Phương pháp monte carlo lượng tử nghiên cứu quá trình khuếch tán

( Word Reader - Unregistered ) www.word-reader.com LờI CảM ƠN Luận văn này đợc thực hiện và hoàn thành tại Trờng ĐHSP Hà Nội 2 dới sự hớng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Thế Lâm. Thầy đã tỉ mỉ hớng dẫn và truyền cho tôi những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu khoa học để động viên, khích lệ tôi vơn lên trong học tập và vợt qua những khó khăn. Tôi đã từng bớc tiến hành và hoàn thành luận văn với đề tài Phơng pháp Monte Carlo lợng tử nghiên cứu quá trình khuếch tán Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu trờng ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Vật Lý, Phòng sau đại học trờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành chơng trình cao học và luận văn tốt nghiệp. Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, các đồng chí đồng nghiệp và bạn bè đã tạo điều kiện, động viên, đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành luận văn này. Hà nội, tháng 10 năm 2011 Tác giả Vũ Ngọc Vỹ LờI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của tôi, không sao chép hoặc trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã đợc công bố. Nếu sai tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Hà nội, tháng 09 năm 2011 Tác giả Vũ Ngọc Vỹ Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài - Phơng pháp Montecarlo là phơng pháp sử dụng rất rộng rãi trên thế giới. Trên cơ sở sử dụng con số ngẫu nhiên đã mở ra rất nhiều ứng dụng. Một trong những ứng dụng là ngời ta có thể tính tích phân xác định, đặc biệt là các tích phân nhiều chiều và các điều kiện biên phức tạp. - Phơng pháp Monte Carlo thờng thực hiện lặp lại một số lợng rất lớn các bớc đơn giản, song song với nhau, một phơng pháp phù hợp cho máy tính. Kết quả của phơng pháp này càng chính xác (tiệm cận về kết quả đúng) khi số lợng lặp các bớc tăng. - Phơng pháp Montecarlo có thể cho phép nghiên cứu tính toán năng lợng hàm sóng của các hệ lợng tử mà các phơng pháp khác không làm đợc. - Quá trình khuếch tán có phơng trình vi phân phụ thuộc vào thời gian trên thực tế rất khó giải. Nếu thực hiện đợc thì số chiều rất thấp, nhng nếu sử dụng phơng pháp Montecarlo thì sẽ giải đợc trong không gian lớn hơn với số lợng hạt lớn ( ngời ta có thể giải đến 1000 hạt) Chính vì những lý do trên và những ứng dụng thiết thực của đề tài mà tôi đã lựa chọn đề tài này để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các phơng pháp Montecarlo lợng tử đợc đề xuất trong thời gian gần đây. - Đề xuất mô hình khuếch tán và sẽ giải quyết bài toán này bằng phơng pháp Montecarlo lợng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các mô hình mà có thể sử dụng phơng pháp Montecarlo trong vật lý chất rắn. - Xây dựng và giải bài toán bằng phơng pháp Montecarlo lợng tử. 4. Đối tợng nghiên cứu - Là các hệ điện tử nhiều hạt - Một số các bài toán khuếch tán trong trong các không gian 1, 2, 3 chiều 5. Phơng pháp nghiên cứu Sử dụng phơng pháp mô hình hóa bằng máy tính 6. Dự kiến những đóng góp mới Sẽ sử dụng đợc phơng pháp này cho nghiên cứu các tính chất của vật liệu mà các phơng pháp khác không làm đợc khi mà số lợng hạt trở nên lớn. Danh môc c¸c tõ viÕt t¾t Tõ viÕt t¾t TiÕng anh TiÕng viÖt DMC Diffusion Monte Carlo Ph¬ng ph¸p Monte Carlo khuÕch t¸n GFQMC Green's function quantum Monte Carlo Ph¬ng ph¸p hµm Green’s Monte Carlo PDF Probability distribution function Hµm ph©n bè x¸c suÊt PIMC Path Integral Monte Carlo Ph¬ng ph¸p tÝch ph©n ®êng QMC Quantum Monte