Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải quyết vấn đề này một cách triệt để, mặt khác lại nâng cao năng lực giải toán và bồi dưỡng khả năng tư duy tổng quát cho học sinh, tốt nhất ta [r]
(1)1.Tªn s¸ng kiÕn: Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ gi¶i to¸n h×nh häc líp Hä vµ tªn: TrÇn ThÞ Ly Nơi công tác: Trường THCS Sơn Hoá §¬n vÞ ¸p dông s¸ng kiÕn: HS lớp Trường THCS Gi¶i ph¸p Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (2) ®iÒu kiÖn hoµn c¶nh t¹o s¸ng kiÕn Đào tạo hệ trẻ trở thành người động sáng tạo, độc lập tiếp thu tri thức khoa học kỹ thuật đại, biết vận dụng và thực các giải pháp hợp lý cho vấn đề sống xã hội và giới khách quan là vấn đề mà nhiều nhà giáo dục đã và quan tâm.Vấn đề trên không nằm ngoài mục tiêu giáo dục Đảng và Nhà nước ta giai đoạn lÞch sö hiÖn Trong tập hợp các môn nằm chương trình giáo dục phổ thông nói chung, trường THCS nói riêng, môn Toán là môn khoa học quan trọng, nó là cầu nối các ngành khoa học với đồng thời nó có tính thực tiÔn rÊt cao cuéc sèng x· héi vµ víi mçi c¸ nh©n Đổi phương pháp dạy học hiểu là tổ chức các hoạt động tích cực cho người học, kích thích, thúc đẩy, hướng tư người học vào vấn đề mà họ cần phải lĩnh hội Từ đó khơi dậy và thúc đẩy lòng ham muốn, phát triển nhu cầu tìm tòi, khám phá, chiếm lĩnh tự thân người học từ đó ph¸t triÓn, ph¸t huy kh¶ n¨ng tù häc cña hä §èi víi häc sinh bËc THCS còng vậy, các em là đối tượng người học nhạy cảm việc đưa phương pháp học tập theo hướng đổi là cần thiết và thiết thực Vậy làm gì để khơi dậy và kích thích nhu cầu tư duy, khả tư tích cực, chủ động, độc lập, sáng tạo phù hợp với đặc điểm môn học đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh? Trước vấn đề đó người giáo viên cần phải không ngừng tìm tòi khám phá, khai thác, xây dựng hoạt động, vận dụng, sử dụng phối hợp các phương pháp dạy học các học cho phù hợp với kiểu bài, đối tượng học sinh, xây dựng cho học sinh hướng tư chủ động, s¸ng t¹o Vấn đề nêu trên là khó khăn với không ít giáo viên ngược l¹i, gi¶i quyÕt ®îc ®iÒu nµy lµ gãp phÇn x©y dùng b¶n th©n mçi gi¸o viên phong cách và phương pháp dạy học đại giúp cho học sinh có2 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (3) hướng tư việc lĩnh hội kiến thức Toán Trong tìm phương pháp giải toán hình học, ta gặp số bài toán mµ nÕu kh«ng vÏ thªm ®êng phô th× cã thÓ bÕ t¾c NÕu biÕt vÏ thªm ®êng phụ thích hợp tạo liên hệ các yếu tố đã cho thì việc giải toán trở lên thuËn lîi h¬n, dÔ dµng h¬n ThËm chÝ cã bµi ph¶i vÏ thªm yÕu tè phô th× míi tìm lời giải Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ nào để có lợi cho việc gi¶i to¸n lµ ®iÒu khã kh¨n vµ phøc t¹p Kinh nghiệm thực tế cho thấy rằng, không có phương pháp chung cho viÖc vÏ thªm c¸c yÕu tè phô, mµ lµ mét sù s¸ng t¹o trong gi¶i toán, vì việc vẽ thêm các yếu tố phụ cần đạt mục đích là tạo điều kiện để giải bài