Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN ————– * ————— NGUYEN TH± HONG M®T SO PHƯƠNG PHÁP CHÚNG MINH BAT ĐANG THÚC LU¾N VĂN THAC SĨ TỐN HOC Hà N®i - Năm 2012 ————— * —————- NGUYEN TH± HONG M®T SO PHƯƠNG PHÁP CHÚNG MINH BAT ĐANG THÚC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CAP Mã so : 60 46 40 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC TS PHAM VĂN QUOC Hà N®i - Năm 2012 Lài Ma đau Trong suot tien trình phát trien cna nhân loai q trình phát trien cna tốn HQc Bat thúc dưịng đe tài mn thuo có súc hap dan lón Hàng loat tên tuői cna nhà tốn HQc női tieng đưoc gan lien vói bat thúc quen thu®c như: Cauchy, Bunnhiacopxki, Chebyshev, Holder, Bernoulli, Nesbit sau phai ke đen Jensen, Minkowski, Schur, Yuong, tên tuői cna nhieu nhà toán HQ c khác "Nét đep" cna bat thúc làm "mê đam" rat nhieu nhà toán HQc ban u tốn, the mà m¾c dù m®t "m®t manh đat cő xưa" hàng năm van có nhung bat thúc mói đưoc đưa Cùng vói sn xuat hi¾n thêm bat thúc phương pháp chúng minh bat thúc Các phương pháp tiêu bieu có the ke đen như: Su dung bat thúc cő đien, Phương pháp lưong giác hóa, Phương pháp su dung hình HQ c, Phương pháp bình phương S.O.S, Phương pháp phan chúng, Phương pháp don bien, Phương pháp tiep tuyen, hay phương pháp GLA, đői bien p,q,r, Nhưng đ¾c bi¾t nhung phương pháp hai phương pháp mói mà qua q trình tìm hieu, su dung tơi thay nhung úng dung rđng rói v nhieu "ve ep", k thuắt tiem an hai phương pháp là: Phương pháp don bien Phương pháp tiep tuyen Đieu thơi thúc tơi tìm tịi sinh ý đ%nh hồn thành chương trình cao HQc vói đe tài lu¾n văn: "M®t so phương pháp chúng minh bat thúc" Vói hai phương pháp có the chinh phuc đưoc so lưong lón bat thúc kì thi tốn Quoc te, kì thi Quoc gia hay đen kì thi Đai HQ c Các ban se thay rõ đieu qua ví du mà tơi đưa o lu¾n văn Qua h¾ thong ví du cHQN LQc ban se hieu nam đưoc cách v¾n dung phương pháp Tơi đưa chúng minh cho m®t so bat thúc cő đien bang hai phương pháp Đ¾c bi¾t q trình tìm tịi v¾n dung tơi phát hi¾n ket qua v¾n dung đe chúng minh sáng tao toán bat thúc Bang ket qua chúng minh lai m®t so tốn kì thi đưoc chúng minh bang phương pháp khác Ket qua sn mo r®ng cna bat thúc Jensen nên đoi vói tốn su dung bat thúc Jensen dùng ket qua có the chúng minh m®t cách de dàng, nhanh GQN thu¾n ti¾n so lưong hàm bat thúc tăng lên Su dung ket qua sáng tao toán bat thúc, theo chinh phuc chúng không phai đieu de dàng Bên canh tơi tiep tuc nghiên cúu tìm hieu