Khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử

Header Page of 16 MỞ ĐẦU Những thành tựu điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics QED) dựa sở lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng điện tích cho phép tính toán trình vật lý phù hợp tốt với số liệu thu từ thực nghiệm, với độ xác đến bậc e2 Trong lý thuyết trường số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn    4 137 tương tác QED lý thuyết xây dựng hoàn chỉnh Mô phương pháp tính toán trình vật lý QED người ta xây dựng công cụ tính toán cho Sắc động học lượng tử (Quantum Chromodynamics - QCD) – lý thuyết tương tác hạt quark - gluon, tương tác yếu hay lý thuyết thống dạng tương tác lý thuyết điện yếu tương tác mạnh gọi mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18] Việc tính trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp tích phân phân kỳ, tính bổ lượng tử bậc cao cho kết thu được, ta gặp phải tích phân kỳ vùng xung lượng lớn hạt ảo, tương ứng với giản đồ Feynman có vòng kín hạt ảo Các giản đồ diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý trường tham gia tương tác quan niệm hạt điểm kích thước không tích Việc tách phần hữu hạn phần phân kỳ tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán nào? Phần phân kỳ phần hữu hạn giải thích vật lý sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết thu cho trình vật lý hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ lý thuyết trường nhiệm vụ trọng yếu vật lý lý thuyết kể từ đời đến nay, ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu giải Footer Page of 16 Header Page of 16 Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng electron Kraumer – Bethe, sau tác giả Schwinger Feynman Tomonaga thực hóa QED [13,20] Cách xây dựng chung S - ma trận phân loại phân kỳ Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát triệt tiêu phân kỳ số hạng tái chuẩn hóa chuỗi lý thuyết nhiễu loạn Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, giúp ta giải hợp lý phần phân kỳ tính toán, kết ta thu hữu hạn cho biểu thức đặc trưng cho tương tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã thời gian sống hạt Khi so sánh, kết thu phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau tái chuẩn hoá cho kết hữu hạn đặc trưng trình vật lý, gọi lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên phương pháp R - toán tử N.N Bogoliubov khởi xướng [14] Mục đích luận văn Thạc sĩ vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại cách điều chỉnh thứ nguyên hạt ảo gần vòng kín minh họa trình tái chuẩn hóa khối lượng điện tích electron QED bậc thấp lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho trình vật lý Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệu tham khảo số phụ lục - Chương I: Các giản đồ phân kỳ vòng Chương dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận quy tắc Feynman để mô tả trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày hàm Green photon, electron, hàm đỉnh QED Phân tích bậc phân kỳ QED bậc thấp trình bày mục 1.3 Footer Page of 16 Header Page of 16 - Chương II: Tách phân kỳ giản đồ vòng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên Trong