toán cách ngắn gọn không phải là công viÖc tuú tiÖn H¬n n÷a, viÖc vÏ thªm c¸c yÕu tè phô ph¶i tu©n theo c¸c phÐp dựng hình và các bài toán dựng hình bản, nhiều người giáo viên đã tìm cách vẽ thêm yếu tố phụ không thể giải thích rõ cho học sinh hiÓu ®îc v× l¹i ph¶i vÏ nh vËy, häc sinh hái gi¸o viªn: T¹i c« (thÇy) l¹i nghÜ ®îc c¸ch vÏ ®êng phô nh vËy, ngoµi c¸ch vÏ nµy cßn cã c¸ch nµo kh¸c kh«ng? hay: t¹i chØ vÏ thªm nh vËy míi gi¶i ®îc bµi toán? Gặp phải tình vậy, thật người giáo viên phải vất vả để giải thích mà có hiệu không cao, học sinh không nghĩ cách làm gặp bài toán tương tự vì các em chưa biết các cho việc vẽ thêm yếu tố phụ Từ thực tế giảng dạy tôi thấy rằng: để giải vấn đề này cách triệt để, mặt khác lại nâng cao lực giải toán và bồi dưỡng khả tư tổng quát cho học sinh, tốt ta nên trang bị cho các em sở việc vẽ thêm đường phụ và số phương pháp thường dùng vẽ thêm yếu tố phụ, cách nhận biết bài toán hình học cần phải vẽ thêm yếu tố phụ, từ đó các em tiếp xúc với bài toán, các em có thể chủ động cách giải, chủ động tư tìm hướng giải cho bµi to¸n, nh vËy hiÖu qu¶ sÏ cao h¬n Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (4) C¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn A số vấn đề I - C¬ së lý luËn cña viÖc vÏ thªm yÕu tè phô ViÖc vÏ thªm c¸c yÕu tè phô ph¶i tu©n theo c¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n vµ mét sè bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n Sau ®©y lµ mét sè bµi to¸n dùng h×nh c¬ chương trình THCS Bài toán 1: Dựng tam giác biết độ dài ba cạnh nó là a; b; c Gi¶i: * C¸ch dùng: a C b b c a A B c x - Dùng tia Ax - Dùng ®êng trßn(A; c) Gäi B lµ giao ®iÓm cña ®êng trßn ( A; c) víi tia Ax - Dùng ®êng trßn (A; b) vµ ®êng trßn (B; a), gäi C lµ giao ®iÓm cña chóng Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c ph¶i dùng v× cã AB = c; AC = b vµ BC = a - Chó ý: NÕu hai ®êng trßn ( A; b) vµ ( B; a) kh«ng c¾t th× kh«ng dùng ®îc tam gi¸c ABC Bài toán 2: Dựng góc góc cho trước C¸ch dùng: A - Gäi xOy là góc cho trước Dựng đường tròn (O; r) cắt Ox A và cắt Oy B ta ®îc OAB A' O A - Dùng O’A’B’ = OAB ( c.c c) nh bµi to¸n 1, ta ®îc O x A’ A O B y O’ B’ Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (5) Bài toán 3: Dựng tia phân giác góc xAy cho trước C¸ch dùng: - Dùng ®êng trßn ( A; r ) c¾t Ax ë B vµ c¾t Ay ë C - Dùng c¸c ®êng trßn ( B; r) vµ ( C; r) chóng c¾t nnhau ë D Tia AD lµ tia A ph©n gi¸c cña xAy ThËt vËy: ABD = ACD ( c- c- c) A A1 AA2 x B r A r D z r r C y Bài toán 4: Dựng trung điểm đoạn thẳng AB cho trước C¸ch dùng: - Dùng hai ®êng trßn ( A; AB ) vµ ( B; BA )chóng c¾t t¹i C, D Giao ®iÓm cña CD vµ AB lµ trung ®iÓm cña AB C A B D *Chú ý: đây là cách dựng đường trung trực đoạn thẳng cho trước Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (6) Bài toán 5: Qua điểm O cho trước, dựng đường thẳng vuông góc với đường thẳng a cho trước