DMC là một phương pháp Monte Carlo để giải phương trình Schorodinger thời gian ảo
(2.78)
Trong đó Phương trình có thể được viết lại là
(2.79) Nếu hàm được khai triển theo hệ hàm riêng của Hamiltonian , được sắp xếp theo các giá trị riêng tương ứng để
(2.80)
(2.81)
Theo công thức (2.80) thì trong giới hạn thời gian dài, toán tử thời gian ảo đưa ra theo năng lượng tối thiểu . Nếu các trạng thái ban đầu
không trực giao với trạng thái cơ bản, sau đó trạng thái đạt được là trạng thái cơ bản. Để giới thiệu phép lấy mẫu điển hình, ta định nghĩa hàm số mới như sau
(2.82) Trong đó là hàm PDF và là phép tính xấp xỉ được biết đến nhiều nhất của trạng thái cơ bản chính xác. Từ phương trình (2.82) ta được
(2.83)
Trong đó
dùng phép lấy tích phân Monte Carlo, phương trình (2.83) chuyển thành công thức tích phân
(2.85) Đề cập phép lấy số gần đúng trong thời gian ngắn, hàm số Green’s có thể viết thành
Hai phần trong (2.86) liên quan đến hai quá trình khuếch tán và phân nhánh tương ứng. Trong mô phỏng Monte Carlo, hai quy trình đó được nghiên cứu riêng biệt. Thực tế, mô hình đó dựa trên một loạt các (cũng như một loạt các điểm trong không gian cấu hình) ban đầu được phân bố trên hàm hướng dẫn. Trong mô phỏng mỗi hạt chuyển động qua không gian cấu hình theo cách mà việc phân bố của chúng tập trung về sự phân bố ở trạng thái cơ bản. Mỗi bước của một hạt chia thành hai giai đoạn: khuếch tán và phân nhánh. Trong giai đoạn đầu tiên hạt di chuyển từ đến một vị trí mới
(2.87) Trong đó là vectơ bất kỳ trong không gian cấu hình và bước chuyển được xác định với xác suất
(2.86) phân nhánh khuyếch tán
(2.88)
Theo thuật toán Metropolis, ở giai đoạn kế tiếp quy trình phân nhánh được thực hiện, phụ thuộc vào giá trị của yếu tố phân nhánh
(2.89)
Hạt có thể bị phá hủy hoặc các hạt được tạo ra, trong đó u là số bất kỳ trong đoạn . Để giữ cho số lượng các hạt cố định, năng lượng cần được điều chỉnh phù hợp.
Bài toán fermion trong DMC
Thuật toán được thể hiện là chính xác theo cách tính về số, và dẫn đến trạng thái cơ bản của hệ, với hệ electron do tính phản đối xứng của hàm sóng. Hạn chế này được thực hiện bằng việc áp dụng tính không đối xứng (cùng với tất cả các hệ đối xứng được yêu cầu khác) theo hàm hướng dẫn . Tuy nhiên hàm không đối xứng thay đổi tín hiệu mỗi lần có hạt đi qua điểm nút, được xem như là cách giải của phương trình
(2.90) Điều này cho phép giải quyết bài toán fermion được nhiều người biết đến. Cách giải phổ biến nhất cho bài toán này là cách tính xấp xỉ điểm nút cố định . Trong phương pháp này tất cả các chuyển động hạt qua điểm nút bị loại bỏ. Thực tế mỗi hạt bị giam trong một vùng nào đó trong không gian cấu hình. Điều đó có nghĩa là trong cách tính xấp xỉ điểm nút cố định, trạng thái cuối cùng có cùng cấu trúc điểm nút với hàm hướng dẫn, vì vậy độ chính xác trong các phép toán bị giới hạn bởi độ chính xác của các điểm nút trong
xác định bởi sự va chạm của các electron . Các mặt phẳng va chạm là chiều và chia không gian cấu hình thành các phần riêng biệt. Trong hình 2.2, hai ví dụ thể hiện cấu trúc điểm nút cho bốn electron trong bài tập một chiều có cùng hướng quay. Hình ảnh đó đạt được cho những vị trí cố định của hai electron. Chu kỳ trọn vẹn tương ứng với vị trí cố định ( trái lại chu kỳ rỗng lại có sự di chuyển vị trí , các mặt phẳng va chạm được thể hiện bằng đường thẳng. Tuy nhiên nếu không gian là hai hoặc ba chiều thì điều kiện va chạm được thể hiện bởi hai hoặc ba phương trình , vì vậy các không gian mặt phẳng là hoặc chiều, trái lại các bề mặt điểm nút là hoặc chiều. Điều đó có nghĩa là, các bề mặt điểm nút là kết quả của hình dạng của hàm hướng dẫn. Một số cấu trúc điểm nút cho trường hợp đơn giản nhất của hai electron trong bài toán hai chiều được thể hiện ở hình 2.3. Hình ảnh đó đạt được cho vị trí cố định của một trong các electron (chu kỳ trọn vẹn). Điều đó chỉ ra rằng đối với cách kết hợp tuyến tính của hai hàm không đối xứng:
(2.91) Tiếp tục thay đổi tham số dẫn đến biến dạng các bề mặt điểm nút. Thực tế, các cấu trúc thể hiện ở hình 2.2 đạt được cho các hàm giống nhau và
Hình 2.2. Cấu trúc nút cho 4 electron trong bài toán một chiều, cố định (vòng tròn đầy hoặc rỗng)
Hình 2.3. Nút cấu trúc cho 2 electron trong bài toán hai chiều, cố định (vòng tròn đầy)
hiệu quả hơn nhiều so với kiến thức của các giá trị của hàm hướng dẫn, kỹ thuật tối ưu hóa hàm hướng dẫn dựa trên (2.91) được nghiên cứu.
Hàm hướng dẫn được biến đổi bởi sự thay thế:
(2.92)
Trong đó là hàm Slater xây dựng hàm sóng phẳng. Các hệ số được điều chỉnh trong mô phỏng VMC sử dụng các trạng thái hiện tại của tất cả các hạt. Các giới hạn thêm cho các hệ số là do đối xứng hình học của hệ thống được thực hiện trong suốt các phép tính. Trong tất cả các phép tính toán ta có thể thấy việc giảm tổng năng lượng trung bình. Việc lấy căn số năng lượng điển hình trong quá trình tính toán được thể hiện ở hình 2.4.
Kết luận
Phép tính xấp xỉ điểm nút cố định cho hệ thống fermion được dùng trong phép tính DMC là giới hạn quan trọng nhất của độ chính xác trong các phép tính và nó đòi hỏi phải có sự tính toán truớc tỉ mỉ cho hàm hướng dẫn.
Hình 2.4. Sự thay đổi năng lượng trong quá trình mô phỏng
ý tưởng về những thay đổi năng lượng của cấu trúc điểm nút được thể hiện ở đây đầy hứa hẹn để có thể khắc phục những hạn chế. Tuy nhiên được sử dụng trong mẫu thử này là các cách kết hợp tuyến tính của nhân tố Slater trong xây dựng hàm sóng phẳng sẽ mất nhiều thời gian. Sẽ rất hợp lý để tìm kiếm hàm không đối xứng khác nào đó dễ tính toán và linh hoạt trong việc thay đổi cấu trúc điểm nút của nó.