Một số kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng toán chứng minh đẳng thức hình học

Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học MUC LỤC Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học A - ĐẶT VẤN ĐỀ I- Lý chọn đề tài Tốn học mơn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng, tính logíc cao Để rèn luyện kĩ giải toán cho học sinh, người giáo viên cần trang bị tốt cho học sinh hệ thống kiến thức bản, hình thành kĩ năng, tư thuật giải phát triển lực tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo Bên cạnh việc nâng cao chất lượng học sinh đại trà cần phải phát huy trí lực cho học sinh giỏi Bởi vì, nhà trường cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi quan tâm trở thành mũi nhọn mục tiêu phấn đấu chất lượng, bồi dưỡng học sinh giỏi Tốn giữ vai trị thiết yếu Ngồi thuận lợi, tạo điều kiện tốt cho việc bồi dưỡng nâng cao chất lượng học sinh, vấn đề cần lưu ý mặt phương pháp Ở muốn đề cập đến việc giảng dạy phân mơn Hình học với yêu cầu nhằm phát huy khả nhận thức học sinh, yêu cầu vẽ yếu tố phụ trình giải tập Hình học Việc vẽ thêm yếu tố phụ làm cho toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi Thậm chí có phải vẽ thêm yếu tố phụ tìm lời giải toán Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ toán có lời giải ngắn vấn đề khiến cho phải đầu tư suy nghĩ Kinh nghiệm cho thấy khơng có phương pháp chung cho việc vẽ thêm yếu tố phụ mà sáng tạo giải tốn, việc vẽ thêm yếu tố phụ cần đạt mục đích tạo điều kiện để giải tốn cách ngắn gọn công việc tuỳ tiện Hơn nữa, việc vẽ thêm yếu tố phụ phải tuân theo phép dựng hình tốn dựng hình Tuy nhiên, q trình giảng dạy, tơi nhận thấy học sinh cịn lúng túng đứng trước toán chứng minh Hình học, tốn cần phải kẻ thêm đường phụ Các em chưa định hướng vấn đề, đơi cịn chưa biết phải đâu, vẽ hình phụ nào? Có sở giúp em tìm hướng cho việc kẻ thêm hình chưa tìm lời giải toán Thiết nghĩ vấn đề trăn trở, đặc biệt công tác bồi dưỡng Học sinh Giỏi Tốn người giáo viên Khơng định hướng rèn luyện cho em, mà thực cách để rèn luyện phát triển tư cho học sinh, nâng cao khả suy luận logic, khả vận dụng tri thức vào thực tiễn 2/27 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Với mục đích vậy, tơi viết áp dụng sáng kiến với đề tài: “Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học” II- Thời gian, đôi tượng, phạm vị nghiên cứu ứng dụng Thời gian thực hiện: Năm học 2016-2017; Năm học 2017-2018 Đôi tượng: Học sinh lớp 8; Phạm vị nghiên cứu: Lớp 8; trường THCS III Sô lượng khảo sát trước thực giải pháp Tổng Giỏi Khá TB Yếu- Lớp SL % SL % SL % SL % sô (15/8/2016 45 4.4 8.8 25 55 14 31 ) (15/8/2016 ) 45 8.9 3/27 13.3 26 57.7 20 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học B- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I- Cơ sở lý luận Trước áp dụng sáng kiến: “ Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học” tơi thường trọng cho học sinh giải tập cách đơn lẻ, chưa có nhiều mở rộng liên hệ tập với nhau, chưa quan tâm nhiều đến việc phát triển