C¸ch dùng: - Dùng ®êng trßn ( O; r) c¾t a t¹i A, B - Dùng ®êng trung trùc cña AB - §êng trung trùc cña AB lµ ®êng th¼ng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng a C a A B D Trªn ®©y lµ c¸c bµi to¸n dùng h×nh c¬ b¶n, cÇn th× sö dông mµ kh«ng cÇn nh¾c l¹i c¸ch dùng Khi cần vẽ thêm đường phụ để chứng minh thì phải vào đường đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ cách tuỳ tiện II - C¬ së thùc tÕ Ta đã biết hai tam giác thì suy các cặp cạnh tương ứng nhau, các cặp góc tương ứng Đó chính là lợi ích viÖc chøng minh hai tam gi¸c b»ng V× vËy muèn chøng minh hai ®o¹n th¼ng b»ng (hay hai gãc b»ng nhau) ta thường làm theo cách gồm các bước sau: Bước 1: Xét xem hai đoạn thẳng( hay hai góc) đó là hai cạnh (hay hai góc) thuéc hai tam gi¸c nµo? Bước 2: Chứng minh hai tam giác đó Bước 3: Từ hai tam giác nhau, suy cặp cạnh ( hay cặp góc) tương øng b»ng Tuy nhiªn thùc tÕ gi¶i to¸n th× kh«ng ph¶i lóc nµo hai tam gi¸c cÇn6 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (7) có cho đề bài mà nhiều phải tạo thêm các yếu tố phụ míi xuÊt hiÖn ®îc c¸c tam gi¸c cÇn thiÕt vµ cã lîi cho viÖc gi¶i to¸n V× vËy yêu cầu đặt là làm nào học sinh có thể nhận biết cách vẽ thêm các yếu tố phụ để giải toán hình học nói chung và toán hình học nói riêng Qua thực tế giảng dạy tôi đã tích luỹ số cách vẽ yếu tố phụ đơn giản và thiết thực, hướng dẫn học sinh thực giải toán hiệu III số phương pháp vẽ yêú tố phụ Bây chúng ta cùng nghiên cứu số cách đơn giản nhất, thông dụng để vẽ thêm yếu tố phụ giải toán Hình học 7: C¸ch 1: VÏ trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng, vÏ tia ph©n gi¸c cña mét gãc Bµi to¸n 1: Cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB VÏ DH vu«ng gãc víi BC ( H BC) th× DH = 4cm Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC c©n t¹i A 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Bµi cho tam gi¸c ABC cã AB = 10 cm; BC = 12 cm, D lµ trung ®iÓm cña c¹nh AB VÏ DH vu«ng gãc víi BC( H BC) vµ DH = 4cm Yªu cÇu chøng minh tam gi¸c ABC c©n t¹i A 2) Hướng suy nghĩ: ABC cân A AB = AC Ta nghĩ đến điểm phụ K là trung điểm AB VËy yÕu tè phô cÇn vÏ lµ trung ®iÓm cña BC 3) Chøng minh: A ABC; AB = 10cm; GT BC = 12 cm; DA DB AB ; DH BC, DH = cm KL D B ABC c©n t¹i A Gäi K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng BC, ta cã: BK = KC = L¹i cã: BD = C H BC cm AB = cm ( D lµ trung ®iÓm cña AB) Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (8) A XÐt HBD cã: BHD = 900 ( gt), theo định lí Pitago ta có:DH2 + BH2 = BD2 BH2 = BD2 - DH2 = 52 - 42 = BH = ( cm) Ta cã BH + HK = BK ( V× H n»m gi÷a B vµ K ) HK = BK – BH = 6–3 = (cm) XÐt ABK cã BD = DA ( gt ) ; BH = HK ( = cm) A DH // AK ( ®êng nèi trung ®iÓm c¹nh cña tam gi¸c th× song song víi c¹nh thø 3) Ta cã: DH BC, DH // AK AK BC A AKB A AKC 900 B D H K C XÐt ABK vµ ACK cã: BK = KC ( theo c¸ch lÊy ®iÓm K) A AKB A AKC 900 