Phương pháp monte carlo lượng tử nghiên cứu quá trình khuếch tán

( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.com LờI CảM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội hướng dẫn Tiến sỹ Nguyễn Thế Lâm Thầy tỉ mỉ hướng dẫn truyền cho kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học để động viên, khích lệ vươn lên học tập vượt qua khó khăn Tôi bước tiến hành hoàn thành luận văn với đề tài Phương pháp Monte Carlo lượng tử nghiên cứu trình khuếch tán Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trường ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Vật Lý, Phòng sau đại học trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành chương trình cao học luận văn tốt nghiệp Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng chí đồng nghiệp bạn bè tạo điều kiện, động viên, đóng góp ý kiến quý báu để hoàn thành luận văn Hà nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả Vũ Ngọc Vỹ LờI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu tôi, không chép trùng với kết tác giả công bố Nếu sai xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà nội, tháng 09 năm 2011 Tác giả Vũ Ngọc Vỹ Mở đầu Lý chọn đề tài - Phương pháp Montecarlo phương pháp sử dụng rộng rãi giới Trên sở sử dụng số ngẫu nhiên mở nhiều ứng dụng Một ứng dụng người ta tính tích phân xác định, đặc biệt tích phân nhiều chiều điều kiện biên phức tạp - Phương pháp Monte Carlo thường thực lặp lại số lượng lớn bước đơn giản, song song với nhau, phương pháp phù hợp cho máy tính Kết phương pháp xác (tiệm cận kết đúng) số lượng lặp bước tăng - Phương pháp Montecarlo cho phép nghiên cứu tính toán lượng hàm sóng hệ lượng tử mà phương pháp khác không làm - Quá trình khuếch tán có phương trình vi phân phụ thuộc vào thời gian thực tế khó giải Nếu thực số chiều thấp, sử dụng phương pháp Montecarlo giải không gian lớn với số lượng hạt lớn ( người ta giải đến 1000 hạt) Chính lý ứng dụng thiết thực đề tài mà lựa chọn đề tài để nghiên cứu Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp Montecarlo lượng tử đề xuất thời gian gần - Đề xuất mô hình khuếch tán giải toán phương pháp Montecarlo lượng tử Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu mô hình mà sử dụng phương pháp Montecarlo vật lý chất rắn - Xây dựng giải toán phương pháp Montecarlo lượng tử Đối tượng nghiên cứu - Là hệ điện tử nhiều hạt - Một số toán khuếch tán trong không gian 1, 2, chiều Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp mô hình hóa máy tính Dự kiến đóng góp Sẽ sử dụng phương pháp cho nghiên cứu tính chất vật liệu mà phương pháp khác không làm mà số lượng hạt trở nên lớn Danh mục từ viết tắt Từ viết tắt DMC GFQMC Tiếng anh Diffusion Monte Carlo Tiếng việt Phương pháp Monte Carlo khuếch tán Green's function quantum Monte Phương pháp hàm Greens Monte Carlo Carlo PDF Probability distribution function Hàm phân bố xác suất PIMC Path Integral Monte Carlo Phương pháp tích phân đường QMC Quantum Monte Carlo Phương pháp Monte Carlo lượng tử VMC Variational Monte Carlo Phương pháp Monte Carlo biến số Chương Tổng quan phương pháp Montecarlo 1.1 ý tưởng phương pháp Monte Carlo lượng tử Nói chung tất phương pháp Monte Carlo