chương tách phần hữu hạn phần phân kỳ phương pháp điều chỉnh thứ nguyên QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai photon – giản đồ lượng riêng photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ lượng riêng electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh bậc thấp Đồng thức Ward –Takahashi được chứng minh đồ thị mục 2.4 - Chương III: Tái chuẩn hóa QED Trong chương ta tái chuẩn hóa cho giản đồ vòng QED Mục 3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh cách định tính: việc tái chuẩn hóa điện tích khối lượng electron, tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý khối lượng vật lý electron Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED gần vòng - Phần kết luận tóm tắt kết thu luận văn thảo luận khả vận dụng hình thức luận tính toán cho lý thuyết trường tương tự Trong luận văn sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c  metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất bốn thành  phần véctơ - chiều ta chọn thực A  A0, A gồm thành phần thời gian   thành phần không gian, số   0,1, 2, 3 ,và theo quy ước ta gọi thành phần phản biến véctơ - chiều ký hiệu thành phần với số Footer Page of 16 Header Page of 16 Chương Các giản đồ phân kỳ vòng Trong chương giới thiệu vắn tắt luận điểm lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, giản đồ phân kỳ thường gặp gần vòng 1.1 S - ma trận giản đồ Feynman Biên độ xác suất trình tán xạ xác định yếu tố S – ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ trạng thái đầu trạng thái cuối trình vật lý:  S  T exp i  Lint (x )d 4x  (1.1) Trong Lint (x )  N J  (x )A (x )  e0N (x )  (x )A (x ) Lagrangian tương tác điện từ, e0 điện tích “trần” electron Mỗi đỉnh tương tác có ba đường vào ra, có đường photon, hai đường electron zn z2   z   ta có 2! n 0 n !  hay positron Sử dụng phép khai triển hàm mũ e z   thể viết biểu thức S – ma trận (1.1) dạng: S  S (0)  S (1)  S (2)     iT  Lint (x )d 4x  (i)2 T  Lint (x )Lint (y )d 4xd 4y  2! (1.2) Footer Page of 16 Header Page of 16 Yếu tố ma trận trận trình vật lý biểu diễn dạng:  f | S | i  fi  i 2   Pf  Pi  M f i (1.3) Ở  i |  f | véctơ trạng thái đầu cuối hệ, M f i biên độ xác suất dời chuyển, có ý nghĩa việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn xung lượng trình vật lý Thay công thức (1.2) vào  f | S | i  ta có:  f | S | i  f | S (0) | i    f | S (1) | i    f | S (2) | i    f | | i  iT  f |  Lint (x )d 4x | i   (1.4) (i )2  T  f |  Lint (x )Lint (y )d 4xd 4y | i   2! Sử dung khai triển (1.4), cụ thể hạt trạng thái đầu trạng thái cuối ta viết biểu thức tường minh cho số hạng khai triển nhiễu loạn cho trình sau: tán xạ electron (hay positron) với trường điện từ ngoài, tán xạ electron (hay positron) với nhau, tán xạ Compton – tán xạ photon electron, hay hủy cặp electron – positron trình tán xạ không đàn tính, v.v Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ không gian xung lượng: Hạt trạng thái Electron trạng thái đầu Electron trạng thái cuối Footer Page of 16 Thừa số yếu tố ma trận  m  r   u p   p   m  r   u p   p  2 1 2 Yếu tố giản đồ Header Page of 16 Positron trạng thái đầu Positron trạng thái cuối Photon trạng thái