AK lµ c¹nh chung Do đó ABK = ACK (c - g - c) AB = AC ABC c©n t¹i A ( ®pcm) 4) NhËn xÐt: Trong cách giải bài toán trên ta đã chứng minh AB = AC cách tạo hai tam gi¸c b»ng chøa hai c¹nh AB vµ AC tõ viÖc kÎ thªm trung tuyÕn AK, viÖc chøng minh cßn sö dông thªm mét bµi to¸n phô lµ: Trong mét tam gi¸c , ®êng th¼ng ®i qua trung ®iÓm hai c¹nh th× song song víi c¹nh thø ba, kiÕn thức đường trung bình này học sinh nghiên cứu chương trình To¸n nhng ë ph¹m vi kiÕn thøc líp vÉn cã thÓ chøng minh ®îc, viÖc chøng minh dµnh cho häc sinh kh¸ giái, bµi nµy cã sö dông kÕt qu¶ cña bµi to¸n mµ kh«ng chøng minh l¹i v× chØ muèn nhÊn m¹nh vµo viÖc vÏ thªm yÕu tè phô Bµi to¸n 2: Cho tam gi¸c ABC cã A C A ; chøng minh r»ng: AB = AC? B (Giải cách vận dụng trường hợp góc cạnh góc hai tam gi¸c) 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (9) Bµi cho: tam gi¸c ABC cã A C A ; Yªu cÇu: chøng minh B AB = AC 2) Hướng suy nghĩ: A §êng phô cÇn vÏ thªm lµ tia ph©n gi¸c AI cña BAC ( I BC) A 3) Chøng minh: GT ABC; KL A C A B 2 AB = AC A VÏ tia ph©n gi¸c AI cña BAC ( I BC) A A1 A A2 1A BAC B C I (1) áp dụng định lí tổng ba góc tam giác vào hai tam giác ABI và ACI ta có: A AA C A IA 1800 IA 1800 AA B A * AA1 B 1 A IA 1800 IA 1800 * AA2 C 2 MÆt kh¸c A C A B ( gt); A A1 A A2 ( theo (1) ) A I A I (2) XÐt ABI vµ ACI ta cã: A I1 A I2 ( theo (2)) C¹nh AI chung A A1 A A2 ( theo (1)) ABI = ACI ( g - c - g) AB = AC ( cạnh tương ứng) 4) NhËn xÐt: Trong c¸ch gi¶i trªn, ta ph¶i chøng minh AB = AC b»ng c¸ch kÎ thªm AI lµ tia phân giác góc BAC để tạo hai tam giác Cách 2: Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Bài toán 3: Chứng minh định lí: Trong tam giác vuông, trung tuyến thuộc c¹nh huyÒn b»ng nöa c¹nh huyÒn ( Bµi 25/ 67- SGK to¸n tËp 2) Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (10) 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Bµi cho Tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, AM lµ ®êng trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn, yªu cÇu chøng minh: AM 2) Hướng suy nghĩ: BC AM BC Ta cÇn t¹o ®o¹n th¼ng b»ng 2.AM råi t×m c¸ch chøng minh BC b»ng ®o¹n thẳng đó Như dễ nhận rằng, yếu tố phụ cần vẽ thêm là điểm D cho M lµ trung ®iÓm cña AD A 3) Chøng minh: GT ABC; A A 900 ; AM lµ trung tuyÕn KL AM B C M BC A Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA XÐt MAC vµ MDB ta cã: MA = MD ( theo c¸ch lÊy ®iÓm D) B C M A =M A ( hai góc đối đỉnh) M MB = MC ( Theo gt) MAC = MDB ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) D (1) A A (2 góc tương ứng) A1 D A AB // CD ( v× cã cÆp gãc so le b»ng nhau) Tõ A A1 D L¹i cã: AC AB ( gt) AC CD (Quan hÖ gi÷a tÝnh song song vµ vu«ng gãc) A A ACD 900 BAC A ACD 900 (2) XÐt ABC vµ CDA cã: AB = CD ( Theo (1)) A BAC A ACD 900 ( Theo (2)) AC lµ c¹nh chung ABC = CDA ( c - g - c) 10 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (11) BC = AD ( cạnh tương