lượng tử có đặc điểm chung sử dụng mẫu thử ngẫu nhiên chúng cách hiệu để lấy tích phân hàm số đa chiều Điểm bắt đầu cho việc lấy tích phân Monte Carlo biểu thức cho giá trị trung bình hàm f đoạn (1.1) Dựa vào phương này ta biểu thức cho giá trị tích phân : (1.2) Có nghĩa ta có giá trị trung bình ta có giá trị I Mục tiêu phương pháp Monte Carlo ước tính giá trị nhiên hàm f đoạn việc lấy mẫu ngẫu Giá trị tích phân I ước tính biểu thức: (1.3) Với xi điểm ngẫu nhiên phân bố đồng Ns số điểm xi Phương pháp lấy mẫu hiệu nhiều ứng dụng thực tiễn, việc lấy tích phân số vùng phải lấy mẫu với mật độ lớn để đạt kết xác khoảng thời gian hợp lý Ta làm việc phương pháp lấy mẫu điển hình Việc lấy mấu điển hình ứng dụng việc đưa vào hàm mật độ (PDF): hoá hàm sóng: , đoạn Đó điều thuận lợi chuẩn Khi viết: (1.4) Nếu lấy mẫu theo biểu thức giảm xuống đến số ước lượng cuối biểu thức: (1.5) Các điểm xi phân bố theo Thông thường thu chuỗi Markow tạo thuật toán Metropolis 1.2 Phương pháp Monte Carlo lượng tử 1.2.1 Một số phương pháp tính Lưu ý phương pháp Monte Carlo lượng tử dùng để kỹ thuật khác dựa việc lấy mẫu ngẫu nhiên Kỹ thuật đơn giản số Monte Carlo biến số (VMC), sử dụng phương pháp lấy tích phân Monte Carlo lấy mẫu điển hình để tính giá trị dự tính cho hàm sóng thử lựa chọn Các phương pháp khác, phương pháp chiếu Monte Carlo sử dụng kỹ thuật chiếu để đạt thành phần trạng thái hàm sóng thử ban đầu Có số phương pháp chiếu Monte Carlo phụ thuộc vào yếu tố chiếu mà người ta sử dụng, phổ biến phương pháp Monte Carlo khuếch tán (DMC), dựa phương trình thời gian ảo Schorodinger Cả VMC DMC sử dụng để tính giá trị lượng trạng thái cho hệ lượng tử, chúng dùng cho trạng thái kích thích Với hệ kích thích nhiệt độ xác định phương pháp PIMC sử dụng, phương pháp dựa dạng thức tích phân đường lượng tử Feyman xây dựng Tiện ích phương pháp DMC PIMC ứng dụng cho hệ fermion giảm vấn đề nảy sinh từ tích phân đối xứng hàm sóng nhiều fermion Một kỹ thuật sử dụng rộng rãi để giải vấn đề phương pháp xấp xỉ nút cố định ứng dụng DMC cho hệ thống fermion việc thử bỏ qua Phương pháp xấp xỉ nút cố định thể chi tiết Dù vấn đề tính xác phương pháp QMC công cụ hữu hiệu để tính toán tính chất điện tử hệ electron tương tác nguyên tử, phân tử chất rắn Khả tính toán QMC tăng lên lũy thừa ba số hạt, nghiên cứu hệ thống chứa hàng trăm chí nhiều nghìn electron Điều giúp làm mô hình chất ngưng tụ thực với độ xác đáng kinh ngạc Công thức tổng quát hàm Hamiltonian cho electron viết sau: (1.6) Thế V hệ chất rắn miêu tả tương tác Coulomb hạt electron ion 1.2.2 Năng lượng hệ lượng tử Chúng ta nghiên cứu ví dụ việc ứng dụng phương pháp Monte Carlo lượng tử hệ đơn giản ví dụ: dao động tử điều hòa, dao động tử điều hoà Morse, nguyên tử hydro, phân tử hydro, ion Khi nguyên tử, phân tử, hạt nhân trạng thái rắn vật bao gồm nhiều electron ion nucleon tương tác Tổng hạt N thường lớn người ta tìm số xác Trong học lượng tử biểu thị giá trị chờ đợi cho toán tử Ô cho trước cho hệ thống hạt N sau: (1.7) Trong hàm sóng mô tả hệ nhiều vật Mặc dù bỏ qua phụ thuộc thời gian phương trình nhìn chung vấn đề khó khăn Như ví dụ từ toán nhiều hạt, viết phương trình Schrodingers