mở rộng tốn, chưa tạo nhiều tình có vấn đề, chưa tạo nhiều hứng thú học tập cho học sinh Đây dạng toán hình học sử dụng chương trình tốn THCS Tuy nhiên sách giáo khoa lại không hướng dẫn phương pháp giải tốn cách cụ thể Vì học sinh thường lúng túng gặp dạng toán Do việc vẽ thêm yếu tố phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thực hình học lớp 8; địi hỏi người học phải có cách suy nghĩ lơgíc sáng tạo, biết kết hợp kiến thức cũ cách có hệ thống II- Thực trạng vấn đề Tại trường THCS phân cơng dạy tốn tiết tơi cảm thấy băn khoăn trước cách học học sinh, tơi dùng nhiều hình thức kiểm tra Tơi nhận thấy tượng, học sinh trả lời rõ ràng, mạch lạc mang tính chất chấp hành nguyên Trong qua trình dạy, tơi đưa số ví dụ đa số học sinh khơng biết làm Trong trình dạy bồi dưỡng học sinh lớp 8; 9, thân tơi tìm hiểu nhiều tài liệu nhận thấy dạng toán tương đối khó Tuy nhiên, phần nhiều tài liệu đưa tập giải mà đề cập đến phương pháp Vì vậy, học sinh gặp nhiều khó khăn dạng tốn III- Các giải pháp biện pháp thực Giải pháp thực - Hình thành tình có vấn đề liên quan đến cách giải cho toán - Hướng dẫn học sinh đưa cách giải cho tốn, từ hướng dẫn học sinh tìm lời giải ngắn phù hợp học sinh - Tăng cường hoạt động tìm tịi, dự đốn tiếp cận lời giải - Nắm vững kiến thức bản, huy động, vận dụng kiến thức vào giải vấn đề có liên quan Biện pháp thực 4/27 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện khả sáng tạo, rèn luyện cách khai thác phân tích tìm tịi lời giải tốn chứng minh đẳng thức hình học lớp 8, Trong đề tài khuôn khổ, giới hạn đưa số tập điển hình xuất phát từ ý tưởng phân tích tìm tịi cách vẽ thêm yếu tố phụ chứng minh đẳng thức từ ví dụ đơn giản để học sinh ứng dụng xác định yếu tố phụ để giải toán chứng minh đẳng thức hình học lớp 8, Các yêu cầu vẽ đường phụ a Vẽ đường phụ phải có mục đích: Đường kẻ phụ, phải giúp cho việc chứng minh tốn Muốn phải kết phân tích tổng hợp, tương tự hố, mày mị dự đốn theo mục đích xác định gắn kết mối quan hệ kiến thức có với điều kiện cho tốn kết luận phải tìm Do khơng vẽ đường phụ cách tuỳ tiện (cho dù mày mị, dự đốn) đường phụ khơng giúp ích cho việc chứng minh làm cho vẽ rối ren, làm khó thêm cho việc tìm lời giải Vì vẽ đường phụ phải tự trả lời câu hỏi "Vẽ đường phụ có đạt mục đích muốn khơng?" Nếu "không" nên loại bỏ b Đường phụ phải đường có phép dựng hình phải xác định c Lựa chọn cách dựng thích hợp đường phụ: Đường phụ thường thỏa mãn tính chất đó, việc lựa chọn đường phụ quan trọng Tuy đường phụ vẽ thêm cách dựng khác nên dẫn đến cách chứng minh khác d Một sô loại đường phụ thường sử dụng giải tốn hình chương trình THCS - Đường phụ điểm: Vẽ điểm chia hay chia đoạn thẳng cho trước theo tỷ số thích hợp Xác định giao điểm đường thẳng đường thẳng với đường tròn - Đường phụ đường thẳng, đoạn thẳng: - Kéo dài đường thẳng cho trước với độ dài tuỳ ý - Nối hai điểm cho trước hai điểm xác định - Từ điểm cho trước dựng đường song song với đường thẳng xác định - Từ điểm cho trước dựng đường vng góc với đường thẳng xác định 