ứng ) Mà AM 1 AD nªn AM BC 2 4) NhËn xÐt: Trong cách giải bài tập trên, để chứng minh AM BC ta đã vẽ thêm đoạn thẳng MD trên tia AM cho MD = MA, đó AM AD Nh còn phải chứng minh AD = BC và đưa bài toán đã cho trở bài toán chứng minh hai đoạn thẳng Trên tia cho trước, đặt đoạn thẳng đoạn thẳng khác là cách vẽ đường phụ để vận dụng trường hợp tam giác Bµi to¸n 4: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC A A So s¸nh BAM ? ( Bµi 7/ 24 SBT to¸n tËp ) & MAC 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC, M lµ trung ®iÓm cña BC A A Yªu cÇu : So s¸nh BAM ? & MAC 2) Hướng suy nghĩ: Hai gãc BAM vµ MAC kh«ng thuéc vÒ mét tam gi¸c Do vËy ta t×m mét tam giác có hai góc hai góc BAM và MAC và liên quan đến AB, AC vì đã có AB < AC Từ đó dẫn đến việc lấy điểm D trên tia đối tia MA cho MD = MA Điểm D là yếu tố phụ cần vẽ thêm để giải bài toán này 3) Chøng minh: GT KL A ABC; AB < AC M lµ trung ®iÓm BC A A So s¸nh BAM ? & MAC B C M Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho: MD = MA XÐt MAB vµ MDC ta cã: A MA = MD ( theo c¸ch lÊy ®iÓm D) A M A ( vì đối đỉnh) M 11 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp B Lop7.net M C (12) MB = MC ( Theo gt) MAB = MDC ( c - g - c) AB = CD (2 cạnh tương ứng) (1) A (2 góc tương ứng) (2) vµ A A1 D Ta cã: AB = CD ( Theo (1)), mµ AB < AC ( gt) CD < AC.(3) XÐt ACD cã: CD < AC ( theo (3)) A A (Quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác) A2 D A ( theo (2)) nªn A Mµ A A1 D A2 A A1 hay A A BAM MAC 4) NhËn xÐt: Trong c¸ch gi¶i cña bµi tËp trªn, ta ph¶i so s¸nh hai gãc kh«ng ph¶i cùng tam giác nên không vận dụng định lí quan hệ góc và cạnh đối diện tam giác Ta đã chuyển góc A A1 & AA2 vÒ cïng mét A , ta chØ cßn tam giác cách vẽ đường phụ bài giải, lúc đó A A1 D A &A A ë cïng mét tam gi¸c ADC ph¶i so s¸nh D C¸ch 3: Nèi hai ®iÓm cã s½n h×nh hoÆc vÏ thªm giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng Bµi to¸n 5: Cho h×nh vÏ, biÕt AB // CD; AC // BD A B Chøng minh: AB = CD, AC = BD? ( Bµi 38/ 124 SGK To¸n tËp 1) C D ( Bài toán còn phát biểu dạng: Chứng minh định lí: Hai đoạn thẳng song song bÞ ch¾n gi÷a hai ®êng th¼ng song song th× b»ng nhau) 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Bµi cho h×nh vÏ, biÕt AB // CD; AC // BD Yªu cÇu chøng minh: AB = CD, AC = BD 2) Hướng suy nghĩ: để chứng minh AB = CD, AC = BD cần tạo hai tam giác chứa các cặp12 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (13) c¹nh trªn, yÕu tè phô cÇn vÏ lµ nèi B víi C hoÆc nèi A víi D 3) Chøng minh: GT AB // CD; AC // BD KL AB = CD; AC = BD B A C D XÐt ABD vµ DCA cã: A A BAD ( so le - AB // CD) CDA AD lµ c¹nh chung A A ( so le - AC // BD) ADB DAC ABD = DCA ( g - c - g) AB = CD; AC = BD ( các cạnh tương ứng) 4) NhËn xÐt: ViÖc nèi AD lµm xuÊt hiÖn h×nh vÏ hai tam gi¸c cã mét c¹nh chung lµ AD, muèn chøng minh AB = CD; AC = BD ta chØ cÇn chøng minh ABD = DCA Do hai tam giác này đã có cạnh nhau( cạnh chung) nên cần chứng minh hai cặp góc kề cạnh đó là vận dụng trường hợp góc - cạnh - góc Điều này thực nhê vËn dông tÝnh chÊt cña hai ®êng th¼ng song song Cách 4: Từ điểm cho trước, vẽ đường thẳng song song hay vuông gãc víi mét ®êng th¼ng Bµi to¸n 6: Tam gi¸c ABC cã ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh ba gãc b»ng Chứng minh ABC là tam giác vuông và ABM là tam giác đều? 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Bµi cho ABC cã ®êng cao AH vµ trung tuyÕn AM chia gãc A thµnh ba gãc b»ng Yªu cÇu ta chøng minh ABC lµ tam giác vuông và ABM là tam giác 2) Hướng suy nghĩ: Muèn chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A ta cÇn kÎ thªm ®êng th¼ng vuông góc với AC và chứng minh đường thẳng đó song song với AB, từ đó suy13 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (14) suy AB AC vµ suy A = 900 3) Chøng minh: ABC; AH BC; A GT trung tuyÕn AM; A A1 A A2 A A3 KL ABC vu«ng ; B ABM I H C M VÏ MI AC ( I AC) XÐt MAI vµ MAH cã: A IA 900 ( gt) H AM lµ c¹nh chung) A A2 A A3 (gt) MAI = MAH ( c¹nh huyÒn - gãc nhän) MI = MH ( cạnh tương ứng) (1) XÐt ABH vµ AMH cã: A H A 900 ( gt) H AH lµ c¹nh chung A A1 A A2 ( gt) ABH= AMH ( g - c - g) BH= MH ( cạnh tương ứng) MÆt kh¸c: H BM , nªn tõ (1) vµ (2) L¹i cã BM = CM (gt) MI BM CM XÐt MIC vu«ng t¹i C cã: MI A A HAC 600 BAC MI MH BH (2) A 300 từ đó suy ra: CM nªn C A HAC 600 900 A 300 B A 600 VËy ABC vu«ng t¹i A V× C L¹i cã AM BC ( tÝnh chÊt trung tuyÕn øng víi c¹nh huyÒn tam 14 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (15) gi¸c vu«ng) vµ BM = MC BC ( v× M lµ trung ®iÓm BC) suy AM = BM đó ABM cân A và có góc 600 nên nó là tam giác 4) Nhận xét: Trong bài toán trên có các yếu tố bài thì tưởng chừng nh rÊt khã gi¶i, nhiªn, chØ b»ng mét ®êng vÏ thªm ( MI AC) th× bµi toán lại trở lên dễ dàng, qua đó càng thấy rõ vai trò việc vẽ thêm yếu tè phô gi¶i to¸n h×nh häc Bµi to¸n 7: Cho tam gi¸c ABC ( AB < AC) Tõ trung ®iÓm M cña BC kÎ ®êng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t tia nµy t¹i H, c¾t tia AB t¹i D vµ AC t¹i E Chøng minh r»ng: BD = CE 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Bµi cho ABC ( AB < AC) Tõ trung ®iÓm M cña BC kÎ ®êng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A c¾t tia nµy t¹i H, c¾t tia AB t¹i D vµ AC t¹i E Yªu cÇu chøng minh: BD = CE 2) Hướng suy nghĩ: Muốn chứng minh BD = CE, ta tìm cách tạo đoạn thẳng thứ ba, chứng minh chúng đoạn thẳng thứ ba đó Đường phụ cần vẽ thªm lµ ®êng th¼ng qua B vµ song song víi AC c¾t DE ë F, BF chÝnh lµ A đoạn thẳng thứ ba đó 3) Chøng minh: GT ABC; AB < AC; MB MC BC A ; AH lµ tia ph©n gi¸c BAC DE AH KL BD = CE E B H M C D VÏ ®êng th¼ng qua B vµ song song víi AC, gäi F lµ giao ®iÓm cña ®êng th¼ng nµy víi ®êng th¼ng DE XÐt MBF vµ MCE cã: A A A MBF MCE ( so le - BF // CE) MB = MC ( gt) E A A BMF CME ( đối