đầu  m  r   u p   p  m  r   u p   p  2 1 2 1 hay trạng thái cuối 2 Thế điện từ Aext k  Chuyển động S (p )  electron từ  (hay positron theo chiều ngược lại  ) Chuyển động photon  2k i tổng  Footer Page of 16  pˆ  m 2 pˆ  m p2  m i 2 D  (k )  hai đỉnh Đỉnh với số lấy e k  g  2 ie   2   4 4  p k2  p1  k  Header Page of 16 1.2 Hàm Green hàm đỉnh Trong QED giản đồ Feynman sau đây: - Các phần lượng riêng photon - Các phần lượng riêng của electron - Các phần đỉnh - Phần tán xạ photon – photon diễn tả tương tác hạt với chân không vật lý Các giản đồ liên quan đến việc tính số hạng bổ bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể tính hàm Green photon, hàm Green electron hàm đỉnh lý thuyết tương tác trường electron – positron với trường điện từ Hàm Green hai điểm tổng giản đồ liên kết yếu mà thành phần giản đồ liên kết mạnh1 hạt Hàm Green photon, xác định công thức: G  (x  y )  i  T A (x )A (y )    (1.5) |  véctơ trạng thái chân không trường tương tác, A (x ) A (y) toán tử trường điện từ biểu diễn Heisenberg Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt đường không tách thành hai giản đồ - Giản đồ gọi giản đồ tối giản (irreducible diagramms) Footer Page of 16 Header Page of 16 Hàm Green photon (1.5) biểu diễn tổng giản đồ sau: i   i   i   i   Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ photon ten xơ phân cực chân không Hàm Green electron, xác định tương tự công thức sau G x  y   i  | T   (x ) (y ) |    (1.6) Trong  (x ) ,  (y ) toán tử trường electron – positron biểu diễn Heisenberg Hàm Green electron biểu diễn tổng giản đồ sau:  i i i i Hình 1.2 Các đồ thị hàm truyền đầy đủ electron phần lượng riêng Hàm đỉnh được xác định    z , x , y   T A z   x   (y )  Footer Page of 16 (1.7) Header Page of 16 Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng  *  Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ  sơ đồ xương * Các đường bị bỏ 1.3 Bậc hội tụ giản đồ Feynman Khi tính toán giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung phải lấy tích phân theo tất đường xung lượng giản đồ Tất tích phân có dạng: J   F (p , p , , p )d n p1d p2 d pn (1.8) Trong đó: F (p1, p2, , pn ) hàm hữu tỉ tỉ số hai đa thức: n số đường xung lượng Tương ứng với đường xung lượng fermion - electron ta có hàm truyền S ~ , tương ứng với đường xung lượng p photon ta có hàm truyền D ~ Footer Page of 16 p2 Header Page 10 of 16 Ta gọi: Fe : số đường xung lượng electron N e : số đường xung lượng electron Fp : số đường xung lượng photon N p : số đường xung lượng photon v : số đỉnh Trong vòng kín (loop) đường xung lượng trong, số đường số đỉnh: n  v , đồng thời lưu ý hai điểm sau: + Mỗi đỉnh tương ứng với đường photon, số đỉnh tổng số đường photon, phải ý số đường phải tính đến hai lần nối với hai đỉnh v  2Fp  N p (1.9) + Mỗi đỉnh tương ứng với hai đường xung lượng electron, tổng số đỉnh nửa số đường xung lượng electron: 2v  2Fe  N e (1.10) Từ (1.9) (1.10) ta thu được: Fp  1 v  Np 2 Fe  v  N e Footer Page 10 of 16 10 (1.11) (1.12) Header Page 58 of 16 n 2 (n )  n       Sự phụ thuộc vào tham số  (  có thứ nguyên thứ nguyên khối lượng) đưa vào suy luận từ bảo toàn thứ nguyên chung [3] sử dụng ngoại