5/27 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học - Dựng đường phân giác góc cho trước - Dựng đường thẳng qua điểm cho trước hợp thành với đường thẳng khác góc góc cho trước - Từ điểm cho trước dựng tiếp tuyến với đường tròn cho trước - Hai đường trịn giao dựng dây cung chung - Hai đường tròn tiếp xúc ta kẻ tiếp tuyến chung đường nối tâm Vẽ tia đối tia Dựng đường đặc biệt tam giác (Trung tuyến, trung bình, phân giác, đường cao) - Đường phụ đường tròn: + Vẽ thêm đường tròn cung chứa góc dựa điểm có + Vẽ đường tròn tiếp xúc với đường tròn đường thẳng có + Vẽ đường trịn nội ngoại tiếp đa giác Trên sở, yêu cầu vẽ (dựng) đường phụ, giáo viên cần phân dạng tốn hình mà lời giải có sử dụng đường phụ Các sở để xác định đường phụ: Ta đưa dựa sở sau để xác định đường phụ vẽ đường gì? vẽ từ đâu? a Kẻ thêm đường phụ tạo nên hình sử dụng định nghĩa tính chất hình để giải tốn b Kẻ thêm đường phụ để tạo nên tình phù hợp với định lý để giải toán c Kẻ thêm đường phụ để tạo khâu trung gian nhằm liên kết mối quan hệ để giải toán d Kẻ thêm đường phụ để sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng e Kẻ thêm đường phụ để biến đổi kết luận tạo thành mệnh đề tương đương để giải tốn Một sơ tốn phương pháp giải A B' C' P B 6/27 M K H A' Q C Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Bài toán 1: Cho ∆ ABC M điểm ∆ Nối M với đỉnh A, B, C cắt cạnh đối diện A’, B’, C’ qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt A’B’; A’C’ K H Chứng minh rằng: MK = MH? Sau tìm nhiều cách chứng minh khơng có kết Ta ý đến giả thiết toán cho ta yếu tố đồng quy song song Giả thiết định lý gần với nhất? Câu trả lời mong đợi định lý Talet - Ở KH // BC Đoạn thẳng BC chia thành đoạn nhỏ? - Thiết lập quan hệ MH, MK với đoạn BA’ CA’, BC - Cần phải xác định thêm điểm nào? - Điểm P Q giao KH với AB AC Ta có lời giải sau Giả sử HK cắt AB, AC P, Q Ta có: Theo Hệ định lý Talét ta dễ chứng minh được: MH CA ' MQ BC MP BA ' = ; = ; = MP CB MK BA ' MQ CA ' MH MQ MP CA ' CB BA ' => = MP MK MQ CB BA ' CA ' MH => = => MH = MK MK Bài toán 2: (Bài 137/Bài tập nâng cao số chuyên đề Toán - NXB Giáo dục năm 2005) Cho tam giác ABC, góc B C nhọn Hai đường cao BE CF cắt H Chứng minh BH BE + CH CF = BC *Phân tích: Để chứng minh đẳng thức ta vẽ thêm điểm K thỏa mãn điều kiện: A E BC = BK + KC BH BE = BC.BK ; CH CF = BC.CK Muốn có đẳng thức BH BE = BC.BK F H ⇑ 7/27 B K C Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học BH BK = BC BE ⇑ · = 900 ∆BCE mà BEC ∆BHK ⇑ · BKH = 900 Do K chân đường vng góc kẻ từ H xuống BC *Lời giải: + Từ H vẽ HK ⊥ BC H Vì H thuộc BC nên BC = BK + KC ⇒ BC = BC ( BK + KC ) = BC BK + BC KC + ∆BHK ∆BCE có: · HBK chung; · · BKH = BEC = 900 Do ∆BHK ⇒ ∆BCE (g.g) BH BK = ⇒ BH BE = BC.BK BC BE (1) + ∆CHK ∆CBF có: · HCK chung; · · CKH = CFB = 900 Do ∆CHK ⇒ ∆CBF(g.g) CH CK = ⇒ CH CF = BC.CK BC CF (2) + Cộng vế theo vế (1) (2), ta : BH BE + CH CF = BC.BK + BC.CK ⇒ BH BE + CH CF = BC ( BK + CK ) ⇒ BH BE + CH CF = BC (đpcm) Bài toán ( Bài 43/ Vở tập Toán tập hai - NXB Giáo dục năm 