đỉnh) B Do đó MBF = MCE (g -c - g) F H M Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp D Lop7.net C 15 (16) BF = CE ( cạnh tương ứng) (1) A MÆt kh¸c ADE cã AH DE vµ AH còng lµ tia ph©n gi¸c cña DAE ( gt) A A Do đó: ADE cân A BDF = AED A A Mµ BF // CE ( theo c¸ch vÏ) BFD = AED A A Do đó: BDF = BFD BDF c©n t¹i B BF = BD (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra: BD = CE ( ®pcm ) 4) NhËn xÐt: C¸ch vÏ ®êng phô bµi to¸n nµy nh»m t¹o ®o¹n th¼ng thø ba cïng b»ng hai ®o¹n th¼ng cÇn chøng minh lµ b»ng nhau, ®©y lµ c¸ch rÊt hay sö dụng nhiều bài toán nên giáo viên cần lưu ý cho học sinh nhớ để vận dụng Cách giải này áp dụng để giải số bài toán hay chương trình THCS Năm cách vẽ thêm yếu tố phụ trên nằm nhóm phương pháp chung gọi là phương pháp tam giác nhau, sau đây ta nghiên cứu thêm phương pháp hay chưa khai thác nhiều giải toán Cách 5: Phương pháp “ tam giác đều” Đây là phương pháp đặc biệt, nội dung nó là tạo thêm vào h×nh vÏ c¸c c¹nh b»ng nhau, c¸c gãc b»ng gióp cho viÖc gi¶i to¸n ®îc thuËn lîi Đặc biệt các bài tập tính số đo góc, trước tiên ta cần hướng dẫn học sinh chú ý đến tam giác chứa góc có số đo xác định : - Tam giác cân có góc xác định - Tam giác - Tam gi¸c vu«ng c©n - Tam giác vuông có góc nhọn đã biết hay cạnh góc vuông nöa c¹nh huyÒn Sau đó hướng dẫn học sinh nghĩ đến việc tình số đo góc cần tìm thông qua mèi liªn hÖ víi c¸c gãc cña mét c¸c h×nh chøa gãc cã sè ®o hoµn toàn xác định nêu trên (Thường là với mối liên hệ tam giác rút góc tương ứng chúng nhau) Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net 16 (17) Ta h·y xÐt mét bµi to¸n ®iÓn h×nh: A 200 Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D Bµi to¸n 8: Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A, A A A A cho AD = BC Chøng minh r»ng DCA 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: Bµi cho ABC c©n t¹i A, A A = 200 ; AD = BC ( D AB) A Yªu cÇu chøng minh: DCA A A 2) Hướng suy nghĩ: Đề bài cho tam giác cân ABC có góc đỉnh là 200, suy A góc đáy là 800 Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo góc tam giác Vẽ tam giác BMC 3) Chøng minh: GT ABC; AB = AC; A A 200 AD = BC (D AB) KL A DCA A A D M A 200 ( gt) Ta cã: ABC; AB = AC; A 1800 200 A A Suy ra: B C 800 B Vẽ tam giác BCM ( M và A cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ BC), C A A = ACM = 800 - 600 = 200 ta được: AD = BC = CM đồng thời ABM A A = MAC = 200 : = 100 Ta cã MAB = MAC ( c - c - c) MAB XÐt CAD vµ ACM cã: AD = CM ( chøng minh trªn) A CAD A ACM 200 AC lµ c¹nh chung Do đó CAD = ACM ( c -g -c ) 1A A A A => DCA = MAC = 100 VËy DCA = BAC 4) NhËn xÐt: 17 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (18) * Đề bài cho tam giác cân ABC có góc đỉnh là 200, suy góc đáy là 800 Ta thấy 800 -200 = 600 là số đo góc tam giác Chính liên hệ này gợi ý cho ta vẽ tam giác BCM vào tam giác ABC Với giả thiết AD = BC