suy số công thức tích phân khác sử dụng phương pháp khử phân kỳ thông thường trước Công thức tích phân dạng Gauss có dạng: i 2   n d pe i (ap 2bp )  ia 2  ib  e a      a 2 (B.2) Sử dụng tích phân việc phương pháp tham số hóa Feynman [12], có: i regJ l D     p  2  1  l    2        D l 2  dnp  D l l 1 (B.3) Đối với trường Spinơ ta phải tổng quát hóa để gộp ma trận Dirac:Tất biến đường xung lượng véctơ n - thành phần Các hàm truyền hạt có spin  với xung lượng gồm ma trân  cấp n thường phản giao hoán  ,    2g  v v ,   0,1, , n  (B.4) g 00  1, g Footer Page 58 of 16   1,   1, 2, n  58 (B 5) Header Page 59 of 16 Chú ý g vg v  n , giản đồ ta xét n = Chúng ta xem xét trường hợp giản đồ có vòng [9,10] Biên độ trình vật lý không gian n - chiều phương pháp biểu diễn dạng tích phân: A n, pi    d nk 2 n f n, k , Pi  , (B.6) Ở Pi xung lượng ngoài, vector vật lý chiều thông thường Trong tính toán f n, k, Pi  phải lưu tâm tới tương thích với phương trình (A.4) (A.5) Tất thao tác khác, tích phân, đối xứng hóa biến số, tịnh tiến xung lượng thực làm phương pháp khử phân kỳ thông thường [12,13,14] Kết quả, A n, Pi  cần tính toán tích phân sau: I n, m    d nk 2 n k  L  i     m (B.7) Tích phân (B.7) tồn cho giá trị n  2m I n, m   i 12m 2   n L2 n m    m  n     n  (B.8) Theo phương pháp G’t Hoof-Vieltman đề xướng [8], vế phải công thức (8) tính đến cho trường hợp tích phân không tồn (7) Các tích phân phân kỳ cực giá trị n = Các tích phân khác xác định tương tự: Footer Page 59 of 16 59 Header Page 60 of 16 d nk  k  2pk  l  m k d nk  k  2pk  l  m   m  n   n  n m  2 l p  i     m   i n  n  m      m  (B 9) n m 2 l  p  p Như việc xem xét yếu tố ma trận không gian n chiều, người ta xác định vùng hội tụ mặt n - chiều, mà yếu tố ma trận tổng quát hóa xác định tốt Các biểu thức cho phép ta xác định yếu tố ma trận vùng lân cận n = 4, sau ta mở rộng giải tích Bằng cách làm tích phân giữ lại giá trị ban đầu, tính chất unita, tính chất nhân bảo toàn cách hình thức Các phép lấy tích phân d n1K thực từ tọa độ đến tọa độ cầu kéo theo K (n -2) biến số góc Nhận thấy phương trình biến đổi K1  K cos 1 K  K sin 1 cos 2 K  K sin 1 sin 2 cos 3 K n2  K sin 1 sin 2 sin 3 sin n 3 cos n2 K n1  K sin 1 sin 2 sin 3 sin n3 sin n2  i   i  1, 2, 3, , n   n2  2 Jacobian cần thiết cho ta Footer Page 60 of 16 60 (B.10) Header Page 61 of 16 d n 1 K   K n 2 sinn3 1 sinhn4 2 sin2 n4 sin n3d 1d 2 d n2s K (B 11) p.K  EK  p K cos  K E 1   cos   (B 12) Vì biểu thức dấu tích phân mà ta quan tâm phụ thuộc vào K  , góc p n-1 thành phần K véctơ, qua hệ thức liên hệ 1    m  1   sinm d    1    m  2     (B 13) Mà đưa đến  n 1 2 d n 1K  1      n  1    dK K n 2 sinn 3 d  (B.14) Hay qua biến x  cos n 1 2 dK 1      n  1    dx K n 2 n 2 2 1  x  (B.15) 1 Để minh họa phương pháp điều chỉnh phân kỳ tử ngoại điều chỉnh thứ nguyên xem xét mô hình toán học tương tác đơn giản Lint  g Trong g - số tương tác,  trường thực vô hướng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mô hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: Footer Page 61 of 16 61 Header Page 62 of 16 I k   i 2  dp (B.16) m  p  i m  p  k   i 2 Tích phân (B.16) ảnh Fourrier tích hai hàm truyền với