Carlo Ph¬ng ph¸p Monte Carlo lîng tö VMC Variational Monte Carlo Ph¬ng ph¸p Monte Carlo biÕn sè Chơng 1 Tổng quan về phơng pháp Montecarlo 1.1. ý tởng về phơng pháp Monte Carlo lợng tử Nói chung tất cả các phơng pháp Monte Carlo lợng tử đều có đặc điểm chung là sử dụng mẫu thử ngẫu nhiên và chúng là cách hiệu quả nhất để lấy tích phân các hàm số đa chiều. Điểm bắt đầu cho việc lấy tích phân Monte Carlo là biểu thức cho giá trị trung bình của hàm f trên đoạn (1.1) Dựa vào phơng này này ta sẽ đợc biểu thức cho giá trị của tích phân : (1.2) Có nghĩa là nếu ta có giá trị trung bình ta sẽ có giá trị của I. Mục tiêu của phơng pháp Monte Carlo là ớc tính giá trị bằng việc lấy mẫu ngẫu nhiên của hàm f trên đoạn . Giá trị của tích phân I có thể đợc ớc tính bởi biểu thức: (1.3) Với x i là điểm ngẫu nhiên phân bố đồng đều trên và N s là số điểm x i . Phơng pháp lấy mẫu nh vậy khá hiệu quả vì trong nhiều ứng dụng thực tiễn, việc lấy tích phân ở một số vùng phải đợc lấy mẫu với mật độ lớn hơn để đạt đợc những kết quả chính xác hơn trong khoảng thời gian hợp lý. Ta có thể làm đợc việc này bằng phơng pháp lấy mẫu điển hình. Việc lấy mấu điển hình đó đợc ứng dụng bằng việc đa vào hàm mật độ (PDF): trên , ngoài đoạn . Đó là điều thuận lợi khi chuẩn hoá hàm sóng: . Khi đó chúng ta có thể viết: (1.4) Nếu đợc lấy mẫu theo thì biểu thức trên sẽ giảm xuống đến con số ớc lợng cuối cùng của biểu thức: (1.5) Các điểm x i đợc phân bố theo . Thông thờng chúng ta thu đợc một chuỗi Markow đợc tạo ra bởi thuật toán Metropolis 1.2. Phơng pháp Monte Carlo lợng tử 1.2.1. Một số các phơng pháp tính Lu ý phơng pháp Monte Carlo lợng tử dùng để chỉ các kỹ thuật khác nhau dựa trên việc lấy mẫu ngẫu nhiên. Kỹ thuật đơn giản nhất trong số đó là Monte Carlo biến số (VMC), sử dụng phơng pháp lấy tích phân Monte Carlo lấy mẫu điển hình để tính giá trị dự tính cho hàm sóng thử đã đợc lựa chọn. Các phơng pháp khác, nh phơng pháp chiếu Monte Carlo sử dụng kỹ thuật chiếu để đạt đợc thành phần trạng thái cơ bản của hàm sóng thử ban đầu. Có một số phơng pháp chiếu Monte Carlo phụ thuộc vào yếu tố chiếu mà ngời ta sử dụng, phổ biến nhất là phơng pháp Monte Carlo khuếch tán (DMC), dựa trên phơng trình thời gian ảo Schorodinger. Cả VMC và DMC đợc sử dụng để tính giá trị của năng lợng ở trạng thái cơ bản cho các hệ lợng tử, chúng còn có thể đợc dùng cho các trạng thái kích thích. Với các hệ kích thích ở nhiệt độ xác định thì phơng pháp PIMC đợc sử dụng, đây là phơng pháp dựa trên dạng thức tích phân đờng cơ lợng tử do Feyman xây dựng. Tiện ích của các phơng pháp DMC và PIMC trong ứng dụng cho các hệ fermion giảm do vấn đề nảy sinh từ tích phân đối xứng hàm sóng của nhiều fermion. Một trong các kỹ thuật đợc sử dụng rộng rãi để giải quyết vấn đề này là phơng pháp xấp xỉ nút cố định. ứng dụng của DMC cho hệ thống fermion và việc thử bỏ qua. Phơng pháp xấp xỉ nút cố định sẽ đợc thể hiện chi tiết hơn. Dù còn vấn đề về tính chính xác nhng các phơng pháp QMC vẫn là một công cụ hữu hiệu để tính toán các tính chất điện tử của hệ electron tơng tác trong nguyên tử, phân tử và chất rắn. Khả năng tính toán trong QMC tăng lên lũy thừa ba về số hạt, vì vậy có thể nghiên cứu các hệ thống chứa hàng trăm thậm chí nhiều nghìn electron. Điều này có thể giúp làm mô hình chất ngng tụ thực sự với độ chính xác đáng kinh ngạc. Công thức tổng quát của hàm Hamiltonian cho các electron trong thế ngoài có thể đợc viết nh sau: (1.6) Thế năng V trong các hệ chất rắn miêu tả tơng tác Coulomb giữa các hạt electron và ion. 