thì vẽ tam giác giúp ta có mối quan hệ AD với các cạnh tam giác giúp cho việc chứng minh tam giác dÔ dµng * Ta có thể giải bài toán trên cách vẽ tam giác kiểu khác: - C¸ch 2: Vẽ EAD nằm ngoài tam giác ABC, tạora Khi đó EAC = CBA (c.g.c) vì: A A EAC 600 200 800 B EA = BC ( A A EAC B A E AC = AB CE = CA vµ A BAC A ECA D MÆt kh¸c CDA = CDE (c.c.c) v×: DA = DE CD chung 1A A AC ECA A C BAC 100 2 CA = CE ? B 80 1A A VËy DCA = BAC C Sau phân tích, hướng dẫn học sinh làm hai cách trên, có thể hướng dẫn häc sinh lµm thªm theo c¸ch sau: - C¸ch : A Vẽ tam giác EAC nằm ngoài A A tam gi¸c ABC, t¹o DAE 800 B Khi đó DAE = CBA (c.g.c) vì : E D AE = BA ( = AC ) A A ( 800 ) DAE B AD = BC ? A A A 200 (do A E A1 E A1 200 ) 1 DE AC B 80 C Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net 18 (19) DE = AC mà AC = CE nên DE = CE đó DEC cân đỉnh E, có góc đỉnh A 60o 20o 40o E A = (1800 - 400) : = 700 góc đáy ECD A A DCE A ACE 700 600 100 Từ đó ta có điều phải chứng minh Do đó DCA - C¸ch : A Vẽ ABE ( E,C nằm cùng phía AB) A 800 600 200 BAC A t¹o CBE Khi đó CBE = DAC (c.c.c) vì : D CB = AD (gt) BE = AC ( =AB) A BAC A CBE 200 E ? A E A C 1 B 80 A ta chØ cÇn tÝnh E A Vậy để tìm C 1 C Ta có AE = AC (=AB) nên AEC cân A lại có góc đỉnh A A =600- 200= 400 AE C = (1800 – 400) : = 700 Nên góc đáy A A 600 (góc tam giác ABE) Mµ gãc E A A A 700 600 100 C A 100 Hay A E AEC E ACD 100 1A A VËy DCA = BAC ví dụ này đề bài cho hai cặp đoạn thẳng là : AB = AC ; AD = BC Như có thể giải cách : Vẽ tam giác có cạnh là AC ; vẽ tam giác có cạnh là AB ; vẽ tam giác có cạnh là BC ; AD Qua ví dụ bước đầu các em đã định hình phương pháp vẽ tam giác và các cách triển khai theo phương pháp đó Ngoài còn cách vẽ tam giác khác giúp ta tính góc DCA dÉn tíi ®iÒu ph¶i chøng minh, c¸c c¸ch kh¸c cßn tuú thuéc vµo sù s¸ng tạo người và bắt nguồn từ việc yêu thích môn Hình học 19 Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net (20) A Bµi to¸n 9: Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, C = 150 Trªn tia BA lÊy ®iÓm O cho BO = AC Chøng minh r»ng tam gi¸c OBC c©n 1) Ph©n tÝch bµi to¸n: A = 150 Trªn tia BA lÊy ®iÓm O cho Bµi cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A, C BO = AC Yªu cÇu chøng minh OBC c©n t¹i O 2) Hướng suy nghĩ: A = 150 suy AA = 750 - 150 = 600 Ta thÊy C là số đo góc tam giác O sử dụng phương pháp tam giác vµo viÖc gi¶i bµi to¸n 3) Chøng minh: GT ABC; AA = 900; CA = 150 O tia BA: BO = 2AC KL OBC c©n t¹i O A Ta cã: ABC; AA = 900; CA = 150 (gt) BA = 750 Vẽ tam giác BCM 150 B C ( M vµ A cïng thuéc mét nöa mÆt ph¼ng bê BC) A A Ta cã: OBM A ABC MBC 750 600 150 Gäi H lµ trung ®iÓm cña OB HO HB MÆt kh¸c BO = 2AC (gt) nªn AC O OB OB từ đó có AC = BH XÐt HMB vµ ABC cã: H BH = AC (cmt) M A HBM A ACB 150 MB = BC ( cạnh BMC) A Do đó HMB = ABC ( c -g -c) B Một số Phương pháp vẽ thêm yếu tố phụ giải toán hình học lớp Lop7.net 20 C (21)