2005) Cho hình bình hành ABCD có góc BAD nhọn Gọi E F chân đường vng góc kẻ từ C xuống đường thẳng AB AD Chứng minh rằng: AC2 = AB.AE + AD.AF *Phân tích: Để chứng minh đẳng thức AC2 = E AB.AE + AD.AF ta vẽ thêm điểm K thỏa mãn điều kiện: B AC = AK + KC C AK AC = AB AE CK AC = AB AE 8/27 K A D F Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học ⇑ AK AE = AB AC ⇑ · ∆ACE mà ACE =900 ∆ABK ⇑ · AKB = 900 Do K chân đường vng góc kẻ từ B xuống AC *Lời giải: · · Gọi K chân đường vuông góc kẻ từ B xuống AC (vì BAC , BCA < 90o nên K ∈ AC) ⇒ AC = AK + KC - Ta có: ∆ABK ∆ACE (g.g) ⇒ AK AE = AB AC ⇒ AK.AC = AB.AE AC AF ⇒ = ∆CBK CB CK ⇒ CK.AC = BC.AF - Tương tự ta có: ∆ACF Mà BC = AD ⇒ CK.AC = AD.AF ⇒ AB.AE + AD.AF = AK.AC + CK.AC = (AK + CK).AC = AC.AC = AC2 Vậy: AC2 = AB.AE + AD.AF (đpcm) Bài toán 4: (Bài 105/Bài tập nâng cao số chuyên đề Tốn - NXB GD năm 2005) Cho hình bình hành ABCD Một đường thẳng qua D cắt AC, AB CB theo thứ tự M, N, K Chứng 1 + = DN DK DM minh N *Phân tích: Muốn chứng thức, ta phân tích lời giải B K C minh đẳng theo sơ đồ sau: M 1 + = DN DK DM ⇑ A D DM DM + =1 DN DK (Nhân hai vế đẳng thức với DM ) ⇑ ⇑ 9/27 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học DM CM = DN AC ⇑ AB / / CD DM AM = DK AC ⇑ AD / / BC ⇑ ⇑ Vì ABCD hình bình hành *Lời giải: Vì ABCD hình bình hành nên: AB / / CD ⇒ AN / /CD ⇒ DM CM = DN AC ( định lí talet) ⇒ DM AM = DK AC ( định lí talet) (1) + Vì ABCD hình bình hành nên: AD / / BC ⇒ AD / /CK (2) DM DM CM AM AC + = + = =1 + Cộng (1) (2) vế theo vế, ta được: DN DK AC AC AC 1 ⇒ DM ( + ) =1 DN DK 1 ⇒ + = DN DK DM ( Đpcm) Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC BD cắt M, · · · · DAC = DBC Trên đoạn thẳng AD lấy điểm N cho NMD = ACD Qua D kẻ đường thẳng song song với MN cắt đường thẳng AC I Chứng minh 1 = + MN AB DI *Phân tích: Muốn chứng minh đẳng thức, ta phân tích lời giải theo sơ đồ sau: B 1 = + MN AB DI A ⇑ MN MN 1= + AB DI (Nhân hai vế đẳng thức với MN ⇑ ⇑ MN DM = AB DB MN BM = DI DB D ⇑ ⇑ MN AM AM BM = = DI AI AI DB ⇑ AB / / MN / / DI *Lời giải: 10/27 N M I C Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học => ∆ EOM cân M => ME = MO CE AE = Xét ∆ ACE có OM // AE , theo hệ định lí Ta-lét => CM MO CE − CM AE − OM EM AE AE EM = = −1 − =1 OM => CM => CM OM => EM CM Bài toán 10: (Đề thi vào 10 Nam Định năm 2004 - 2005) Cho đường trịn tâm O đường kính AB, nửa đường tròn (O) lấy điểm G E (theo thứ tự A, G, E, B) cho tia EG cắt tia BA D Đường thẳng vuông góc với BD D cắt BE C, đường thẳng CA cắt đường tròn (O) điểm thứ hai F a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp b) Chứng minh: BF = BG DA DG.DE = c) Chứng minh: BA BE.BC *Lời giải: a) Chứng minh tứ giác DFBC nội tiếp · Ta có: AFB = 90 (góc nt chắn nửa đường trịn) · · Ta có: CDB = CFB = 90 tứ giác DFBC nội tiếp đường trịn đường kính BC b) Chứng minh: BF = BG 0 · · Ta có: AEB = 90 (góc nt chắn nửa đường trịn) => AEC = 90 · · Ta có: AEC + ADC = 180 ⇒ Tứ giác ADCE nội tiếp đường tròn đường kính AC µ µ => E1 = C1 (vì nt chắn cung DA) µ µ Ta có: B1 = C1 (vì nt chắn cung DF đường trịn đường kính BC) µ µ Do đó: E1 = B1 => cung AG = cung AF => cung BG = cung BF => BG = BF c) Ta chứng minh được: DG DB = ⇒ DG.DE = DA.DB DA DE ∆ DGB ∆ DAE (g g) (1) BE BA ⇒ = ⇒ BE.BC = BA.BD BD BC ∆ BEA ∆ BDC (g g) (2) DG.DE DA.DB DA = = Từ (1) (2) suy ra: BE.BC BA.BD BA (đpcm) ⇒ Bài toán 11: (Bài tập số trang 134 /SGK hình học lớp 9-NXB Giáo dục 2005) 16/27 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Cho ∆ABC cạnh a, gọi O trung điểm BC Trên cạnh AB, AC theo thứ tự lấy M, N cho góc MON = 600 BM CN = a2 a) Chứng minh ; b) Gọi I giao điểm BN OM Chứng minh BM.IN = BI.MN; c) Chứng minh MN tiếp xúc với đường trịn cố định *Phân tích: A Ở phần a dạng tốn chứng minh hệ thức, N việc hướng dẫn học sinh tìm lời giải M toán I quan trọng nhằm phát triển tư hình học học sinh O Chúng ta dùng phương pháp phân tích B lên để tìm lời giải tốn Với sơ đồ sau: a2 BM CN = ⇑ BM CN = a a 2 ⇑ BM CN = BO.CO ⇑ BM CO = BO CN ⇑ ∆BMO ∆CON ⇑ Bˆ = Cˆ = 600 ⇑ · · BMO = CNO Căn vào sơ đồ ta có lời giải sau: µ µ µ Ta có ∆BMO: B + M + O =180 · · · BMO + MON + NOC = 1800   ( Vì ∠ BOC = 1800) · · ⇒ BMO = CNO Bˆ = Cˆ = 600 ; lại có (vì ∆ABCđều) 17/27 C Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học ⇒ ∆BMO BM CO = ∆CON (g.g), từ suy BO CN BO = CO = BC a = 2 Do BM CN = a2 hay BM CN = BO.CO ; mà (đpcm) b) Cũng tương tự phần (b) thầy giáo giúp học sinh phát triển tư lôgic, thao tác tư phân tích, tổng hợp, đặc biệt tư phân tích lên- thao tác tư đặc trưng mơn hình học Với phân tích học sinh thấy sử dụng tính chất đường phân giác tam giác BMN Nghĩa học sinh cần MI tia phân giác góc BMN Từ ta có lời giải sau: Theo phần a) ∆BMO BM MO BM MO = hay = BO ON ∆CON suy CO ON ( ) lại có ⇒ ∆BMO ∆OMN (c.g.c) µ = MON · B = 600 · · Từ suy BMO = OMN MO tia phân giác góc BMN hay MI tia phân giác góc BMN Xét ∆BMN có MI tia phân giác góc BMN, MB IB = Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ta có MN IN (đpcm) Bài toán 12: Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM, cắt AB, AC E F a) Chứng minh DE + DF không đổi D di động BC b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE 18/27 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học F A K E B D M C * Lời giải: DE BD = ⇒ DE = a) DE // AM ⇒ AM BM DF CD = ⇒ DF = DF // AM ⇒ AM CM BD AM BM (1) CD CD AM = AM CM BM (2) Từ (1) (2) suy CD  BC  BD BD CD + AM = 2AM AM + AM  ÷.AM = BM BM BM   BM BM DE + DF = = không đổi FK KA = b) AK // BC suy ∆ FKA ∆ AMC (g.g) ⇒ AM CM (3) EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (2) (Vì CM = BM) FK EK = Từ (1) (2) suy AM AM ⇒ FK = EK hay K trung điểm FE Bài toán 13: (Đề HSG huyện Thạch Hà năm 2003 – 2004) µ Cho hình thoi ABCD cạnh a có A = 60 , đường thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA M, N a) Chứng minh tích BM DN có giá trị khơng đổi b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD M B A K 19/27 D C N Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Lời giải: MB CM = a) BC // AN ⇒ BA CN (1) CM AD = CD// AM ⇒ CN DN (2) MB AD = ⇒ MB.DN = BA.AD = a.a = a Từ (1) (2) suy BA DN b) ∆ MBD ∆ BDN có ∠ MBD = ∠ BDN= 1200 MB MB CM AD BD = = = = µ = 600 BD BA CN DN DN (Do ABCD hình thoi có A nên AB = BC = CD = DA) ⇒ ∆ MBD BDN ả Suy M = B1 ∆ MBD ∆ BKD có nên ¶ µ · · BDM = BDK    M = B1 · · MBD = BKD =1 200 Bài toán 14: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC I, M, N Vẽ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD, BG vng góc với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh a) IM IN = ID KM DM = b) KN DN c) AB AE + AD.AF = AC F D C I G Giải A M B K E 20/27 N Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học IM CI = a) Từ AD // CM ⇒ ID AI (1) CI ID = Từ CD // AN ⇒ AI IN (2) IM ID Từ (1) (2) suy ID = IN hay ID2 = IM IN DM CM DM CM DM CM = ⇒ = ⇒ = CB (3) b) Ta có MN MB MN + DM MB + CM DN Từ ID = IK ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ IM IK IM IK IM IK KN IK ⇒ KM IM CM CM = = = KN ID AD CB (4) KM DM = Từ (3) (4) suy KN DN AE AC = ⇒ AB.AE = AC.AG AB ∆ AEC ⇒ AG c) Ta có ∆ AGB ⇒ AB AE = AG(AG + CG) (5) AF CG CG = = CB AD (vì CB = AD) ∆ CGB ∆ AFC ⇒ AC ⇒ AF AD = AC CG ⇒ AF AD = (AG + CG) CG (6) Cộng (5) (6) vế theo vế ta có: AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG ⇔ AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vậy: AB AE + AD AF = AC2 Bài toán 15: Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC < BC) nội tiếp đường tròn (O) Gọi H giao điểm hai đường cao BD CE tam giác ABC (D ∈ AC, E ∈ AB) a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp đường tròn b Gọi I điểm đối xứng với A qua O J trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, J, I thẳng hàng c Gọi K, M giao điểm AI với ED BD Chứng minh 1 = + 2 DK DA DM 1 = + 2 Câu c Chứng minh DK DA DM 21/27 Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tô phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học · · Ta có: ACB = AIB = 1/ cung AB · · ACB = DEA  bù với góc DEB tứ giác nội tiếp BCDE · · BAI + AIB = 900   ∆ABI vng B · · Suy BAI + AED = 90 , · · hay EAK + AEK = 90 Suy ∆AEK vuông K Xét ∆ADM vuông M (suy từ giả thiết) DK ⊥ AM (suy từ chứng minh trên) 1 = + 2 Như DK DA DM Bài toán 16: ( Đề thi vào lớp 10 tỉnh Bắc Ninh năm học 2012 - 2013) Cho đường tròn O Từ A điểm nằm (O) kẻ tiếp tuyến AM AN với (O) ( M; N tiếp điểm ) 1) Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp đường trịn đường kính AO 2) Đường thẳng qua A cắt đường tròn (O) B C (B nằm A C ) Gọi I trung điểm BC Chứng minh I thuộc đường trịn đường kính AO 3) Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh AK.AI = AB.AC * Lời giải Theo tính chất tiếp tuyến vng góc với bán kính · · tiếp điểm ta có : AMO = ANO = 90 · => AMO vuông M ⇒ A, M , O thuộc đường tròn đường kính AO ( Vì AO cạnh huyền) · ANO  vuông N ⇒ A, N, O thuộc đường trịn đường kính AO (Vì AO cạnh huyền) Vậy: A, M, N, O thuộc đường trịn đường kính AO Hay tứ giác AMNO nội tiếp đường tròn đường kính AO 22/27 Một sơ kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học Vì I trung điểm BC (theo gt) ⇒ OI ⊥ BC (tc) ∠ AIO vuông