phương trình vi phân với toán tử Hamiltonian H biểu diễn theo hàm sóng sau: (1.8) Trong đó: tọa độ, tập hợp lượng tử số liên quan spin spin đồng vị cho hệ nucleon A (A = N + Z, N số lượng nơtron Z số lượng proton) Ta có phương trình vi phân cấp hai xác định kích thước 3A Đối với hạt nhân 10Be số 215040 Đây thực toán đầy khó khăn Phương trình (1.7) tích phân nhiều chiều Như vậy, phương pháp Monte Carlo phương pháp lý tưởng để thu giá trị dự đoán toán tử lượng tử, nhiên vấn đề khó khăn xác hàm sóng Chúng ta tránh vấn đề cách đưa hàm số phụ thuộc vào tham số biến số chọn Hàm số thu đặc tính quan trọng hệ xét Với việc thử hàm sóng thử thực phép tính toán biến số quan sát khác nhau, dùng phương pháp Monte Carlo để giải phương trình (1.7) Do mục tiêu tiếp cận Monte Carlo biến số tới lượng tử nên giới hạn tới thuật toán Metropolis đơn giản, không bao gồm lấy mẫu quan trọng Những phương pháp Monte Carlo lấy mẫu khuếch tán quan trọng bàn luận sau Trước hết cần tóm tắt lại số định lý học lượng tử 1.3 Nhắc lại số định lý học lượng tử 1.3.1 Những tính chất hàm sóng Phương trình Schrodingers cho toán chiều (1.9) Một biết đến phân bố không gian, ta bình thường hóa phân bố để đạt hàm sóng trạng thái (3.13) Để rõ ràng hơn, lúc hoàn thành thuật toán, di chuyển tách 2t0 lần đếm coi t0 lần Điều khiển kiểm tra hình Cuối khối xuất kết đưa kết mô Kết (i) giá trị trung bình lượng chuẩn , tính phần hai trình mô phỏng, hệ thật ổn định, (ii) độ lệch chuẩn tương ứng , (iii) tiến triển thời gian ảo (ER) cho bước thời gian t0; (iv) phân bố không gian bình thường mô hình Chú ý lượng chuẩn trung bình sau n bước thời gian xác định (3.14) 3.3 Kết thảo luận 3.3.1 Dao động tử điều hoà Cho dao động điều hòa chiều, ta có (3.15) Chọn lượng , với và hàm sóng Trong hệ không đơn vị (3.16) Xem kết mô Monte Carlo cho dao động điều hòa hình 3.2 Hình ảnh biểu thị hội tụ lượng đến lượng Hàm sóng dao động điều hòa hình 3.1 gần tính toán lý thuyết Hình 3.1 Hàm sóng dao động tử điều hoà Hình 3.2 Năng lượng tham chiếu phụ thuộc vào thời gian ảo 3.3.2 Dao động tử điều hoà Morse Điện Morse xác định (3.17) Trong trường hợp không gian tính toán: (3.2) ta có hàm sóng Ta xét tương ứng đơn vị chiều dài Từ , lượng (3.18) Kết DMC trình bày hình 3.4 Hình ảnh biểu thị hội tụ lượng đến lượng (gần với lượng theo lý thuyết -0,125) Hình ảnh hàm sóng điều hòa Morse hình 3.3 gần tính toán lý thuyết x Hình 3.3 Hàm sóng dao động tử điều hoà Morse Hình 3.4 Năng lượng tham chiếu phụ thuộc vào thời gian ảo 3.3.3 Nguyên tử hydro Bình thường bán kính nguyên tử hydro chọn đơn vị bán kính Bohr Do thiết lập , ta có 12,21eV Năng lượng Hàm sóng là: (3.19) Ta thực mô DMC cho hydro thể hình 3.6 hội tụ đến lượng , thống kết tích phân thuật toán tốt Đồ thị hàm sóng thể dạng hàm công thức (3.19) Sai số hàm sóng gốc không đủ mẫu mô hình môi trường không gian cấu hình Để cải thiện hàm sóng cho ta giảm kích cỡ hộp mẫu (tăng số điểm) tăng thời gian ảo t Hình ảnh hàm sóng nguyên tử hydro hình 3.5 gần tính toán lý thuyết x Hình 3.5 Hàm sóng nguyên tử hydro Hình 3.6 Năng lượng chuẩn phụ thuộc vào thời gian ảo 3.3.4 Ion Ion giữ ổn định dịch chuyển điện trường hai proton Tại khoảng cách R = 