biến số chập nhau: I k   16 2i  e ikx Dc x  dx   (B.17) Các tích Dc x  công thức (B.17) chứa hàm kỳ dị suy rộng dạng   , 1 (trong   x ) [5] Vì vậy, công thức (B.17) đại lượng xác định Xét mặt toán học phải tiến hành định nghĩa lại đại lượng (B.17) Ở có hai cách giải vấn đề này: Tính tích phân (B 17) phương pháp điều chỉnh thứ nguyên nhờ phép chuyển tới  - biểu diễn [5], ta tìm I k   reg J k   i 2  2  dnp m  p2  m  p  k    i 32 d .d .e ik i (  )m  d n pe i ( ) p 2i pk      i 2   d d  i k i (   )m         e       2    2   i 2          da  dx  a 1 e iaz (x ,k 2 ) (B 18) Footer Page 62 of 16 62 Header Page 63 of 16 Sử dụng công thức (A.2) nhận   2  dx   reg  k             2 m  x 1  x  k    (B.19) Bây cần phải bỏ điều chỉnh hóa áp dụng lúc đầu tích phân (A.10) Điều có nghĩa là, phải cho   0 sử dụng hệ thức:     C  O  ; (C  0, 5772 ) ,   0  (B.20) Chúng ta nhận kết reg I k     I huuhan k ,  (B.21) Trong I huuhan k     m  x 1  x  k     ln   C dx ln      (B.22) Như vậy, phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân (B.16) (phân kỳ lôga vùng tử ngoại) có cực 1 tách thành phần riêng Ta viết: I k   I kidi  I k  huuhan (B.23) Áp dụng phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên thu 1 kết I kidi   ln   c    So sánh với phương pháp cắt xung lượng lớn     2   2  phần kỳ dị I kidi  1  ln   , phương pháp Pauli-Villars I kidi  ln       M  Footer Page 63 of 16 63 Header Page 64 of 16 Trong sử dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta tránh việc đưa vào khối lượng điều chỉnh lớn M2 hay tham số điều chỉnh lớn 2 để khử tích phân phân kỳ theo xung lượng Footer Page 64 of 16 64 Header Page 65 of 16 Phụ lục C Khử phân kỳ mô hình Lint  g3 Trong tất mô hình tương tác hạt bản, xét mặt toán học dẫn đến hai mô hình tương tác bản: mô hình tự tương tác hạt vô hướng thực Lint  g3 Mô hình tương tác đơn giản, cho phép ta thực tính toán cụ thể, chi tiết Qua ví dụ Lint  g3 ta minh họa rõ ràng phương pháp khử phân kỳ, sử dụng lý thuyết trường lượng tử C.1 Giản đồ lượng riêng Theo quy tắc đối ứng Feynman giản đồ lượng riêng mô hình tương ứng với tích phân đơn giản sau đây: I k   i 2  dp m  p  i m  p  k   i (C.1) Tương ứng với giản đồ vòng Feynman với hai đường vô hướng (xem hình C.1) Hình C.1 Footer Page 65 of 16 65 Header Page 66 of 16 Chuyển từ chiều sang n chiều ( với n   2 ) ta viết: I (k )  reg J (k )  i 2  2 dnp  (m  p )(m  (p  k )2 ) i 2 dnp    (p  m )((p  k )2  m ) (C.2) Áp dụng công thức tham số hóa Feynman  ab 1  dx [ax  b(1  x )] (C.3) Với a  (p  k )2  m 2, b  p  m Ta reg J (k )  i 2  2  dnp {[(p  k )2  m ]x  (p  m )(1  x )}2 dnp dx  {p  2pkx  k 2x  m }2 dx  i 2    (C.4) Áp dụng tích phân:  Với m  2, n  ( m  ) d p m  (1) i  (m ) (p  2pk ' l )m n n l  k 2x  m , 2 reg J (k )  Footer Page 66 of 16 i 2  m (k '  l ) n k '  kx ta n (2  ) (1)2 i  (2) n 66 2 {k x  m  k x } 2 2 n Header Page 67 of 16 i 2  () dx  ()2  {m  x (1  x )k }        () dx   {m  x (1  x )k }    (C.5) Sử dụng công thức khai triển: a     ln a Ta có:      2 2      ln    {m  x (1  x )k }   {m  x (1  x )k }       {m  x (1  x )k }   m  x (1  x )k      ln     ln     ln  2           ()     O()  (C.6) Trong   0.5772 số Euler