I ⇒ A, I, O thuộc đường tròn đường kính AO (Vì AO cạnh huyền) Vậy I thuộc đường trịn đường kính AO (đpcm) Nối M với B, C Xét ∆ AMB ∆ AMC có góc MAC chung · · MCB = AMB = 1/ sđ cung MB ⇒ AB AM = ⇒ AB AC = AM AM AC => ∆ AMB ∆ ACM (g.g) Xét Xét ∆ AKM ∆ AIM có ∠ MAK chung (1) · · · IM = ANM ) · AMK = AIM (V ì : A AM chắn ¼ · · Và AMK = ANM  => ∆ AMK ∆ AIM (g.g) ⇒ AK AM = ⇒ AK AI = AM AM AI (2) Từ (1) (2) ta có: AK.AI = AB.AC (đpcm) Bài tốn 17: Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB cát tuyến SCD đường trịn Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S ,A , E , O , B nằm đường trịn Nếu SA = OA SAOB hình ? Tại ? Chứng minh AC.BD = BC.DA = AB.CD A Hướng dẫn chứng minh K C 1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B E nhìn SO góc vng , nên tứ giác O SADO nội tiếp đường trịn đường kính SO Dựa vào tính chất đường kính vng góc với dây cung , ta có góc SEO = 900 Nên E thuộc B đường trịn đường kính SO 2) Nếu SA = OA SA = AB = OA = OB góc A vng nên tứ giác SAOB hình vuông 1) Ta thấy ∆SAC ∆SDA ⇒ AC SC = DA SA 23/27 D Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học ∆SCB ∆SBD ⇒ AC BC = Mà SA = SB ⇒ AD BD BC SC = BD SB ⇒ AC.BD = AD.BC (1) · · Trên SD lấy K cho CAK =  BAD lúc ∆CAK ∆BAD (g.g) ⇒ AC.DB = AB.CK ∆BAC ∆DAK (g.g) ⇒ BC.AD = DK.AB Cộng vế ta AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) (2) suy : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = BC.DA = AC.BD = AB.CD AB.CD Vậy Bài toán 18: Cho tam giác ABC vng A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F 1) Chứng minh CDEF nội tiếp 2) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MNPQ hình ? Tại ? 3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ADB , ADC Chứng minh : r = r12 + r22 A Hướng dẫn : K F 1) Dựa vào số đo cung ta thấy µ = DEB · C ⇒ ∠ C + ∠ DEF = 1800 E Nên tứ giác CDEF nội tiếp 2) ∆BED ∆BCQ ( g.g) Q M P B · · ⇒ BPE = BQC D N · · ⇒ KPQ = KQP hay ∆KPQ cân ∆CNK ∆MK · · = CNK ⇒  EMK · · = BNM ⇒ BMN hay ∆BMN cân ⇒ MN ⊥ PQ MN cắt PQ trung điểm đường Nên MNPQ hình thoi 3) ∆ABC ∆DAB ∆DAC 24/27 C Một sô kinh nghiệm vẽ thêm yếu tơ phụ để giải dạng tốn chứng minh đẳng thức hình học r1 r2 r2 = = BC AB2 AC2 ⇒ r r r = = BC AB AC ⇔ r12 + r2 r1 + r2 r2 = = BC AB2 + AC2 BC2 ⇒ ⇔ r2 = r12 + r22 BÀI TẬP VÂN DUNG: Bài 1: Cho tam giác ABC vuông C Lấy điểm E đường cao CH Kẻ BD vng góc với AE D Chứng minh rằng: a) AE.AD + BA.BH = AB2 b) AE.AD – HA.HB = AH2 Bài 2: Cho tứ giác ABCD có: ∠ DBA=900; ∠ DBC=900 Chứng minh rằng: CD2 = DI.DB + CI.CA Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O;R) Gọi M điểm thuộc cung nhỏ BC a) Chứng minh rằng: MA = MB + MC 1 + = Gọi D giao điểm MA BC Chứng minh rằng: MB MC MD Bài 4: Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh Ab, điểm F thuộc cạnh AD Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC I Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC K Chứng minh rằng: a) AI = CK AB AD AC + = b) Gọi N giao điểm EF AC Chứng minh AE AF AN Bài 5: Cho đường trịn (O) đường kính AB Điểm C thuộc nửa đường (O) (CB