1,06A Trạng thái hệ lượng tử xác định theo tích phân Năng lượng xác định E0 = -1 DMC ứng dụng trường hợp có phương trình Hamilton (3.20) Kết DMC: Các hạt nhân đặt toạ độ (0, 0, R/2) với R = Biểu đồ phân bố không gian mô hình, thể hàm sóng trạng thái điện tử gần đối xứng biên Hình 3.7 Hàm sóng ion Hình 3.8 Năng lượng tham chiếu phụ thuộc vào thời gian ảo 3.3.5 Phân tử H2 Phân tử H2 cấu tạo hai proton, trạng thái cân , hai electron Trong gần Bohr ta xem xét vị trí proton cố định giải phương trình Schrodinger cho electron Hàm sóng hai electron phải phản đối xứng với phép hoán vị hai hạt trạng thái bản, electron trạng thái spin đơn Hình 3.9 Hàm sóng phân tử H2 Hình 3.10 Năng lượng tham chiếu phụ thuộc vào thời gian ảo (3.21) Đó phản đối xứng spin từ số lượng tử biểu thị hàm sóng điện tử 1,2 Hàm sóng trạng thái điện tử (3.22) Các yếu tố mô tả phân bố không gian electron phải đối xứng, xác định từ: (3.23) Trong xác định (3.24) Kết luận Sau thời gian nghiên cứu phương pháp Monte Carlo lượng tử áp dụng cho số hệ đơn giản, đạt số kết sau: - Tìm lượng hàm sóng dao động tử điều hoà Kết phù hợp với tính toán lý thuyết - Tìm lượng hàm sóng dao động tử điều hoà Morse Kết phù hợp với tính toán lý thuyết - Tìm lượng hàm sóng nguyên tử hydro Kết phù hợp với tính toán lý thuyết - Tìm lượng hàm sóng ion , phân tử chưa có lý thuyết nên so sánh với kết số nhóm nghiên cứu khác kết phù hợp tốt Tài liệu tham khảo Anderson J 1976 J Chem Phys 63 130 Ceperley and B Alder, Quantum Monte Carlo, Science 231, 555560 (1986) Ceperley D M 1991 J Stat Phys 63, 1237 D Khandekar, S Lawande and K B Hagwat, Path Integral Methods and Their Applications (World Scientific, London 1993) D M Ceperley, J Comput Phys 51, 404-422 (1983) D W Skinner, J W Moskowitz, M A Lee, P A Whitlock, and K E Schmidt, J Chem Phys 83, 4668-72 (1985) Foulkes W M C, Mitas L, Needs R J and Rajagopal G 2001 Rev of Modern Phys 73 G Herzberg, Molecular Spectra and Molecular Structure (Van Nostrand, New York 1950) J B Anderson, A randomwalk simulation of the Schrăodinger equation: H3+ , J Chem Phys 63, 14991503 (1975) J W Moskowitz and K E Schmidt, J Chem Phys 85, 2868-2874 (1986) L D Landau and E M Lifshitz, Quantum Mechanics, vol of Course of Theoretical Physics (Pergamon Press, Oxford, 1977) L Infeld and T E Hull, The factorization method, Rev.Mod Phys 23, 2168 (1951) M H Kalos and P A Whitlock, Monte Carlo methods (J.Wiley & Sons, New York, 1986) M H Kalos, Phys Rev 128, 1791-1795 (1962) Metropolis N, Rosenbluth A W, Rosenbluth M N, Teller A M, and Teller E 1953 J Chem Phys 21 1087 R P Feynman and A R Hibbs, Quantum mechanics and path integrals (McGraw-Hill, New York, 1965) Reynolds P J, Ceperley D M, Alder B J and Lester W A 1982 J Chem Phys 77 5593 S E Koonin, Computational Physics (Benjamin, Reading, MA, 1986) The program was written is the C programming language.A copy of the source code is freely available from one of the authors (K.S.) Umrigar C J, Nightingale M P and Runge K J 1993 J Chem Phys 99 2865 W H Press, S A Teukolsky, W T Vetterling and B P.Flannery, Numerical recipes in C : the art of scientific computing (Cambridge University Press, Cambridge, 1992)