Mascheroni    m  x (1  x )k  1 1     ln  reg J (k )       O()  dx 1   ln         2       Cho   0 ta có reg J (k )    I huu han ()  Trong  m  x (1  x )k     ln    dx ln       I huu han ()  Footer Page 67 of 16 67 (C.7) Header Page 68 of 16 Như phương pháp khử phân kỳ điều chỉnh thứ nguyên phần kỳ dị tích phân ( phân kỳ loga vùng tử ngoại) có cực phần riêng Footer Page 68 of 16 68 tách thành  Header Page 69 of 16 C.2 Giản đồ đỉnh Hình C.2 Bằng cách xét bậc hội tụ giản đồ suy biểu thức tích phân tương ứng với giản đồ hội tụ Thật vậy: K 3 N e  N p      2 Do hàm đỉnh hội tụ Bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên ta chứng minh giản đồ hội tụ sau: Giản đồ đỉnh tương ứng với tích phân sau   p, k   i2 m dq 1    q m  q  k 2 m  q  p2 (C.8) Trong tam giác liên quan đến đỉnh có ba đường – đường có xung lượng q - hàm truyền vô hướng Footer Page 69 of 16 , đường khác có xung lượng m2 q2 69 q  k  - hàm Header Page 70 of 16 truyền vô hướng truyền vô hướng m  q  k  2 m  q  p , đường lại có xung lượng q  p  - hàm Viết lại tích phân (C.8) dạng:   p, k   i2  m i 2  dq 1   2 q m  q  k  m  q  p 1 dq   2 2 q m q  k   m q  p  m 2 (C.9) Áp dụng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên: (p, k )  reg I (p, k )  i 2     d nq (q  m )[(q  k )2  m ][(q  p)2  m ] (C.10) Sử dụng công thức tham số hóa Feynman: 1x 1   dx  dy abc [a(1  x  y )  bx  cy ]3 0 (C.11) Với: a  q  m ; b  (q  k )2  m ; c  (q  p)2  m Ta có: a(1  x  y )  bx  cy   (q  m )(1  x  y )  [(q  k )2  m ]x  [(q  p)2  m ]y (C.12)  q  2q(py  kx )  k 2x  p 2y Tích phân (C.10) viết lại: Footer Page 70 of 16 70 Header Page 71 of 16 2i 2  reg I (p, k )  2 1x  dx  dy  d q [q n  2q(py  kx )  k 2x  p 2y ]3 (C.13) Áp dụng công thức:  n  ( m  ) d p m  (1) i  (m ) (p  2pk ' l )m n n m (k '  l ) n (C.14) Với : m  3; l  k 2x  p 2y; k '  py  kx Ta được: 2 reg I (p, k )  2i  2 1x  dx   n (3  )  dy(1)3 i  (3) n 3 [(py  kx )2  k 2x  p 2y ] n 1x  2 (1  )  2  dx  dy 2  [(py  kx )  k 2x  p 2y ]1 0 1  1x    2     dx  dy (1  )   [(py  kx )2  k 2x  p 2y ]  2 Footer Page 71 of 16 71 (C.15) Header Page 72 of 16 Khai triển 1  (1  )  ()       O()  1    O()    (C.16) 1   2    [(py  kx )2  k 2x  p 2y ]   2     (1  ) ln   [(py  kx )2  k 2x  p 2y ]  [(py  kx )2  k 2x  p 2y ]    (1  ) ln   2  (C.17) 1x  reg I (p, k )   dx  dy 1    O()   0   [(py  kx )2  k 2x  p 2y ]    1  (1  ) ln             (C.18) Cho   0 ta thấy tích phân hữu hạn  reg I (p, k )   1x  dx  0    [(py  kx )2  k 2x  p 2y ]     dy 1  ln            (C.19) Kết luận: với toán hàm đỉnh hạt vô hướng tích phân (C.8) không phân kỳ mà lượng hữu hạn xác định (C.19) Footer Page 72 of 16 72 ... 15] Các phương pháp khử phân kỳ thông dụng lý thuyết trường bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên phương pháp R - toán tử N.N... hay phân kỳ biểu thức (1.17): + Nếu K  : tích phân hội tụ + Nếu K  : tích phân phân kỳ - K  : phân kỳ lôgarit - K  1 : phân kỳ tuyến tính - K  2 : phân kỳ bậc hai - K  3 : phân kỳ bậc... xét Giản đồ lượng riêng electron Sơ bộ, phân kỳ tuyến tính, song thực tế phân kỳ loga Đỉnh phân kỳ loga Giản đồ lượng riêng photon Sơ phân kỳ bình phương Thực tế từ bất biến chuẩn phân kỳ loga Nó