ∆BCK ∆BAC có: BCK=BAC (cmt); góc B chung => ∆BCK đồng dạng với ∆BAC (g.g) => BC BK = ⇒ BK.AB=BC2 AB BC (1) + Mặt khác: Do AB = AK + BK; AK = AC => BK = AB – AC (2) + Từ (1) (2), ta có: (AB – AC).AB = BC2 hay AB2 – AC.AB = BC2 => AB2 = BC2 + AC.AB (đpcm) *Nhận xét: ∆BCK ∆BAC có góc B chung, để hai tam giác đồng dạng với · · ta cần tìm thêm cặp góc ( BCK ) Do đó, điểm phụ K = BAC thuộc AB cho AK = AC hay ∆ ACK cân A Bài tốn 21 Tam gi¸c ABC có BC = 2AB, M trung điểm BC, D trung điểm BM Chứng minh AD = AC A *Hớng dẫn giải: Cách 1: + Gọi F trung điểm AC Nối FM ⇒ FC = AC F B (1) 20/28 D M C Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tớ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học + C/m ∆ ADB = ∆ CFM ( c.g.c ) (2) AC (®pcm) + Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD = FC = * NhËn xÐt: Nhờ vẽ thêm trung điểm F AC mà ta tạo nên tam giác dựa vào tính chất đờng trung bình tam giác để AC thông chøng minh ∆ ADB = ∆ CFM, tõ ®ã dẫn đến AD = qua đoạn thẳng trung gian FC Giờ ta đặt vấn đề, không vẽ thêm trung điểm AC mà vẽ thêm trung điểm AB sao? Cách 2: *Hớng dẫn giải: + Lấy F trung điểm AB A AC (1) + C/m ∆ ADB = ∆ MFB ( c.g.c ) ⇒ AD = FM Nèi FM ⇒ FM = + Tõ (1) vµ (2) ⇒ AD = F B D M C AC (®pcm) * Ta cịng vẽ thêm đoạn thẳng đoạn thẳng cho trớc Cách 3: + Vẽ DK cho D trung ®iĨm cđa AK Nèi KB, AM; ®ã: AK = 2AD (1) ABKM hình bình hành + C/m ∆ ABK = ∆ CMA ( c.g.c ) B ⇒ AK = AC (2) + Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC ⇒ AD = A D AC (đpcm) M C K Cách 4: + Vẽ AK cho A trung điểm BK Nối KM, AM; ®ã: MK = 2AD (1) + C/m ∆ AMK = ∆ MAC ( c.g.c ) ⇒ MK = AC (2) + Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC K A 21/28 B D M C Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học ⇒ AD = AC (đpcm) Cách 5: + Vẽ AK cho A trung điểm MK Nối KB, BK = 2AD (1) + C/m đợc KAB = ∆ AMC ( c.g.c ) ⇒ BK = AC (2) + Tõ (1) vµ (2) ⇒ 2AD = AC ⇒ AD = K A AC (®pcm) B D M C Bài toán 22 Gäi M, N lần lợt trung điểm hai đoạn thẳng cắt AC BD Đờng thẳng MN cắt BC AD lần lợt P Q Chứng PB QD minh rằng: PC = QA Hớng dẫn giải: Cách 1: + Từ B D kẻ đờng thẳng Song song với AC cắt MN lần lợt Tại E F PBE  PCM ⇒ PB BE = PC CM B E P M A N Q F (1) QDF QD DF QAM ⇒ QA = AM C (2) NBE = NDF (g.c.g) BE = DF + Mặt khác: CM = AM (4) PB QD D (3) + Tõ (1), (2), (3) (4) PC = QA (đpcm) * Nhận xét: Nhờ vẽ đờng thẳng song song mà hình vẽ xuất cặp đoạn thẳng tỉ lệ với cặp đoạn thẳng đợc nêu ®Ị bµi 22/28 Một sớ kinh nghiệm vẽ thêm yếu tớ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hỡnh hc Phơng pháp vẽ đờng thẳng song song phơng pháp thờng dùng để vận dụng định lí Talét; tam giác đồng dạng chứng minh hệ thức đoạn thẳng Vì AC BD có vai trò nh nên ta vẽ đờng thẳng song song với BD từ A C (hình vẽ) chứng minh tơng tự nh cách 23/28 Mt số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học C¸ch 2: Từ A C kẻ đờng thẳng Song song với BD, cắt MN lần Lợt E F A M D E K I O B C Bài toỏn 23 Cho đờng tròn (O;R) nội tiếp tam giác ABC, đờng tròn (O) tiếp xúc với AB, AC lần lợt D, E Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AD; CM cắt DE I Chứng minh IM DM = IC CE Gợi ý: Điều cần chứng minh gợi ta nghĩ đến định lí Ta lét cần làm xuất "hai đờng thẳng song song" A B C¸ch 1: VÏ CK // AB, K ∈DE IM DM = Ta cã: IC CK F E P M N Q Từ chứng minh đợc CE = CK D C A C¸ch 2: VÏ MH // DE, H ∈AC Ta cã: M DM HE = ; AD = AE AD AE H D IM HE = ; ®ã DM = HE IC CE E I Tõ ®ã suy điều phải chứng minh B 24/28 O C Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học 25/28 Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học A C¸ch 3: VÏ ML // AC, L ∈DE Ta cã: M IM ML = , DM = ML IC CE D E L I Từ suy điều phải chøng minh O B C BÀI TẬP VÂN DUNG Bài 1: Cho tam giác ABC vuông C Lấy điểm E đường cao CH Kẻ BD vng góc với AE D Chứng minh rằng: a) AE.AD + BA.BH = AB2 b) AE.AD – HA.HB = AH2 Bài 2: Cho tứ giác ABCD có: ∠ DBA=900; ∠ DBC=900 Chứng minh rằng: CD2 = DI.DB + CI.CA Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC a) Chứng minh rằng: MA = MB + MC b) Gọi D giao điểm MA BC Chứng minh rằng: 1 + = MB MC MD Bài 4: Cho Hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh Ab, điểm F thuộc cạnh AD Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC I Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC K Chứng minh rằng: a) AI = CK b) Gọi N giao điểm EF AC Chứng minh AB + AD = AC AE AF AN Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc nửa đường (O) (CB