1.2.2. Năng lợng trong các hệ lợng tử Chúng ta sẽ nghiên cứu những ví dụ về việc ứng dụng phơng pháp Monte Carlo lợng tử trong các hệ đơn giản ví dụ: dao động tử điều hòa, dao động tử điều hoà thế Morse, nguyên tử hydro, phân tử hydro, ion . Khi nguyên tử, phân tử, hạt nhân và trạng thái rắn của vật bao gồm nhiều các electron và ion hoặc nucleon đang tơng tác. Tổng các hạt N thờng lớn và ngời ta không thể tìm ra một con số chính xác. Trong cơ học lợng tử chúng ta có thể biểu thị giá trị chờ đợi cho một toán tử Ô cho trớc cho một hệ thống những hạt N nh sau: (1.7) Trong đó là hàm sóng mô tả một hệ nhiều vật. Mặc dù chúng ta đã bỏ qua sự phụ thuộc về thời gian trong phơng trình này nhng nhìn chung đây vẫn là một vấn đề khó khăn. Nh một ví dụ từ bài toán nhiều hạt, chúng ta có thể viết đợc phơng trình Schrodingers nh một phơng trình vi phân với toán tử Hamiltonian H đợc biểu diễn theo hàm sóng nh sau: (1.8) Trong đó: là tọa độ, là những tập hợp những lợng tử số liên quan nh spin và spin đồng vị cho một hệ các nucleon là A (A = N + Z, N là số lợng các nơtron và Z là số lợng các proton). Ta có những phơng trình vi phân cấp hai đợc xác định trong kích thớc 3A. Đối với hạt nhân nh 10 Be thì con số này là 215040. Đây thực sự là một bài toán đầy khó khăn. Phơng trình (1.7) là một tích phân nhiều chiều. Nh vậy, phơng pháp Monte Carlo là phơng pháp lý tởng để thu đợc những giá trị dự đoán của các toán tử cơ lợng tử, tuy nhiên vấn đề khó khăn là chúng ta không biết chính xác hàm sóng . Chúng ta có thể tránh đợc vấn đề này bằng cách đa ra một hàm số phụ thuộc vào những tham số biến số đã chọn. Hàm số này sẽ thu đợc những đặc tính quan trọng của hệ đang đợc xét. Với việc thử một hàm sóng nh vậy chúng ta có thể thử thực hiện phép tính toán biến số của các quan sát khác nhau, dùng phơng pháp Monte Carlo để giải phơng trình (1.7). Do vậy mục tiêu của chúng ta là tiếp cận Monte Carlo biến số tới cơ lợng tử nên chúng tôi chỉ giới hạn tới thuật toán Metropolis đơn giản, không bao gồm sự lấy mẫu quan trọng. Những phơng pháp Monte Carlo lấy mẫu và khuếch tán quan trọng đợc bàn luận sau. Trớc hết chúng ta cần tóm tắt lại một số định lý cơ học lợng tử. 1.3. Nhắc lại một số định lý cơ học lợng tử 1.3.1. Những tính chất của hàm sóng. Phơng trình Schrodingers cho bài toán một chiều (1.9) [...]... ta đạt đến cực tiểu của năng lượng Trong phép tính Monte Carlo biến số là việc tìm kiếm cực tiểu biến số Thường thường các phép tính Monte Carlo biến số giống như là điểm xuất phát cho phương pháp Monte Carlo khuyếch tán Phương pháp Monte Carlo khuếch tán là một cách giải chính xác phương trình Schrodinger nhiều hạt bằng phương pháp ngẫu nhiên Tuy nhiên, việc dự đoán năng lượng ở trạng thái liên kết... Bất kỳ lượng vật lý nào phụ thuộc vào vị trí đều có toán tử lượng tử tương ứng bằng việc thay thế và động lượng , tạo ra toán tử lượng tử (1.17) Đại lượng Định nghĩa cổ điển Vị trí Động lượng Động lượng quỹ đạo Động năng Năng lượng toàn phần Bảng 1.1 Một số toán tử lượng tử Định lý II Toán tử QM Kết quả xảy ra của phép đo lý tưởng đại lượng vật lý A là những giá trị riêng của toán tử lượng tử tương... nghĩa được các hàm sóng hai nguyên tử hydro (2.75) Và (2.76) Dựa trên hai hàm sóng này sẽ cho biết electron ở đâu, ta tổ hợp tuyến tính sau (2.77) Với là hằng số Dựa trên thảo luận này, ta thêm electron thứ hai để kích thích phân tử H2 2.2 Phương pháp Monte Carlo khuếch tán 2.2.1 Phương pháp Monte Carlo dùng hàm sóng thử DMC là một phương pháp Monte Carlo để giải phương trình