cách chuyen chúng minh tù su dung ket qua sang su dung phương pháp quen thu®c, cách sáng tao tốn bat thúc mói mà có the su dung phương quen thu®c đe làm Nó có the van đe mo cho ban ĐQ c quan tâm mà thịi gian han hen tơi chưa trình bày thau đáo lu¾n văn Vói cách nhìn chn quan thịi gian, lnc có han lu¾n văn chac chan khơng tránh khoi nhung sai sót rat mong đưoc sn góp ý cna thay ban đe lu¾n văn đưoc hồn thi¾n Tơi xin chân thành cam ơn Mnc lnc Lài cam ơn Lài Ma đau Các kien thÉc sa 1.1 1.2 1.3 M®t so bat thúc cő đien .6 1.1.1 Bat thúc AM-GM 1.1.2 Bat thúc Cauchy-Schwarz 1.1.3 Bat thúc Chebyshev 1.1.4 Bat thúc Nesbit 1.1.5 Bat thúc Bernoulli 1.1.6 Bat thúc Holder 1.1.7 Bat thúc Schur M®t so kien thúc liên quan 1.2.1 Bat thúc thuan nhat kĩ thu¾t chuan hóa 9 10 10 11 11 1.2.2 Bien đői Abel M®t so kien thúc ve hàm loi 1.3.1 Đ%nh nghĩa hàm loi, lõm 1.3.2 Tính chat 1.3.3 Đ%nh lý 12 16 16 16 17 Phương pháp don bien 21 2.1 Don bien bang bien đői đai so 23 2.2 Don bien bang kĩ thu¾t hàm so 30 2.3 Don bien bang dãy so 36 Phương pháp tiep tuyen 44 3.1 Chúng minh m®t so bat thúc cő đien 44 3.2 Ví du áp dung .50 Ket qua Éng dnng 61 4.1 Các ket qua ban 61 4.2 Ví du áp dung .64 4.3 Sáng tao bat thúc 76 Ket lu¾n 85 Tài li¾u tham khao 87 Chương Các kien thÉc sa Không phai ngau nhiên mà tù chương trình lóp cna cap THCS bat thúc đưoc đưa vào sau suot chương trình tốn cna THCS THPT bat thúc nhung tốn quen thu®c "noi so hãi" cna nhieu HQc sinh Bat thúc đau tiên "sơ khai" phai ke đen bat thúc AM-GM (thưịng GQI bat thúc Cơ-si), sau hàng loat sách tham khao nhung bat thúc đưoc nhac đen như: CauchySchwarz (thưòng GQI Bunnhiacopxki), Chebyshev, Nesbit, Bernouli, Holder, Schur đieu cho thay "súc manh” sn can thiet cna chúng bi toỏn bat ang thỳc Trong luắn ny mđt lan nua tơi nhac lai đưa ví du minh HQA cho bat thúc vói sn ngưõng m® thán phuc nhà tốn HQc tìm chúng 1.1 M®t so bat thÉc co đien 1.1.1 Bat thÉc AM-GM Vái MQI so thnc dương a1 , a2 , , an ta có bat thúc a1 + a2 + + an n ≥ a1 √n a2 an Đang thúc xay chs a1 = a2 = = an .a2 an Chúng minh Hien nhiên bat thúc vói n = a1 + a2 + + √ Gia su bat thúc vói n, ta có: ≥ n an n Khi a1 √ a1 a2 an + n n an+1 an+2 a2n √ √ √ ≥ n n a1 a2 an n n an+1 an+2 a2n √ = 2n n a1 a2 a2n a1 + a2 + + a2n ≥ n √n V¾y bat thúc vói 2n Bat thúc vói n ta chúng minh đưoc bat thúc vói n-1 √ Th¾t v¾y áp dung bat thúc cho n so vói an = n− a1 a2 an−1 a1 + a2 + + an n a1a2 an−1 ≥ √1 n− a1 √n n = n (a a a n−1 ) n−1 = √1 n− a2 an−1 a1 a2 an−1 = an ⇔a1 + a2 + + an ≥ nan ⇔a1 + a2 + + an−1 ≥ (n − 1)an a1 + a2 + + √ ≥ n− a2 an−1 ⇔ an−1 a1 n−1 V¾y bat thúc đưoc chúng minh xong Dau bang xay chi a1 = a2 = = an H¾ qua 1.1 MQI so dương a1 , a2 , , an ta đeu có: √n n a a a ≥ + + + an a1 a2 Dau thúc xay chs a1 = a2 = = an n H¾ qua 1.2 (i) Cho a1, a2, , an so thnc dương m1, m2, , mn so nguyên dương Ta có Σ m1a1 + m2a2 + + mnan m2 mn m1 + m2 + + mn ≥ a a2 a n m1+m2+ +mn m (ii) Cho a1, a2, , an so thnc dương n so huu ts dương i1, i2, , in cho Σn k= ik = Ta có a1i1 + a2i2 + + anin ≥ ai1 ai2 anin 1.1.2 Bat thÉc Cauchy-Schwarz Vái hai dãy so thnc tùy ý a1, a2, , an b1, b2, , bn ta ln có bat thúc (a2 +1 a2 + + a2 n)(b21+ b22 + + bn2 ) ≥ (a1b1 + a2b2 + + anbn)2 Dau thúc xay chs (a1, a2, , an) (b1, b2, , bn) l hai bđ ts lắ, tỳc l ton tai so thnc k đe = kbi ∀i = 1, , n Chúng minh Xét n n n n i f (x) = i= i= Σ Σ (ai x − bi )2 = x2 i i= a2 − x i= Σ 2ai bi + Σ b2 = Ax2 + Bx + C O = B − 4AC Đe f (x) ≥ ∀x ∈ R O ≤0 n ⇔ B 2≤ 4AC ⇔ n Σi=1 Σ (2aibi)2 ≤ Σ Σ i=1 i=1 bi b2 = = bn = a2 a Dau thúc xay chi f (x) = ⇔ b1 Σ n n a1 H¾ qua 1.3 Vái hai dãy so a1, a2, , an b1, b2, , bn ∀bi ≥ ∀i = 1, , n a2 b1 a2 a2 (a1 + a2 + + an)2 n + + + ≥ b2 bn b1 + b2 + + bn H¾ qua 1.4 Vái MQI dãy so thnc a1 , a2 , , an ta có (a1 + a2 + + an)2 ≤ n(a21 + a22 + + an2 ) 1.1.3 Bat thÉc Chebyshev Cho a1, a2, , an b1, b2, , bn hai dãy so thnc (i) Neu (ai)n (bi)n hai dãy đơn đi¾u tăng i= i= a1b1 + a2b21+ + anbn n ≥ (ii) Neu (ai)n i= a11b1 a1 + a2 + + an n b1 + b2 + + bn n (bi)ni= hai dãy đơn đi¾u giam + a2b2 + + anbn n ≤ a1 + a2 + + an n b1 + b2 + + bn n Chúng minh Bang cách phân tích trnc tiep, ta có thúc sau n(a1b1 + a2b2 + + anbn) − (a1 + a2 + + an)(b1 + b2 + + bn) = n Σ (ai − aj)(bi − bj ) ≥ i,j=1 Vì dãy a1, a2, , an b1, b2, , bn đơn đi¾u nên (ai − aj)(bi − bj) ≥ (ii) Tương tn ... bat thúc phương pháp chúng minh bat thúc Các phương pháp tiêu bieu có the ke đen như: Su dung bat thúc cő đien, Phương pháp lưong giác hóa, Phương pháp su dung hình HQ c, Phương pháp bình phương. .. pháp bình phương S.O.S, Phương pháp phan chúng, Phương pháp don bien, Phương pháp tiep tuyen, hay phương pháp GLA, đői bien p,q,r, Nhưng đ¾c bi¾t nhung phương pháp hai phương pháp mói mà qua q trình... an hai phương pháp là: Phương pháp don bien Phương pháp tiep tuyen Đieu thơi thúc tơi tìm tịi sinh ý đ%nh hồn thành chương trình cao HQc vói đe tài lu¾n văn: "M®t so phương pháp chúng minh bat