Schorodinger thời gian ảo... phương pháp cụ thể là phải nghiên cứu các mẫu đã chọn 2.1.2 Một số ví dụ 2.1.2.1 Phương pháp Monte Carlo biến số cho dao động tử điều hòa một chiều Hamiltonian có dạng: (2.16) Trong đó m là khối lượng hạt và k là hằng số lực Trong phương trình trên ta sẽ làm cho đơn giản hơn bằng cách chọn Ta có thể viết lại phương trình trên như sau: (2.17) Năng lượng của trạng thái năng lượng nhỏ nhất khi đó sẽ là... đó sẽ là Hàm sóng chính xác cho trạng thái năng lượng nhỏ nhất là (2.18) Nhưng vì ta muốn minh họa việc sử dụng phương pháp Monte Carlo, ta phải chọn hàm thử nghiệm (2.19) Thay hàm này vào biểu thức năng lượng địa phương trong phương trình (2.9), ta thu được biểu thức sau cho năng lượng địa phương (2.20) Với giá trị dự đoán cho hamiltonian của phương trình (2.10) được cho bởi (2.21) Thay hàm sóng dùng... gian của một hệ lượng tử được cho bởi công thức: (1.24) Với là toán tử Hamiltonian của hệ Chương 2 Các cơ sở lý thuyết và thuật toán của phương pháp Monte Carlo 2.1 Phương pháp Monte Carlo biến số 2.1.1 Cơ sở lý thuyết Các kỹ thuật Monte Carlo được thể hiện cho Monte Carlo biến số đơn giản nhưng những ứng dụng thực tiễn lại khá phức tạp dựa vào xuất phát điểm tốt cho hàm sóng biến số Vì chúng hình thành... cần thiết Một phép tính Monte Carlo biến số được thực hiện có thể giúp ích trong trường hợp này Phép Monte Carlo lượng tử biến số đã được ứng dụng rộng rãi trong các nghiên cứu cho hệ lượng tử Việc chọn lựa một hàm sóng thử nghiệm càng xác thực càng tốt Biến mà chúng ta giả thiết là đại diện cho tọa độ không gian, tổng ta có là 3N nếu chúng ta có N các hạt Phân bố xác suất lượng tử được xác định (2.7)... ước lượng Monte Carlo trong phương trình (2.10), có một thuật toán chi tiết hơn dưới đây - Chuẩn bị: Cố định số bước Monte Carlo và số các bước nhiệt Chọn ký hiệu viết tắt R và tham số biến số và tính toán Cũng cần xác định giá trị độ lớn các bước khi chuyển từ một giá trị R sang một giá trị mới - Đưa vào năng lượng và biến số - Bắt đầu phép tính Monte Carlo với một vòng qua một số các chu trình Monte. .. lượng tử và thể hiện động lượng quỹ đạo và hình chiếu của động lượng quỹ đạo tương ứng và có được những giá trị 1 2 3 Những hàm điều hòa hình cầu với được liệt kê ở bảng 2.1 Chúng ta để ý đến phương trình xuyên tâm, phương trình có thể được viết lại thành (2.51) Với hàm ml\l +3 +2 +1 0 0 1 2 3 -1 -2 -3 Bảng 2.1 Hàm đối xứng cầu với giá trị và nhỏ nhất Phương trình Schrodinger xuyên tâm cho nguyên tử. .. ta có thể chọn Khi đó phương trình Schrodinger sẽ được viết lại như sau: (2.64) Ta có thể xác định bằng việc sử dụng (2.65) Với lựa chọn này trở thành bán kính Bohr = 0,05nm, = , n là số lượng tử cơ bản Phương trình (2.64) trở thành (2.66) Với hàm Hamiltonian (2.67) Trạng thái cơ bản của nguyên tử hydro có năng lượng = -1/2, hoặc = 13,6eV Hàm sóng tuyệt đối có được từ phương trình (2.66) là (2.68) . để nghiên cứu. 2. Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu các phơng pháp Montecarlo lợng tử đợc đề xuất trong thời gian gần đây. - Đề xuất mô hình khuếch tán và sẽ giải quyết bài toán này bằng phơng pháp. pháp Montecarlo lợng tử. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu các mô hình mà có thể sử dụng phơng pháp Montecarlo trong vật lý chất rắn. - Xây dựng và giải bài toán bằng phơng pháp Montecarlo. bớc tăng. - Phơng pháp Montecarlo có thể cho phép nghiên cứu tính toán năng lợng hàm sóng của các hệ lợng tử mà các phơng pháp khác không làm đợc. - Quá trình khuếch tán có phơng trình vi phân phụ